十年（2011-2020）高考真题数学分项详解专题28 抛物线（解析版）（十年大数据全景展示+大数据分析预测高考+十年真题分类探求规律）

十年高考+大数据预测 专题 28 抛 物 线 十年大数据*全景展示 年 份 题号 考 点 考 查 内 容 理 20 抛物线[来源:Z§xx§k.Com] 直线与抛物线位置关系，抛物线几何性质的 应用[来源:Z.Com][ 2011 文 9 抛物线 直线与抛物线位置关系，抛物线几何性质的应用 理 20 圆，抛物线 圆的方程，抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系 2012 文 20 圆，抛物线 圆的方程，抛物线的定义、标准方程及其几何性质 卷 1 文 8 抛物线 抛物线的定义及几何性质 理 11 圆，抛物线 圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离 公式 2013 卷 2 文 10 抛物线 抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系 理 10 抛物线 抛物线的定义、标准方程 卷 1 文 10 抛物线 抛物线的定义、标准方程 理 10 抛物线 抛物线的定义、标准方程，抛物线焦点弦长的计算 2014 卷 2 文 10 抛物线 抛物线的定义、标准方程，抛物线焦点弦长的计算 2015 卷 1 理 20 抛物线 直线与抛物线的位置关系，抛物线存在问题的解法 理 10 圆，抛物线 圆的几何性质，抛物线的标准方程及其几何性质，直线与抛物线的位 置关系卷 1 文 20 抛物线 直线与抛物线的位置关系 卷 2 文 5 抛物线 抛物线的几何性质，反比例函数的性质 2016 卷 3 文理 20 抛物线 抛物线定义与几何性质，直线与抛物线位置关系，轨迹方程求法 理 10 抛物线 抛物线定义与几何性质，直线与抛物线位置关系 卷 1 文 20 抛物线 抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系 理 16 抛物线 抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系 2017 卷 2 文 12 抛物线 抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系，点到直线距离公式 理 8 抛物线 抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系 卷 1 文 20 抛物线 直线与抛物线的位置关系 卷 2 理 19 文 20 抛物线 抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求法 2018 卷 3 理 16 抛物线 抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系 理 19 抛物线 抛物线的定义，直线与抛物线位置关系， 卷 1 文 21 直线与圆，直 线与抛物线 直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方 程及其几何性质，抛物线的定点问题 2019 卷 2 理 8 文 9 椭圆与抛物线 抛物线与椭圆的几何性质 十年高考+大数据预测 卷 3 文 21 圆、抛物线 抛物线的标准方程、几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的方程， 直线与圆的位置关系，抛物线的定点问题 卷 3 理 21 圆、抛物线 抛物线的标准方程、几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的方程， 直线与圆的位置关系，抛物线的定点问题 卷 1 理 4 抛物线 抛物线的定义及标准方程 理 19 椭圆、抛物线 椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义 卷 2 文 19 椭圆、抛物线 椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义 2020 卷 3 理文 7 抛物线 直线与抛物线的位置关系，抛物线的几何性质 大数据分析*预测高考 考点 出现频率 2021 年预测 考点 95 抛物线的定义及标准方程 37 次考 14 次 考点 96 抛物线的几何性质 37 次考 19 次 考点 97 直线与抛物线的位置关系 37 次考 22 次 命题角度：（1）抛物线的定义及应用；（2）抛物线 的标准方程与几何性质；（3）直线与抛物线的位置关 系． 核心素养：数学运算、运算推理、直观想象 十年试题分类*探求规律 考点 95 抛物线的定义及标准方程 1．（2016 全国 II 文）设 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，曲线 y= （k>0）与 C 交于点 P，PF⊥x 轴，则 k= （ ） （A） （B）1 （C） （D）2 【答案】D 【解析】因为 抛物线 的焦点，所以 ， 又因为曲线 与 交于点 ， 轴，所以 ，所以 ，选 D． 2．（2012 山东文理）已知双曲线 ： 的离心率为 2．若抛物线 的 焦点到双曲线 的渐近线的距离为 2，则抛物线 的方程为（ ） A．   B．   C．    D． 【答案】D【解析】∵双曲线 ： 的离心率为 2，所以 又渐近线方程为 所以双曲线 的渐近线方程为 1C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 : 2 ( 0)C x py p= > 1C 2C 2 8 3 3x y= 2 16 3 3x y= 2 8x y= 2 16x y= 1C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 3 .c b aa = ⇒ = 0,bx ay± = 1C 3 0.x y± = k x 1 2 3 2 F 2 4y x= (1,0)F ( 0)ky kx = > C P PF x⊥ 21 k = 2k = 十年高考+大数据预测 而抛物 的焦点坐标为 所以有 ． 故选 D． 考点 96 抛物线的几何性质 3．