2020 北京人大附中高三（上）8 月练习
数学
本试卷共 4 页，150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，则 A∩B=（ ）
A. {0} B. {1} C. {1，2} D. {0，1，2}
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简集合 A，再利用交集的运算求解.
【详解】由题意得 A={x|x≥1}，B={0，1，2}，
∴A∩B={1，2}．
故选：C
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.
2. 已知 i 为虚数单位，若 iz=−1+i，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的运算求出 以及对应复平面内的点，即可得出答案.
【详解】 ，则复数 在复平面内对应的点为
即复数 z 在复平面内对应的点位于第一象限
故选：A
【点睛】本题主要考查了根据复数的几何意义求复数所在象限，属于基础题.
3. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，其体积
为（ ）
z
2
2
1 1i i iz ii i
− + −= = = +− z (1,1)A. 1 B.
C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，由棱柱的体积公式进行计算可得答案.
【详解】根据三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱如图，等腰直角三角形斜边上的高为 1，
斜边长为 2，棱柱的高为 2，则棱柱的体积 ,
故选：C
【点睛】本题考查根据三视图求几何体的体积问题，考查空间想象能力，属于基础题.
4. 展开式中 项的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二项展开式的通项求解即可.
【详解】 的展开式通项为 ，
2
2 2
1 2 1 2 22V = × × × =
6
3
12x
x
−
2x
160− 20− 20 160
6
3
12x
x
−
( ) ( ) 66 6 3
1 6 63
12 1 2
r rrr rr r r
rT C x C x
x
− −− −
+
= − = − ⋅ ⋅ 当出现 项时， ，得 ，
故含 项的系数为 .
故选：A.
【点睛】本题考查二项式定理，较容易，解答时要灵活运用展开项的通项公式.
5. 我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按
照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷
长减少或增加的量相同，周而复始．则下列说法不正确的是（ ）
注：“相差”是指差的绝对值
A. 立春和立冬的晷长相同
B. 立夏和立秋的晷长相同
C. 与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长
D. 与春分的晷长相差最大的是秋分的晷长
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对称性判断出说法不正确的选项.
【详解】根据对称性可知：立春和立冬的晷长相同、立夏和立秋的晷长相同、春分和秋分的晷长相同；与
夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长（冬至晷长最大，夏至晷长最小）.
所以说法错误的是 D.
故选：D
【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，属于基础题.
6. 点 P 在曲线 上，过 P 分别作直线 及 的垂线，垂足分别为 G，H，则
2x 6 23
rr− − = 3r =
2x ( )33 3
6 1 2 160C ⋅ − ⋅ = −
2 4y x= 1x = − 3y x= + PG PH+的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线的性质， 的最小值等价于 的最小值，即焦点 到直线的距离.
【详解】由题可知 是抛物线的准线，交点 ，
由抛物线的性质可知 ,
，
如图，当 在一条直线上时， 取得最小值为 ，
利用点到直线距离公式可以求出 ，
所以 的最小值为 .
故选：B.
【点睛】本题考查求抛物线上的点到两直线的距离之和最小问题，利用抛物线的性质是关键，属于基础题.
7. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
3 2
2 2 2 3 2 12
+ 2 2+
PG PH+ PF PH+ F
1x = − ( )1,0F
PG PF=
PG PH PF PH∴ + = +
, ,F P H PF PH+ FH
1 0 3 2 2
2
FH - += =
PG PH+ 2 2
sin 0x x+ > sin 0x x− >C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的单调性求出两个条件的不等式解集，利用集合间的基本关系判断充分性和必要性.
【详解】令 ， ，
在 上单调递增，且 ，
等价于 ，即 ，
令 ， ，
在 上单调递增，且 ，
等价于 ，即 ，
“ ”是“ ”的充分必要条件，
“ ”是“ ”的充分必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分必要条件的判断，将条件转化为利用集合间关系判断是解决此类问题的常用方法.
8. 以 为始边作钝角 ，角 的终边与单位圆交于点 ，将角 的终边顺时针旋转 得到角
．角 的终边与单位圆相交于点 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义得 ， ，进而得 ，
再结合三角恒等变换和三角函数的性质得 .
【详解】解：根据三角函数的定义得 ,
( ) sinf x x x= + '( ) 1 cos 0f x x= + ³
( )f x∴ R (0) 0f =
∴ sin 0x x+ > ( ) (0)f x f> 0x >
( ) sing x x x= − '( ) 1 cos 0g x x= - ³
( )g x∴ R (0) 0g =
∴ sin 0x x− > ( ) (0)g x f> 0x >
0x > 0x >
∴ sin 0x x+ > sin 0x x− >
Ox α α 1 1( , )P x y α
3
π
β β 2 2( , )Q x y 2 1x x−
3 1
2 2
−
， 1 3
2 2
， 1 12
， 1( 1]2
，
1 cos , ,2x
πα α π = ∈ 2 cos 3x
πα = − 2 1 cos cos3x x
πα α −
=
− −
2 1
1 ,12x x − ∈
1 cos , ,2x
πα α π = ∈ 由于角 的终边顺时针旋转 得到角 ，故 ,
所以 ，
所以
因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
故选：D.
