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十年高考+大数据预测
专题 26 椭 圆
十年大数据*全景展示
年 份 题 号 考 点 考 查 内 容
理 14[来源:学&科&网][来源:学
科网]
椭圆方程 椭圆的定义、标准方程及其几何性质[来源:学#科#网][来源:学+科+网 Z+X+X+K]
2011[来源:Z.Com]
文 4 椭圆的几何性质 椭圆离心率的计算
2012 文理 4 椭圆的几何性质 椭圆离心率的计算
理 10 椭圆方程 直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法
卷 1
文理 20
椭圆定义、标准方程
及其几何性质
椭圆的定义、标准方程及其几何性质，直线与椭圆位置关系
理 20 直线与椭圆位置关系 椭圆的方程求法 ，直线与椭圆位置关系，椭圆最值问题的解法
2013
卷 2
文 5 椭圆定义、几何性质 椭圆的定义，椭圆离心率的求法
卷 1 理 20 椭圆方程及几何性质 椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆位置关系
2014
卷 2 理 20 椭圆方程及几何性质 椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆位置关系
卷 1 理 14 圆与椭圆 椭圆的标准方程及其几何性质，过三点圆的方程的求法
理 20 直线与椭圆 直线和椭圆的位置关系，椭圆的存在型问题的解法2015
卷 2
文 20 直线与椭圆 椭圆方程求法，直线和椭圆的位置关系，椭圆的定值问题的解法
卷 1 理 20 圆、直线与椭圆 椭圆定义、标准方程及其几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系
理 20 直线与椭圆 椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系2016
卷 2
文 21 直线与椭圆 椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系
理 20 直线与椭圆 椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，椭圆的定点问题
卷 1
文 12 直线与椭圆 椭圆的标准方程及其几何性质
2017
卷 3 文 11 理 10
直线与圆，椭圆的几
何性质
直线与圆的位置关系，椭圆的几何性质
理 19 直线与椭圆 椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系
2018 卷 1
文 4 椭圆 椭圆的几何性质
卷 1 理 10 文 12 椭圆 椭圆的定义、标准方程及其几何性质，椭圆标准方程的求法
理 8 文 9 椭圆与抛物线 抛物线与椭圆的几何性质
卷 2
理 21 椭圆
椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的
最值问题的解法
文 20 椭圆 椭圆的定义、标准方程及其几何性质
2019
卷 3 文理 15 椭圆 椭圆的定义、标准方程及其几何性质
卷 1 理 20 文 21 椭圆 椭圆的标准方程及其几何性质，椭圆定点问题
2020
卷 2 理 19 椭圆、抛物线 椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义
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十年高考+大数据预测
文 19 椭圆、抛物线 椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义
卷 3 理 20 文 21 椭圆 椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法
大数据分析*预测高考
考点 出现频率 2021 年预测
考点 89 椭圆的定义及标准方程 37 次考 7 次
考点 90 椭圆的几何性质 37 次考 32 次
考点 91 直线与椭圆的位置关系 37 次考 35 次
命题角度：（1）椭圆的定义及应用；（2）椭圆的标准
方程；（3）椭圆的几何性质；（4）直线与椭圆的位置
关系．
核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算
十年试题分类*探求规律
考点 89 椭圆的定义及标准方程
1．（2019 全国Ⅰ文 12）已知椭圆 C 的焦点为 ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若
， ，则 C 的方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设 ，则 ，
由椭圆的定义有 ．
在 中，由余弦定理推论得 ．
在 中，由余弦定理得 ，解得 ．
所求椭圆方程为 ，故选 B．
1 21,0 1,0F F−( ) ， ( )
2 2| | 2 | |AF F B= 1| | | |AB BF=
2
2 12
x y+ =
2 2
13 2
x y+ =
2 2
14 3
x y+ =
2 2
15 4
x y+ =
2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = =
1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n= + = ∴ = − =
1AF B△
2 2 2
1
4 9 9 1cos 2 2 3 3
n n nF AB n n
+ −∠ = =⋅ ⋅
1 2AF F△ 2 2 14 4 2 2 2 43n n n n+ − ⋅ ⋅ ⋅ = 3
2n =
2 2 22 4 2 3 , 3 , 3 1 2 ,a n a b a c∴ = = ∴ = ∴ = − = − = ∴
2 2
13 2
x y+ =
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十年高考+大数据预测
法二：由已知可设 ，则 ，
由椭圆的定义有 ．
在 和 中，由余弦定理得 ，
又 互 补 ， ， 两 式 消 去 ， 得
，解得 ． 所求椭圆方程为
，故选 B．
2．（2018 高考上海 13）设 P 是椭圆 + =1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【答案】C
【解析】由椭圆的定义可知椭圆上任意点 到两个焦点的距离之和为 ， 故选 C．
【考点分析】椭圆的定义，考查考生的识记及基本运算能力．
3．（2013 广东文）已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 ，离心率等于 ，则 C 的方程是
A． B． C． D．
【答案】D【解析】∵ ，故选 D．
4．（2015 新课标 1 理）一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 的正半轴上，则该圆的标准方
程为_________．
(1,0)F 2
1
143
22
=+ yx 1
34
22
=+ yx 124
22
=+ yx 134
22
=+ yx
1, 2, 3c a b= = =
2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = =
1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n= + = ∴ = − =
1 2AF F△ 1 2BF F△
2 2
2 1
2 2
2 1
4 4 2 2 2 cos 4
4 2 2 cos 9
n n AF F n
n n BF F n
+ − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ =
+ − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ =
2 1 2 1,AF F BF F∠ ∠ 2 1 2 1cos cos 0AF F BF F∴ ∠ + ∠ = 2 1 2 1cos cosAF F BF F∠ ∠,
2 23 6 11n n+ = 3
2n = 2 2 22 4 2 3 , 3 , 3 1 2 ,a n a b a c∴ = = ∴ = ∴ = − = − = ∴
2 2
13 2
x y+ =
²
5
x ²
3
y
2 3 5 2
P 2 2 5a =
2 2
116 4
x y+ = x
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十年高考+大数据预测
【答案】 【解析】 由题意圆过 三个点，设圆心为 ，其中 ，
由 ，解得 ，所以圆的方程为 ．
5．【2019 年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 的焦点为 F1
（–1、0），F2（1，0）．过 F2 作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F2： 交于点 A，
与椭圆 C 交于点 D．连结 AF1 并延长交圆 F2 于点 B，连结 BF2 交椭圆 C 于点 E，连结 DF1．
已知 DF1= ．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）求点 E 的坐标．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）设椭圆 C 的焦距为 2c．
因为 F1(−1，0)，F2(1，0)，所以 F1F2=2，c=1．
又因为 DF1= ，AF2⊥x 轴，所以 DF2= ，
因此 2a=DF1+DF2=4，从而 a=2．
由 b2=a2−c2，得 b2=3．
因此，椭圆 C 的标准方程为 ．
（2）解法一：由（1）知，椭圆 C： ，a=2，
因为 AF2⊥x 轴，所以点 A 的横坐标为 1．
2 23 25( )2 4
− + =x y (4,0),(0,2),(0, 2)- ( ,0)a 0a >
24 4− = +a a 3
2a = 2 23 25( )2 4
− + =x y
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2 2 2( 1) 4x y a− + =
5
2
2 2
14 3
x y+ = 3( 1, )2E − −
5
2
2 2 2 2
1 1 2
5 3( ) 22 2DF F F− = − =
2 2
14 3
x y+ =
2 2
14 3
x y+ =
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十年高考+大数据预测
将 x=1 代入圆 F2 的方程(x−1) 2+y2=16，解得 y=±4．
因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(1，4)．
又 F1(−1，0)，所以直线 AF1：y=2x+2．
由 ，得 ，解得 或 ．
将 代入 ，得 ，
因此 ．
又 F2(1，0)，所以直线 BF2： ．
由 ，得 ，解得 或 ．
又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以 ．
将 代入 ，得 ．
因此 ．
解法二：由（1）知，椭圆 C： ．
如图，连结 E F1．
因为 BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以 EF1=EB，
从而∠BF1E=∠B．
因为 F2A=F2B，所以∠A=∠B，
所以∠A=∠BF1E，从而 EF1∥F2A．
2 2( )
2 2
1 16
y x
x y
= +
− + =
25 6 11 0x x+ − = 1x = 11
5x = −
11
5x = − 2 2y x= + 12
5y = −
11 12( , )5 5B − −
3 ( 1)4y x= −
2 2
14 3
3 ( 1)4
x
y x
y
+ =
−
=
27 6 13 0x x− − = 1x = − 13
7x =
1x = −
1x = − 3 ( 1)4y x= − 3
2y = −
3( 1, )2E − −
2 2
14 3
x y+ =
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十年高考+大数据预测
因为 AF2⊥x 轴，所以 EF1⊥x 轴．
因为 F1(−1，0)，由 ，得 ．
又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以 ．
因此 ．
【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置
关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力．
考点 90 椭圆的几何性质
