十年高考+大数据预测
专题 30 排列组合、二项式定理【理】
十年大数据*全景展示
年 份 题号 考 点 考 查 内 容
2011 理 8 二项式定理 二项式定理的应用，常数项的计算
2012 理 2 排列与组合 简单组合问题
卷 1[来
源:Z.Com]
理 9[来源:学科网
ZXXK][来源:Z.Com]
二项式定理 二项式定理的应用以及组合数的计算2013[来
源:学§科§网 Z§X§X§
K] 卷 2 理 5 二项式定理 二项式定理的应用
卷 1 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算
2014
卷 2 理 13 二项式定理 二项式展开式系数的计算
卷 1 理 10 二项式定理 三项式展开式系数的计算
2015
卷 2 理 15 二项式定理 二项式定理的应用
卷 1 理 14 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算
卷 2 理 5 排列与组合 计数原理、组合数的计算2016
卷 3 理 12 排列与组合 计数原理的应用
卷 1 理 6 二项式定理 二项式展开式系数的计算
卷 2 理 6 排列与组合 排列组合问题的解法2017
卷 3 理 4 二项式定理 二项式展开式系数的计算
卷 1 理 15 排列与组合 排列组合问题的解法
2018
卷 3 理 5 二项式定理 二项式展开式指定项系数的计算
2019 卷 3 理 4 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数
卷 1 理 8 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式指定项的系数
2020
卷 3 理 14 二项式定理 利用展开式通项公式求展开式常数项
大数据分析*预测高考
考点 出现频率 2021 年预测
考点 102 两个计数原理的应用 23 次考 2 次
考点 103 排列问题的求解 23 次考 0 次
考点 104 组合问题的求解 23 次考 4 次
考点 105 排列与组合的综合应用 23 次考 2 次
考点 106 二项式定理 23 次考 11 次
命题角度：（1）分类加法计数原理；（2）分步乘法
计数原理；（3）两个计数原理的综合应用．
核心素养：数学建模、数学运算
十年高考+大数据预测
十年试题分类*探求规律
考点 102 两个计数原理的应用
1．(2016 全国 II 理)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参
加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A．24 B．18 C．12 D．9
【答案】B【解析】由题意可知 有 6 种走法， 有 3 种走法，由乘法计数原理知，共有
种走法，故选 B．
2．（2014 新课标理 1 理）4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同
学参加公益活动的概率为
A． B． C． D．
【答案】D【解析】 ．
3．（2012 湖北理）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如 22，121，3443，94249 等．显然 2
位回文数有 9 个：11，22，33，…，99．3 位回文数有 90 个：101，111，121，…，191，202，…，999．则
（Ⅰ）4 位回文数有 个；
（Ⅱ） 位回文数有 个．
【解析】（Ⅰ）4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为 0，有 9（1~9）
种情况，第二位有 10（0~9）种情况，所以 4 位回文数有 种．答案：90
（Ⅱ）解法一：由上面多组数据研究发现， 位回文数和 位回文数的个数相同，所以可以算出
位回文数的个数． 位回文数只用看前 位的排列情况，第一位不能为 0 有 9 种情况，后面
项每项有 10 种情况，所以个数为 ．
解法二：可以看出 2 位数有 9 个回文数，3 位数 90 个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在 2 位数的
中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有 90 个按此规律推导 ，而当奇数
位时，可以看成在偶数位的最中间添加 0~9 这十个数，因此 ，则答案为 ．
4．（2011 湖北理）给 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当 时，在所有不同的着色方案中，
黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：
2 1( )n n ++ ∈N
90109 =×
n 4n ≤
E F→ F G→ 6 3 18× =
1
8
3
8
5
8
7
8
4
4
2 2 7
2 8P
−= =
2 1n + 2 2n +
2 2n + 2 2n + 1n +
n 9 10n×
2 210 2n nS S= −
2 1 210n nS S+ = 9 10n×
十年高考+大数据预测
由此推断，当 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着
色方案共有 种，（结果用数值表示）
【解析】（Ⅰ）4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为 0，有 9（1~9）
种情况，第二位有 10（0~9）种情况，所以 4 位回文数有 种．答案：90
（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现， 位回文数和 位回文数的个数相同，所以可以算出
位回文数的个数． 位回文数只用看前 位的排列情况，第一位不能为 0 有 9 种情况，后面