【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的定义，是中档题.
9. 若圆 P 的半径为 1，且圆心为坐标原点，过圆心 P 作圆 的切线，切点为 Q，则
的最小值为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，分析圆 的圆心以及半径，由勾股定理分析可得 ，当
最小时， 最小，由点与圆的位置关系分析 的最小值，计算可得答案．
【详解】由题意可知，点 在圆 上，圆 的圆心 ，半径
过点 作圆 的切线，切点为 ，则
当 最小时， 最小
又由点 在圆 上，则 的最小值为
则 的最小值为 ；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线与圆位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于中档题．
10. 气象意义上从春季进入夏季的标志为连续 5 天的日平均温度均不低于 22℃．现有甲乙丙三地连续 5 天
α
3
π β
3
πβ α= −
2 cos cos 3x
πβ α = = −
2 1
3 1cos cos sin cos sin3 2 2 6x x
π πα α α α α − − = − = −
− =
,2
πα π ∈
5,6 3 6
π π πα − ∈
1sin ,16 2
πα − ∈ 2 1
1 ,12x x − ∈
2 2( 4) ( 3) 4x y− + − = PQ
3 2 3
2 2( 4) ( 3) 4x y− + − = 2| | | | 4PQ PC= −
| |PC | |PQ | |PC
P 2 2 1x y+ = 2 2( 4) ( 3) 4x y− + − = (4,3)C 2r =
P 2 2( 4) ( 3) 4x y− + − = Q 2| | | | 4PQ PC= −
| |PC | |PQ
P 2 2 1x y+ = | |PC | | 1 9 16 1 4OC − = + − =
| |PQ 16 4 12 2 3− = =的日平均温度（都是正整数，单位：℃）的记录数据如下：
①甲地 5 个数据的中位数为 26，众数为 22；
②乙地 5 个数据的平均数为 26，方差为 5.2；
③丙地 5 个数据的中位数为 26，平均数为 26.4，极差为 8.
则从气象意义上肯定进入夏季的地区是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】
①根据众数的定义至少出现 2 次，假设有一天低于 22，再由中位数判断；
②设温度由低到高为： ，根据方差的定义得到
，假设有一天低于 22，再由平均数判断；
③设温度由低到高为： ，由平均数的定义得到 ，假设假设有一天低于 22，
再由中位数判断；
【详解】①因为众数为 22，所以至少出现 2 次，若有一天低于 22，则中位数不可能是 26，所以甲地肯定进
入夏季；
②设温度由低到高为： ，根据方差的定义
，
所以 ，
若有一天低于 22，不妨设 ，则只有 21，25，26，26，26，而不满足平均数 26，
故没有低于 22 的，所以乙地进入夏季；
③设温度由低到高为： ，由题意得： ，
由平均数 定义得： ，即 ，
若 ，取 ，则 ，
不满足中位数 26，故没有低于 22 的，所以丙地肯定进入夏季；
故选：D
【点睛】本题主要考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，还考查了逻辑推理运算求解的能力，属
的
1 2 3 4 5, , , ,x x x x x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2
1 2 3 4 526 26 26 26 26 26x x x x x− + − + − + − + − =
1 2 3 4 5, , , ,x x x x x 1 2 498 2x x x= + +
1 2 3 4 5, , , ,x x x x x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2
1 2 3 4 5
1 26 26 26 26 26 5.25 x x x x x − + − + − + − + − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2
1 2 3 4 526 26 26 26 26 26x x x x x− + − + − + − + − =
1 21x =
1 2 3 4 5, , , ,x x x x x 3 5 126, 8x x x= = +
( )1 2 3 4 5
1 26.45 x x x x x+ + + + = 1 2 498 2x x x= + +
1 22x < 1 21x = 2 4 56x x+ =于中档题.
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11. 双曲线 的焦距是__________．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据双曲线的标准方程求解即可.
【详解】解：根据双曲线的标准方程得 ，
所以 ，即 ，
所以双曲线的焦距为 .
故答案为：
【点睛】本题考查由双曲线的标准方程求焦距，是基础题.
12. 已知 是等差数列， 是公比为 c 的等比数列， ，则数列 的前 10
项和为__________，数列 的前 10 项和为__________（用 c 表示）．
【答案】 (1). 100 (2).