【2020 全国Ⅰ理 4】已知 为抛物线 上一点，点 到 的焦点的距离为 ，到 轴的距离为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路导引】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案． 【解析】设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 ，故选 C． 4．（2020·北京）设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一点，过 作 于 ，则线段 的垂直平分线（ ） A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线 【答案】B 【解析】如图所示，因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点 在抛物线上，根据定义 可知， ，所以线段 的垂直平分线经过点 ． 5．【2020 天津 7】设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直 线为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为（ ） 2 2 : 2 ( 0)C x py p= > (0, ),2 p 2 2 | |2 2 8 ( 3) 1 p p= ⇒ = + A ( )2: 2 0C y px p= > A C 12 y 9 p = 2 3 6 9 122A pAF x= + = 12 9 2 p= + 6p = O F l P O P PQ l⊥ Q FQ O P OP OP FQ ,F Q P PQ PF= FQ P C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 4y x= (0, )b l C l l C 十年高考+大数据预测 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即直线的斜率为 ， 又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ，解得 ． 故选 ． 6．【2019 全国Ⅱ文】若抛物线 y2=2px（p>0）的焦点是椭圆 的一个焦点，则 p= A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【解析】因为抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点，所以 ， 解得 ，故选 D． 7．(2016 全国 I 理)以抛物线 的顶点为圆心的圆交 于 ， 两点，交 的准线于 ， 两点．已知 = ， = ，则 的焦点到准线的距离为 A．2 B．4 C．6 D．8 B【解析】由题意，不妨设抛物线方程为 ，由 ， ，可取 ， ，设 为坐标原点， 由 ，得 ，得 ，所以选 B． 8．【2016 四川文科】抛物线 的焦点坐标是( ) (A)(0，2) (B) (0，1) (C) (2，0) (D) (1，0) 【答案】D 2 2 14 4 x y− = 2 2 14 yx − = 2 2 14 x y− = 2 2 1x y− = ( )1,0 l 1yx b + = b− by xa = ± bb a − = − 1bb a − × = − 0, 0a b> > 1, 1a b= = D 2 2 13 x y p p + = 2 2 ( 0)y px p= > ( ,0)2 p 2 2 3 1x y p p + = 23 ( )2 pp p− = 8p = C C A B C D E | |AB 4 2 | |DE 2 5 C 2 2 ( 0)y px p= > | | 4 2AB = | | 2 5DE = 4( ,2 2)A p ( , 5)2 pD − O | | | |OA OD= 2 2 16 8 54 p p + = + 4p = 2 4y x= 十年高考+大数据预测 【解析】由题意， 的焦点坐标为 ，故选 D． 9．(2016 四川理)设 为坐标原点， 是以 为焦点的抛物线 上任意一点， 是线段 上的点，且 =2 ，则直线 的斜率的最大值为 A． B． C． D．1 C【解析】设 （不妨设 ），则 ，∵ ，∴ ，∴ ∴ ，∴ ，故选 C． 10．（2015 陕西文）已知抛物线 ( )的准线经过点 ，则该抛物线的焦点坐标为 A．(－1，0) B．(1，0) C．(0，－1) D．(0，1) 【答案】B【解析】因为抛物线的准线方程为 ，∴ ，∴焦点坐标为 ，故选 B． 11．（2013 新课标 1 文理） 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ，则 的面积为 A． B． C． D． 【答案】C【 解析】∵ ，由抛物线的定义可得 点的坐标 ， ∴ 的面积为 ． 12．（2015 陕西理）若抛物线 的准线经过双曲线 的一个焦点，则 = ． 【答案】 【解析】 的准线方程为 ，又 ，所以 必经过双曲线 的左焦点 ，所以 ， ． O F 2: 4 2C y x= P C | | 4 2PF = POF∆ 2 2 2 2 3 4 POF∆ 2 4y x= (1,0) O P F 2 2 ( 0)y px p= > M PF PM MF OM 3 3 2 3 2 2 ( ) ( )22 , 2 , ,P pt pt M x y 0t > 22 , 22 pFP pt pt = −    1 3FM FP=  22 ,2 3 6 2 ,3 p p px t pty  − = −  = 22 ,3 3 2 ,3 p px t pty  = +  = 2 2 1 1 2 12 1 2122 2 OM tk t t t = = ≤ =+ + max 2( ) 2OMk = 2 2y px= 0p > ( 1,1)− 12 px = − = − 2p = (1,0) 2OF = P ( )3 2, 2 6± 1 1 2 2 6 2 32 2POF y = × × = 2 2 ( 0)y px p= > 2 2 1x y− = p 2 2 2 2y px= 2 px = − 0p > 2 px = − 2 2 1x y− = ( 2,0)− 22 p− = − 2 2p = 十年高考+大数据预测 13．（2014 湖南文理）如图，正方形 的边长分别为 ，原点 为 的 中点，抛物线 经过 ． 