专题2.1三角函数与及其恒等变形-2021年高考数学（文）尖子生培优题典（解析版）

2021 学年高考数学（文）尖子生同步培优题典 专题 2.1 三角函数及其恒等变形 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2020·福建高三其他（文））设函数 ，则“ ”是“ 在 单调递增”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分不必要条件 【答案】A 【解析】先判断充分不充分，代入 ，看 在 是否单调递增， 再判断是不是必要条件，由 在 单调递增，得到 . 2．（2020·全国高三其他（文））已知函数 ， ，若 ，且函数 存在零点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析依题意， ， ( ) sinf x ax= 1a = ( )f x ,3 3 π π −   1a = ( ) sinf x x= ,3 3 π π −   ( )f x ,3 3 π π −   1a = ( ) ( )3sin cos 0f x x xω ω ω= − > [ ]0,x π∈ ( ) 1f x ≥ − ( )f x ω 1 4,6 3      1 ,16      1 4,3 3      1 ,13      ( ) 3sin cos 2sin 6f x x x x πω ω ω = − = −  因为 ，则 ， 因为 存在零点，故 ，则 ； 又 ，故 ，解得 ， 故 的取值范围是 . 故选：A 3．（2020·全国高三其他（文））方程 在 的解为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，又因为 ， 是 的两根，结合图像可 知 或 即 或 ，当 时， ，又因为 ， ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 ；当 时， ，又因为 ， ，所以 ，且 所以 ，所以 ，所以 .综上两个情况都有 ， [ ]0,x π∈ ,6 6 6x π π πω ωπ − ∈ − −   ( )f x 06 πωπ − ≥ 1 6 ω ≥ ( ) 1f x ≥ − 7 6 6 π πωπ − ≤ 4 3 ω ≤ ω 1 4,6 3      ( ) ( )( )sin 2 1 1,1x a a− = ∈ − ( )0,π ( )1 2 1 2,x x x x< ( )1 2sin x x− = 21 a− − 21 a− a 2a 0 πx< < ( )2 1 1,2 1x π− ∈ − − 1x 2x ( )sin 2 1x a− = 1 22 1 2 1 2 2 x x π− + − = 1 22 1 2 1 3 2 2 x x π− + − = 2 112x x π= + − 2 1 3 12x x π= + − 2 112x x π= + − ( ) ( )1 2 1 1sin sin 2 1 cos 2 12x x x x π − = − − = − −   1 2x x< 2 112x x π= + − 1 10 4 2x π< < + 12 1 1, 2x π − ∈ −   ( ) 2 1cos 2 1 1x a− = − ( ) 2 1 2sin 1x x a− = − − 2 1 3 12x x π= + − ( ) ( )1 2 1 1 3sin sin 2 1 cos 2 12x x x x π − = − − = −   1 2x x< 2 1 3 12x x π= + − 1 3 10 4 2x π< < + 12 1x π− > 1 32 1 , 2x ππ − ∈   ( ) 2 1cos 2 1 1x a− = − − ( ) 2 1 2sin 1x x a− = − − ( ) 2 1 2sin 1x x a− = − −故选：A. 4．（2020·全国高三三模（文））已知函数 ， .若函数 只 有一个极大值和一个极小值，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：令 ，因为 ，所以 则问题转化为 在 上只有一个极大值和一个极小值， 因为 函数 只有一个极大值和一个极小值，则 ，即 ，又 ，所以 ，所以 则 解得 故 故选：C ( ) ( )2sin 06f x x πω ω = + >   ,3 2x π π ∈ −   ( )f x ω ( ]2,5 ( )2,5 82, 3      82, 3      6t x πω= + ,3 2x π π ∈ −   ,6 3 6 2 6x π ωπ π ωπ πω  + ∈ − + +   2siny t= ,3 6 2 6 ωπ π ωπ π − + +   ,3 2x π π ∈ −   ( )f x 2 2 3 T π π > − −   5 3T π> 2T π ω= 6 5 ω > 03 6 ωπ π− + < 3 2 3 6 2 3 2 2 6 2 π ωπ π π π ωπ π π − ≤ − + < −  ≤ + ≤ 2 5 2 8 3 3 ω ω < ≤ < ≤ 82 3 ω< ≤5．