专题2.2 解三角形-2021年高考数学（理）尖子生培优题典（解析版）

2021 学年高考数学（理）尖子生同步培优题典 专题 2.2 解三角形 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2020·广东禅城高三月考（理））在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 余弦定理得 代入原式得 解得 则形状为等腰或直角三角形,选 D. 2．（2020·全国高三其他（理））在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ， ，则实数 的最大值是（ ） A． B． C． D． ABC A B C a b c cos (2 )cosc a B a b A− = − ABC 2 2 2 2 2 2 cos ,cos2 2 c b a c a bA Bbc ac + − + −= = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,2 2 2 2 2 c a b c b a c b a c a b c b aac bc c ac bc − + + − + − − + + −= − = 2 2 2 0a b c a b或= − + = ABC A B C a b c 2 3 sinc b A= λ=b a λ 3 32 3 32 + 2 3 2 3+【答案】D 【解析】解：由余弦定理，得 ，结合 ， 得 ， 解得 ， 即 ， 则当 时， ． . 故选：D． 3．（2020·全国高三一模（理））已知左、右焦点分别为 ， 的双曲线 （ ， ）上 有一点 ， ，若 ，则该双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 或 【答案】D 【解析】由双曲线的定义有 ，又 ，故 ， . 又 ，所以 ， 在焦点三角形 中， ， 2 2 2 2 cosa c b b A= + − 2 3 sinc b A= 2 2 2 212 sin 2 2 3 sin cosa b A b b b A A= + − ⋅ 2 2 2 12sin 1 2 3sin 2a A Ab = + − 2 2 7 4 3sin 2 3 a Ab π = − +   12A π= 2 2 2 max 1 (2 3) 7 4 3 b a   = = +  −  max max( ) 2 3b a λ = = + 1F 2F 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > P 2 1 1 2PF PF= 1 2 3sin 2F PF∠ = 3e = 5e = 7e = 3e = 7e = 1 2 2PF PF a− = 1 22PF PF= 2 2PF a= 1 4PF a= 1 2 3sin 2F PF∠ = 2 1 2 3 1cos 1 2 2F PF  ∠ = ± − = ±    1 2F PF 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 cosFF PF PF PF PF FPF= + − ⋅ ⋅ ∠即 ，化简得 或 ，即 或 .故选：D. 4．（2019·上海市七宝中学高三期末）在△ABC 中，a2tanB=b2tanA，则△ABC 是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 ，故 ，即 . 故 或 ，即 或 . 故选： . 5．（2019·安徽省怀宁中学高三月考（理））阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚 历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值 的动点的轨迹.已知在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ， ，则 面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意， ，得 ， 即 ，以 边所在的直线为 轴， 的垂直平分线为 轴 建立直角坐标系，则 ，设 ， 由 ，则 的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为 2 22 14 2 4 24 6 21 a a ac a  + − ⋅ ⋅ ⋅ ±   = 2 23c a= 2 27c a= 3e = 7e = 2 2tan tana B b A= 2 2tan tain ns sinB B AA =⋅ ⋅ sin 2 sin 2A B= 2 2A B= 2 2A B π+ = A B= 2A B π+ = D ( 0, 1)λ λ λ> ≠ ABC∆ sin 2sinA B= cos cos 2a B b A+ = ABC∆ 2 3 4 3 5 3 sin 2sinA B= 2BC AC= 2 2 2 2 2 2 cos cos 22 2 a c b b c aa B b A cc c + − + −+ = + = = 2AB = AB x AB y (1,0), ( 1,0)A B − ( , ), 0C x y x ¹ 2BC AC= C，边 高的最大值为 ， ∴ . 故选:C 6．