【答案】 【解析】由正方形的定义可知 BC= CD，结合抛物线的定义得点 D 为抛物线的焦点，所以 ，D ，将点 F 的坐标代入抛物线的方程得 ，变 形得 ， 解得 或 （舍去），所以 ． 14．（2013 北京文理）若抛物线 的焦点坐标为 ，则 ，准线方程为 ． 【答案】2， 【解析】 ；准线 ． 15．（2012 陕西文理）右图是抛物线 形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米 后，水面宽 米． 【答案】 【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点 O 的坐标为（0，0），设抛物线的方程为 ， 与抛物线的交点为 A、B，根据题意知 A（–2，–2），B（2， –2），则有 ，∴ ， ∴抛物线的解析式为 ，水位下降 1 米，则 y=–3，此时有 或 ，∴此时水面宽为 米． 考点 97 直线与抛物线的位置关系 16．（2020 全国Ⅲ文 7 理 5）设 为坐标原点，直线 与抛物线 交于 两点， ABCD DEFG和正方形 , ( )a b a b< O AD 2 2 ( 0)y px p= > , bC F a =两点，则 2 2y px= (1,0) p = l 62 l ( )222 −×=− a 2 1−=a 2 2 1 xy −= 6=x 6−=x 62 1 2+ | |AD p a= = ( ,0)2 p ( , )2 pF b b+ 2 22 ( ) 22 pb p b a ab= + = + 2 2( ) 1 0b b a a − − = 1 2b a = + 1 2b a = − 1 2b a = + 1x = − 1, 22 p p= = 12 px = − = − 2 2x py= − O 2x = ( )2: 2 0C y px p= > ,D E 十年高考+大数据预测 若 ，则 的焦点坐标为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法一：∵直线 与抛物线 交于 两点，且 ，根据抛物线的对 称性可以确定 ，∴ ，代入抛物线方程 ，求得 ，∴其焦点坐标为 ，故选 B． 解 法 二 ： 将 代 入 得 ． 由 OD ⊥ OE 得 ， 即 ，得 ，∴抛物线 的焦点坐标为 ，故选 B． 17．（2018 全国Ⅰ理 8）设抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与 交于 两点，则 （ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【 解 析 】 根 据 题 意 ， 过 点 且 斜 率 为 的 直 线 方 程 为 ， 与 抛 物 线 方 程 联 立 ，消元整理得： ，解得 ，又 ， 从而可以求得 ，故选 D． 18．（2017 新课标Ⅰ理）已知 为抛物线 ： 的焦点，过 作两条互相垂直的直线 ， ，直线 与 交于 、 两点，直线 与 交于 、 两点，则 的最小值为（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A【解析】由已知 垂直于 轴是不符合题意，所以 的斜率存在设为 ， 的斜率为 ，由题意 有 ，设 ， ， ， 此时直线 方程为 ， OD OE⊥ C 1 , 04      1 , 02      ( )1, 0 ( )2 , 0 2x = 2 2 ( 0)y px p= > ,C D OD OE⊥ 4DOx COx π∠ = ∠ = (2,2)C 4 4p= 1p = 1( ,0)2 2=x )0(22 >= ppxy py 2±= 1−=⋅ OEOD kk 12 2 2 2 −=−⋅ pp 1=p xyC 2: 2 = )0,2 1(F xyC 4: 2 = F ( )2 , 0− 3 2 C ,M N FM FN⋅ =  ( )2 , 0− 2 3 ( )2 23y x= + ( ) 2 2 2 ,3 4 y x y x  = +  = 2 6 8 0y y− + = ( ) ( )1, 2 , 4 , 4M N ( ) ( ) ( )1, 0 , 0 , 2 , 3 , 4F FM FN∴ = =  8FM FN⋅ =  F C 2 4y x= F 1l 2l 1l C A B 2l C D E | | | |AB DE+ 1l x 1l 1k 2l 2k 1 2 1k k⋅ = − 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 3 3( , )D x y 4 4( , )E x y 1l 1( 1)y k x= − 十年高考+大数据预测 取方程 ，得 ， ∴ 同理得 由抛物线定义可知 当且仅当 （或 ）时，取得等号． 19．（2017 全国Ⅱ文）过抛物线 的焦点 ，且斜率为 的直线交 于点 （ 在 的轴上 方）， 为 的准线，点 在 上且 ，则 到直线 的距离为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知 ，与抛物线 联立得 ，解得 ， 所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ． 所以 到直线 的距离为 ．故选 C． 20．（2015 浙江理）如图，设抛物线 的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点 ， 其中点 在抛物线上，点 在 轴上，则 与 的面积之比是 2 1 4 ( 1) y x y k x  =  = − 2 2 2 2 1 1 12 4 0k x k x x k− − + = 2 1 1 2 2 1 2 4kx x k − −+ = − 2 1 2 1 2 4k k += 2 2 3 4 2 2 2 4kx x k ++ = 1 2 3 4| | | | 2AB DE x x x x p+ = + + + + 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 2 4 4 4 164 8 2 8 16k k k k k k k k + += + + = + + + =≥ 1 2 1k k= − = 1− 2: 4C y x= F 3 C M M x l C N l MN l⊥ M NF 5 2 2 2 3 3 3 : 3( 1)MF y x= − 2 4y x= 23 10 3 0x x− + = 1 2 1 , 33x x= = (3,2 3)M MN l⊥ ( 1,2 3)N − (1,0)F : 3( 1)NF y x= − − M NF 2 2 | 3 (3 1) 2 3 | 2 3 ( 3) 1 × − + = + 2 4y x= F , ,A B C ,A B C y BCF∆ ACF∆ 十年高考+大数据预测 A． B． C． D． 