（2020·黑山县黑山中学高三其他（文））已知函数 （ ， ， ）的 图象与 轴交于点 ，在 轴右边到 轴最近的最高坐标为 ，则不等式 的解集是 （ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】D 【解析】 由题意得 所以 因此 ，选 D. 6．（2020·全国高三其他（文））函数 的最大值为（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0A > 0>ω | | 2 πϕ ≤ y (0, 3) y y ,212 π     ( ) 1f x > 5,6 6k k ππ π π − +   k Z∈ 5,12 6k k ππ π π − +   k Z∈ ,6 4k k π ππ π − +   k Z∈ ,12 4k k π ππ π − +   k Z∈ sin 3, 2, 12 2A A π πϕ ω ϕ= = ⋅ + = 3 πsin , 22 2 3 πϕ ϕ ϕ ω= < ∴ = = 12sin(2 ) 1 sin(2 )3 3 2x x π π+ > ⇒ + > 52 2 2 , ,6 3 6 12 4k x k k k x k k π π π π ππ π π π⇒ + < + < + ∈ ⇒ − + < < + ∈Z Z ( ) π πsin cos6 6f x x x   = − + +       3 2 1 2 6 2 4 + 6 2 2 − ( ) 3 1 3 1sin cos cos sin2 2 2 2f x x x x x= − + −， . 故选：D 7．（2020·全国高三二模（文））已知函数 与 （ ）的 图象关于 轴对称，有下列四个结论： ① 的一个周期为 ② ③ 的一个零点为 ④ 在 上单调递减 其中所有正确结论的编号是（ ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【解析】因为函数 与 （ ）的图象关于 轴对称， 所以 ， 显然①和②正确； ( )3 1 sin cos2 x x −= + 6 2 π 6 2sin2 4 2x − − = + ≤   ( ) cos 2 4f x x π = +   ( ) ( )sin 2g x x θ= + 2 0π θ− < < x ( )g x π 4 πθ = − ( )g x 3 8x π= − ( )g x ,4 4 π π −   ( ) cos 2 4f x x π = +   ( ) ( )sin 2g x x θ= + 2 0π θ− < < x ( ) cos 2 sin 2 sin 24 2 4 4g x x x x π π π π     = − + = − + + = −          ，则③正确； 由 ， 得 ， 当 时， ；当 时， ，则④错误． 故选：C． 8．（2020·辽宁高三其他（文））已知函数 的图象如图所示，令 ，则下列关于函数 的说法中不正确的是（ ） A．函数 图象的对称轴方程为 B．函数 的最大值为 C．函数 的图象上存在点 ，使得在 点处的切线与直线 ： 平行 D．方程 的两个不同的解分别为 ， ，则 最小值为 【答案】C 【解析】根据函数 f（x）＝Asin（ωx+ ）的图象知， 3 3sin 2 08 8 4g π π π    − = − − =         ( )32 2 22 4 2k x k k Z π π ππ π+ ≤ − ≤ + ∈ ( )3 7 8 8k x k k Z π ππ π+ ≤ ≤ + ∈ 0k = 3 7 8 8x π π≤ ≤ k = − 5 8 8x π π− ≤ ≤ − ( ) sin( )( 0, 0, )2f x A x A πω ϕ ω ϕ= + > > < ( ) ( ) '( )g x f x f x= + ( )g x ( )g x ( )12x k k Z ππ= − ∈ ( )g x 2 2 ( )g x P P l 3 1y x= − ( ) 2g x = 1x 2x 1 2x x− 2 π ϕA＝2， ， ∴T＝2π，ω 1； 根据五点法画图知， 当 x 时，ωx+ ， ∴ ， ∴f（x）＝2sin（x ）； ∴f′（x）＝2cos（x ）， ∴g（x）＝f（x）+f′（x） ＝2sin（x ）+2cos（x ） ＝2 sin（x ） ＝2 sin（x ）； 令 x kπ，k∈Z， 解得 x kπ，k∈Z， ∴函数 g（x）的对称轴方程为 x kπ，k∈Z，A 正确； 当 x 2kπ，k∈Z 时，函数 g（x）取得最大值 2 ，B 正确； g′（x）＝2 cos（x ）， 假设函数 g（x）的图象上存在点 P（x0，y0），使得在 P 点处的切线与直线 l：y＝3x﹣1 平行， 2 4 3 6 2 T π π π= − = 2 T π= = 6 π= 6 2 π πϕ ϕ= + = 3 πϕ = 3 π+ 3 π+ 3 π+ 3 π+ 2 3 4 π π+ + 2 7 12 π+ 7 12 2 π π+ = + 12 π= − + 12 π= − + 7 12 2 π π+ = + 2 2 7 12 π+则 k＝g′（x0）＝2 cos（x0 ）＝3， 解得 cos（x0 ） 1，显然不成立， 所以假设错误，即 C 错误； 方程 g（x）＝2，则 2 sin（x ）＝2， ∴sin（x ） ， ∴x 2kπ 或 x 2kπ，k∈Z； ∴方程的两个不同的解分别为 x1，x2 时， |x1﹣x2|的最小值为 ，D 正确． 