【解析】
【分析】
先根据 求出等差数列 的通项公式，计算前 10 项和即可，由等差数列的通项公式及
是公比为 c 的等比数列求出 ，即可求前 10 项和.
【详解】因为 是等差数列， ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
所以
2 2
19 16
y xC − =：
2 29, 16a b= =
2 2 2 25c a b= + = 5c =
10
10
{ }na { }n na b+ 1 1 31 0 5a b a= = =， ， { }na
{ }nb
10
90, 1
1100 , 0,11
c
c cc
− = −− + ≠ −
当 时，
当 时
1 31, 5a a= = { }na
{ }n na b+ { }nb
{ }na 1 31, 5a a= =
3 1 2 4a a d− = =
2d =
1 2( 1) 2 1na n n= + − = −
10
10 910 1 2 1002S
×= × + × =因为 是公比为 c 的等比数列，且 ，
所以 ，
故 ，
当 时， ，
当 时， ，
综上 ,
故答案为：100；
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式，考查了等比数列的通项公式、求和公式，考查
了分组求和，属于中档题.
13. 已知 为等腰直角三角形， ，OC 为斜边的高．
（1）若 P 为线段 OC 的中点，则 __________．
（2）若 P 为线段 OC 上的动点，则 的取值范围为__________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
(1) 由条件可知 , ,又 ，代入 中，利用向量
的数量积的定义可求解答案.
(2) 当 P 为线段 OC 上的动点时，设 , , 利用向量的数量积
{ }n na b+ 1 1 1a b+ =
1n
n na b c −+ =
1 2 1n
nb c n−= − +
1c = 10
(2 20) 10 902T
− ×= = −
1c ≠
10
2 9
10
1(1 ) (1 3 5 19) 100 1
cT c c c c
−= + + + + − + + + + = − + −
1010
90, 1
1100 , 0,11
c
T c cc
− == −− + ≠ −
当 时，
当 时
10
90, 1
1100 , 0,11
c
c cc
− = −− + ≠ −
当 时，
当 时
ABC∆ 1OA =
AP OP⋅ =
AP OP⋅
1
4
[ ]0,1
2AC BC= = 1AO BO CO= = = 1 ( )2AP AC AO= + AP OP⋅
OP OCλ= 0 1λ≤ ≤ ( )AC CPAP OP OP⋅ = + ⋅ 的运算性质和定义可求解.
【详解】 为等腰直角三角形， 为斜边的高,
则 为边 的中线，所以 , .
(1) 当 为线段 OC 的中点时，在 中, 为边 上的中线,
则
所以
(2)当 P 为线段 OC 上的动点时，设 , .
所以 的取值范围为
故答案为：(1). (2).
【点睛】本题考查向量的加法运算，数量积的运算，本题还可以建立坐标系利用向量的坐标运算解决本题,
属于中档题.
14. 不等式 对所有的 都成立，则 t 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
看作关于 的一次函数，根据一次函数恒成立问题列出不等式组，求得 的范围.
【详解】设 ， ，由
ABC∆ CO
CO AB 2AC BC= = 1AO BO CO= = =
P ACO△ AP CO
1 ( )2AP AC AO= +
1 1( ) ( )2 2AC AO OP AC OP AO OPAP OP + ⋅ + ⋅= = ⋅⋅
1 1 1 2 1| | | | cos45 0= 2 =2 2 2 2 4AC OP= ⋅ + × × ×
OP OCλ= 0 1λ≤ ≤
( )AC CP OPAP O AC OP CP OP P+ ⋅ = ⋅⋅ = ⋅ +
= (1 ) ( )OC AC OC OCλ λ λ⋅ − − ⋅
2 1 cos , (1 )OC ACλ λ λ= × × × < > − − ⋅
22 1 (1 )2
λ λ λ= × × × − − ⋅
2 2 [0,1]λ λ λ λ= − + = ∈
AP OP⋅ [ ]0,1
1
4
[ ]0,1
2 0t at− ≥ [ 11]a∈ − ，
( , 1] {0} [1, )−∞ − +∞
a t
( )f a = 2t at− [ 11]a∈ − ， ( ) 0f a ≥∴ ，即 解得 或 或 ，
故答案为： .
【点睛】本题主要考查一次不等式恒成立问题，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题.
15. 在实数集 R 中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：
（1）对任意 ；（2）对任意 ；
（3）对任意 ．
给出下列四个结论：
① ；
② ；
③对任意 ；
④存在 ．
其中，所有正确结论的序号是__________．
【答案】②③④
【解析】
分析】
根据给定的新运算得到 的计算方法，再逐项计算并判断相应的结论是否成立，从而得到正确的序号.