6．【2019 年高考全国Ⅰ理】已知椭圆 C 的焦点为 ，过 F 2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若
， ，则 C 的方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设 ，则 ，
由椭圆的定义有 ．
在 中，由余弦定理推论得 ．
在 中，由余弦定理得 ，解得 ．
2 2
14 3
1x
x y
+ =
= −
3
2y = ±
3
2y = −
3( 1, )2E − −
1 21,0 1,0F F−( ) ， ( )
2 2| | 2 | |AF F B= 1| | | |AB BF=
2
2 12
x y+ =
2 2
13 2
x y+ =
2 2
14 3
x y+ =
2 2
15 4
x y+ =
2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = =
1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n= + = ∴ = − =
1AF B△
2 2 2
1
4 9 9 1cos 2 2 3 3
n n nF AB n n
+ −∠ = =⋅ ⋅
1 2AF F△ 2 2 14 4 2 2 2 43n n n n+ − ⋅ ⋅ ⋅ = 3
2n =
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十年高考+大数据预测
所求椭圆方程为 ，故选 B．
法二：由已知可设 ，则 ，
由椭圆的定义有 ．
在 和 中，由余弦定理得 ，
又 互 补 ， ， 两 式 消 去 ， 得
，解得 ． 所求椭圆方程为
，故选 B．
7．【2019 年高考北京理】已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，则
A．a2=2b2 B．3a2=4b2
C．a=2b D．3a=4b
【答案】B
【解析】椭圆的离心率 ，化简得 ，
故选 B．
8．【2018·全国Ⅰ文】已知椭圆 ： 的一个焦点为 ，则 的离心率为
A． B．
2 2 22 4 2 3 , 3 , 3 1 2 ,a n a b a c∴ = = ∴ = ∴ = − = − = ∴
2 2
13 2
x y+ =
2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = =
1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n= + = ∴ = − =
1 2AF F△ 1 2BF F△
2 2
2 1
2 2
2 1
4 4 2 2 2 cos 4
4 2 2 cos 9
n n AF F n
n n BF F n
+ − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ =
+ − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ =
2 1 2 1,AF F BF F∠ ∠ 2 1 2 1cos cos 0AF F BF F∴ ∠ + ∠ = 2 1 2 1cos cosAF F BF F∠ ∠,
2 23 6 11n n+ = 3
2n = 2 2 22 4 2 3 , 3 , 3 1 2 ,a n a b a c∴ = = ∴ = ∴ = − = − = ∴
2 2
13 2
x y+ =
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 1
2
2 2 21 ,2
ce c a ba
= = = − 2 23 4a b=
C
2 2
2 14
x y
a
+ = (2 0)， C
1
3
1
2
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十年高考+大数据预测
C． D．
【答案】C
【 解 析 】 由 题 可 得 ， 因 为 ， 所 以 ， 即 ， 所 以 椭 圆 的 离 心 率
，故选 C．
9．【2018· 全 国 Ⅱ 文 】 已 知 ， 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 ， 是 上 的 一 点 ， 若 ， 且
，则 的离心率为
A． B．
C． D．
【答案】 D
【解析】在 中， ，设 ，则 ，
又由椭圆定义可知 ，则 ，故选 D．
10．（2018 上海理）设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题意 ， ．由椭圆的定义可知， 到该椭圆的两个焦点的距离之和为
，故选 C．
11．【2017·全国Ⅰ文】设 A，B 是椭圆 C： 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足∠
AMB=120°，则 m 的取值范围是
A． B．
C． D．
2
2
2 2
3
2c = 2 4b = 2 2 2 8a b c= + = 2 2a = C
2 2
22 2
e = =
1F 2F C P C 1 2PF PF⊥
2 1 60PF F∠ = ° C
31 2
− 2 3−
3 1
2
−
3 1−
1 2F PF△ 1 2 2 190 , 60F PF PF F∠ = ∠ = ° 2PF m= 1 2 12 2 , 3c F F m PF m= = =
1 22 ( 3 1)a PF PF m= + = + 2 2 3 12 ( 3 1)
c c me a a m
= = = = −
+
P
2 2
15 3
x y+ = P
2 2 2 3 2 5 4 2
2 5=a 5=a P
2 2 5=a
2 2
13
x y
m
+ =
(0,1] [9, )+∞ (0, 3] [9, )+∞
(0,1] [4, )+∞ (0, 3] [4, )+∞
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十年高考+大数据预测
【答案】A
【解析】当 时，焦点在 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 ，则 ，
即 ，得 ；
当 时 ， 焦 点 在 轴 上 ， 要 使 C 上 存 在 点 M 满 足 ， 则 ， 即
，得 ，故 的取值范围为 ，故选 A．
12．【2017·浙江卷】椭圆 的离心率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】椭圆 的离心率 ，故选 B．
13．（2015 新课标 1 文）已知椭圆 的中心为坐标原点，离心率为 ， 的右焦点与抛物线 ：
的焦点重合， 是 的准线与 的两个交点，则
A． B． C． D．
【答案】B【解析】∵抛物线 ： 的焦点坐标为 ，准线 的方程为 ①，设椭圆 的方
程为 ，所以椭圆 的半焦距 ，又椭圆的离心率为 ，所以 ，椭
圆 的方程为 ②，联立①②，
解得 或 ，所以 ，故选 B．
14．（2015 广东文）已知椭圆 （ ）的左焦点为 ，则
A． B． C． D．
0 3m< < x 120AMB∠ = tan 60 3a b ≥ = 3 3 m ≥ 0 1m< ≤ 3m > y 120AMB∠ = tan 60 3a
b
≥ =
3
3
m ≥ 9m ≥ m (0,1] [9, )+∞
2 2
19 4
x y+ =
13
3
5
3
2
3
5
9
2 2
19 4
x y+ = 9 4 5
3 3e
−= =
E 1
2 E C 2 8y x=
A B、 C E AB =
3 6 9 12
C 2 8y x= (2,0) l 2x = − E
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > E 2c = 1
2 4, 2 3a b= =
E
2 2
116 12
x y+ =
( 2,3), ( 2, 3)A B− − − ( 2, 3), ( 2,3)A B− − − | | 6AB =
2 2
2 125
x y
m
+ = 0m > ( )1 4,0F − m =
2 3 4 9
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十年高考+大数据预测
【答案】B【解析】由题意得： ，因为 ，所以 ，故选 C．
15．(2014 福建文理)设 分别为 和椭圆 上的点，则 两点间的最大距离
是
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由题意可设 ，圆的圆心坐标为 ，圆心到 的距离为
，当且仅当 时取等
号，所以 ，所以 两点间的最大距离是 ．
16．（2012 新课标文理）设 、 是椭圆 ： 的左、右焦点， 为直线 上
一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】C【解析】 是底角为 的等腰三角形 ，
故选 C．
17．【2019·全国Ⅲ文】设 为椭圆 C： 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限．若
为等腰三角形，则 M 的坐标为___________．
【答案】
【解析】由已知可得 ，
，∴ ．
设点 的坐标为 ，则 ，
又 ，解得 ，
，解得 （ 舍去）， 的坐标为 ．
2 1F PF 30
2 225 4 9m = − = 0m > 3m =
QP, ( ) 26 22 =−+ yx 110
2
2
=+ yx QP,
25 246 + 27 + 26
( 10 cos ,sin )Q α α (0,6)C Q
2 2 22| | ( 10 cos ) (sin 6) 50 9(sin ) 50 5 23CQ α α α= + − = − + =≤ 2sin 3
α = −
max max| | | | 5 2 2 6 2PQ CQ r+ = + =≤ QP, 6 2
1F 2F E )0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x P 2
3ax =
12PFF∆ o30 E
2
1
3
2
4
3
5
4
∆ 2 2 1
3 32( ) 22 4
cPF F F a c c e a
⇒ = = − = ⇔ = =
1 2F F，
2 2
+ 136 20
x y =
1 2MF F△
( )3, 15
2 2 2 2 236 , 20 , 16 , 4a b c a b c= = ∴ = − = ∴ =
1 1 2 2 8MF F F c∴ = = = 2 4MF =
M ( )( )0 0 0 0, 0 , 0x y x y> >
1 2 1 2 0 0
1 42MF FS F F y y= ⋅ ⋅ =△
1 2
2 2
0
1 4 8 2 4 15 , 4 4 152MF FS y= × × − = ∴ =△ 0 15y =
( )2
2
0
15
136 20
x∴ + = 0 3x = 0 3x = − M\ ( )3, 15
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18．【2019·浙江卷】已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方，若线段 的
中点在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率是___________．
【答案】
【解析】方法 1：如图，设 F1 为椭圆右焦点．由题意可知 ，
由中位线定理可得 ，设 ，可得 ，
与方程 联立，可解得 （舍），
又点 在椭圆上且在 轴的上方，求得 ，所以 ．
方法 2：（焦半径公式应用）由题意可知 ，由中位线定理可得 ，即
，从而可求得 ，所以 ．
19．（2012 江西文理）椭圆 的左、右顶点分别是 ，左、右焦点分别是 ．若
成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．
【答案】 【解析】由椭圆的性质可知： ， ， ．又已知 ， ，
2 2
19 5
x y+ = F P x PF
O OF PF
15
| |=| 2OF OM |= c=
1 2 | | 4PF OM= = ( , )P x y 2 2( 2) 16x y− + =
2 2
19 5
x y+ = 3 21,2 2x x= − =
P x 3 15,2 2P
−
15
2 151
2
PFk = =
| 2OF |=|OM |= c= 1 2 | | 4PF OM= =
34 2p pa ex x− = ⇒ = − 3 15,2 2P
−
15
2 151
2
PFk = =
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > ,A B 1 2,F F
1 1 2 1| |,| |,| |AF F F F B
5
5 1AF a c= − 1 2 2F F c= 1F B a c= + 1AF 1 2F F
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十年高考+大数据预测
成等比数列，故 ，即 ，
则 ．故 ．即椭圆的离心率为 ．