故选 C． 9．（2020·四川省泸县第四中学高三二模（文））关于函数 有下述四个结论： ① 是偶函数；② 的最大值为 ； ③ 在 有 个零点；④ 在区间 单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【解析】对于命题①，函数 的定义域为 ，关于原点对称，且 2 7 12 π+ 7 12 π+ 3 2 2 = ＞ 2 7 12 π+ 7 12 π+ 2 2 = 7 12 4 π π+ = + 7 3 12 4 π π+ = + 2 π ( ) cos sinf x x x= + ( )f x ( )f x 2 ( )f x [ ],π π− 3 ( )f x 0, 4 π     ( )y f x= R ( ) ( )cos sinf x x x− = − + −，该函数的为偶函数，命题①正确； 对于命题②，当函数 取最大值时， ，则 . 当 时， ， 此时， ，当 ，函数 取得最大值 . 当 时， ， 此时， ，当 ，函数 取得最大值 . 所以，函数 的最大值为 ，命题②错误； 对于命题③，当 时，令 ，则 ，此时 ； 当 时，令 ，则 ，此时 . 所以，函数 在区间 上有且只有两个零点，命题③错误； 对于命题④，当 时， ，则 . 所以，函数 在区间 上单调递增，命题④错误. 因此，正确的命题序号为①④. 故选 D. 10．（2020·重庆渝北礼嘉中学高三期中（文））已知函数 的图象过点 ( )cos sin cos sinx x x x f x= + − = + = ( )y f x= cos 0x ≥ ( )2 22 2k x k k Z π ππ π− ≤ ≤ + ∈ ( )2 22k x k k Z ππ π− ≤ ≤ ∈ ( ) cos sin 2 cos 4x x xf x π = − = +   ( )2 24 4 4k x k k Z π π ππ π− ≤ + ≤ + ∈ ( )24x k k Z π π+ = ∈ ( )y f x= 2 ( )2 2 2k x k k Z ππ π< ≤ + ∈ ( ) cos sin 2 sin 4f x x x x π = + = +   ( )32 24 4k x k k Z π ππ π+ < ≤ + ∈ ( )24 2x k k Z π ππ+ = + ∈ ( )y f x= 2 ( )y f x= 2 0xπ− ≤ ≤ ( ) cos sin 0f x x x= − = tan 1x = 3 4x π= − 0 x π< ≤ ( ) cos sin 0f x x x= + = tan 1x = − 3 4x π= ( )y f x= [ ],π π− 0 4x π< < ( ) cos sin 2 sin 4f x x x x π = + = +   4 4 2x π π π< + < ( )y f x= 0, 4 π     ( ) ( )2sin 0, 2f x x πω ϕ ω ϕ = + > ω π ( ) ( )34g x f x f x π = + +   x R∀ ∈ ( ) 3g x g π ≤    ϕ 3 π 2 3 π 4 3 π 5 3 π ( )f x π ω ( )sin 2x ϕ+ ( ) ( )34g x f x f x π = + +   ( )sin 2 3 sin 24x x π ϕ ϕ  + + + +     ( ) ( )cos 2 3 sin 2x xϕ ϕ+ + + 2x ϕ+ 6 π ( ) 2sin2 6g x x πϕ= + + ， ( ) 3g x g π ≤    3 π 2x ϕ+ 6 π 2 3 π ϕ× + 6 π k2 π π+ Z) ϕ k3 π π− + Z) 2 3 πϕ = 2( ) 2cos 3sin 2f x x x= − ABC , ,A B C , ,a b c A ( ) 1f A = − 6a = ABCA． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， 为三角形内角，则 ， ，当且仅当 时取等号 13．（2020·辽宁高三三模（文））已知 为锐角，且 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ， ，所以 ， 所以 . 故选：C. 14．（2020·岳麓高三三模（文））设 ,且 ,则 （ ） A． B． C． D． 