【详解】由题设有 ，
对于①，
，故①错误.
对于②，
，由①中结果可知 ，故②正确.
对于③，
对任意
，
而
，
【
( )
( )
1 0
1 0
f
f
− ≥ ≥
2
2
0
0
t t
t t
+ ≥
− ≥ 1t ≤ − 0t = 1t ≥
( , 1] {0} [1, )−∞ − +∞
,0a a a∈ ∗ =R ,a b a b b a∈ ∗ = ∗R，
( ) ( ) ( ) ( ), , , 2a b c a b c c ab a c b c c∈ ∗ ∗ = ∗ + ∗ + ∗ −R
( )2 0 2 0∗ ∗ =
( ) ( )2 0 2 0 8∗ ∗ ∗ =
( ) ( ), , ,a b c a b c b c a∈ ∗ ∗ = ∗ ∗R
( ) ( ) ( ), , ,a b c a b c a c b c∈ + ∗ ≠ ∗ + ∗R
a b∗
( ) ( )0 0 0 0 2 0a b a b ab a b ab a b∗ = ∗ ∗ = ∗ + ∗ + ∗ − × = + +
2 2 2 2 2 2 8∗ = × + + =
( ) ( ) 20 0 22 2∗ ∗ ∗ = ∗ ( ) ( )2 0 2 0 8∗ ∗ ∗ =
( ) ( ) ( ), , ,a b c a b c a bc b c a bc b c a bc b c∈ ∗ ∗ = ∗ + + = + + + + + +R
abc ab ac bc a b c= + + + + + +
( ) ( ) ( )ac a c b ac a c b ac a cb c a b= + + = + + + +∗ +∗ +∗
abc ab ac bc a b c= + + + + + +故 ，故③正确.
对于④，取 ，
则 ，
而 ，故 ，故④正确.
故答案为：②③④.
【点睛】本题考查新定义背景下命题真假的判断，此题的关键是根据给出的运算规则得到 的运算方法，
本题属于较难题.
三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，三棱柱 中， 平面 ，点 E 是棱 的中点，已知
．
（Ⅰ）求证： 平面 ABC；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）首先证明四边形 矩形，可得 ，结合 ，可证 平面 ABC
（Ⅱ）分别以 ， 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦
值.
【详解】（Ⅰ）依题意，在 中， ，
所以 ，
为
( ) ( )a b c b c a∗ ∗ = ∗ ∗
1, 1a b c= = =
1 2 1 2 1 52∗ = × + + =
( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 1 1 1 1 6∗ + ∗ = × + + = ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1+ ∗ ≠ ∗ + ∗
a b∗
1 1 1ABC A B C− AB ⊥ 1 1BB C C 1C C
1 1 1 1 1 12 5A B B C C C B E= = = =，
1B B ⊥
1 1A EB A− −
5 .3
1 1BB C C 1B B BC^ 1B B AB⊥ 1B B ⊥
BC 1BB BA , ,x y z
1 1B C E∆ 1 1 1 1 1
12 5 12B C B E C E C C= = = =， ，
2 2 2
1 1 1 1B C C E B E+ =所以 ．
又因为三棱锥 中，四边形 为平行四边形，
所以四边形 为矩形，
所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ．
又因为 平面 ABC， ，
所以 平面 ABC．
（Ⅱ）因为 平面 ， 平面 ，
所以 ．
如图建立空间直角坐标系 B−xyz，
则 ，
，
设平面 的法向量为 ，则
，
令 ，则 ， ，
于是 ，
设平面 的法向量为 ，则
1 1 90B C E∠ =
1 1 1ABC A B C− 1 1BB C C
1 1BB C C
1B B BC^
AB ⊥ 1 1BB C C 1BB ⊂ 1 1BB C C
1B B AB⊥
AB BC ⊂， AB BC B∩ =
1B B ⊥
AB ⊥ 1 1BB C C BC ⊂ 1 1BB C C
AB BC⊥
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) )0 0 2 210 0 2 0 0 2 2 2 1( 0A E B A B E = −, , , , , , , , , , , , , ,
1 1 1 )0 2 2( (0 0 2)B A B A= − = , , , , ,
1AEB ( , , )n x y z=
1
1
2 0,0,
2 2 0.0
x yn B E
y zn B A
− =⋅ = − + =⋅ =
即
1x = 2y = 2z =
, ,(1 )2 2n =
1 1A EB 1 1 1( , , )m x y z=即
令 ，则 ， ．
于是 ，
所以
由题知二面角 为锐角，所以其余弦值为
【点睛】本题主要考查了线面位置关系线面垂直的证明以及二面角余弦值的求解，属于中档题.