（2020·全国高三三模（理））已知 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ，则角 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ， 可得 ， 即 ，所以 ， 由正弦定理，可得 ， 由余弦定理，可得 ， 又因为 ，故 ，则 B 的最大值为 . 故选：B. 7．（2020·河北桃城衡水中学高三其他（理））在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 且 ， .若 是边 上一点，且 ， ，则 的面积为（ ） A． B． C．8 D．12 2 25 16( ) , 03 9x y x- + = ¹ AB 4 3 max 4( ) 3ABCS∆ = ABC A B C a b c sin cos cos sin sin3 a B C c A B Ac + = B 3 π 2 3 π 6 π 55 6 π sin cos cos sin sin3 a B C c A B Ac + = ( )sin sin cos cos sin 3sin sinB A C A C C A+ = sin sin( ) 3sin sinB A C C A+ = 2sin 3sin sinB A C= 2 3b ac= 2 2 2 2 2 3 1cos 2 2 2 a c b a c acB ac ac + − + −= = ≥ − ( )0,B π∈ 20, 3B π ∈   2 3 π ABC A B C a b c 2 3C π= 2 12a b+ = D AB 2BD AD= 3CD = ABC 21 8 21 3 8【答案】B 【解析】如图，过点 作 交 于点 ，则 . 由 ，得 ， . 在 中，由余弦定理，得 ， 整理得 ，结合 ，解得 ， 所以 的面积 . 故选：B. 8．（2020·江西东湖高三其他（理））在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 ( ) A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，展开得 ，由正弦定理化简得 D //DE AC BC E 3CED π∠ = 2BD AD= 3 aCE = 2 3 bDE = CDE△ 2 22 29 2 cos3 3 3 3 3 a b a b π   = + − × × ×       ( )22 6 81a b ab =−+ 2 12a b+ = 21 2ab = ABC 1 21 3sin2 8S ab C == ABC∆ , , , 3, 2 3, sina b c a c b A= = = cos ,6a B b π + =   则 2 3 5 sinb A = cos 6a B π +   sinb A = 3 1 cos sin2 2a B a B− ，整理得 即 ，而三角形中 0 ⇒ < ( ) 0f t′ < ( )f t 1 2C C∴ 2t = 2sin 2ABC∠ = 1 1 2sin 4 22 2 2ABCS ac ABC∴ = ∠ = × × =  ABC，设 D 是 BC 边的中点，且 的面积为 ，则 等于 　　 A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】∵ ，， ∴由正弦定理可得： ，整理可得：b2+c2﹣a2=-bc， ∴由余弦定理可得：cosA= ，∴由 A∈（0，π），可得：A= ，又 的面积为 ，即 ,∴bc=4, 又 = - = - = - = = =-bccosA=2. 故选 A. 二、填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 16．（2019·岳麓高三月考（理））在锐角 中， ， ，则中线 AD 长的取值范围是_______; 【答案】 ( ) ( ) ( )( )sin sin sinb c A C a c A C+ + = + − ABC 3 ( )AB DA DB⋅ +   ( ) 4− 2− ( ) ( ) ( )( )sin sin sinb c A C a c A C+ + = + − ( ) ( )b a cb c a c+ = + −（ ） 1 2 − 2 3 π ABC 3 1 2 32 3bcsin π = ( ) ( ) ( )• •AB DA DB DB DA DA DB+ = − +       2DB 2DA 2 4 CB ( )2 4 AB AC+  ( )2 4 AB AC−  ( )2 4 AB AC+  4 • 4 AB AC−   •AB AC−  ABC∆ 2BC = sin sin 2sinB C A+ = 133 2      ，【解析】设 ， ，对 运用正弦定理，得到 ，解得 ，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组 ，解得 ，故 ，结合二次函数性质，得到 ，运用向量得到 ， 所以 ，结合 bc 的范围，代入，得到 的范围为 17．（2020·河南高三月考（理））在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 是 的中 点，若 ，且 ，则当 取最大值时 的周长为 _________． 【答案】 【解析】如图，设 ，则 ． 