3 3 3 3 2 3 4 2 3 2( ) 2cos 3sin 2f x x x= − = cos2 3sin 2 1 2cos 2 13x x x π − + = + +   ( ) 2cos 2 1 1 cos 2 13 3f A A A π π   = + + = − ⇒ + = −       A 3A π= 6a = 2 2 2 2 22 cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc= + − = + − ≥ − = b c= 1 1 3 3 3sin 62 2 2 2ABCS bc A= ≤ × × =  α 3sin2 2sinα α= cos2α 2 3 2 9 1 3 − 4 9 − 2 3sin cos 2sinα α α= sin 0α ≠ 3cos 3 α = 2 2 1cos2 2cos 1 13 3 α α= − = − = − , , (0, )2A B C π∈ cos cos cos ,sin sin sinA B C A B C+ = − = C A− = 6 π− 3 π− 3 π -3 3 π π或【答案】B 【解析】因为 ，故 ， ， 同理 ， 所以 即 . 因为 ，故 ， ， 根据 得到 ，因 ， 故 ，故 ，故选 B. 15．（2020·安徽高三三模（文））在△ABC 中，若 ，则（ ） A．C 的最大值为 B．C 的最大值为 C．C 的最小值为 D．C 的最小值为 【答案】A 【解析】由题可知， ， 所以 ， 由正弦定理知， ，所以 ， cos cos cosA B C+ = cos cos cosB C A= − 2 2 2cos 2cos cos cos cosC C A A B− + = 2 2 2sin 2sin sin sin sinC C A A B− + = ( )1 2 cos cos sin sin 0A C A C− + = ( ) 1cos 2C A− = , 0, 2C A π ∈   ,2 2C A π π − ∈ −   3C A π− = ± sin sin sinA B C= + sin sinA C> , 0, 2C A π ∈   C A< 3C A π− = − 1 1 1 12sin sin tan tan  + = +  A B A B 3 π 2 3 π 3 π 6 π 1 1 1 1 cos cos2 2sin sin tan tan sin sin A B A B A B A B  + = + =     +   ( ) ( )sin sin 2 sin cos cos sin 2sin 2sinB A B A B A A B C+ = + = + = sin sin sin a b c A B C = = 2b a c+ =由均值不等式可知， ， 由余弦定理知， ， 因为 ，所以 ，即 的最大值为 ． 故选：A． 16．（2020·高三二模（文））在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， ，即 ， 、 均为锐角且 ， 故选：B． 17．（2020·深圳市高级中学高三月考（文））将函数 的图象向右平移 个单 位，得到函数 的图象，则函数 的一个极大值点为（ ） ( )2 2 4 a bab c +≤ = 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 1cos 1 12 2 2 2 2 a b c c ab c cC ab ab ab c + − −= = = − ≥ − = ( )0,C π∈ 0 3C π< ≤ C 3 π ABC A B C a b c cos cos 3 ca B b A− = cos cos cos a B a A b B+ 2 2 2 3 2 2 3 3 cos cos 3 ca B b A− = ( ) ( )3 sin cos sin cos sin sin sin cos sin cosA B B A C A B A B B A∴ − = = + = + tan 2tanA B= A∴ B cos sin cos cos cos sin cos sin cos a B A B a A b B A A B B =+ + 1 1 1 1 2 cos sin 2cos sin tan 12 2 2cos sin cos sin tan 2 A B A B B B A B A A = = = = + ⋅ ≤ ( ) 22cos cos 2 2f x x x π = − +   4 π ( )y g x= ( )y g x=A． B． C． D． 【答案】B ，故 .令 ，得 ，取 ，可得 为极大值点. 故选：B. 18．（2020·四川省泸县第一中学高三三模（文））若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为 ，由题设可得 在 上恒成立，令 ，则 ，又 ，且 ，故 ，所以问题转化为不等式 在 上恒成立，即不等式 在 上恒成立．令函数 ，则 ，应选答案 D． 