【答案】A【解析】如图， ，故选 A． 21．（2015 四川文理）设直线 与抛物线 相交于 两点，与圆 相切于点 ，且 为线段 的中点．若这样的直线 恰有 4 条，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当直线 的斜率不存在时，这样的直线 恰好有 2 条，即 ，所以 ；所 以当直线 的斜率存在时，这样的直线 有 2 条即可．设 ， ， ，则 ．又 ， 两式相减得 ， ． 设圆心为 ，则 ，因为直线 与圆相切， 所以 ，解得 ，于是 ， ，又 ， 即 ，所以 ，又 ， 所以 ，故选 D． 22．（2014 新课标 1 文理）已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的一个交点，若 ，则 = A． B． C．3 D．2 【答案】C【解析】过点 作 交 于点 ，因为 ，所以 ，又焦点 到准线 的距离为 4，所以 ．故选 C． 23．（2014 新课标 2 文理）设 为抛物线 C： 的焦点，过 且倾斜角为 30°的直线交 于 两 点， 为坐标原点，则△ 的面积为 1 1 − −=== ∆ ∆ AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF 1 1 BF AF − − 2 2 1 1 BF AF − − 1 1 BF AF + + 2 2 1 1 BF AF + + l 2 4y x= ,A B 2 2 2( 5) ( 0)x y r r− + = > M M AB l r ( )1 3， ( )1 4， ( )2 3， ( )2 4， l l 5x r= ± 0 5r< < l l 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 0 0( , )M x y 1 2 0 1 2 0 2 2 x x x y y y + =  + = 2 1 1 2 2 2 4 4 y x y x  =  = 1 2 1 2 1 2( )( ) 4( )y y y y x x+ − = − 1 2 1 2 1 2 0 4 2 AB y yk x x y y y −= = =− + (5,0)C 0 0 5CM yk x = − l 0 0 0 2 15 y y x ⋅ = −− 0 3x = 2 2 0 4y r= − 2r > 2 0 04y x< 2 4 12r − < 0 4r< < 0 5r< < 2r > 2 4r< < C 2 8y x= F l P l Q PF C 4FP FQ=  | |QF 7 2 5 2 Q QQ l′ ⊥ l Q′ 4PF FQ=  | |:| | 3: 4PQ PF = F l | | | | 3QF QQ′= = F 2 3y x= F C ,A B O OAB 十年高考+大数据预测 A． B． C． D． 【答案】D【解析】易知抛物线中 ，焦点 ，直线 的斜率 ，故直线 的方程为 ，代入抛物线方程 ，整理得 ． 设 ，则 ，由物线的定义可得弦长 ，结合图象可得 到直线 的距离 ， 所以 的面积 ． 24．（2014 辽宁文理）已知点 在抛物线 C： 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相 切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为（ ） A． B． C． D． 25．（2013 江西文理）已知点 ，抛物线 的焦点为 ，射线 与抛物线 相交于点 ，与其准线相交于点 ，则 = A．2： B．1：2 C．1： D．1：3 【答案】C【解析】依题意可得 AF 所在直线方程为 代入 x2=4y 得 ， 又|FM|：|MN|=（1-y）：（1+y）＝1： 5 ． 26．（2011 新课标文理）已知直线 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， 与 C 交于 ， 两点， ， 为 C 的准线上一点，则 的面积为 A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】C【解析】设抛物线的方程为 ，易知 ，即 ， ∵点 在准线上，∴ 到 的距离为 ，所以 面积为 36，故选 C． 27．（2020 山东）斜率为 的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则 =________． 12 x y+ = 3 5 2y −= 3 3 4 9 3 8 63 32 9 4 3 2p = 3( ,0)4F AB 3 3k = AB 3 3( )3 4y x= − 2 3y x= 2 21 9 02 16x x− + = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 21 2x x+ = 1 2| | 12AB x x p= + + = O AB 3sin302 8 pd = = OAB∆ 1 9| |2 4S AB d= ⋅ = ( 2,3)A − 2 2y px= 1 2 2 3 3 4 4 3 ( )2,0A 2: 4C x y= F FA C M N | |:| |FM MN 5 5 l l A B | | 12AB = P ABP∆ 2 2y px= | | 2 12AB p= = 6p = P P AB 6p = ABP∆ 3 AB 十年高考+大数据预测 【答案】 【解析】∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点 F 坐标为 ， 又∵直线 AB 过焦点 F 且斜率为 ，∴直线 AB 的方程为： ， 代入抛物线方程消去 y 并化简得 ， 解法一：解得 ，所以 ． 解法二： ，设 ，则 ， 过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示． ． 28．【2020 山东 13】斜率为 的直线过抛物线 的焦点，且与 交于 ， 两点，则 __________． 