在 和 中，分别由余弦定理可得 ， ， ,AB c AC b= = 2BC a= = sin sin 2sinB C A+ = 2 4b c a+ = = 4c b= − ( ) ( ) ( ) 22 2 2 22 2 22 2 4 4 4 4 4 4 4 b c b b c b b b c b  + = + − > + = − + >  + > = − 3 5 2 2b< < ( ) 24 4bc b b b b= − = − + 15 44 bc< ≤ ( )1 2AD AB AC= +   2 22 2 2 21 1 42 cos 22 2 2 b cAD AB AC AB AC b c bc bc θ + −= + + ⋅ ⋅ = + + ⋅     2 21 12 2 4 28 42 2b c bc= + − = − AD 133, 2      ABC A B C a b c D AB 1CD = ( )( )1 sin sin sin2a b A c b C B − = + −   ab ABC 4 10 2 15 5 + CDA θ∠ = CDB π θ∠ = − CDA CDB△ 2 214cos c b c θ + − = ( ) 2 214cos c a c π θ + − − =又 所以 ， 所以 ，① 由 及正弦定理得 ， 整理得 ，② 由余弦定理的推论可得 ，所以 ． 把①代入②整理得 ， 又 ，当且仅当 时等号成立， 所以 ， 所以 ，即 时等号成立． 此时 ，即 ， 所以当 取最大值时 的周长为 ． cos( ) cosπ θ θ− = − ( )2 2 22 02 c a b+ − + = ( )2 2 22 4c a b= + − ( )( )1 sin sin sin2a b A c b C B − = + −   ( )( )1 2a b a c b c b − = + −   2 2 2 2 aba b c+ − = 2 2 2 1cos 2 4 a b cC ab + −= = 15sin 4C = 2 2 42 aba b+ + = 2 2 2a b ab+ ≥ a b= 54 2 2 2 ab abab≥ + = 8 5ab ≤ 2 10 5a b= = 2 8 8 122 45 5 5c  = + − =   2 15 5c = ab ABC 4 10 2 15 5 +故答案为： 18．（2019·安徽庐阳高三其他（理））角 A 为 的锐角 内接于半径为 的圆，则 的取值范围为________． 【答案】 【解析】 ， ． ． 其中锐角 满足： ． 又 为锐角三角形， ， ， 由 ，知： ， ， ， 4 10 2 15 5 + 60° ABC 3 2b c+ (4 3,2 21] sin2 a AR = 2 3sin 60 3a∴ = ° = 2 2 sin 4 sin 2 (sin 2sin )b c R B R C R B C∴ + = + = + 22 sin 2sin 3R B B π  = + −     2 (2sin 3 cos )R B B= + ( )02 21sin B θ= + 0 θ 0 3tan 2 θ = ABC 6 2B π π∴ < < 0 0 06 2B π πθ θ θ∴ + < + < + 06 4 π πθ< < 0 00 2 6 2 π π πθ θ< − < + < 0 0 0sin sin sin2 2 6 π π πθ θ θ     ∴ + = − < +           ( )0 0sin sin 12 B π θ θ ∴ + < + ≤  又 ． ， ． 故答案为: . 19．（2019·西夏宁夏育才中学高二月考（理））在平面直角坐标系 中，已知 的顶点 ，顶点 在椭圆 上， _____________ 【答案】 【解析】 由题意椭圆 中． 故 是椭圆的两个焦点， ，由正弦定理得 20．（2019·广东汕头高三期末（理）） 中， ， ， ，D 是 BC 上一点且 ，则 的面积为______． 【答案】 【解析】 ， ， ， 0 0 2sin cos2 7 π θ θ + = =   ( )0 2 sin 1 7 B θ∴ < + ≤ 4 3 2 2 21b c∴ < + ≤ (4 3,2 21] xoy ABC∆ ( 4,0), (4,0)A C− B 2 2 125 9 x y+ = sin sin sin A C B + = 5 4 2 2 125 9 x y+ = 5 3 4a b c= = =， ， ， ( ) ( )4,0 , 4,0A C− 2 10 8AB BC a AC，∴ + = = = 2sin sin sin a b c rA B C = = = ， sin sin 10 5 sin 8 4 A C a c AB BC B b AC + + +∴ = = = = ABC 2 3BC = 3AC = 2A B= AD AC⊥ ABD 2 10 2 3BC = 3AC = 2A B=在 中，由正弦定理 ，可得： ， 解得： ，可得： ， ， ， ，可得： ， ， 在 中，由余弦定理可得： ， 解得： ，或 3． ， ，可得： ，可得： ，与 矛盾， ， 在 中，由正弦定理 ，可得： ， ．故答案为 ． 21．