8 π 3 8 π 5 8 π 7 8 π ( ) cos2 1 sin 2 2 sin 2 14f x x x x π = + + = + +   ( ) 2 sin 2 14g x x π = − +   2 2 ,4 2 π π π− = + ∈x k k Z 3 ,8x k k Z π π= + ∈ 0k = 3 8x π= ( ) ( ) ( )1 cos2 3 sin cos 4 12f x x a x x a x= + − + − ,02 π −   a 1 ,17      11, 7  −   ] [1, 1,7  −∞ − ∪ +∞   [ )1,+∞ / ( ) sin 2 3 (cos sin ) 4 1f x x a x x a= − + + + − sin 2 3 (cos sin ) 4 1 0x a x x a− + + + − ≥ [ ,0]2 π− cos sint x x= + 2sin 2 1x t= − cos sin 2 sin( )4t x x x π= + = + 4 4 4x π π π− ≤ + ≤ 2 2sin( ) [ 1,1]2 4 2x t π− ≤ + ≤ ⇒ ∈ − 2 3 4 0t at a− + + ≥ [ 1,1]− 2 3 4 0t at a− − ≤ [ 1,1]− 2( ) 3 4 , [ 1,1]h t t at a t= − − ∈ − 1( 1) 0{ { 17(1) 0 1 h a ah a − ≤ ≥⇒ ⇒ ≥≤ ≥19．（2019·江西高三一模（文））函数 在 上的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 ， 设 ， ，则 ，可得 ， ，二次函 数 图象的开口方向向上，对称轴为直线 ， 所以，二次函数 在区间 上单调递增， 当 时， ，当 时， ， 因此，函数 在 上的值域为 . 故选 C. 20．（2019·四川高三二模（文）） 中，若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ( ) 3sin cos cos 2 3f x x x x π = + − +   [ ]0,π 1 ,32      [ ]1,1− [ ]1,3− [ ]2,1− ( ) 23sin cos cos 2 2 sin 1 2sin3 6 6f x x x x x x π π π     = + − + = + − + +           sin 6t x π = +   [ ]0,x π∈ 7 6 6 6x π π π≤ + ≤ 1 sin 12 6x π − ≤ + ≤   [ ]0,1t∴ ∈ 22 2 1y t t= + − 1 2t = − 22 2 1y t t= + − [ ]0,1 0t = min 1y = − 1t = max 3y = ( )y f x= [ ]0,π [ ]1,3− ABC∆ ( )4sin sin 2cos 1A C A C− − = sin 2sinA C+ ( )0 5， (0 7， 3 52      ， 3 72      ， ( ) ( )4sin sin 2cos 4sin sin 2cos cos 2sin sin 2 cos cos sin sinA C A C A C A C A C A C A C− − = − − = − −所以 ，即 .注意到 ，所以 ， ，则 ， 其中取 且 ， .由 知， ， ， 故 ，所以 ， 故选：D． 二、填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 21．（2020·黑龙江萨尔图高三月考（文））设 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边. 已知 ，则 的取值范围为______. 【答案】 【解析】 因为 ，所以 ， 所以 ， ( )2cos 1A C+ = − 1cos 2B = 0 B π< < 3B π= 2 3C A π= − ( )2sin 2sin sin 2sin 2sin 3 cos 7sin3A C A A A A A π θ + = + − = + = +   0 2 πθ< < 3sin 7 θ = 2cos 7 θ = 20 3A π< < 2 3A πθ θ θ< + < + 2 2 2 3 2 1 3 21sin( ) sin cos cos sin3 3 3 2 2 147 7 π π πθ θ θ+ = + = × − × = ( )21 sin 114 A θ< + ≤ 3sin 2sin 72A C  + ∈   ， a b c ABC∆ A B C 2 3 3 cos cos a b c B C − = 2 2 2a c b ac + − ( ) ( )3,0 0,2−  2 3 3 cos cos a b c B C − = ( ) ( )2 3 cos 3 cos cos cos 0a b C c B B C− = ⋅ ≠ ( )2sin 3sin cos 3sin cosA B C C B− =即 ，又 ，所以 ， 则 ，因为 ，所以 ， 而 ，故 . 