17. 在△ABC 中， ， ，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已
知，使△ABC 存在，求 c 的值及△ABC 的面积．
条件①： ；条件②： ；条件③：csinA=3．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】
选择条件②， 由正弦定理可得 ，又 ，由余弦定理可得 ，结合条件②
即可求得 ， ，从而得到三角形的面积.
【详解】选择条件②，
因为在△ABC 中，
所以 ．又因为
所以由余弦定理得
又因为 ，所以 或−1(舍)．
所以 ．
则△ABC 的面积为
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式的应用，属于基础题.
1
1 1
0
0
m B E
m B A
⋅ = ⋅ =
1 1
1
2 0
2 0
x y
z
− =
=
1x = 2y = 0z =
(1,2,0)m =
5 5cos , .33 5
n mn m
n m
⋅< >= = =
1 1A EB A− − 5 .3
sin 3sinA B= 6C
π=
3=c b 3ac =
sin 3sinA B= 3a b= 6C
π= b c=
a b c，
sin 3sin sin sin
a bA B A B
= =， ，
3a b= 6C
π=
2 2 2 2 2 32 cos 3 2 3 0,2c a b ab C b b b b= + − = + − = >
23 3ac ab b= = = 1b =
3 1a c= =，
1 1 3sin 3sin2 2 6 4S ab C
π= = =18. 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人执行任务，且每个人只派一
次．每人工作时间均不超过 10 分钟，如果 10 分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人；如果 10 分钟内
已完成任务则不再派人．现在一共只有甲乙丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为 ，
， ．假定各人能否完成任务相互独立．
（Ⅰ）计划依次派甲乙丙执行任务，
①求能完成任务的概率；
②求派出人员数 X 的分布列和数学期望 E(X)．
（Ⅱ）欲使完成任务的概率尽可能大，且所取需派出人员数 X 的数学期望尽可能小，你认为应该按什么次
序派出甲乙丙？（直接写出答案即可）
【答案】（Ⅰ）① ；②分布列见解析， ；（Ⅱ）依次派出丙甲乙．
【解析】
【分析】
（1）①根据相互独立事件概率的求法求得完成任务的概率；②写出 X 的可能值，求出各自的概率，列表写
出分布列，根据数学期望公式求得结果；
（2）根据所求概率结合 X 的数学期望直接写出结论.
【详解】解：（Ⅰ）设“计划依次派出甲乙丙，能完成任务”为事件 A．
因为甲乙丙各自能完成任务的概率分别为
各人能否完成任务相互独立．
所以
或
依题意，X 的所有可能取值为 1，2，3．
所以 X 的分布列为
X 1 2 3
P
1
2
3p =
2
1
2p = 3
3
4p =
23
24
3
2
1 2 3
2 1 3, , ,3 2 4P P P= = =
1 1 2 1 2 3
23( ) (1 ) (1 )(1 ) 24P A P P P P P P= + − + − − =
1 2 3
23( ) 1 (1 )(1 )(1 ) 24P A P P P= − − − − =
1 1 2 1 2
2 1 1( 1) , ( 2) (1 ) , ( 3) (1 )(1 ) .3 6 6P X P P X P P P X P P= = = = = − = = = − − =
2
3
1
6
1
6故 X 的期望
（Ⅱ）依次派出丙甲乙．
【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率及离散型随机变量分布列，意在考查学生的数据处理的能力及
数学运算的学科素养，属中档题.
19. 已知函数 .
（1）若 ，求过曲线 上一点 的切线方程；
（2）若 ， 在区间 的最大值为 ，最小值为 ，求 的最小值．
【答案】（1） 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）首先求导 ，切点为 ，得到切线方程 ，再将 代
入得到 或 ，即可得到切线方程.
（2）首先对 求导，求出函数 的单调区间，再分类讨论 ，得到最大值为 ，最小值为 ，即
可得到 的最小值.
【详解】（1）当 时， ，所以 ．
设切点为 ，
所以切线方程为 .
因为切线过 时，所以 ，
所以 ，
所以 或 .
所求切线方程为 或 .
（2）因为 ， ， .
所以 ．
令 ，得 或 ．
2 1 1 3( ) 1 2 3 .3 6 6 2E X = × + × + × =
( ) 3 22 3 2= − +f x x ax
0a = ( )y f x= ( )1,0−
0 < < 3a ( )f x [ ]0,1 M m M m−
6 6y x= + 3 3
2 2y x= + 8
27
( ) 26f x x′ = ( )3,2 2+t t ( )2 36 2 2= − + +y t x t t ( )1,0−
1t = − 1
2
( )f x ( )f x a M m
M m−
0a = ( ) 32 2= +f x x ( ) 26f x x′ =
( )3,2 2+t t ( ) 26′= =k f t t
( )2 36 2 2= − + +y t x t t
( )1,0− ( )2 36 1 2 2 0− − + + =t t t
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )22 2 23 1 1 1 1 2 1 1 2 1 0− − + + − + = − + + − = − + − =t t t t t t t t t t
1t = − 1
2
6 6y x= + 3 3
2 2y x= +
( ) 3 22 3 2= − +f x x ax 0 < < 3a [ ]0,1x∈
( ) ( )26 6 6f x x ax x x a′ = − = −
( ) 0f x′ = 0x = a所以 ， ， 为减函数，
， ， 为增函数.