【答案】 【解析】由题抛物线 ，可知其焦点为 ，准线为 ，如图所示．作 ， ，直线 准线交于点 ，由 ，∴倾斜角 ，∴ ， 由抛物线定义知： ， ， 又∵ ，∴ 为 中点，∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ． 16 3 2 4y x= (1,0)F 3 3( 1)y x= − 23 10 3 0x x− + = 1 2 1 , 33x x= = 2 1 2 1 16| | 1 | | 1 3 | 3 |3 3AB k x x= + − = + ⋅ − = 100 36 64 0∆ = − = > 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 10 3x x+ = ,A B 1x = − ,C D 1 2| | | | | | | | | | 1 1AB AF BF AC BD x x= + = + = + + + 1 2 16+2= 3x x= + 3 2: 4C y x= C A B AB = 16 3 2: 4C y x= (1, 0)F : 1l x = − AA l′ ⊥ BB l′ ⊥ AB H 3ABk = 60θ =  30A HA′∠ =  | | | |AA AF′ = | | | |BB BF′ = | | 2 | |AH AA′= F AH | | 2MF = | | | | 4HF AF= = 1| | | | | |2BB BF HB′ = = 3 | | 4BF = 4| | 3BF = 4 16| | | | | | 4 3 3AB AF BF= + = + = 十年高考+大数据预测 29．【2019 北京文】设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l．则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为 __________． 【答案】 【解析】抛物线 y2=4x 中，2p=4，p=2，焦点 F（1，0），准线 l 的方程为 x=−1， 以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为(x−1)2+y2=22，即为 ． 30．【2018 全国 3 理 16】已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ， 两点．若 ，则 ________． 【答案】2 【解析】设 ，则 ， ． 取 中点 ，分别过点 作准线 的垂线，垂足分别为 ． ， ． 为中点 ， 平行于 轴． ，故答案为 2． 31．【2018 北京文】已知直线 l 过点（1，0）且垂直于푥轴，若 l 被抛物线 截得的线段长为 4，则 抛物线的焦点坐标为_________． 【答案】 【解析】由题意可得，点 在抛物线上，将 代入 中，解得 ， ，由抛 物线方程可得： ， 焦点坐标为 ． 2 2( 1) 4x y− + = 2 2( 1) 4x y− + = ( )1 1M − , 2 4C y x=： C k C A B 90AMB = °∠ k = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 1 1 2 2 2 4 4 , , y x y x  = =   2 2 1 2 1 24 4y y x x− = −∴ 1 2 1 2 1 2 4y yk x x y y −= =− +∴ AB 0 0( , )M x y′ A , B 1x = − ,A B′ ′ 90AMB∠ = ° ( ) ( )1 1 1 2 2 2MM AB AF BF AA BB′ ′ ′∴ = = + = + M ′ AB MM∴ ′ x ( ) 0 1 21 1, 2 , 2,1 , y y yM k= ∴ + =− ∴∴ = 2 4y ax= ( )1,0 ( )1,2P ( )1,2P 2 4y ax= 1a = 2 4y x∴ = 2 4, 2, 12 pp p= = = ∴ ( )1,0 十年高考+大数据预测 32．（2017 新课标Ⅱ理）已知 是抛物线 ： 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 ．若 为 的中点，则 ． 【答案】6【解析】如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与 轴交于点 ，作 与点 ， 与点 ，由抛物线的解析式可得准线方程为 ，则 ，在直角梯形 中，中位线 ，由抛物线的定义有： ，结合题意，有 ， 故 ． 33．【2019 全国Ⅰ理】已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的 交点为 P． （1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； （2）若 ，求|AB|． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】设直线 ． （1）由题设得 ，故 ，由题设可得 ． OF' B A F N M y x 3 2 3AP PB=  F C 2 8y x= M C FM y N M FN | |FN = x F' MB l⊥ B NA l⊥ A 2x = − 2, 4AN FF'= = ANFF' ' 32 AN FFBM += = 3MF MB= = 3MN MF= = 3 3 6FN FM NM= + = + = 3 7 2 8y x= − 4 13 3 ( ) ( )1 1 2 2 3: , , , ,2l y x t A x y B x y= + 3 ,04F      1 2 3| | | | 2AF BF x x+ = + + 1 2 5 2x x+ = 十年高考+大数据预测 由 ，可得 ，则 ． 从而 ，得 ．所以 的方程为 ． （2）由 可得 ． 由 ，可得 ．所以 ．从而 ，故 ． 代入 的方程得 ，故 ． 34．【2018 全国 I 文 20】（本小题满分 12 分） 设抛物线 ，点 ，过点 的直线 与 交于 两点． （1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程； （2）证明： ． 