（2019·安徽马鞍山高三二模（理））在 中， 点 在线段 上，且 ， ∴ ABC sin sin BC AC A B = 2 3 3 2 3 sin sin 2sin cosA B B B = = ∴ 3cos 3B = 2 6sin 1 cos 3B B= − = 2 1cos cos2 2cos 1 3A B B∴ = = − = − AD AC⊥ 1sin sin cos2 3BAD A A π ∴ ∠ = − = − =   2 2 2cos 1 sin 3BAD BAD∠ = − ∠ = ( ) 1 3 2 2 6 5 3sin sin 3 3 3 3 9ADB BAD B∴ ∠ = ∠ + = × + × =  ABC 2 2 2 33 (2 3) 2 2 3 3AB AB= + − ⋅ ⋅ 1AB = 3AB AC= = 2A B= 1 2 4B C A π= = = 2 23 3 3 2BC = + = 2 3BC = 1AB∴ = ∴ ABD sin sin AB AD ADB B =∠ sin 3 2 sin 5 AB BAD ADB ⋅= =∠ 1 1 1 2sin2 2 3 10ABDS AB AD BAD AB AD∴ = ⋅ ⋅ ∠ = × × × =  2 10 ABC 60 ,BAC∠ = ° D BC 3BC BD=，则 面积的最大值为__________． 【答案】 【解析】设 ， 所以 , 在 中，由余弦定理可知： ， 在 中，由余弦定理可知： ， ， ① 在 中，由余弦定理可知： ， ②, 由①②可得 ，③ 因为 ④（当且仅当 等号成立），把③代入④中得 ， 面积 . 三、解答题（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22．（2020·雅安市教育科学研究所高三一模（理））在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 . （1）求角 的大小； （2）若 ，求 的最大值. 2AD = ABC 3 3 2 , ,AB c AC b BD x= = = 3BC BD= 2CD x= ABD∆ 2 24cos 4 x cADB x + −∠ = ADC∆ 2 24 4cos 8 x bADC x + −∠ = cosADB ADC π∠ + ∠ = ∴ cos cos 0ADB ADC∠ + ∠ = ( )2 2 21 2 126x c b∴ = + − ABC∆ ( )2 2 23 2 cosx b c bc BAC= + − ⋅ ∠ ( )2 2 21 9x b c bc= + − ( ) ( )22 2 24 2 36 2 2 36b c bc b c c b+ + = ⇒ + + ⋅ = ( )22 2 2 2 4b c b c bc+ ≥ ⋅ = " 2 "b c= 6bc ≤ ABC∆ 1 3 3 3sin2 4 2S bc BAC bc= ⋅ ∠ = ≤ ABC∆ A B C a b c 1cos 2a C c b+ = A 3a = b c+【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由 ，根据正弦定理有： . 所以 ，所以 . 因为 为三角形内角，所以 ，所以 ，因为 为三角形内角，所以 . （2）由 ， ，根据正弦定理有： ， 所以 ， . 所以 . 当 时，等号成立.所以 的最大值为 . 另解：（2）由 ， ，根据余弦定理有： ， 即 .因为 ， 所以 .即 ，当且仅当 时，等号成立. 所以 的最大值为 . 23．（2020·福建福州（理））如图，已知 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ，点 是 的中点， ，交 于点 ，且 ， . 3A π= 2 3 1cos 2a C c b+ = 1sin cos sin sin2A C C B+ = ( )1sin cos sin sin sin cos cos sin2A C C A C A C A C+ = + = + 1 sin cos sin2 C A C= C sin 0C ≠ 1cos 2A = A 3A π= 3a = 3A π= 2sin sin sin b c a B C A = = = 2sinb B= 2sinc C= 22sin 2sin 2sin 2sin3b c B C C C π + = + = − +   3 cos 3sinC C= + 2 3sin 2 36C π = +   3C π= b c+ 2 3 3a = 3A π= ( )2 2 23 2 cos 3b c bc π= + − 2 23 b c bc= + − ( )22 2 3b c bc b c bc+ − = + − ( ) ( )22 2 3 2 4 b cb cb c ++ + − =   ( )2 3 4 b c+  2 3b c+  3b c= = b c+ 2 3 ABC△ A B C a b c sin ( )sin sina A c a C b B+ − = D AC DE AC⊥ AB E 2BC = 6 2DE =（1）求 ； （2）求 的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】 ，由 得 ， 由余弦定理得 ， ， : （2）连接 ，如下图： 是 的中点， ， ， ， 在 中，由正弦定理得 ， ， ， B ABC△ 60B °= 3 3 2 + ( )sin sin sina A c a C b B+ − = sin sin sin a b