20．（2011 浙江文理）设 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，若 ；
则点 的坐标是 ．
【答案】 【解析】设点 的坐标为 ， 点的坐标为 ．
，可得 ， ，
∵ ，∴ ，又点 在椭圆上，∴ ， ，
解得 ，∴点 的坐标是 ．
21．【2019 年高考全国Ⅱ文】已知 是椭圆 的两个焦点，P 为 C 上一点，O
为坐标原点．
（1）若 为等边三角形，求 C 的离心率；
（2）如果存在点 P，使得 ，且 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ，a 的取值范围为 ．
【解析】（1）连结 ，由 为等边三角形可知在 中， ， ，
，于是 ，故 的离心率是 ．
（ 2 ） 由 题 意 可 知 ， 满 足 条 件 的 点 存 在 ． 当 且 仅 当 ， ，
，即 ，①
，②
，③
1F B 2( )( ) (2 )a c a c c− + = 2 2 24a c c− =
2 25a c= 5
5
ce a
= = 5
5
1 2,F F
2
2 13
x y+ = ,A B 1 25F A F B=
A
(0, 1)± A ( , )m n B ( , )c d
1 2( 2,0), ( 2,0)F F− 1 ( 2, )F A m n= +
2 ( 2, )F B c d= −
1 25F A F B= 6 2 ,5 5
m nc d
+= = ,A B
2
2 13
m n+ =
2
2
6 2( )5 ( ) 13 5
m
n
+
+ =
0, 1m n= = ± A (0, 1)±
1 2,F F
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > >
2POF△
1 2PF PF⊥ 1 2F PF△
3 1− 4b = [4 2, )+∞
1PF 2POF△ 1 2F PF△ 1 2 90F PF∠ = ° 2PF c=
1 3PF c= 1 22 ( 3 1)a PF PF c= + = + C 3 1ce a
= = −
( , )P x y 1 | | 2 162 y c⋅ = 1y y
x c x c
⋅ = −+ −
2 2
2 2 1x y
a b
+ = | | 16c y =
2 2 2x y c+ =
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
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十年高考+大数据预测
由②③及 得 ，又由①知 ，故 ．
由②③得 ，所以 ，从而 故 ．
当 ， 时，存在满足条件的点P，所以 ， 的取值范围为 ．
22．（2015 安徽理）设椭圆 的方程为 ，点 为坐标原点，点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，点 在线段 上，满足 ，直线 的斜率为 ．
（Ⅰ）求 的离心率 ；
（Ⅱ）设点 的坐标为 ， 为线段 的中点，点 关于直线 的对称点的纵坐标为 ，求
的方程．
【解析】（1）由题设条件知，点 的坐标为 ，又 ，从而 ，进而得
，故 ．
（2）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线 的方程为 ，点 的坐标为 ，
设点 关于直线 的对称点 的坐标为 ，则线段 的中点 的坐标为 ．又
点 在直线 上，且 ，从而有 ，解得 ，所以 ，
故椭圆 的方程为 ．
2 2 2a b c= +
4
2
2
by c
=
2
2
2
16y c
= 4b =
( )2
2 2 2
2
ax c bc
= − 2 2c b≥ 2 2 2 22 32,a b c b= + ≥ = 4 2a ≥
4b = 4 2a ≥ 4b = a [4 2, )+∞
E ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > O A ( )0a，
B ( )0 b， M AB 2BM MA= OM 5
10
E e
C ( )0 b−， N AC N AB 7
2 E
M 2 1( , )3 3a b 5
10OMk = 5
2 10
b
a
=
2 25 , 2a b c a b b= = − = 2 5
5
ce a
= =
AB 1
5
x y
bb
+ = N 5 1( , )2 2b b−
N AB S 1
7( , )2x NS T 15 1 7( , )4 2 4 4
xb b+ − +
T AB 1NS ABk k⋅ = −
1
1
5 1 7
4 2 4 4 1
5
7 1
2 2 5
5
2
xb b
bb
b
bx
+ − +
+ =
+
=
−
3b = 3 5b =
E
2 2
145 9
x y+ =
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十年高考+大数据预测
23．（2013 安徽文理）如图， 分别是椭圆 ： + =1（ ）的左、右焦点， 是椭圆
的顶点， 是直线 与椭圆 的另一个交点， =60°．
（Ⅰ）求椭圆 的离心率；
（Ⅱ）已知△ 的面积为 40 ，求 a， b 的值．
【解析】（Ⅰ）
（Ⅱ）设 ；则 ，在 中，
，
面积 ．
考点 91 直线与椭圆的位置关系
24． 【2018 高考全国 2 理 12】已知 是椭圆 的左、右焦点， 是 的左顶点，
点 在过 且斜率为 的直线上， 等腰三角形， ，则 的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】试题分析：先根据条件得 ，再利用正弦定理得 关系，即得离心率．
试题解析：因为 为等腰三角形， ，
由 斜 率 为 得 ， ， 由 正 弦 定 理 得
x
y
O
A
F1
F2
B
21, FF C 2
2
a
x
2
2
b
y 0>> ba A C
B 2AF C 1F∠ A 2F
C
A BF1 3
1 2
160 2 2
cF AF a c e a
ο∠ = ⇔ = ⇔ = =
2BF m= 1 2BF a m= − 1 2BF F∆ 2 2 2
1 2 1 2 2 1 22 cos120BF BF F F BF F F ο= + − × ×
2 2 2 3(2 ) 5a m m a am m a⇔ − = + + ⇔ =
1AF B∆ 2 1
1 1 3 3sin 60 ( ) 40 3 10, 5, 5 32 2 5 2S F F AB a a a a c bο= × × × ⇔ × × + × = ⇔ = = =
1 2,F F
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > A C
P A 3
6 1 2PF F△ 1 2 120F F P∠ = C
2
3
1
2
1
3
1
4
2 2PF c= ,a c
1 2PF F△ 1 2 2 1 2120 , 2F F P PF F F c∠ = ° = =
AP 3
6 2 2 2
3 1 12tan , sin , cos6 13 13
PAF PAF PAF∠ = ∴ ∠ = ∴ ∠ =
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十年高考+大数据预测
，故选 D．
25．（2017 新课标Ⅲ文理）已知椭圆 ： 的左、右顶点分别为 ， ，且以线段
为直径的圆与直线 相切，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】以线段 为直径的圆是 ，直线 与圆相切，所以圆心到
直线的距离 ，整理为 ，即 ，即 ，
，故选 A．
26．【2016·新课标 1 文数】直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的
1
4，则该椭圆的离心率为（ ）
（A）1
3 （B）1
2 （C）2
3 （D）3
4
【答案】B
【解析】如图，在椭圆中， ，
在 中， ，且 ，代入解得
，所以椭圆的离心率为 ，故选 B．
2 2
2 2
2
1 1
sin 2 2 113 13, , 4 ,sin 5 43 12 1 1sin 3 2 213 13
PF PAF c a c eAF APF a c PAF
∠= ∴ = = = ∴ = ∴ =π∠ + − ∠ ⋅ − ⋅
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1A 2A 1 2A A
2 0bx ay ab− + = C
6
3
3
3
2
3
1
3
1 2A A 2 2 2x y a+ = 2 0bx ay ab− + =
2 2
2abd a
a b
= =
+
2 23a b= ( )2 2 2 2 23 2 3a a c a c= − ⇒ =
2
2
2
3
c
a
=
6
3
ce a
= =
1 1, , 24 2OF c OB b OD b b= = = × =
Rt OFB△ | | | | | | | |OF OB BF OD× = × 2 2 2a b c= +
2 24a c= 1
2e =
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十年高考+大数据预测
27．（2016 年全国 III 文理）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： 的左焦点，A，B 分
别为 C 的左，右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点
E．若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为
A． B． C．
D．
【答案】A
【解析】由题意设直线 的方程为 ，分别令 与 得 ， ，
设 OE 的中点为 H，由 ，得 ，即 ，整理得 ，
所以椭圆离心率为 ，故选 A．
28．（2016 江苏理）如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 的右焦点，直线
与椭圆交于 两点，且 ，则该椭圆的离心率是 ．
【答案】 【解析】由题意得 ，直线 与椭圆方程联立可得 ， ，由
可得 ， ， ，则 ，由
可得 ，
则 ．
29．（2015 福建文）已知椭圆 的右焦点为 ．短轴的一个端点为 ，直线
交椭圆 于 两点．若 ，点 到直线 的距离不小于 ，则椭圆
F
CB
O
y
x
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
+ = > > F M
:3 4 0l x y− = E ,A B 4AF BF+ = M l 4
5 E
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
1
3
1
2
2
3
3
4
l ( )y k x a= + x c= − 0x = | | | |( )FM k a c= − | | | |OE k a=
OBH FBM△ ∽△
1 | | | |2
| | | |
OE OB
FM BF
= | |
2 | | ( )
k a a
k a c a c
=− +
1
3
c
a
=
1
3e =
xOy F ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > >
2
by =
,B C 90BFC∠ = °
6
3
( ),0F c 2
by = 3 ,2 2
a bB
−
3 ,2 2
a bC
90BFC∠ = ° 0BF CF⋅ = 3 ,2 2
a bBF c
= + −
3 ,2 2
a bCF c
= − −
2 2 23 1 04 4c a b− + =
2 2 2b a c= − 2 23 1
4 2c a=
2 6
3 3
ce a
= = =
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十年高考+大数据预测
的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A【解析】设椭圆的左焦点为 ，半焦距为 ，连结 ， ，则四边形 为平行四边形，
所以 ，根据椭圆定义，
有 ，所以 ，解得 ．因为点 到直线 ： 的距离
不小于 ，即 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 ，所以椭圆的离心率的取值范围为 ．
30．（2013 新课标 1 文理）已知椭圆 的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交椭圆于
A．B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为
A．x2
45＋y2
36＝1 B．x2
36＋y2
27＝1 C．x2
27＋y2
18＝1 D．x2
18＋y2
9 ＝1
【答案】D【解析】设 ，则 =2， =－2，
① ②
①－②得 ，∴ = = = ，又 =
= ，∴ = ，又 9= = ，解得 =9， =18，∴椭圆方程为 ，故选 D．
