2021年新高考数学一轮专题复习(新高考专版)第07讲 幂函数与二次函数(解析版)
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2021年新高考数学一轮专题复习(新高考专版)第07讲 幂函数与二次函数(解析版)

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资料简介
第 07 讲-幂函数与二次函数 一、 考情分析 1. 通过具体实例,结合 y=x,y=1 x ,y=x2,y= x,y=x3 的图象,理解它们的变化规律,了解 幂函数; 2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 二、 知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,形如 y=xα 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数. (2)常见的 5 种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②当 α>0 时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; ③当 α0) y=ax2+bx+c(a 0, Δ < 0 时恒有 f(x)>0,当{a < 0, Δ < 0 时,恒有 f(x) 1x = ( )f x (1,1) 1x = − 3x = ( )f x ( )1 1 ( 1) 3 5 f a b f a b  = − + =  − = + = 1 2 a b =  = 21, 2, ( ) 2 2a b f x x x∴ = = = − + ( ) ( ) 2 22, (3 ) 3 23 x x x f xg x x gx x = = + − = + − ( ) 23 3 3 2 3 03 x x x x xg t t− ⋅ = + − − ⋅ ≥ 2 2 21 (3 ) 3x xt ≤ + − [ ]0,2x∈ [ ]1 1, 0,2 , [ ,1]3 9xm x m= ∈ ∈ 2 21 1 1( ) 2 2 1 2( ) , [ ,1]2 2 9h m m m m m= − + = − + ∈时,不等式 在 上有解. 实数 的取值范围 . 规律方法 求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形 式,一般选择规律如下: 考点三 二次函数的图象及应用 【例 3-1】(2020·全国高一专题练习)函数 y=ax2+bx 与 y=ax+b(ab≠0)的图象只可能是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】令 , 的对称轴为 。根据图象知,A 选项 不对 ;B 选项,若 成立,则 ,此时 图象不对;C 选项,若 成立, 则 ,此时 图象不对;D 选项显然是正确的,故选 D. 【例 3-2】(2018·安徽省高三期中(理))已知函数 ,且 ,则(  ) A. ,都有 B. ,都有 C. ,使得 D. ,使得 【答案】B 【解析】由 可知 ,抛物线开口向上.因为 , 即 1 是方程 的一个根,所以 ,都有 ,选 B. max ( ) 1t h m≤ = ( )3 3 0x xg t− ⋅ ≥ [ ]0,2x∈ ∴ t 1t ≤ ( ) ( ) ( )2 , 0f x ax bx g x ax b ab= = ≠+ + ( )f x 2 b a − 0b = ( )g x 0, 0, 02 ba b a > > − < ( )f x ( )g x 0, 0, 02 ba b a − > ( )f x ( ) 2f x ax bx c= + + , 0a b c a b c> > + + = ( )0,1x∀ ∈ ( ) 0f x > ( )0,1x∀ ∈ ( ) 0f x < ( )0 0,1x∃ ∈ ( )0 0f x = ( )0 0,1x∃ ∈ ( )0 0f x > , 0a b c a b c> > + + = 0, 0a c> < ( ) ( )0 0, 1 0f c f a b c= < = + + = 2 0ax bx c+ + = ( )0,1x∀ ∈ ( ) 0f x min( ) (1) 1 2 1f x f a= = + = − 1a = − 2a− < − min( ) ( 2) 4 4 1f x f a= − = − = − 5 