①当 时， 在 上单调递减．
所以依题意， ． ，
所以 .
②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
又因为 ， ， .
当 时， ，
所以 ， .
当 时，
所以 ， .
设 ， ，
当 时， ，所以 在 单调递减.
又因为 ， ，
所以
所以，当且仅当 时， 取得最小值 .
【点睛】本题第一问考查导数的几何意义，第二问考查利用导数研究函数的最值，同时考查了分类讨论的
思想，属于难题.
20. 已知椭圆 的左右顶点分别为 ，上顶点为 ，离心率为 ，
点 为椭圆 上异于 的两点，直线 相交于点 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
(0, )x a∈ ( ) 0f x′ < ( )f x
(0, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
1 3a≤ < ( )f x [ ]0,1
( )0 2= =M f ( )1 4 3= = −m f a
[ )2 1,73− = − ∈M m a
0 1a< < ( )f x [ ]0,a [ ],1a
( )0 2f = ( )1 4 3= −f a ( ) 3 2= = − +m f a a
2 13 a≤ < 4 3 2a− ≤
( )0 2= =M f 3 8 ,127
− = ∈ M m a
0 2
3a< < 4 3 2a− >
( )1 4 3= = −M f a 3 3 2− = − +M m a a
( ) 3 3 2g x x x= − + ( ) 23 3g x x′ = −
20 3x< < ( ) 0g x′ < ( )g x 20, 3
( )0 2g = 2 8
3 27=
g
( ) 8 ,227
− = ∈ M m g a
2
3a = M m− 8
27
2 2
2 2 1( 0)x yC a ba b
+ = > >： ,A B T 2 2
3
8AT TB⋅ = ,M N C ,A B ,AM BN P
C（Ⅱ）若点 在直线 上，求证：直线 过定点．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先根据题意得 ，进而得 ，求解即可
得出结论；
（2）设 ，先讨论直线 垂直于 轴时不满足题意，再讨论 不垂直于 轴时，设
其方程为 ，与椭圆方程联立得 ，
，再根据 为直线 的交点得
，化简得即可求出结论.
【详解】解：（Ⅰ）依题意，
解得
所以椭圆 C 方程为
（Ⅱ）设 ，则
①当直线 垂直于 轴时，
由对称性，直线 交于 轴，不合题意，舍去．
②当直线 不垂直于 轴时，设其方程为 ．
联立 得 ．
的
P 9
2x = MN
2
2 1.9
x y+ =
( ,0), ( ,0), (0, ), ( , ), ( , )A a B a T b AT a b TB a b− = = − 2 2
2 2 2
2 2
3
8
0
c
a
a b
a b c
a b
=
− =
= +
> >
1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y MN y MN y
x ty m= + 2 2 2 0( )9 2 9t y tmy m+ + + − =
2
1 2 1 22 2
2 9, 09 9
tm my y y yt t
− −+ = = ≠+ + P ,AM BN
1 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 2 2 2
5 ( 3) ( 3) ( 3)
3 3 9 9 9
y y y x y x x
x x x y y
+ + += = = =+ − − − −
( ,0), ( ,0), (0, ), ( , ), ( , ),A a B a T b AT a b TB a b− = = −
2 2
2 2 2
2 2
3
8
0
c
a
a b
a b c
a b
=
− =
= +
> >
3
1
2 2
a
b
c
=
=
=
2
2 1.9
x y+ =
1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ( )2 29 9, 3, 0 1,2i i i ix y x y i+ = ≠ ± ≠ =
MN y
,AM BN y
MN y x ty m= +
2 29 9
x ty m
x y
= +
+ =
2 2 2 0( )9 2 9t y tmy m+ + + − =依题意，
所以 ．
因为 ，
所以直线 方程为 ，
直线 方程为
依题意，设 ，因为 为直线 的交点，
所以
所以
所以 ．
所以 ．
所以 ．
所以
因为 ，所以 ．
所以 ， ，直线 MN 方程为 ．
所以直线 过定点 .
【点睛】本题考查根据 求椭圆的方程，椭圆中的定点问题，考查运算能力，是中档题.