31．【2020 年高考上海卷 10】已知椭圆 ，直线 经过椭圆右焦点 ，交椭圆 于 两
点 （ 点 在 第 二 象 限 ），若 关 于 轴 对 称 的 点 为 ， 且 满 足 ， 则 直 线 的 方 程
为 ．
【答案】
【解析】由条件可知 是等腰直角三角形，所以直线 的倾斜角是 ，所以直线 的斜率是
3(0, ]2
3(0, ]4
3[ ,1)2
3[ ,1)4
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2x x+ 1 2y y+
2 2
1 1
2 2 1x y
a b
+ =
2 2
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y
a b
+ − + −+ = ABk 1 2
1 2
y y
x x
−
−
2
1 2
2
1 2
( )
( )
b x x
a y y
+− +
2
2
b
a ABk 0 1
3 1
+
−
1
2
2
2
b
a
1
2
2c 2 2a b− 2b 2a
2 2
118 9
x y+ =
1F c 1AF 1BF 1AF BF
1 1| | | | | | | | 4AF BF AF BF+ = + =
1 1| | | | | | | | 4AF AF BF BF a+ + + = 8 4a= 2a = M l 3 4 0x y+ =
4
5
4 4 , 15 5
b b≥ ≥ 2 1b ≥
2 2 21,4 1a c c− −≥ ≥ 0 3c< ≤ 30 2 c a < ≤ 3(0, ]2 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > >
2 2
: 14 3
x yC + = l F C ,P Q
P Q x 'Q 'PQ FQ⊥ l
1y x= − +
FQQ′ l 135 l
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十年高考+大数据预测
， 且 过 点 ， 得 到 直 线 的 方 程 为 ， 即 ． 故 答 案 为 ：
．
32．（2018 浙江理）已知点 ，椭圆 （ ）上两点 ， 满足 ，则当 =___
时，点 横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【解析】设 ， ，由 得 ， ，所以 ，
因为 ， 在椭圆上，所以 ， ，所以 ，
所以 ，与 对应相减得 ， ，
当且仅当 时取最大值．
33．（2018 浙江文）已知点 ，椭圆 ( )上两点 ， 满足 ，则当 =___
时，点 横坐标的绝对值最大．
【答案】5【解析】设 ， ，由 ，得 ，
即 ， ．因为点 ， 在椭圆上，所以 ，得 ，所
以 ，
所以当 时，点 横坐标的绝对值最大，最大值为 2．
34．（2015 浙江文）椭圆 （ ）的右焦点 关于直线 的对称点 在椭圆
上，则椭圆的离心率是 ．
【答案】 【解析】设左焦点为 ，由 关于直线 的对称点 在椭圆上，得 ，又2
2
tan135 1= − ( )1,0F l ( )1y x= − − 1y x= − +
1y x= − +
(0,1)P
2
2
4
x y m+ = 1m > A B 2AP PB= m
B
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2AP PB= 1 22x x− = 1 21 2( 1)y y− = − 1 22 3y y− = −
A B
2
21
14
x y m+ =
2
22
24
x y m+ =
2
22
2
4 (2 3)4
x y m+ − =
2
2
4
x + 2
2
3
2 4( ) my − = 2
22
24
x y m+ = 2
3
4
my
+= 2 2
2
1 ( 10 9) 44x m m= − − + ≤
5m =
(0,1)P
2
2
4
x y m+ = 1m > A B 2AP PB= m
B
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2AP PB= 1 2
1 2
2
1 2( 1)
x x
y y
− =
− = −
1 22x x= − 1 23 2y y= − A B
2
22
2
2
22
2
4 (3 )4
4
x x m
x y m
+ − =
+ =
2
1 3
4 4y m= +
2 2 2 2
2 2
1 5 9 1(3 2 ) ( 5) 4 44 2 4 4x m y m m m= − − = − + − = − − + ≤
5m = B
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > ( ),0F c by xc
= Q
1F F by xc
= Q | | | |OQ OF=
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十年高考+大数据预测
，所以 ，不妨设 ，则 ， ，因此 ，又
，由以上二式可得 ，即 ，即 ，所以 ， ．
35．（2014江西文理）过点 作斜率为 的直线与椭圆 ： 相交于 两点，
若 是线段 的中点，则椭圆 的离心率等于 ．
【答案】 【解析】设 ， ，分别代入椭圆方程相减得
，根据题意有 ，
且 ，所以 ，得 ，整理 ，所以 ．
36．（2014 辽宁文）已知椭圆 ： ，点 与 的焦点不重合，若 关于 的焦点的对称点分
别为 ， ，线段 的中点在 上，则 ．
【答案】12【解析】设 交椭圆于点 ，连接 和 ，利用中位线定理可得
．
37．（2014 江西文）设椭圆 的左右焦点为 ，作 作 轴的垂线与 交于
两点， 与 轴相交于点 ，若 ，则椭圆 的离心率等于________．
【答案】 【解析】由题意可得 ， ，由题意可知点 为 的中点，所以点 的坐
标为 ，由 ，所以 ，整理得 ，解得 ．
38．（2014 安徽文）设 分别是椭圆 的左、右焦点，过点 的直线交椭圆
于 两点，若 轴，则椭圆 的方程为____．
21, FF )10(1: 2
2
2 ,A B
M AB C
2
2 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y
a b
− + − ++ = 1 2 1 22, 2x x y y+ = + =
1 2
1 2
1
2
y y
x x
− = −− 2 2
2 2 1( ) 02a b
+ × − = 2 22a b= 2 22a c= 2
2e =
C
2 2
19 4
x y+ = M C M C
A B MN C | | | |AN BN+ =
MN P 1F P 2F P AN BN+ =
1 22 2 2 2 4 12F P F P a a+ = × = =
( )01: 2
2
2
2
>>=+ bab
y
a
xC 21 FF， 2F x C
BA， BF1 y D BFAD 1⊥ C
3
3
2
( , )bA c a
2
( , )bB c a
− D 1F B D
2
(0, )2
b
a
− BFAD 1⊥
1
1AD F Bk k⋅ = − 23 2b ac= 3
3e =
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十年高考+大数据预测
【答案】 【解析】由题意得通径 ，∴点 B 坐标为
将点 B 坐标带入椭圆方程得 ，
又 ，解得 ，
∴椭圆方程为 ．
39．（2013 福建文）椭圆 的左、右焦点分别为 ，焦距为 ．若直线
与 椭 圆 的 一 个 交 点 满 足 ， 则 该 椭 圆 的 离 心 率 等
于 ．
【答案】 【解析】由题意可知， 中， ，
所以有 ，整理得 ，故答案为 ．
40．【2020 年高考全国Ⅲ文 21 理数 20】已知椭圆 的离心率为 ， 分
别为 的左、右顶点．
（1）求 的方程；
（2）若点 在 上，点 在直线 上，且 ，求△ 的面积．
【 解 析 】 解 法 一 ： （ 1 ） 由 ， 得 ， 即 ， ∴ ， 故 的 方 程 为
．
（2）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，根据对称性，只需考虑 的情形，此时 ，
．
∵ ，∴有 ①．
又∵ ，∴ ②．
)0(1: 2
2
2
2
>>=+Γ bab
y
a
x
21, FF c2
Γ M 1221 2 FMFFMF ∠=∠
13 − 21FMF∆ °=∠°=∠°=∠ 90,30,60 211221 MFFFMFFMF
=
=+
==+
12
21
22
21
2
2
2
1
3
2
)2(
MFMF
aMFMF
cFFMFMF
13 −==
a
ce 13 −
2 23 12x y+ = 2
2AF b= 25 1( , )3 3
cB b− −
2 2
2
2
1( )5 3( ) 13
bc
b
−
− + =
2 21b c= −
2
2
2
3
1
3
b
c
=
=
2 23 12x y+ =
( )3y x c= +
( )2 2
2: 1 0 525
x yC mm
+ = < < 15 4 ,A B C C P C Q 6x = ,BP BQ BP BQ= ⊥ APQ ce a = 2 2 21 be a = − 215 116 25 m= − 2 25 16m = C 2 216 125 25 x y+ = P ( , )s t Q (6, )n 0n > 5 5s− < < 50 4t< | | | |BP BQ= 2 2 2( 5) 1s t n− + = + BP BQ⊥ 5 0s nt− + =
21 / 43
十年高考+大数据预测
又 ③．
联立①、②、③，可得， 或 ．
当 时， ， ，∴ ．
同理可得，当 时， ．综上所述，可得 的面积为 ．
解法二：（1） ， ， ，
根据离心率 ，解得 或 (舍)，
的方程为： ，即 ．
（2） 点 在 上，点 在直线 上，且 ， ，过点 作 轴垂线，交点为 ，
设 与 轴交点为 ，根据题意画出图形，如图，
， ， ，又 ，
， ，根据三角形全等条件“ ”，可得：
， ， ， ．
2 216 125 25
s t+ =
3
1
2
s
t
n
=
=
=
3
1
8
s
t
n
= −
=
=
3
1
2
s
t
n
=
=
=
(8,1)AP = (11,2)AQ = 2 2 21 1 5( ) |8 2 11 1|2 2 2APQS AP AQ AP AQ= ⋅ − ⋅ = × − × =
△
3
1
8
s
t
n
= −
=
=
5
2APQS =△ APQ△ 5
2
2 2
2: 1(0 5)25
x yC m
m
+ = < < ∴ 5a = b m= 2 2 15 41 1 5 c b me a a = = − = − = 5 4m = 5 4m = − ∴ C 2 2 2 1 4 25 5 x y + = 2 216 125 25 x y+ = P C Q 6x = | | | |BP BQ= BP BQ⊥ P x M 6x = x N | | | |BP BQ= BP BQ⊥ 90PMB QNB∠ = ∠ = ° 90PBM QBN∠ + ∠ = ° 90BQN QBN∠ + ∠ = ° ∴ PBM BQN∠ = ∠ AAS PMB BNQ≅△ △ 2 216 125 25 x y+ = ∴ (5,0)B ∴ 6 5 1PM BN= = − =
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十年高考+大数据预测
设 点为 ，可得 点纵坐标为 ，将其代入 ，可得： ，
解得： 或 ， 点为 或 ，
①当 点为 时，故 ， ， ，可得： 点为 ，
画出图象，如图，
， ，可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ，
根据两点间距离公式可得： ， 面积为： ．
②当 点为 时，故 ， ， ，
可得： 点为 ，画出图象，如图，
， ，可求得直线 的直线方程为： ，根据点到直线距离公式可得
到直线 的距离为： ，根据两点间距离公式可得：
P ( , )P Px y P 1Py =
2 216 125 25
x y+ =
2 16 125 25
Px + =
3Px = 3Px = − ∴ P (3,1) ( 3,1)−
P (3,1) 5 3 2MB = − = PMB BNQ≅△ △ ∴| | | | 2MB NQ= = Q (6,2)
( 5,0)A − (6,2)Q AQ 2 11 10 0x y− + =
P AQ
2 2
2 3 11 1 10 5 5
51252 11
d
× − × += = =
+
( ) ( )2 26 5 2 0 5 5AQ = + + − = ∴ APQ
1 5 55 52 5 2
× × =
P ( 3,1)− 5+3 8MB = = PMB BNQ≅△ △ ∴| | | | 8MB NQ= =
Q (6,8)
( 5,0)A − (6,8)Q AQ 8 11 40 0x y− + = P
AQ
( )
2 2
8 3 11 1 40 5 5
185 1858 11
d
× − − × += = =
+
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十年高考+大数据预测
， 面积为： ．
综上所述， 面积为： ．