【解析】【基本解法 1】（1）当 轴时，直线 带入抛物线方程得： 解得点 或 ， 或 ， 所以直线 得方程为： 或 ． （2）当斜 率不存在时， 关于 轴对称， ． 当斜率存在时，可设直线方程为 ， ． 设点 则： ， ， ， ． 35．（2018 全国 II 文 20 理 19）（本小题满分 12 分） 设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点． ． （1）求 的方程； （2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程． 2 3 2 3 y x t y x  = +  = 2 29 12( 1) 4 0x t x t+ − + = 1 2 12( 1) 9 tx x −+ = − 12( 1) 5 9 2 t −− = 7 8t = − l 3 7 2 8y x= − 3AP PB=  1 23y y= − 2 3 2 3 y x t y x  = +  = 2 2 2 0y y t− + = 1 2 2y y+ = 2 23 2y y− + = 2 11, 3y y= − = C 1 2 13, 3x x= = 4 13| | 3AB = 2: 2C y x= ( ) ( )2 , 0 , 2 , 0A B − A l C ,M N l x BM ABM ABN∠ = ∠ xl ⊥ 2: =xl 2±=y M ( )2 , 2 M ( )2 , 2− 2 1 22 02 =+ −=∴ BMk 2 1 22 02 −=+ −−=BMk BM ( )1 12 12 2y x x= − = − ( )1 12 12 2y x x= − − = − + M N, x ABM ABN∴∠ = ∠ )2(: −= xkyl ( ) 2 2 2 2 2 2 , (4 2) 4 0 2 , y k x k x k x k y x  = − ∴ − + + = = ),(),,( 2211 yxNyxM 4,24 212 2 21 =+=+ kxx 0)2)(2( 82 22 21 21 2 2 1 1 =++ −=+++=+ xx x y x ykk NBMB NBMB kk −=∴ ABNABM ∠=∠∴ 2: 4C y x= F F ( )0k k > l C A B 8AB = l A B C 十年高考+大数据预测 【解析】（1）由题意得 ， 的方程为 ． 设 ，由 得 ． ，故 ． ． 由题设知 ，解得 （舍去）， ．因此 的方程为 ． （2）由（1）得 的中点坐标为 ， 的垂直平分线方程为 ，即 ． 设所求圆的圆心坐标为 ，则 解得 或 因此所求圆的方程为 或 ． 36．（2017 新课标Ⅰ文）设 ， 为曲线 ： 上两点， 与 的横坐标之和为 4． (1)求直线 的斜率； (2)设 为曲线 上一点， 在 处的切线与直线 平行，且 ，求直线 的方程． 【解析】（1）设 ， ，则 ， ， ，x1+x2=4， 于是直线 的斜率 ． （2）由 ，得 ． 设 ，由题设知 ，解得 ，于是 ． 设直线 的方程为 ，故线段 的中点为 ， ． 将 代入 得 ． 当 ，即 时， ，从而 ． 由题设知 ，即 ，解得 ，所以直线 AB 的方程为 ． 37．（2017 新课标Ⅲ理）已知抛物线 ： ，过点 的直线 交 与 ， 两点，圆 是以线段 为直径的圆． (1,0)F l ( 1)( 0)y k x k= − > 1 2 21( , ), ( , )A y x yx B ( ) 2 1 , 4 , y k x y x  = − = 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + = 216 16 0k∆ = + > 1 2 2 2 2 4 kx kx ++ = ( ) ( )1 22 24 41 1 kAB AF xF xB k +∴ = + = + + + = 2 2 4 4 8k k + = 1k = − 1k = l 1y x= − AB (3,2) AB∴ 2 ( 3)y x− = − − 5y x= − + 0 0( , )x y 0 0 2 2 0 0 0 5, ( 1)( 1) 16.2 y x y xx = − + − ++ = + 0 0 3, 2 x y =  = 0 0 11, 6. x y =  = − ( ) ( )2 23 2 16x y− + − = ( ) ( )2 211 6 144x y− + + = A B C 2 4 xy = A B AB M C C M AB AM BM⊥ AB 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2x x≠ 2 1 1 4 xy = 2 2 2 4 xy = AB 1 2 1 2 1 2 14 y y x xk x x − += = =− 2 4 xy = 2 xy' = 3 3( , )M x y 3 12 x = 3 2x = (2,1)M AB y x m= + AB (2,2 )N m+ | | | 1|MN m= + y x m= + 2 4 xy = 2 4 4 0x x m− − = 16( 1) 0m∆ = + > 1m > − 1,2 2 2 1x m= ± + 1 2| |= 2 | | 4 2( 1)AB x x m− = + | | 2 | |AB MN= 4 2( 1) 2( 1)m m+ = + 7m = 7y x= + C 2 2y x= (2,0) l C A B M AB 十年高考+大数据预测 (1)证明：坐标原点 在圆 上； (2)设圆 过点 ，求直线 与圆 的方程． 【解析】（1）设 ， ， ： 由 可得 ，则 又 ， ，故 =4 因此 的斜率与 的斜率之积为 ，所以 ． 故坐标原点 在圆 上． （2）由（1）可得 ， 故圆心 的坐标为 ，圆 的半径 由于圆 过点 ，因此 ， 故 即 由（1）可得 ， ． 所以 ，解得 或 ． 当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的 方程为 ． 38．（2017 北京理）已知抛物线 ： 过点 ．