c A B C = = 2 2 2a c ac b+ − = 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac + −= = 0 B π< ( )f x ABC ( ) 2f B = 3b = 2 ca − , ,6 3k k k π ππ π − + ∈   Z 30, 2      ( ) 3sin cos 2sin 6f x x x x πω ω ω = − = −   2T π πω= = 2ω = ( ) 2sin 2 6f x x π = −   2 2 22 6 2k x k π π ππ π− ≤ − ≤ + k ∈Z 6 3k x k π ππ π- £ £ + ( )f x , ,6 3k k k π ππ π − + ∈   Z ( ) 2si 2n 2 6f B B π − =   = 0 2B π< < 526 6 6B π π π− < − < 2 6 2B π π− = 3B π=由正弦定理 得 ， ， 所以 . ∵锐角三角形，∴ ， ， ∴ ， ∴ ，∴ 27．（2019·辽宁高三一模（理））已知 a，b，c 分别为 三个内角 A，B，C 的对边，S 为 的面积， ． （1）证明： ； （2）若 ，且 为锐角三角形，求 S 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】(1)证明：由 ，即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 2sin sin sin a c b A C B = = = 2sina A= ( )2sin 2sinc C A B= = + 3 32sin sin sin cos2 3 2 2 ca A A A A π − = − + = −   3sin 6A π = −   0 2A π< < 20 3 2C A π π< = − < ,6 2A π π ∈   0,6 3A π π − ∈   30,2 2 ca  − ∈   ABC ABC ( ) 2 2 2sin SB C a c + = − 2A C= 2b = ABC 3 ,22       ( ) 2 2 2sin SB C a c + = − 2 2 2sin SA a c = − 2 2 sinsin bc AA a c ∴ = − sin 0A ≠ 2 2a c bc∴ − = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 2 cosa c b bc A∴ − = − 2 2 cosb bc A bc∴ − = 2 cosb c A c∴ − = sin 2sin cos sinB C A C∴ − = ( )sin 2sin cos sinA C C A C∴ + − = sin cos cos sin sinA C A C C∴ − =， ，B， ， ． (2)解： ， ， ． 且 ， ， ， 为锐角三角形， ， ， ， 为增函数， ． 28．（2020·河南南阳中学高三月考（理））已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c． （1）若 的面积 ，求 a+c 值； ( )sin sinA C C∴ − = A ( )0,C π∈ 2A C∴ = 2A C= 3B Cπ∴ = − sin sin3B C∴ = sin sin a b A B = 2b = 2sin2 sin3 Ca C ∴ = ( ) 2 1 2sin2 sin 2sin2 sin 2tan2 tan 4tan 4sin 32 sin 2 sin2 cos cos2 sin tan2 tan 3 tan tantan C C C C C C CS ab C C C C C C C C C C CC ∴ = = = = = =+ + + − − ABC 2 0, 2 3 0, 2 0, 2 A C B C C π ππ π   = ∈      ∴ = − ∈      ∈    ,6 4C π π ∴ ∈   3tan ,13C  ∴ ∈    4 3 tantan S CC = − 3 ,22S  ∴ ∈    73B b ABC π= = ， ， 3 3 2S =（2）若 2cosC（ + ）=c2，求角 C． 【答案】（1）5（2） 【解析】解：（1）∵ 的面积 ， ∴ = acsinB= ac，可得：ac=6， ∵由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB，可得：7=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（a+c）2-18， 解得：a+c=5． （2）∵2cosC（ + ）=c2， ∴2cosC（accosB+bccosA）=c2，可得：2cosC（acosB+bcosA）=c， ∴由正弦定理可得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，即 2cosCsinC=sinC， ∵sinC≠0， ∴cosC= ， ∵C∈（0，π）， ∴C= ． BA BC⋅  AB AC⋅  3 π 73B b ABC π= = ， ， 3 3 2S = 3 3 2 1 2 3 4 BA BC⋅  AB AC⋅  1 2 3 π