41．【2020 年高考天津卷 18】已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为 ，且
，其中 为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点 满足 ，点 在椭圆上（ 异于椭圆的顶点），直线 与以 为圆心的圆相切
于点 ，且 为线段 的中点．求直线 的方程．
【解析】（Ⅰ） 椭圆 的一个顶点为 ， ，
由 ，得 ，又由 ，得 ，所以椭圆的方程为 ．
（Ⅱ） 直线 与以 为圆心的圆相切于点 ，所以 ，
根据题意可知，直线 和直线 的斜率均存在，
设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，即 ，
，消去 ，可得 ，解得 或 ．
将 代入 ，得 ，所以点 的坐标为 ，
因为 为线段 的中点，点 的坐标为 ，所以点 的坐标为 ，
由 ，得点 的坐标为 ，所以直线 的斜率为 ，
又因为 ，所以 ，整理得 ，解得 或 ．
所以，直线 的方程为 或 ．
( ) ( )2 26 5 8 0 185AQ = + + − = ∴ APQ
1 5 51852 2185
× × =
APQ
5
2
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > (0, 3)A − F
| | | |OA OF= O
C 3OC OF= B B AB C
P P AB AB
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > ( )0, 3A − ∴ 3b =
OA OF= 3c b= = 2 2 2a b c= + 2 2 2 83 13a = + =
2 2
118 9
x y+ =
AB C P CP AB⊥
AB CP
AB k AB 3y kx+ = 3y kx= −
2 2
3
118 9
y kx
x y
= − + =
y ( )2 22 1 12 0k x kx+ − = 0x = 2
12
2 1
kx k
= +
2
12
2 1
kx k
= + 3y kx= − 2
2 2
12 6 3
2 1 2 13 ky k k
kk= ⋅ − −=+ + B
2
2 2
12 6 3,2 1 2 1
k k
k k
−
+ +
P AB A ( )0, 3− P 2 2
6 3,2 1 2 1
k
k k
−
+ +
3OC OF= C ( )1,0 CP
2
2
2
3 0 32 1
6 2 6 112 1
CP
k
k k k
k
k
− −+ = − +−+
=
CP AB⊥ 2
3 12 6 1k k k
⋅ = −− +
22 3 1 0k k− + = 1
2k = 1k =
AB 1 32y x= − 3y x= −
24 / 43
十年高考+大数据预测
42．【2019 年高考天津理】设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ．已知椭圆的短轴长
为 4 ，离心率为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半轴
上．若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ，
．
所以，椭圆的方程为 ．
（2）由题意，设 ．设直线 的斜率为 ，
又 ，则直线 的方程为 ，
与椭圆方程联立 整理得 ，
可得 ，代入 得 ，
进而直线 的斜率 ．
在 中，令 ，得 ．
由题意得 ，所以直线 的斜率为 ．
由 ，得 ，化简得 ，从而 ．
所以，直线 的斜率为 或 ．
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > F B
5
5
P M PB x N y
| | | |ON OF= O OP MN⊥ PB
c 52 4, 5
cb a
= = 2 2 2a b c= + 5a = 2,b =
1c =
2 2
15 4
x y+ =
( )( ) ( )0 , ,0P P p MP x y x M x≠， PB ( )0k k ≠
( )0,2B PB 2y kx= +
2 2
2,
1,5 4
y kx
x y
= + + =
( )2 24 5 20 0k x kx+ + =
2
20
4 5P
kx k
= − + 2y kx= +
2
2
8 10
4 5P
ky k
−= +
OP
24 5
10
P
p
y k
x k
−= −
2y kx= + 0y = 2
Mx k
= −
( )0, 1N − MN 2
k−
OP MN⊥
24 5 110 2
k k
k
− ⋅ − = − −
2 24
5k = 2 30
5k = ±
PB 2 30
5
2 30
5
−
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十年高考+大数据预测
43．【2019 年高考天津文】设椭圆 的左焦点为 F，左顶点为 A，上顶点为 B．已知
（O 为原点）．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设经过点 F 且斜率为 的直线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P，圆 C 同时与 x 轴和直线 l 相切，圆心 C
在直线 x=4 上，且 ，求椭圆的方程．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为 c，由已知有 ，又由 ，消去 得 ，
解得 ，所以椭圆的离心率为 ．
（2）由（1）知， ，故椭圆方程为 ．
由题意， ，则直线 的方程为 ，
点 P 的坐标满足 消去 并化简，得到 ，解得 ．
代入到 的方程，解得 ．
因为点 在 轴上方，所以 ．
由圆心 在直线 上，可设 ．
因为 ，且由（1）知 ，故 ，解得 ．
因为圆 与 轴相切，所以圆的半径长为 2，又由圆 与 相切，得 ，可得 ．
所以，椭圆的方程为 ．
44．【2018 高考全国 III 文 20】（12 分）
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
3 | | 2 | |OA OB=
3
4
OC AP∥
3 2a b= 2 2 2a b c= + b
2
2 23
2a a c
= +
1
2
c
a
= 1
2
2 , 3a c b c= =
2 2
2 2 14 3
x y
c c
+ =
( , 0)F c− l 3 ( )4y x c= +
2 2
2 2 1,4 3
3 ( ),4
x y
c c
y x c
+ =
= +
y 2 27 6 13 0x cx c+ − = 1 2
13, 7
cx c x= = −
l 1 2
3 9,2 14y c y c= = −
P x 3, 2P c c
C 4x = (4, )C t
OC AP∥ ( 2 , 0)A c−
3
2
4 2
ct
c c
= +
2t =
C x C l 2
3 (4 ) 24 2
31 4
c+ −
=
+
=2c
2 2
116 12
x y+ =
26 / 43
十年高考+大数据预测
已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为 ．
（1）证明： ；
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ．证明： ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】试题分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明；（2）解出 ，进而求出点 的坐标，得到
，再由两点间距离公式表示出 ，得到直l的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求
解．
试题解析：（1）设 ， ，则 ， ．
两式相减，并由 得 ．
由题设知 ， ，于是 ．由题设得 ，故 ．
（2）由题意得 F（1，0）．设 ，则 ．
由（1）及题设得 ， ．
又点 P 在 C 上，所以 ，从而 ， ．
于是 ．同理 ．
所以 ，故 ．
45．【2018 高考天津文 19】（本小题满分 14 分）
设椭圆 的右顶点为 ，上顶点为 ．已知椭圆的离心率为 ， ．
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线 与椭圆交于 两点， 与直线 交于点 ，且点 均在第四象限．若
的面积是 面积的 2 倍，求 的值．
【解析】试题分析：（I）由题意结合几何关系可求得 ．则椭圆的方程为 ．
（I I）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，由题意可得 ．
k l
2 2
: 14 3
x yC + = ,A B AB ( )( )1, 0M m m >
1
2k < − F C P C FP FA FB+ + = 0 2 FP FA FB= + m P FP ,FA FB 1 1( )A x y， 2 2( )B x y， 2 2 1 1 14 3 x y+ = 2 2 2 2 14 3 x y+ = 1 2 1 2 =y y kx x − − 1 2 1 2 04 3 x x y y k + ++ ⋅ = 1 2 12 x x+ = 1 2 2 y y m + = 3 4k m = − 30 2m< < 1 2k < − 3 3( )P x y， 3 3 1 1 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (0 0)x y x y x y− + − + − =， ， ， ， 3 1 23 ( ) 1x x x= − + = 3 1 2( ) 2 0y y y m= − + = − < 3 4m = 3(1 )2P −， 3| |= 2FP 2 2 2 2 1 1 1 1 1| | ( 1) ( 1) 3(1 ) 24 2 x xFA x y x= − + = − + − = − 2| |=2 2 xFB − 1 2 14 ( ) 32FA FB x x+ = − + = 2 FA FBFP += 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > A B 5
3 13AB =
( ): 0l y kx k= < ,P Q l AB M ,P M BPM△ BPQ△ k 3 , 2a b= = 2 2 19 4 x y+ = P ( )1 1,x y M ( )2 2,x y 2 15x x=
27 / 43
十年高考+大数据预测
易知直线 的方程为 ，由方程组 可得 ．由方程组
可得 ．结合 ，可得 ，或 ．经检验푘的值为 ．
试 题 解 析 ： （ I ） 设 椭 圆 的 焦 距 为 ， 由 已 知 得 ， 又 由 ， 可 得 ． 由
，从而 ．所以，椭圆的方程为 ．
（II）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，由题意， ，
点푄的坐标为 ．由 的面积是 面积的 2 倍，可得 ，
从而 ，即 ．
易知直线 的方程为 ，由方程组 消去 ，可得 ．由方程组
消去 ，可得 ．由 ，可得 ，两边平方，整理
得 ，解得 ，或 ．
当 时， ，不合题意，舍去；当 时， ，符合题意．
所以， 的值为 ．
46 ．【 2018 高 考 江 苏 18 】 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 椭 圆 过 点 ， 焦 点
，圆 的直径为 ．
（1）求椭圆 及圆 的方程；
（2）设直线 与圆 相切于第一象限内的点 ．
①若直线 与椭圆 有且只有一个公共点，求点 的坐标；
②直线 与椭圆 交于 两点．若 的面积为 ，求直线 的方程．
AB 2 3 6x y+ = 2 3 6 ,
,
x y
y kx
+ =
= 2
6
3 2x k
= +
2 2
1,9 4
,
x y
y kx
+ =
=
1 2
6
9 4
x
k
=
+ 2 15x x= 8
9k = − 1
2k = − 1
2
−
2c
2
2
5
9
c
a
= 2 2 2a b c= + 2 3a b=
2 2 13AB a b= + = 3 , 2a b= =
2 2
19 4
x y+ =
P ( )1 1,x y M ( )2 2,x y 2 1 0x x> >
( )1 1,x y− − BPM△ BPQ△ 2PM PQ=
( )2 1 1 12x x x x− = − − 2 15x x=
AB 2 3 6x y+ = 2 3 6 ,
,
x y
y kx
+ =
= y 2
6
3 2x k
= +
2 2
1,9 4
,
x y
y kx
+ =
=
y 1 2
6
9 4
x
k
=
+ 2 15x x= ( )29 4 5 3 2k k+ = +
218 25 8 0k k+ + = 8
9k = − 1
2k = −
8