4a = 1a = ± 2( ) ( 2) 3f x x a x= + − − ( )f x [ ]2,4− a 5a = [ 1,1]x∈ − ( ) 2 4f x m x> + − m ( )f x 2 2 ax −= − ( )f x [ ]2,4− 2 42 a −∴− ≥ 2 22 a −− ≤ − 6a ≤ − 6a ≥ ∴ a ( , 6] [6, )−∞ − +∞ 5a = [ ]1,1x∈ − ( ) 2 4f x m x> + − 2 1x x m+ + > ( ) 2 1g x x x= + + ( )ming x m> ( )g x [ ]1 1,12x = − ∈ − ( )min 1 3 2 4g x g  = − =   3 4 m>的范围为 . 规律方法 1.二次函数最值问题的解法:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和 中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两 个思路的依据是:a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. [方法技巧] 1.幂函数 y=xα(α∈R)图象的特征 α>0 时,图象过原点和(1,1)点,在第一象限的部分“上升”;α 1 1 2 x x e    ≥       *x N∀ ∈ p 1 13 3 2 3 3 2 3x x x x− −+ ≥ × = 13 3x x−= 1 2x = q p q∧ ( )p q¬ ∧ ( )p q∧ ¬ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬ ( ) ( ) 22 4 21 m mf x m x − += − ( )0, ∞+ ( ) 2xg x t= − [ )1 1,6x ∈ [ )2 1,6x ∈ ( ) ( )1 2f x g x= t ϕ 28t ≥ 1t ≤ 28t > 1t < 1 28t≤ ≤ 0m = ( ) 2f x x= [ )1 1,6x ∈ ( ) [ )1 1,36f x ∈ [ )2 1,6x ∈ ( ) [ )2 2 ,64g x t t∈ − − 2 1{64 36 t t − ≤ − ≥ 1 28t≤ ≤ [ ]0,1x∈ ( ) ( )21f x mx= − ( ) 2 mg x x= + mA. B. C. D. 【答案】B 【解析】当 时,又因为 为正实数, 函数 的图象二次函数, 在区间 为减函数,在区间 为增函数; 函数 ,是斜率为 的一次函数. 最小值为 ,最大值为 ; ①当 时,即 时, 函数 在区间 为减函数, 在区间 为增函数, 的图象与 的图象有且只有一个交点, 则 , 即 ,解得 , 所以 ②当 时,即 时, 函数 在区间 为减函数,在区间 为增函数, 在区间 为增函数, 的图象与 的图象有且只有一个交点, 则 , 即 [ )2,+∞ ( ] 50,2 ,+2  ∞  5 ,2  +∞  ( ] [ )20,1 ,+ ∞ [ ]0,1x∈ m ( ) ( )21f x mx= − 10, m      1 ,1m æ öç ÷ç ÷è ø ( ) 2 2 m mg x x x= + = + 1 ( )min 2 mg x = ( )max 1 2 mg x = + 1 1m ≥ 0 1m< ≤ ( ) ( )21f x mx= − [ ]0,1 ( ) 2 mg x x= + [ ]0,1 ( )f x ( )g x ( ) ( )max minf x g x≥ ( ) ( )max min0 0f g≥ ( )20 1 2 mm× − ≥ 2m ≤ 0 1m< ≤ 10 1m < < 1m > ( ) ( )21f x mx= − 10, m      1 ,1m æ öç ÷ç ÷è ø ( ) 2 mg x x= + [ ]0,1 ( )f x ( )g x ( ) ( )max minf x g x≥ ( ) ( )max min0 0f g≥的图象与 的图象有且只有一个交点 , 解得 或 综上所述:正实数 的取值范围为 . 6.(2020·会泽县第一中学校高一月考)已知点 在幂函数 的图象上,设 ,则 的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由已知得: ,解得: ,所以 , 因为 , , , 又 ,所以 由 在 上递增,可得: , 所以 . 7.