过点 作直线 与抛物线 交于不同的两 点 ， ，过点 作 轴的垂线分别与直线 ， 交于点 ， ，其中 为原点． （Ⅰ）求抛物线 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； O M M (4, 2)P − l M ( )A x ,y1 1 ( )B x ,y2 2 l 2x ym= + 2 2 2 x my y x = +  = y my− − =2 2 4 0 y y = −1 2 4 yx 2 1 1= 2 yx 2 2 2= 2 ( )y yx x 2 1 2 1 2= 4 OA OB y y x x ⋅1 2 1 2 - 4= =-14 OA OB⊥ O M y y m1 2+ =2 ( )x x m y y m +2 1 2 1 2+ = + +4=2 4 M ( )m m2+2， M ( )r m m= + +22 22 M (4, 2)P − 0AP BP =   ( )( ) ( )( )1 2 1 24 4 + + 2 + 2 = 0x x y y− − ( ) ( )x x x x y y y y− + + + + =1 2 1 2 1 2 1 24 + 2 20 0 y y1 2=- 4 x x1 2=4 2m m− − =2 1 0 m =1 m = − 1 2 1m = l 2 0x y− − = M (3,1) M 10 M ( ) ( )x y− + − =2 23 1 10 1 2m = − l 2 4 0x y+ − = M 9 1( , )4 2 − M 85 4 M 2 29 1 85( ) ( )4 2 16x y− + + = C 2 2y px= (1,1)P 1(0, )2 l C M N M x OP ON A B O C 十年高考+大数据预测 （Ⅱ）求证： 为线段 的中点． 【解析】（Ⅰ）由抛物线 C： 过点 ，得 ．所以抛物线 的方程为 ． 抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ． （Ⅱ）当直线 的斜率不存在或斜率为 0 时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线 的 斜率存在且不为 0． 设 为点 ，过 的直线 方程为 （ ），设 ， ，显然， ， 均 不为 0． 由 ，得 ．考虑 ，由题意 ，所以 ． 则 ，① ． ② 由题意可得 ， 横坐标相等且同为 ， 因为点 P 的坐标为 ，所以直线 OP 的方程为 ，点 A 的坐标为 ． 直线 ON 的方程为 ，点 B 的坐标为 ． 若要证明 为 的中点，只需证 ，即证 ， 即证 ， 将 代入上式， 即证 ， 即证 ③ 将①②代入③得 ，化简有 恒成立， 所以 恒成立． 故 A 为线段 BM 的中点． A BM 2 2y px= (1,1)P 1 2p = C 2y x= C 1( ,0)4 1 4x = − MN MN 1(0, )2 Q Q MN 1 2y kx= + 0k ≠ 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 1x 2x 2 1 2y kx y x  = +  = 2 24 (4 4) 1 0k x k x+ − + = 2 21( 1) 4 1 24k k k∆ = − − × × = − 0∆ > 1 2k < 1 2 2 1 kx x k −+ = 1 2 2 1 4x x k = A B 1x (1,1) y x= 1 1( , )x x 2 2 yy xx = 2 1 1 2 ( , )y xx x A BM 2 A B My y y= + 1 2 1 1 2 2x y y xx + = 1 2 2 1 1 22x y x y x x+ = 1 1 2 2 1 2 1 2 y kx y kx  = +  = + 2 1 1 2 1 2 1 1( ) ( ) 22 2kx x kx x x x+ + + = 1 2 1 2 1(2 2) ( ) 02k x x x x− + + = 2 2 1 1(2 2) 04 2 kk k k −− + = 2 2 1 1 02 2 k k k k − −+ = 2 A B My y y= + 十年高考+大数据预测 39．（2015 浙江文）如图，已知抛物线 ： ，圆 ： ，过点 作不过 原点 的直线 ， 分别与抛物线 和圆 相切， 为切点． （Ⅰ）求点 的坐标； （Ⅱ）求 的面积． 注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共 点为切点． 【解析】（Ⅰ）由题意可知，直线 的斜率存在，故可设直线 的方程为 ． 所以 消去 ．整理得： ． 因为直线 与抛物线相切，所以 ，解得 ． 所以 ，即点 ．设圆 的圆心为 ， 点 的坐标为 ，由题意知，点 关于直线 对称， 故有 ，解得 ．即点 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， 直线 的方程为 ， 所以点 到直线 的距离为 ． 所以 的面积为 ． 2 0 02 2 2 2,1 1 t tx yt t = =+ + 2 2 2 2 2( , )1 1 t tB t t+ + 21AP t t= + 2 0tx y t− − = 2 21 td t = + PAB∆ 31 2 2 tS AP d= ⋅ = 1C 21 4y x= 2C 2 2( 1) 1x y+ − = ( ,0) ( >0)P t t O PA PB 1C 2C ,A B ,A B PAB∆ PA PA ( )y k x t= − ( ) 21 4 y k x t y x  = − = y 2 4 4 0x kx kt− + = PA 2Δ 16 16 0k kt= − = k t= 2x t= 2(2 , )A t t 2C (0,1)D B 0 0( , )x y ,B O PD 0 0 0 0 12 2 0 y x t x t y  = − +  − = AP B PA 十年高考+大数据预测 40．（2015 福建文）已知点 为抛物线 （ ）的焦点，点 在抛物线 上，且 ． （Ⅰ）求抛物线 的方程； （Ⅱ）已知点 ，延长 交抛物线 于点 ，证明：以点 为圆心且与直线 相切的圆，必与 直线 相切． 【解析】解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得 ． 因为 ，即 ，解得 ， 所以抛物线 的方程为 ． （Ⅱ）因为点 在抛物线 上， 所以 ，由抛物线的对称性，不妨设 ． 由 ， 可得直线 的方程为 ． 由 ，得 ， 解得 或 ，从而 ． 