9k = − 2 9 0x = − < 1 2k = − 2 1 1212 , 5x x= = k 1 2 − xOy C 13 , 2 ( ) ( )1 23 , 0 , 3 , 0F F− O 1 2F F C O l O P l C P l C ,A B OAB△ 2 6 7 l
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十年高考+大数据预测
【解析】试题分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得
，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解
方程组可得切点坐标．第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以
及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程．
试题解析：（1）因为椭圆 的焦点为 ，
可设椭圆 的方程为 ．
又点 在椭圆 C 上， ，解得
因此，椭圆 的方程为 ．因为圆 的直径为 ，所以其方程为 ．
（2）①设直线 与圆 相切于 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
由 ，消去 y，得 ．（*）
直线 与椭圆 有且只有一个公共点，
．
．因此，点 的坐标为 ．
② 的面积为 ，所以 ，从而 ．
设 ，由（*）得 ，
,a b
C 1 2( ) 3,0 , ( 3,0)F F−
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
1( 3, )2
2 2
2 2
3 1 1,4
3,
a b
a b
+ =∴
− =
2
2
4,
1,
a
b
= =
C
2
2 14
x y+ = O 1 2F F 2 2 3x y+ =
l O 0 0 0 0( ), ,( 0 0)P x y x y> > 2 2
0 0 3x y+ =
l 0
0 0
0
( )xy x x yy
= − − + 0
0 0
3xy xy y
= − +
2
2
0
0 0
1,4
3 ,
x y
xy xy y
+ =
= − +
2 2 2 2
0 0 0 04 24 36 4 0( )x y x x x y+ − + − =
l C
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0( ) ( )( )24 4 4 36 4 0(4 8 2)x x y y y x∴∆ = − − + − = − =
0 0 0 0, 0 , 2 , 1x y x y> ∴ = = P ( )2 ,1
OAB△ 2 6
7
21
2
6
7AB OP⋅ = 4 2
7AB =
1 1 2 2, ,( ) ( ),A x y B x y
2 2
0 0 0
2 2
0 0
1,2
24 48 ( 2)
2(4 )
x y x
xx y
± −= +
29 / 43
十年高考+大数据预测
．
， ，即 ，
解得 舍去），则 ，因此 的坐标为 ．
综上，直线 的方程为 ．
47．【2018 高考全国 1 理 19】（本小题满分 12 分）
设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 ．
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： ．
【解析】试题分析：（1）首先根据 与 轴垂直，且过点 ，求得直线 的方程为 ，代入椭圆
方程求得点 的坐标为 或 ，利用两点式求得直线 的方程；（2）分直线 与 轴重
合、 与 轴垂直、 与 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情
况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果．
试 题 解 析 ： （ 1 ） 由 已 知 得 ， 的 方 程 为 ． 由 已 知 可 得 ， 点 的 坐 标 为 或
．所以 的方程为 或 ．
（2）当 与 轴重合时， ．
当 与 轴垂直时， 为 的垂直平分线， ．
2
2 2
1 21
2( ) ( )AB yx x y∴ = − + −
2 2 2
0 0 0
2 2 2 2
0 0 0
48 ( 2)(1 ) (4 )
x y x
y x y
−= + ⋅ +
2 2
0 0 3x y+ =
2
2 0
2 2
0
16( 2) 32
( 1) 49
xAB x
−∴ = =+
4 2
0 02 45 100 0x x− + =
2 2
0 0
5 ( 202x x= = 2
0
1
2y = P 10 2( , )2 2
l 5 3 2y x= − +
2
2: 12
xC y+ = F F l C ,A B M ( )2 , 0
l x AM
O OMA OMB∠ = ∠
l x ( )1, 0F l 1x =
A 21, 2
21, 2
− AM l x
l x l x
( )1, 0F l 1x = A 21, 2
21, 2
− AM 2 22y x= − + 2 22y x= −
l x 0OMA OMB∠ = ∠ = °
l x OM AB OMA OMB∴∠ = ∠
30 / 43
十年高考+大数据预测
当 与 轴不重合也不垂直时，设 的方程为 ， ，
则 ，直线 的斜率之和为 ．
由 得 ．
将 代入 得 ．
．
从而 ，故 的倾斜 角互补， ．
综上， ．
48．【2018 高考全国 3 理 20】（12 分）
已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为 ．
（1）证明： ；
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ．证明： 成等差数列，并求该
数列的公差．
【解析】试题分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明；（2）解出 ，进而求出点 的坐标，得到
，再由两点间距离公式表示出 ，得到直l的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求
解．
试题解析：（1）设 ，则 ．
两式相减，并由 得 ．
由题设知 ，于是 ．①
由题设得 ，故 ．
（2）由题意得 ，设 ，则 ．
l x l ( 1)( 0)y k x k= − ≠ 1 2 21( , ), ( , )A y x yx B
1 22, 2x x< < MA MB, 2 1 2 1 2 2MA MB x x y yk k+ = +− − 11 22,y k k xy kx k= − = − 1 2 1 2 1 2( 2 3 ( ) 4 2)( 2)MA MB x x x xk k x x kk k − + ++ = − − ( 1)y k x= − 2 2 12 x y+ = 2 2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x k x k+ − + − = 2 2 1 2 1 2 1 3 3 3 2 2 1 22 2 4 2 2 4 4 12 8 4, , 2 3 ( ) 4 02 1 2 1 2 1 k k k k k k kkx x x x x x k kk k x x k − − − + ++ = = ∴ − + + =∴ =+ + + 0MA MBk k+ = MA MB, OMA OMB∴∠ = ∠ OMA OMB∠ = ∠ k l 2 2 : 14 3 x yC + = ,A B AB ( )( )1, 0M m m >
1
2k < − F C P C FP FA FB+ + = 0 , ,FA FP FB m P FP ,FA FB ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2 2 2 1 1 2 21, 14 3 4 3 x y x y+ = + = 1 2 1 2 y y kx x − =− 1 2 1 2 04 3 x x y y k + ++ ⋅ = 1 2 1 21,2 2 x x y y m + += = 3 4k m = − 30 2m< < 1 2k < − ( )1, 0F ( )3 3,P x y ( ) ( ) ( ) ( )3 3 1 1 2 21, 1, 1, 0 , 0x y x y x y− + − + − =
31 / 43
十年高考+大数据预测
由（1）及题设得 ．
又点 在 上， ，从而 ．
于是 ．
同理 ， ．
，即 成等差数列．
设该数列的公差为 ，则 ②
将 代入①得 ，
的方程为 ，代入 的方程，并整理得 ．
故 ，代入②解得 ．所以该数列的公差为 或 ．
49．【2018 高考天津理 19】(本小题满分 14 分)
设椭圆 (a>b>0)的左焦点为 F，上顶点为 B． 已知椭圆的离心率为 ，点 A 的坐标为 ，
且 ．
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线 l： 与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q．
若 (O 为原点)，求 k 的值．
【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意结合椭圆的性质可得 ．则椭圆的方程为 ．
（Ⅱ）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．由题意可得 ．由方程组
可得 ．由方程组 可得 ．据此得到关于 的方程，解方程可得 的
( ) ( )3 1 2 3 1 23 1, 2 0x x x y y y m= − + = = − + = − < P C 3 4m∴ = 3 31, ,2 2P FP − = ( ) ( ) 2 2 22 1 1 1 1 11 1 3 1 24 2 x xFA x y x= − + = − + − − = 22 2 xFB = − ( )1 2 14 32FA FB x x+ = − + =∴ 2 FP FA FB= +∴ , ,FA FP FB d ( )2 1 2 1 2 1 2 1 12 42 2d FB FA x x x x x x= − = − = + − 3 4m = 1k = − l∴ 7 4y x= − + C 2 17 14 04x x− + = 1 2 1 2 12 , 28x x x x+ = = 3 21 28d = 3 21 28 3 21 28 − 2 2 2 2 1x x a b + = 5 3 ( ,0)b 6 2FB AB⋅ = ( 0)y kx k= >
5 2 sin4
AQ AOQPQ
= ∠
,3 2a b= =
2 2
19 4
x y+ =
P ( )1 1,x y Q ( )2 2,x y 1 25 9y y= 2 2{
19 4
y kx
x y
=
+ =
，
，
1 2
6
9 4
ky
k
=
+ { 2 0
y kx
x y
=
+ − =
，
， 2
2
1
ky k
= + k k
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十年高考+大数据预测
值为 或
试题解析：（Ⅰ）设椭圆的焦距为 ，由已知有 ，
又由 ，可得 ．由已知可得， ， ，
由 ，可得 ，从而 ， 椭圆的方程为 ．
（Ⅱ）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
由已知有 ，故 ．
又 ，而∠OAB= ，故 ．
由 ，可得 ．由方程组 消去 ，可得 ．
易知直线 的方程为 ，由方程组 消去 ，可得 ．
由 ，可得 ，两边平方，整理得 ，
解得 ，或 ， 的值为 或
50．（2017 天津文）已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 的坐标为
， 的面积为 ．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设点 在线段 上， ，延长线段 与椭圆交于点 ，点 ， 在 轴上，
，且直线 与直线 间的距离为 ，四边形 的面积为 ．
（i）求直线 的斜率；
（ii）求椭圆的方程．
1
2
11
28
．
2c
2
2
5
9
c
a
=
2 2 2a b c= + 2 3a b= FB a= 2AB b=
6 2FB AB⋅ = 6ab = ,3 2a b= = ∴
2 2
19 4
x y+ =
P ( )1 1,x y Q ( )2 2,x y
1 2 0y y> > 1 2PQ sin AOQ y y∠ = −
2yAQ sin OAB
= ∠
π
4 22AQ y=
5 2 sin4
AQ AOQPQ
= ∠ 1 25 9y y= 2 2
,
19 4
y kx
x y
= + =
x 1 2
6
9 4
ky
k
=
+
AB 2 0x y+ − = { 2 0
y kx
x y
=
+ − =
，
， x 2
2
1
ky k
= +
1 25 9y y= ( ) 23 91 45 k k+ = + 256 50 11 0k k− + =
1
2k = 11
28k = k∴ 1
2
11
28
．