(2020·深圳市高级中学高三月考(文))已知幂函数 的图象过函数 的图象所经过的定点,则 的值等于( ) A. B. C.2 D. 【答案】B 【解析】由于 为幂函数,则 ,解得: , ( ) ( )21f x mx= − ( ) 2 mg x x= + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 1 m f g f g  >  ≥  m ( ] 50,2 ,+2  ∞  (2,8) ( ) nf x x= 3 2, (ln ),3 2a f b f c fπ   = = =          , ,a b c b a c< < a b c< < b c a< < a c b< < 8 2n= 3n = 3( )f x x= 3 13 < 2 12 < ln ln 1eπ > = 3 2 2 3 3 2 12 18 03 2 6 6 − −− = = < 3 2 ln3 2 π< < 3( )f x x= R 3 2 (ln )3 2f f f π   < ≠且 b 1 2 ± 2 2 ± 2± 1( ) (2 1) ag x a x += − 2 1 1a − = 1a =函数 , 且 ,当 时, ,故 的图像所经过的定 点为 , 所以 ,即 ,解得: , 8.(2020·全国高一课时练习)已知 ,且 ,若 ,则函数 的大致图像为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意,令 ,故 ,解得 或 (舍去), 故 ,故 ,故 的大致图像为 A,故选 A 9.(2020·北京高三期末)已知函数 ,若存在区间 ,使得函数 f(x)在区间 上的值域为 则实数 的取值范围为( ) 1( ) 2 x bf x m −= − ( 0,m > 1)m ≠ x b= 1 1( ) 2 2 b bf b m −= − = ( )f x 1( , )2b 1( ) 2g b = 2 1 2b = 2 2b = ± , (1, )m n∈ +∞ m n> 2 6log log 13m nn m+ = 2( ) m nf x x= logmt n= 62 13t t + = 1 2t = 6t = n m= 2 1m n = ( )f x x= ( ) 1f x x k= + + [ ] [ ), 1,a b ∈ − +∞ [ ],a b [ ]1, 1 ,a b+ + kA. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据函数的单调性可知, ,即可得到 ,即可知 是方程 的两个不同非负实根,所以 ,解得 . 10.(2020·四川省成都七中高一月考)已知 若幂函数 的图象关于 轴对称, 且在区间 内单调递减,则 __________. 【答案】 【解析】因为幂函数 的图象关于 轴对称,则 必为偶数, 又 在区间 内单调递减,则 为负数, 综合得 . 故答案为: . 11.(2018·郁南县连滩中学高一期中)已知幂函数 的图象经过点 ,则该幂函数的解析式 为 . 【答案】 【解析】设 过点 ,所以 , . 所以解析式为: 12.(2020·河南省高三其他(文))幂函数 的图象关于 轴对称,则实数 _______. 【答案】2 【解析】函数 是幂函数, 解得: 或 , ( )1,− +∞ ( ]1,0− 1 ,4  − +∞   1 ,04  −   ( ) ( ) 1 1 f a a f b b  = + = + 1 1 0 1 1 0 a a k b b k  + − + − = + − + − = 1, 1a b+ + 2 0x x k− − = 1 2 1 4 0 0 k x x k ∆ = + >  = − ≥ 1 04 k− < ≤ 12, 1, ,1,2,3 ,2 α   −  −  ∈ ( ) af x x= y ( )0, ∞+ α = 2− ( ) af x x= y α ( ) af x x= ( )0, ∞+ α 2α = − 2− ( )y f x= 1 1,4 2      1 2y x= ( )y f x xα= = 1 1,4 2      ( ) 1 1( )4 2f x xα α= = = 1 2 α = 1 2y x= ( )2( ) 3 3 mf x m m x= − + y m = ( )2( ) 3 3 mf x m m x= − + 2 3 3 1,m m∴ − + = 1m = 2m =当 时,函数 的图象不关于 轴对称,舍去, 当 时,函数 的图象关于 轴对称, ∴实数 . 13.