故答案为： ． 22．（2020·湖北武汉高三其他（文））设函数 的图象关于直线 对称，它的周期为 ，则下列说法正确是________（填写序号） ① 的图象过点 ； ② 在 上单调递减； ③ 的一个对称中心是 ； ④将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象. 【答案】③ 【解析】 函数 的最小正周期是 ，所以 ，则 ( )2sin cos 3sin 3sinA C C B A= + = sin 0A > 3cos 2C = 6C π= cos 0B ≠ 50, ,2 2 6B π π π   ∈       2 2 2 2cosa c b Bac + − = ( ) ( )2 2 2 3,0 0,2a c b ac + − ∈ −  ( ) ( )3,0 0,2−  ( ) 2sin( ) 0,0 2f x x πω ϕ ω ϕ = + > < ∈     π 2 2 πω π= =， 又 图象关于直线 对称， 所以对称轴为 ，代入可得 ，解得 ， 因为 ，所以当 时， ，则 ， 对于①，当 时， ， 的图象不过点 ，所以①不正确； 对于②， 的单调递减区间为 ，解得 ， 当 时， ，又因为 ，则 在 上不是减函数，所以②错误； 对于③， 的对称中心为 ，解得 ，当 时， ，所以 是 的一个对称中心，所以③正确； 对于④，将 向右平移 个单位长度，可得 ，所以不能得到 的图象，所以④错误. 综上可知，正确的为③. ( ) ( )2sin 2f x x ϕ= + ( ) ( )2sin 2f x x ϕ= + 2 3x π= 2 ,2x k k Z πϕ π+ = + ∈ 22 ,3 2 k k Z π πϕ π× + = + ∈ 5 ,6 k k Z πϕ π= − + ∈ 0, 2 πϕ  ∈   1k = 6 π=ϕ ( ) 2sin 2 6f x x π = +   0x = ( )0 2sin 16f π= = ( )f x 30, 2      ( ) 2sin 2 6f x x π = +   32 2 2 ,2 6 2k x k k Z π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈ 2 ,6 3k x k k Z π ππ π+ ≤ ≤ + ∈ 0k = 2 6 3x π π≤ ≤ 12 6 π π< ( )f x 2,12 3 π π     ( ) 2sin 2 6f x x π = +   2 ,6x k k Z π π+ = ∈ ,12 2 kx k Z π π= − + ∈ 1k = 5 12x π= 5 ,012 π     ( )f x ( ) 2sin 2 6f x x π = +   6 π 2sin 2 2sin 26 6 6y x x π π π    = − + = −         2sin 2y x=故答案为: ③. 23．（2020·湖南天心长郡中学高三其他（文））若 ，则 __________. 【答案】 【解析】 ， ，则 . . 故答案为： . 24．（2020·高三月考（文））已知函数 的部分 图象如下图所示，若 是函数 图象的一个最高点， ，将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则当 时，函数 的值域为_________． 【答案】 【解析】依题意得： ， 设函数 的最小正周期为 ，则 sin 2cosα α= ( ) 2 2sin 2 2cos 2 sin 4 α α π α − =− 1 12 sin 2cosα α= tan 2α∴ = 2 2tan 4tan 2 1 tan 3 αα α= = −− ( ) 2 2 2 2 2 2 2sin 2 2cos 2 sin 2 2cos 2 sin 2 2cos 2 tan 2 2 sin 4 sin 4 2sin 2 cos2 2tan 2 α α α α α α α α α α α α − − − −∴ = = =π − 24 2 13 4 122 3  − −  = = × −   1 12 ( ) cos( )( 0, 0,| | )2f x A x A πω ϕ ω ϕ= + > > < 3π( ,4)4A ( )f x 15π( ,0)4B − ( )f x 4 π ( )g x ( π,2π)x∈ − ( )g x ( 2,4]− 4A = ( )f x T， 故 . 因为 ，所以 ， 故 ， 故 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 即函数 的值域为 ． 故答案为： . 25．（2020·四川达州高三一模（文））函数 ， 的部分图象如图，点 ， 的坐标分别是 ， ，则 __． 