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > ,( )0F c− A E
(0, )c EFA△
2
2
b
Q AE 3| | 2FQ c= FQ P M N x
PM QN∥ PM QN c PQNM 3c
FP
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十年高考+大数据预测
【解析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为 e．由已知，可得 ．
又由 ，可得 ，即 ．
又因为 ，解得 ．
所以，椭圆的离心率为 ．
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线 FP 的方程为 ，则直线 FP 的斜率为 ．
由（Ⅰ）知 ，可得直线 AE 的方程为 ，即 ，与直线 FP 的方程联立，可解
得 ，即点 Q 的坐标为 ．
由已知|FQ|= ，有 ，整理得 ，所以 ，即直线 FP
的斜率为 ．
（ii）由 ，可得 ，故椭圆方程可以表示为 ．
由（i）得直线 FP 的方程为 ，与椭圆方程联立 消去 ，整理得
，解得 （舍去），或 ．
因此可得点 ，进而可得 ，
所以 ．由已知，线段 的长即为 与 这两条平行直线间的距离，
故直线 和 都垂直于直线 ．
因为 ，所以 ，所以 的面积为
，同理 的面积等于 ，由四边形 的面积为 ，得
，整理得 ，又由 ，得 ，所以椭圆的方程为 ．
21 ( )2 2
bc a c+ =
2 2 2b a c= − 2 22 0c ac a+ − = 22 1 0e e+ − =
0 1e< < 1 2e = 1 2 ( 0)x my c m= − > 1
m
2a c= 12
x y
c c
+ = 2 2 0x y c+ − =
(2 2) 3,2 2
m c cx ym m
−= =+ +
(2 2) 3( , )2 2
m c c
m m
−
+ +
3
2
c 2 2 2(2 2) 3 3[ ] ( ) ( )2 2 2
m c c ccm m
− + + =+ +
23 4 0m m− = 4
3m =
3
4
2a c= 3b c=
2 2
2 2 14 3
x y
c c
+ =
3 4 3 0x y c− + = 2 2
2 2
3 4 3 0,
1,4 3
x y c
x y
c c
− + = + =
y
2 27 6 13 0x cx c+ − = 13
7
cx = − x c=
3( , )2
cP c 2 23 5| ( ) ( )2 2| c cFP c c= + + =
5 3| || | | | 2 2
c cFP FQQ cP − = −= = PQ PM QN
PM QN FP
QN FP⊥ 3 3 9| | | | tan 2 4 8
c cQN FQ QFN= ⋅ ∠ = × = FQN△
21 27| || |2 32
cFQ QN = FPM△
275
32
c PQNM 3c
2 275 27 332 32
c c c− = 2 2c c= 0c > 2c =
2 2
116 12
x y+ =
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十年高考+大数据预测
51．（2017 天津理）设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 ．已知 是抛
物线 的焦点， 到抛物线的准线 的距离为 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（Ⅱ）设 上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆相交于点 （ 异于点 ），直线 与 轴相交
于点 ．若 的面积为 ，求直线 的方程．
【解析】（Ⅰ）设 的坐标为 ．依题意， ， ， ，解得 ， ，
，于是 ．
所以，椭圆的方程为 ，抛物线的方程为 ．
（Ⅱ）设直线 的方程为 ，与直线 的方程 联立，可得点 ，故
．将 与 联立，消去 ，
整理得 ，解得 ，或 ．
由点 异于点 ，可得点 ．
由 ，可得直线 的方程为 ，令 ，解得
，
故 ．所以 ．
又因为 的面积为 ，故 ，
整理得 ，解得 ，所以 ．
所以，直线 的方程为 或 ．
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > F A 1
2 A
2 2 ( 0)y px p= > F l 1
2
l P Q x AP B B A BQ x
D APD△ 6
2 AP
F ( ,0)c− 1
2
c
a
=
2
p a= 1
2a c− = 1a = 1
2c =
2p = 2 2 2 3
4b a c= − =
2
2 4 13
yx + = 2 4y x=
AP 1( 0)x my m= + ≠ l 1x = − 2( 1, )P m
− −
2( 1, )Q m
− 1x my= +
2
2 4 13
yx + = x
2 2(3 4) 6 0m y my+ + = 0y = 2
6
3 4
my m
−= +
B A
2
2 2
3 4 6( , )3 4 3 4
m mB m m
− + −
+ +
2( 1, )Q m
− BQ
2
2 2
6 2 3 4 2( )( 1) ( 1)( ) 03 4 3 4
m mx ym m m m
− − +− + − + − =+ + 0y =
2
2
2 3
3 2
mx m
−= +
2
2
2 3( ,0)3 2
mD m
−
+
2 2
2 2
2 3 6| | 1 3 2 3 2
m mAD m m
−= − =+ +
APD△ 6
2
2
2
1 6 2 6
2 3 2 | | 2
m
m m
× × =+
23 2 6 | | 2 0m m− + = 6| | 3m = 6
3m = ±
AP 3 6 3 0x y+ − = 3 6 3 0x y− − =
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十年高考+大数据预测
52．（2017 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的左、右焦点分别为
， ，离心率为 ，两准线之间的距离为 8．点 在椭圆 上，且位于第一象限，过点 作直线
的垂线 ，过点 作直线 的垂线 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 ， 的交点 在椭圆 上，求点 的坐标．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为 ．
因为椭圆 的离心率为 ，两准线之间的距离为 8，所以 ， ，
解得 ，于是 ，
因此椭圆 的标准方程是 ．
（2）由（1）知， ， ．
设 ，因为点 为第一象限的点，故 ．
当 时， 与 相交于 ，与题设不符．
当 时，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ．
因为 ， ，所以直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
xOy E
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
1F 2F 1
2 P E 1F 1PF
1l 2F 2PF 2l
E
1l 2l Q E P
c
E 1
2
1
2
c
a
= 22 8a
c
=
2, 1a c= = 2 2 3b a c= − =
E
2 2
14 3
x y+ =
1( 1,0)F − 2 (1,0)F
0 0( , )P x y P 0 00, 0x y> >
0 1x = 2l 1l 1F
0 1x ≠ 1PF 0
0 1
y
x + 2PF 0
0 1
y
x −
1 1l PF⊥ 2 2l PF⊥ 1l 0
0
1x
y
− +
2l 0
0
1x
y
−−
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十年高考+大数据预测
从而直线 的方程： ， ①
直线 的方程： ． ②
由①②，解得 ，所以 ．
因为点 在椭圆上，由对称性，得 ，即 或 ．
又 在椭圆 上，故 ，由 ，解得 ； ，无解．
因此点 的坐标为 ．
53．（2016 年全国 II 卷文）已知 是椭圆 ： 的左顶点，斜率为 的直线交 与 ，
两点，点 在 上， ．
（Ⅰ）当 时，求 的面积；
（Ⅱ）当 时，证明： ．
【解析】（Ⅰ）设 ，则由题意知 ．
由已知及椭圆的对称性知，直线 的倾斜角为 ，
又 ，因此直线 的方程为 ．
将 代入 得 ，
解得 或 ，所以 ．
因此 的面积 ．
（Ⅱ）将直线 的方程 代入 得
1l 0
0
1( 1)xy xy
+= − +
2l 0
0
1( 1)xy xy
−= − −
2
0
0
0
1, xx x y y
−= − =
2
0
0
0
1( , )xQ x y
−−
Q
2
0
0
0
1 x yy
− = ± 2 2
0 0 1x y− = 2 2
0 0 1x y+ =
P E
2 2
0 0 14 3
x y+ =
2 2
0 0
2 2
0 0
1
14 3
x y
x y
− = + =
0 0
4 7 3 7,7 7x y= =
2 2
0 0
2 2
0 0
1
14 3
x y
x y
+ = + =
P 4 7 3 7( , )7 7
A E
2 2
14 3
x y+ = ( )0k k＞ E A
M N E MA NA⊥
AM AN= AMN∆
AM AN= 3 2k< < 1 1( , )M x y 1 0y >
AM 4
π
( 2,0)A − AM 2y x= +
2x y= −
2 2
14 3
x y+ = 27 12 0y y− =
0y = 12
7y = 1
12
7y =
AMN∆ 1 12 12 1442 2 7 7 49AMNS∆ = × × × =
AM ( 2)( 0)y k x k= + >
2 2
14 3
x y+ =
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十年高考+大数据预测
．
由 得 ，
故 ．
由题设，直线 的方程为 ，
故同理可得 ．
由 得 ，即 ．
设 ，则 是 的零点，
，
所以 在 单调递增，又 ，
因此 在 有唯一的零点，且零点 在 内，所以 ．
54 ．（ 2016 年 天 津 文 ） 设 椭 圆 （ ） 的 右 焦 点 为 ， 右 顶 点 为 ， 已 知
，其中 为原点， 为椭圆的离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆交于点 （ 不在 轴上），垂直于 的直线与 交于点 ，与 轴交于
点 ，若 ，且 ，求直线的 斜率．
【解析】（Ⅰ）设 ，由 ，即 ，
可得 ，又 ，所以 ，因此 ，
所以椭圆的方程为 ．
（Ⅱ）设直线的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
2 2 2 2(3 4 ) 16 16 12 0k x k x k+ + + − =
2
1 2
16 12( 2) 3 4
kx k
−⋅ − = +
2
1 2
2(3 4 )
3 4
kx k
−= +
2
2
1 2
12 1| | 1 | 2 | 3 4
kAM k x k
+= + + = +
AN 1 ( 2)y xk
= − +
2
2
12 1| | 4 3
k kAN k
+= +
2 | | | |AM AN= 2 2
2
3 4 4 3
k
k k
=+ +
3 24 6 3 8 0k k k− + − =
3 2( ) 4 6 3 8f t t t t= − + − k ( )f t
2 2'( ) 12 12 3 3(2 1) 0f t t t t= − + = − ≥
( )f t (0, )+∞ ( 3) 15 3 26 0, (2) 6 0f f= − < = >
( )f t (0, )+∞ k ( 3,2) 3 2k< < 13 2 2 2 =+ y a x 3>a F A
||
3
||
1
||
1
FA
e
OAOF
=+ O e
A l B B x l l M y
H HFBF ⊥ MAOMOA ∠=∠ l
( ,0)F c 1 1 3
| | | | | |
c
OF OA FA
+ = 1 1 3
( )
c
c a a a c
+ = −
2 2 23a c c− = 2 2 2 3a c b− = = 2 1c = 2 4a =
2 2
14 3
x y+ =
( 0)k k ≠ l ( 2)y k x= −
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十年高考+大数据预测
设 ，由方程组 消去 ，
整理得 ，解得 或 ，
由题意得 ，从而 ，
由（Ⅰ）知 ，设 ，有 ， ，
由 ，得 ，所以 ，
解得 ，因此直线 的方程为 ，
设 ，由方程组 消去 ，得 ，
在 中， ，
即 ，化简得 ，即 ，
解得 或 ，所以直线 的斜率为 或 ．
55．（2015 天津文）已知椭圆 的上顶点为 ，左焦点为 ，离心率为 ．
（Ⅰ）求直线 的斜率；