(2019·西藏自治区山南二中高一期中)函数 在 上是减函数,则实数 a 的取值范围是___________ 【答案】 【解析】因为函数 在 上是减函数, 所以对称轴 ,即 . 14.(2020·全国高三月考(文))已知函数 ,若函数 在区间 上单调 递增,则实数 的取值范围是________. 【答案】 【解析】当 时, , ∵ 开口向下,对称轴 ,在对称轴的左边单调递增, ∴ ,解得: ; 当 时, 是以 2 为底的对数函数,是增函数,故 ; 综上所述,实数 的取值范围是: ; 15.(2020·嘉祥县第一中学高二期中)已知幂函数 在 上单调递增,函数 ; (1)求 的值; (2)当 时,记 、 的值域分别是 、 ,若 ,求实数 的取值范围; 【解析】(1) 函数 为幂函数, 则 ,解得: 或 . 当 时, 在 上单调递增,满足条件. 1m = y x= y 2m = 2y x= y 2m = 2( ) 2( 1) 2f x x a x= + − + ( ],4−∞ 3a ≤ − 2( ) 2( 1) 2f x x a x= + − + ( ],4−∞ ( 1) 4x a= − − ≥ 3a ≤ − 2 2 4 , 4( ) log , 4 x x xf x x x − + ≤=  > ( )y f x= ( , 1)a a + a ( ,1] [4, )−∞ ∪ +∞ 4x ≤ 2 2( ) 4 ( 2) 4f x x x x= − + = − − + 2( ) ( 2) 4f x x= − − + 2x = 1 2a + ≤ 1a ≤ 4x > ( )f x 4a ≥ a ( ,1] [4, )−∞ ∪ +∞ 22 4 2( ) ( 1) m mf x m x − += − (0, )+∞ ( ) 2xg x k= − m [1,2]x∈ ( )f x ( )g x A B A B A∪ = k 22 4 2( ) ( 1) m mf x m x − += − 2( =11)m − 0m = 2m = 0m = 2( )f x x= (0, )+∞当 时, 在 上单调递减,不满足条件. 综上所述 . (2)由(1)可知, ,则 、 在 单调递增, 所以 在 上的值域 , 在 的值域 . 因为 ,即 , 所以 ,即 ,所以 . 所以实数 的取值范围是 . 16.(2019·瓦房店市实验高级中学高一月考)已知函数 . (1)若对任意的实数 都有 成立,求实数 的值; (2)若 在区间 上为单调增函数,求实数 的取值范围; (3)当 时,求函数 的最大值. 【解析】(1)由题意知函数 的对称轴为 1,即 (2)函数 的图像的对称轴为直线 ; 在区间 上为单调递增函数, 得, (3)函数图像开口向上,对称轴 , 当 时, 时,函数取得最大值为: 当 时, 时,函数取得最大值为: 当 时, 或-1 时,函数取得最大值为: 17.(2020·九台市第四中学高一期末)设函数 . (1)当 时,求满足 的 的取值范围; (2)若 在区间 上是增函数,求实数 的取值范围. 2m = 2( )f x x−= (0, )+∞ 0m = 2( )f x x= ( )f x ( )g x [1,2] ( )f x [1,2] [1,4]A = ( )g x [1,2] [2 ,4 ]B k k= − − A B A∪ = B A⊆ 2 1 4 4 k k − ≥  − ≤ 1 0 k k ≥  ≤ 0 1k≤ ≤ k [0,1] ( ) 2 2f x x ax a= − + x ( ) ( )1 1f x f x+ = − a ( )f x [ )1,+∞ a [ ]1,1x∈ − ( )f x 2( ) 2 1f x x ax= − + 1a = 2( ) 2 1f x x ax= − + x a= ( )y f x= [ )1,+∞ 1a ≤ x a= 0a < 1x = max( ) 2 2f x a= − 0a > 1x = − max( ) 2 2f x a= + 0a = 1x = max( ) 2f x = ( ) ( )2 2 2f x x a x a= − + + 1a = ( ) 0f x ≤ x ( )f x [ )2 ∞− +, a【解析】(1)当 时,由 得 , 即 ,解得 . (2)因为 的图象开口向上且对称轴为 , 则要 在 是增函数,只需 , 所以 . 18.(2020·内蒙古自治区高二月考(文))已知 在区间 上的值域为 。 (1)求实数 的值; (2)若不等式 当 上恒成立,求实数 k 的取值范围。 【解析】(1) 当 时, 在 上单调递增 ,即 ,与 矛盾。故舍去。 