【答案】 ( ) 2sin( )( 0f x xω ϕ ω= + > 3π 15π 3 2π 1( ) 6π4 4 4 6π 3 T T ω− − = ⇒ = ⇒ = = 3π 1 2 π( )4 3 k kϕ× + = ∈Z | | 2 ϕ π< 4 πϕ = − 1 π( ) 4cos( )3 4f x x= − 1 π π 1 π( ) 4cos[ ( ) ] 4cos( )3 4 4 3 3g x x x= − − = − ( π,2π)x∈ − 2π 1 π π 3 3 3 3x− < − < 1 1 πcos( ) 12 3 3x− < − ≤ 2 ( ) 4g x− < ≤ ( )g x ( 2,4]− ( ]2,4− | | )2 πϕ < A B (0, 3) 8 ,03      ( )1f = 2 6 2 +【解析】由题意得 ，得 ， ， ， 则 ， 由五点对应法得 ， 得 ，得 ， 则 ， 则 ， 故答案为： 26．（2019·辽宁和平沈阳铁路实验中学高三月考（文））设函数 ，则下列结论正确的 是______ 写出所有正确命题的序号 函数 的递减区间为 ； 函数 的图象可由 的图象向左平移 得到； 函数 的图象的一条对称轴方程为 ； 若 ，则 的取值范围是 ． 【答案】 (0) 2sin 3f ϕ= = 3sin 2 ϕ = | | 2 πϕ 1 3sin 602 2S xy= = 2xy = 2 2 2 2 cos60DE x y xy= + −  2 2 5x y+ = 2x = 1y = AB DCF∆ 30DCF∠ = 由正弦定理可得， ， ∴ ， ∵ 是边 上一点，所以 ， ∴ ，因为 , 所以 , 由两角和的余弦公式可得， ， 所以 即为所求. 36．（2019·安徽省太和中学高三月考（文））设函数 的图象的 相邻两条对称轴的距离为 . （1）求 的值； （2）求 在区间 上的最大值和最小值. 【答案】（1） ；（2）最大值和最小值分别为 . 【解析】（1）由题可知： ， 则 ， sin sin30 CF DF CDF =∠  4sin sin30 5 CFCDF DF ∠ = = E BC 60CDE CDB∠ ≤ ∠ =  3cos 5CDF∠ = ( )30DFC CDFπ∠ = − ∠ +  ( ) ( )cos cos 30 cos 30DFC CDF CDFπ ∠ = − ∠ + = − ∠ +   ( )cos 30 cos cos30 sin sin30CDF CDF CDF∠ + = ∠ − ∠   3 3 4 1 3 3 4 5 2 5 2 10 −= × − × = cos DFC∠ = 4 3 3 10 − ( ) ( )12 cos cos 04 2f x x x πω ω ω = + − >   2 π ω ( )f x ,4 4 π π −   1ω = 2 1,2 2 − ( ) ( ) 1cos cos sin 2f x x x xω ω ω= − − ( ) 2 1cos sin cos 2f x x x xω ω ω= − −则 ， 由 图象上相邻两条对称轴的距离为 ，则 ， 又 ， ，则 ； （2）由（1）知 . 当 时， ， 所以 ，因此 ， 故 在区间 上的最大值和最小值分别为 . 37．（2018·广东海珠广州六中高三期中（文））已知向量 ， ，设函数 . （1）求函数 的最小正周期. （2）已知 ， ， 分别为三角形 的内角对应的三边长， 为锐角， ， ，且 恰是 函数 在 上的最大值，求 和 . 【答案】（1） （2） 或 【解析】（1）由题意可得， ( ) 1 cos2 1 1 2sin 2 cos 22 2 2 2 4 xf x x x ω πω ω+  = − − = +   ( )y f x= 2 π T π= 0>ω 2 2T π πω= = 1ω = ( ) 2 cos 22 4f x x π = +   4 4x π π− ≤ ≤ 324 4 4x π π π− ≤ + ≤ 2 cos 2 12 4x π − ≤ + ≤   ( )1 2 2 2f x− ≤ ≤ ( )f x ,4 4 π π −   2 1,2 2 − (cos , 1)m x= − 13sin , 2n x = −    ( ) ( )f x m n m= + ⋅   ( )f x a b c ABC A 1a = 3c = (A)f ( )f x 0, 2 π     A b π , 16A b π= = 2b = 的最小正周期为 （2）由（1）知 又 恰是函数 在 上的最大值 A 为锐角，故 由余弦定理可得： 解得： 或 2( ) ( ) ( )f x m n m m m n= + ⋅ = + ⋅      2 1cos 1 3sin cos 2x x x= + + + cos2 1 3 11 sin 22 2 2 x x += + + + sin(2 ) 26x π= + + ( )f x∴ 2 2T π π= = ( ) sin(2 ) 26f x x π= + + (A)f ( )f x 0, 2 π     2 6 2 6A A π π π+ = ∴ = 2 2 31 3 2 3 2b b= + − × × 1b = 2b =