（Ⅱ）设直线 与椭圆交于点 （ 异于点 ），故点 且垂直于 的直线与椭圆交于点 （
异于点 ）直线 与 轴交于点 ， ．
（i）求 的值；
（ii）若 ，求椭圆的方程．
( , )B BB x y
2 2
1,4 3
( 2),
x y
y k x
+ =
= −
y
2 2 2 2(4 3) 16 16 12 0k x k x k+ − + − = 2x =
2
2
8 6
4 3
kx k
−= +
2
2
8 6
4 3B
kx k
−= + 2
12
4 3B
ky k
−= +
(1,0)F (0, )HH y ( 1, )HFH y= − 2
2 2
9 4 12( , )4 3 4 3
k kBF k k
−= + +
BF HF⊥ 0BF HF⋅ = 2
2 2
124 9 04 3 4 3
Hkyk
k k
− + =+ +
29 4
12H
ky k
−= MH
21 9 4
12
ky xk k
−= − +
( , )M MM x y
21 9 4 ,12
( 2),
ky xk k
y k x
−= − +
= −
y
2
2
20 9
12( 1)M
kx k
+= +
MAO∆ MOA MAO∠ = ∠ ⇔ | | | |MA MO=
2 2 2 2( 2)M M M Mx y x y− + = + 1Mx =
2
2
20 9 112( 1)
k
k
+ =+
6
4k = − 6
4k = l 6
4k = − 6
4k =
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > B F 5
5
BF
BF P P B B BP Q Q
B PQ y M | |= | |PM MQλ
λ
7 5| |sin = 9PM BQP∠
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十年高考+大数据预测
【解析】（Ⅰ）设 ，由已知离心率 及 ，又因为 ，故直线 BF 的斜率
．
（Ⅱ）设点 ，（i）由（Ⅰ）可得椭圆方程为
，直线 BF 的方程为 ，将直线方程与椭圆方程联立，
消去 y，得 ，解得 ．因为 ，所以直线 BQ 方程为
，与椭圆方程联立，消去 ，整得 ，
解得 ．又因为 ，及 ，可得 ．
（ii）由（i）有 ，所以 ，即 ，又因为
，所以 = ．
又因为 ，所以 ，因此 ， ，
所以椭圆方程为 ．
56．（2014 新课标 2 文理）设 ， 分别是椭圆 ： 的左，右焦点， 是 上一
点且 与 轴垂直，直线 与 的另一个交点为 ．
（Ⅰ）若直线 的斜率为 ，求 的离心率；
（Ⅱ）若直线 在 轴上的截距为 2，且 ，求 ．
【解析】（Ⅰ）根据 及题设知 ，
将 代入 ，解得 （舍去），故 C 的离心率为 ．
( ),0F c− 5
5
c
a
= 2 2 2a b c= + ( )0,B b
( )
0 20
b bk c c
−= = =− −
( ) ( ) ( ), , , , ,P P Q Q M MP x y Q x y M x y
2 2
2 2 15 4
x y
c c
+ = 2 2y x c= +
23 5 0x cx+ = 5
3P
cx = − BQ BP⊥
1 22y x c= − + y 221 40 0x cx− =
40
21Q
cx = PM
MQ
λ = 0Mx = 7
8
M P P
Q M Q
x x x
x x x
λ −= = =
−
7
8
PM
MQ
= 7 7
7 8 15
PM
PM MQ
= =+ +
15
7PQ PM=
7 5| |sin = 9PM BQP∠ =| |sinBP PQ BQP∠ 15 5 5| |sin7 3PM BQP∠ =
42 2 3P Py x c c= + = −
2 25 4 5 50 23 3 3
c cBP c c = + + + =
5 5 5 5
3 3c = 1c =
2 2
15 4
x y+ =
1F 2F C ( )22
2 2 1 0yx a ba b
+ = > > M C
2MF x 1MF C N
MN 3
4 C
MN y 15MN F N= ,a b
2 2c a b= −
2
2( , ),2 3bM c b aca
=
2 2 2b a c= − 22 3b ac= 1 , 22
c c
a a
= = − 1
2
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十年高考+大数据预测
（Ⅱ）由题意，原点 为 的中点， ∥ 轴，所以直线 与 轴的交点 是线段 的
中点，故 ，即 ①
由 得 ．
设 ，由题意知 ，则 ，即 代入 C 的方程，得 ．②
将①及 代入②得 ，解得 ，故 ．
57．（2014 安徽文理）设 ， 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，过点 的直线交
椭圆 于 两点，
（Ⅰ）若 的周长为 16，求 ；
（Ⅱ）若 ，求椭圆 的离心率．
【解析】：（Ⅰ）由 得 ．
因为 的周长为 16，所以由椭圆定义可得
故 ．
（Ⅱ）设 ，则 且 ，由椭圆定义可得
在 中，由余弦定理可得
即
化简可得 ，而 ，故
于是有 ，
O 1 2F F 2MF y 1MF y (0,2)D 1MF
2
4b
a
= 2 4b a=
15MN F N= 1 12DF F N=
1 1( , )N x y 1 0y < 1 1 2( ) 2 2 c x c y − − = − = 1 1 3 ,2 1 x c y = − = − 2 2 2 9 1 14 c a b + = 2 2c a b= − 2 2 9( 4 ) 1 14 4 a a a a − + = 27, 4 28a b a= = = 7, 2 7a b= = 1F 2F E 22 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F
E ,A B 1 1| | 3| |AF BF=
2| | 4,AB ABF= ∆ 2| |AF
2
3cos 5AF B∠ = E
1 1| | 3| |, | | 4AF F B AB= = 1 1| | 3, | | 1AF F B= =
2ABF∆ 1 24 16, | | | | 2 8a AF AF a= + = =
2 1| | 2 | | 8 3 5AF a AF= − = − =
1| |F B k= 0k > 1| | 3 , | | 4AF k AB k= =
2 2| | 2 3 , | | 2AF a k BF a k= − = −
2ABF∆
2 2 2
2 2 2 2 2| | | | | | 2 | | | | cosAB AF BF AF BF AF B= + − ⋅ ⋅ ∠
2 2 2 6(4 ) (2 3 ) (2 ) (2 3 ) (2 )5k a k a k a k a k= − + − − − ⋅ −
( ) ( 3 ) 0a k a k+ ⋅ − = 0a k+ > 3a k=
2 1 2| | 3 | |, | | 5AF k AF BF k= = =
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十年高考+大数据预测
因此 ，可得
故 为等腰直角三角形．从而 ，所以椭圆的离心率 ．
58．（2013 天津文理）设椭圆 的左焦点为 F， 离心率为 ， 过点 F 且与 x 轴垂直的
直线被椭圆截得的线段长为 ．
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 设 A，B 分别为椭圆的左、右顶点， 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C，D 两点．若
， 求 k 的值．
【解析】(Ⅰ)设 F(－c，0)，由 ，知 ．过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x＝－c，代入椭圆方
程有 ，
解得 ，于是 ，解得 ，
又 A2－c2＝B2，从而 A＝ ，c＝1，
所以椭圆的方程为 ．
(Ⅱ)设点 C(x1，y1)，D(x2，y2)，由 F(－1，0)得直线 CD 的方程为 y＝k(x＋1)，
由方程组 消去 y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0．
求解可得 x1＋x2＝ ，x1x2＝ ．
因为 A( ，0)，B( ，0)，
所以 · ＋ · ＝(x 1＋ ，y1)·( －x2，－y2)＋(x2＋ ，y2)·( －x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝ ．
由已知得 ＝8，解得 k＝ ．
59．（2012 北京文理）已知椭圆 ： 的一个顶点为 ，离心率为 ．直线
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 3
3
4 3
3
· · 8AC DB AD CB+ =
2 2 2
2 2| | | | | |BF AF AB= + 1 2AF AF⊥
1 2AF F∆ 2
2c a= 2
2
ce a
= =
3
3
c
a
= 3a c=
2 2
2 2
( ) 1c y
a b
− + =
6
3
by = ± 2 6 4 3
3 3
b = 2b =
3
2 2
=13 2
x y+
2 2
1 ,
13 2
y k x
x y
= ( + ) + =
2
2
6
2 3
k
k
− +
2
2
3 6
2 3
k
k
−
+
3− 3
AC DB AD CB 3 3 3 3
2
2
2 126 2 3
k
k
++ +
2
2
2 126 2 3
k
k
++ + 2±
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > (2,0)A 2
2
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十年高考+大数据预测
与椭圆 交于不同的两点 M，N．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）当△AMN 得面积为 时，求 的值．
【解析】（Ⅰ）由题意得 解得 ．所以椭圆 C 的方程为 ．
（Ⅱ）由 得 ．
设点 M，N 的坐标分别为 ， ，则 ， ，
， ．
所以|MN|= =
= ．
由因为点 A(2，0)到直线 的距离 ，
所以△AMN 的面积为 ． 由 ，解得 ．
60．（2011 陕西理）设椭圆 C： 过点（0，4），离心率为
（Ⅰ）求 C 的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标．
【解析】（Ⅰ）将（0，4）代入 C 的方程得 ，∴ =4，又 得 ，
即 ，∴A=5， ∴C 的方程为 ．
（ Ⅱ）过点 且斜率为 的直线方程为 ，
( 1y k x= − ） C
C
10
3 k
2 2 2
2
2
2
a
c
a
a b c
=
=
= +
2b =
2 2
14 2
x y+ =
2 2
( 1)
14 2
y k x
x y
= − + =
2 2 2 2(1 2 ) 4 2 4 0k x k x k+ − + − =
1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 1( 1)y k x= − 2 2( 1)y k x= −
2
1 2 2
4
1 2
kx x k
+ = +
2
1 2 2
2 4
1 2
kx x k
−= +
2 2
2 1 2 1( ) ( )x x y y− + − 2 2
1 2 1 2(1 )[( ) 4 ]k x x x x+ + −
2 2
2
2 (1 )(4 6 )
1 2
k k
k
+ +
+
( 1y k x= − ）
2
| |
1 2
kd
k
=
+
2
2
1 | | 4 6| |2 1 2
k kS MN d k
+= ⋅ = +
2
2
| | 4 6 10
1 2 3
k k
k
+ =+ 1k = ±
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 3
5
4
5
2
16 1b
= b 3
5
ce a
= =
2 2
2
9
25
a b
a
− =
2
16 91 25a
− =
2 2
125 16
x y+ =
( )3,0 4
5
( )4 35y x= −
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十年高考+大数据预测
设直线与 C 的交点为 A ，B ，将直线方程 代入 C 的方程，得
，
即 ，解得 ， ， AB 的中点坐标 ，
，即中点为 ．
( )1 1,x y ( )2 2,x y ( )4 35y x= −
( )22 3 125 25
xx −+ =
2 3 8 0x x− − = 1
3 41
2x
−= 2
3 41
2x
+= ∴ 1 2 3
2 2
x xx
+= =
( )1 2
1 2
2 662 5 5
y yy x x
+= = + − = − 3 6,2 5
−
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