当 时, ,即 ,故 此时 ,满足 时其函数值域为 。 当 时, 在 上单调递减 ,即 ,舍去。 综上所述: 。 (2)由已知得 在 上恒成立 在 上恒成立 令 ,且 ,则上式 恒成立。记 时 单调递减, 1a = ( ) 0f x ≤ 2 3 2 0x x− + ≤ ( )( )1 2 0x x− − ≤ 1 2x≤ ≤ ( )f x 2 2 ax += ( )f x [ )2− + ∞, 2 22 ax += ≤ − 6a ≤ − ( ) 2 2 1g x x ax= − + [ ]13, [ ]0,4 a ( )2 4 0x xg k− ⋅ ≥ [ )x 1,∈ +∞ ( ) ( )2 21g x x a a= − + − 1a < ( )g x [ ]1,3 ( ) ( )min 1 2 2 0g x g a∴ = = − = 1a = 1a < 1 3a≤ ≤ ( ) ( ) 2 min 1 0g x g a a= = − = 1a = ± 1a = ( ) ( )21g x x= − [ ]1,3x∈ [ ]0,4 3a > ( )g x [ ]1,3 ( ) ( )min 3 10 6 0g x g a= = − = 5 3a = 1a = ( )2 2 2 2 1 •4 0x x xk− × + − ≥ [ )1,x∈ +∞ ⇔ 21 12 12 2x xk    ≤ − +       [ )1,x∈ +∞ 1 2xt = 10, 2t  ∈   ⇔ 2 12 1, 0, 2k t t t  ≤ − + ∈   ( ) 2 2 1h t t t= − + 10, 2t  ∈   ( )h t ( )min 1 1 2 4h t h ∴ = =  故 所以 的取值范围为 。 19.(2018·高三月考(理))已知幂函数 在 上单调递增,函数 . (1)求 的值; (2)当 , 时,记 , 的值域分别为集合 , ,设命题 ,命题 ,若命题 是 成立的必要条件,求实数 的取值范围. 【解析】(1)依题意得: , 或 , 当 时, 在 上单调递减, 与题设矛盾,舍去, . (2)由(1)得: , 当 , 时, , ,即 , , 当 , 时, , ,即 , , 若命题 是 成立的必要条件,则 , 则 ,即 , 解得: . 20.(2019·高三月考(理))巳知幂函数 的图象过(2, ). (Ⅰ)求 m 的值与函数 的定义域; (Ⅱ)已知 ,求 的值. 【解析】(1)幂函数 的图象过 , ∴ ∴ ,函数的定义域为 . 1 4k ≤ k 22 4 2( ) ( 1) m mf x m x − += − (0, )+∞ ( ) 2xg x k= − m [1x∈ 2] ( )f x ( )g x A B :p x A∈ :q x B∈ p q k 2( 1) 1m − = 0m⇒ = 2m = 2m = 2( )f x x−= (0, )+∞ 0m∴ = 2( )f x x= [1x∈ 2) ( ) [1f x ∈ 4) [1A = 4) [1x∈ 2) ( ) [2g x k∈ − 4 )k− [2B k= − 4 )k− p q B A⊆ 2 1 4 4 k k − ≥  − ≤ 1 0 k k ≤  ≥ 0 1k≤ ≤ ( ) mf x x= 2 ( )f x 1 1 1( ) lg2 1 2 1x xg x mx −= + + +− + ( ) ( )g m g m+ − ( ) mf x x= ( )2, 2 2 2m = 1 2m = ( )f x x= [ )0,+∞(2)设 则 ∴ ∴ 为奇函数, ∴ 1 1 1( ) lg2 1 2 1x xh x x −= + +− + ( ) ( )g x h x m= + 1 1 1 1 1 1( ) ( ) lg lg2 1 2 1 2 1 2 1x x x xh x h x x x− − ++ − = + + + + +− + − − 1 1 1 1 1 21 lg lg 1 lg1 02 1 2 1 1 1 2 1 1 2 x x x x x x x x x−  − +   = + + + + = + + + =    − − + − − −      ( )h x ( ) ( ) 0h m h m+ − = 1( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 12g m g m h m h m m m+ − = + − + = = × =

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