2 32 p+ = 2p = 2 4y x= ( )2,mΑ :Ε 2 4y x= 2 2m = ± ( )2,2 2Α ( )2,2 2Α ( )F 1,0 FΑ ( )2 2 1y x= − ( ) 2 2 2 1 4 y x y x  = − = 22 5 2 0x x− + = x y A G B FO 2x = 1 2x = 1 , 22  Β −   F :Ε 2 2y px= 0p > ( )2,mΑ Ε 3ΑF = Ε ( )1,0G − ΑF Ε Β F GΑ GΒ | | 2 2 pAF = + | | 3AF = Ε 十年高考+大数据预测 又 ， 所以 ， ， 所以 ，从而 ，这表明点 到直线 的距离相等，故以 为圆心且与 直线 相切的圆必与直线 相切． 解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设以点 为圆心且与直线 相切的圆的半径为 ． 因为点 在抛物线 ： 上， 所以 ，由抛物线的对称性，不妨设 ． 由 ， 可得直线 的方程为 ． 由 ，得 ， 解得 或 ，从而 ． 又 ，故直线 的方程为 ， 从而 ． 又直线 的方程为 ，所以点 到直线 的距离 ． 这表明以点 为圆心且与直线 相切的圆必与直线 相切． 41．（2014 陕西文理）如图，曲线 由上半椭圆 和部分抛物线 ( )G 1,0− ( )G 2 2 0 2 2 2 1 3k Α −= =− − ( )G 2 0 2 2 1 312 k Β − −= = − − − G G 0k kΑ Β+ = r 2 4y x= x y A G B FO 2 2m = ± ( )2,2 2Α ( )2,2 2Α ( )F 1,0 FΑ ( )2 2 1y x= − ( ) 2 2 2 1 4 y x y x  = − = 22 5 2 0x x− + = 2x = 1 2x = GΑ 2 2 3 2 2 0x y− + = 2 2 2 2 4 2 8 9 17 r + = = + 2 2 3 2 2 0x y+ + = 2 2 2 2 4 2 8 9 17 d r + = = = + AGF BGF∠ = ∠ F ,GA GB F GA GB F GA (2, )A m E 1( , 2)2B − ( 1,0)G − GB F GB F GA GB C 2 2 1 2 2: 1( 0, 0)y xC a b ya b + = > > ≥ 十年高考+大数据预测 连接而成， 的公共点为 ，其中 的离心率为 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）过点 的直线 与 分别交于 （均异于点 ），若 ，求直线 的方程． 【解析】（Ⅰ）在 ， 方程中，令 ，可得 b=1，且得 是上半椭圆 的左右顶点， 设 的半焦距为 ，由 及 ，解得 ，所以 ， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，上半椭圆 的方程为 ， 易知，直线 与 轴不重合也不垂直，设其方程为 代入 的方程中，整理得： （*） 设点 的坐标 ，由韦达定理得 又 ，得 ，从而求得 所以点 的坐标为 ． 同理由 得点 的坐标为 ， ， ， 2 2 : 1( 0)C y x y= − + ≤ 1 2,C C ,A B 1C 3 2 ,a b B l 1 2,C C ,P Q ,A B AP AQ⊥ l 1C 2C 0y = ( 1,0), (1,0)A B− 1C 1C c 3 2 c a = 2 2 2 1a c b− = = 2a = 2a = 1b = 1C 2 2 1( 0)4 y x y+ = ≥ l x ( 1)( 0)y k x k= − ≠ 1C 2 2 2 2( 4) 2 4 0k x k x k+ − + − = P ( , )P Px y 2 2 2 4P B kx x k + = + (1,0)B 2 2 4 4P kx k −= + 2 8 4P ky k −= + P 2 2 2 4 8( , )4 4 k k k k − − + + 2 ( 1)( 0) 1( 0) y k x k y x y = − ≠  = − + ≤ Q 2( 1, 2 )k k k− − − − 2 2 ( ,4)4 kAP kk ∴ = +  (1, 2)AQ k k= − + 十年高考+大数据预测 ， ，即 ， ， ，解得 ，经检验， 符合题意，故直线 的方程为 ． 42．（2012 新课标文理）设抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，已知以 为圆心， 为半径的圆 交 于 、 点． （Ⅰ）若 ， 的面积为 ，求 的值及圆 的方程； （Ⅱ）若 、 、 三点在同一直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公共点，求坐标原点到 、 距离的比值． 【解析】（Ⅰ）由对称性知： 是等腰直角 ，斜边 ， 点 到准线 的距离 ， ， 圆 的方程为 ． （Ⅱ）由对称性设 ，则 ， 点 关于点 对称得： ， 得： ，直线 ， 切点 ， 直线 ， 坐标原点到 距离的比值为 ． AP AQ⊥ 0AP AQ∴ ⋅ =  2 2 2 [ 4( 2)] 04 k k kk − − + =+ 0k ≠ 4( 2) 0k k∴ − + = 8 3k = − 8 3k = − l 8 ( 1)3y x= − − C )0(22 >= ppyx F l A C F FA F l B D oBFD 90=∠ ABD∆ 24 p F A B F m n m n C m n BFD∆ ∆ 2BD p= A l 2d FA FB p= = = 14 2 4 2 22ABDS BD d p∆ = ⇔ × × = ⇔ = F 2 2( 1) 8x y+ − = 2 0 0 0( , )( 0)2 xA x xp > (0, )2 pF ,A B F 2 2 2 20 0 0 0( , ) 32 2 2 x x pB x p p x pp p − − ⇒ − = − ⇔ = 3( 3 , )2 pA p 3 32 2: 3 02 23 p p p pm y x x y p − = + ⇔ − + = 2 2 3 32 2 3 3 x xx py y y x pp p ′= ⇔ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ 3( , )3 6 p pP 3 3 3: ( ) 3 06 3 3 6 p pn y x x y p− = − ⇔ − − = ,m n 3 3: 32 6 p p =