21. 已知 m，n，k 为正整数， ， ，A 是由 个不超过 k 的正整数组成的 m 行 n 列的数表，其
第 i 行第 j 列为 ， ， ，满足：
①对任意 ， ，均有 ， ， 互不相等；
②对任意 ，不存在 ，使得 且 ；
③当 时，对任意 ，存在 ，使得 ．
2
2
1 2 1 22 2
2 99 0 0, , 0.9 9
tm mt y y y yt t
− −+ ≠ ∆ > + = = ≠+ +，
3m ≠ ±
( 3,0), (3,0)A B−
AM 1
1
( 3)3
yy xx
= ++
BN 2
2
( 3)3
yy xx
= −−
9( , )2P P P ,AM BN
1 2
1 2
9 9( 3) ( 3).3 2 3 2
y yPx x
+ = = −+ −
1 2 2 2 2 2 2
2 2
1 2 2 2 2
5 ( 3) ( 3) ( 3) .3 3 9 9 9
y y y x y x x
x x x y y
+ + += = = =+ − − − −
1 2 1 2 1 245 3 0( 9)y y x x x x+ + + + =
1 2 1 2 1 2( )( ) 04 (5 3 9)y y ty m ty m ty m ty m+ + + + + + + + =
2 2
1 2 1 2 0( 4 ) ( ) (5 3 ) 3( )t y y t m y y m+ + + + + + =
2
2 3
2 2
9 2( 45) ( 3) ( 3) 0.9 9
m tmt t m mt t
− −+ + + + + =+ +
3m ≠ ± 2 2 245 3 2 3 9 0( )( ) ( )( )t m t m m t+ − − + + + =
54 108 0m − = 2m = 2x t y= +
MN ( )2,0
, ,a b c
4n ≥ 3k ≥ m n⋅
,i jx 1 i m≤ ≤ 1 j n≤ ≤
1 i m≤ ≤ 2 1j n≤ ≤ − , 1i jx − ,i jx , 1i jx +
1 i m≤ ≤ 1 a b c d n≤ < < < ≤ , ,i a i cx x= , ,i b i dx x=
2m ≥ 1 i j m≤ < ≤ 1 k n≤ ≤ , ,i k j kx x≠记 为所有这样的数表构成的集合．
（Ⅰ）写出 中的一个元素；
（Ⅱ）若 ，则当 n 最大时，求 m 的最大值；
（Ⅲ）从问题（一）问题（二）中选择一个作答．
问题（一）：求集合 的元素个数．
问题（二）：求集合 的元素个数．
【答案】（Ⅰ）答案不唯一，见解析；（Ⅱ）m 的最大值为 24；（Ⅲ）答案见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意 ，根据题意，列出数表，写出满足要求的一个元素即可；
（Ⅱ）依题意，设 B 某行为 ，讨论当 B= (a b c d b a)时和当 n≥6
时，是否满足题意，即可解出 n 最大值，由③即可解出 m 的最大值；
（Ⅲ）若选择问题（一），则分别求解当 n= 4 时，n= 5 时，n= 6 时和 n≥7 时，X 的个数，综合即可得结果；
若选择问题（二），分别讨论当 k=3 时、当 n≥2k-1 时，是否满足题意，综合分析，即可得结果.
【详解】（Ⅰ）由题意得： ，则 中(a b c)，(d e f)为(123)的不同排列
即可，例如 .（答案不唯一，满足题意即可）.
（Ⅱ）依题意，设表 ，设(a b c d)为(1 2 3 4)的某个排列，
设 B 某行为 ．
一．当 B= (a b c d b a)时， ，所以 n= 6 符合题意；
二．当 n≥6 时，由①设 或 d．
1．当 时，
由① ，故由② ，与①矛盾．
2．当 时，由① 或 b．
（1）当 时，由② ，与①矛盾．
的
,( )kS m n
3 4(2 )S ，
4 ,( )S m n ≠ ∅
{ }* *
4 ( ) 4S m n m n n∈ ∈ ≥N N， ， ，
11 3( 1)2S ,
2, 3, 3m n k= = =
1 2( ) 1 2 3 4 1 2{ }( )n iX x x x x i n= … ∈ = …， , , , , , ,
2, 3, 3m n k= = = a b c a
d e f d
1 2 3 1
1 3 2 1
4 ( )B S m n∈ ，
1 2( ) 1 2 3 4 1 2{ }( )n iX x x x x i n= … ∈ = …， , , , , , ,
4 ( )16B S∈ ,
4 4( ),nX a b c x x x a= … =
( )nX a b c a x= …
5 6,x x a≠ 5 6x x d= =
( )nX a b c d x= … 5x a=
( )nX a b c d a x= … 6x a=（2）当 时，由① ，故由② ．
假若 n≥7，则由② ，与①矛盾．
综上，n 的最大值为 6，且当 n= 6 时，X= (a b c d b a)，这样的 X 共 个．
由③，当 n 最大时，m 的最大值为 24．
（Ⅲ）若选择问题（一）．
若表 ，设(a b c d)为(1 2 3 4)的某个排列，
一．当 n= 4 时，
由（Ⅱ）X= (a b c d)或(a b c a)．
这样的 X 共 个．
所以 m=1，2，…，48 时， ；m>48 时， ．
二．当 n= 5 时，
由（Ⅱ）X= (a b c a d)或(a b c d a)或(a b c d b)．
这样的 X 共 个．
所以 m=1，2，…，72 时， ；m>72 时， ．
三．当 n= 6 时，
由（Ⅱ）X= (a b c d b a)，这样的 X 共 个．
所以 m=1，2，…，24 时， ；m>24 时， ．
四．当 n≥7 时，由（Ⅱ） ．
综上，集合 的元素个数为 48+ 72+ 24+1=145．
（Ⅲ）若选择问题（二）．
若 满足②，则将 Y 删除若干项仍满足②．
设 ．
一．当 k= 3 时，假若 n≥5，设(a b c)为(1 2 3)的某个排列，
设 ，则由① ，由①②， 无解，矛盾．
所以 n≤ 4= 2k- 2．
二．假设存在 n，使得 n≥2k-1，设满足此条件的最小的 k 为 u．
( )nX a b c d b x= … 6x b≠ 6x a=
7x a=
4
4 24A =
4 ( , )B S m n∈
4 3
4 4 48A + Α =
4 ( )4S m ≠ ∅, 4 4( )S m = ∅，
4
4 3 72A × =
4 ( )5S m ≠ ∅, 4 ( )5S m = ∅，
4
4 24A =
4 ( )6S m ≠ ∅， 4 ( )6S m = ∅，
4 ( )S m n = ∅,
{ }* *
4 ( ) 4S m n m n n∈ ∈ ≥N N， ， ，
1 2( )nY y y y= …
1 2( ) ( ) { }1 1 2 1( )2n k iY y y y S n y k i n= … ∈ ∈ … = …， , ，， ， ，， ，
4( )nY abcy y= … 4y a= 5y所以 ．
由一，u≥4．
若 ，则 ．
不妨设 中，u 出现的次数 m 最小．
1．当 m= 0 时， ，矛盾．
2．当 m=1 时，设 ，
（1）当 t=1 或 n 时，将 Y 去掉 这一项得 Z，则 ，矛盾．
（2）当 t=2 时，将 Y 去掉前两项得 Z，则 ，矛盾.
当 时，同理将 Y 去掉后两项得 ，矛盾.
（3）当 时，记 ，
若 且 ，将 Y 去掉 这一项得 Z，则 ，矛盾.
若 且 ，将 Y 去掉 这两项得 Z，则 ，矛盾.
若 且 ，由②，矛盾.
3.当 时， 中， 均至少出现 2 次，
因为 ，
由①，前两个 1 之间必有其他数，不妨设为 2.
由②，所有的 2 均在这两个 1 之间.
同理，不妨设所有的 3 全在前两个 2 之间，所有的 4 全在前两个 3 之间，
这与 矛盾.
三.从 中任取一行 W，则 .
因为 ，所以 W 不存在， .
所以 的元素个数为 0.
【点睛】本题以集合作为载体，考查新概念的应用，考查分析理解，求值化简的能力，属难题.
1 2 ) 1( ) 2( 1n uY y y y S n n u= … ∈ ≥ −， ，
1( )1uZ S v−∈ ， 2 1 2 2 4 3( )v u u n≤ − − = − ≤ −
)1( 2iy i n= …，， ，
1 2 1( ) ( )1n uY y y y S n−= … ∈ ，
ty u=
ty 1(1 )1uZ S n−∈ −,
1(1 )2uZ S n−∈ −,
1t n= − 1(1 )2uZ S n−∈ −，
1,2, 1,t n n≠ − ( )e f u g hY ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅=
e g≠ f h≠ u 1(1 )1uZ S n−∈ −,
e g= f h≠ ,u g 1(1 )2uZ S n−∈ −,
e g= f h=
2m ≥ ( 1,2, , )iy i n= ⋅⋅⋅ 1,2, ,u⋅⋅⋅
1 2 (1,) )( n uY y y y S n= ⋅⋅⋅ ∈
⋅⋅⋅
( 1,2, , )iy u i n≤ = ⋅⋅⋅
11 3( 1)2S , 11( 21)1W S∈ ,
2 11 2 20 21× − = < 11 1(3 )2S = ∅,
11 3( 1)2S ,
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