项每项有 10 种情况，所以个数为 ．
法二、可以看出2 位数有 9 个回文数，3 位数 90 个回文数．计算四位数的回文数是可以看出在 2 位数的中
间添加成对的“00，11，22，……99”，因此四位数的回文数有 90 个按此规律推导 ，而当
奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加 0~9 这十个数，因此 ，则答案为 ．
考点 103 排列问题的求解
5．（2016 四川理）用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
A．24 B．48 C．60 D．72
【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为 1、3、5 中任选一个，有 种
方法，其他数位上的数可以从剩下的 4 个数字中任选，进行全排列，有 种方法，所以其中奇数的个数为
，故选 D．
6．（2015 四川理）用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有
A．144 个 B．120 个 C．96 个 D．72 个
【答案】B【解析】据题意，万位上只能排 4、5．若万位上排 4，则有 个；若万位上排 5，则有
个．所以共有 个，故选 B．
7．（2015 广东理）某高三毕业班有 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了
条毕业留言．（用数字作答）
6n =
90109 =×
3
42 A× 3
43 A×
3
42 A× 3
43 5 24 120A+ × = × =
2 1n + 2 2n +
2 2n + 2 2n + 1n +
n 9 10n×
2 210 2n nS S= −
2 1 210n nS S+ = 9 10n×
1
3A
4
4A
1 4
3 4A A 72=
40
十年高考+大数据预测
【答案】1560 【解析】由题意 ，故全班共写了 1560 条毕业留言．
8．（2014 北京理）把 5 件不同产品摆成一排，若产品 与产品 相邻，且产品 与产品 不相邻，则不同
的摆法有_______种．
【答案】36【解析】将 A、B 捆绑在一起，有 种摆法，再将它们与其他 3 件产品全排列，有 种摆法，
共有 =48 种摆法，而 A、B、C 3 件在一起，且 A、B 相邻，A、C 相邻有 CAB、BAC 两种情况，将
这 3 件与剩下 2 件全排列，有 种摆法，故 A、B 相邻，A、C 不相邻的摆法由 48-12=36．
9．（2013 北京理）将序号分别为 1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少一张，如果分给同
一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．
【答案】96【解析】5 张参观券分成 4 堆，有 2 个联号有 4 种分法，每种分法分给 4 个人有 种方法，∴总共有
．
10．（2013 浙江理）将 六个字母排成一排，且 均在 的同侧，则不同的排法共有
________种（用数字作答）．
【答案】480【解析】第一类，字母 C 排在左边第一个位置，有 种；第二类，字母 C 排在左边第二个位
置，有 种；第三类，字母 C 排在左边第三个位置，有 种，由对称性可知共有 2×( +
+ )=480 种．
考点 104 组合问题的求解
11．【2020 山东卷 3】6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 个场馆，甲场馆安排 名，
乙场馆安排 名，丙场馆安排 名，则不同的安排方法共有 （ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】C
【思路导引】利用分步计算原理，结合组合数的计算，计算出不同的安排方法．
【解析】首先从 名同学中选 名去甲场馆，方法数有 ；然后从其余 名同学中选 名去乙场馆，方法数
有 ；最后剩下的 名同学去并场馆，故不同的安排方法共有 种，故选 C．
12．(2018 全国Ⅱ理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每
个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的
FEDCBA ,,,,, BA, C
2
40 1560A =
A B A C
2
2A 4
4A
2
2A 4
4A
3
32 12A× =
4
4A
4
44 96A =
5
5A
2 3
4 3A A 2 3 2 3
2 3 3 3A A A A+ 5
5A 2 3
4 3A A
2 3 2 3
2 3 3 3A A A A+
1 1
2 3
120 90 60 30
6 1 1
6C 5 2
2
5C 3 1 2
6 5 6 10 60C C⋅ = × =
30 7 23= +
十年高考+大数据预测
数，其和等于 30 的概率是
A． B． C． D．
【答案】C【解析】不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，从中随机选取两
个不同的数有 种不同的取法，这 10 个数中两个不同的数的和等于 30 的有 3 对，所以所求概率
，故选 C．
13．（2017 山东理）从分别标有 ， ， ， 的 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张．则抽
到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是
A． B． C． D．
【答案】C【解析】不放回的抽取 2 次有 ，如图
可知 与 是不同，所以抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同有 =40，所求概率为 ．
14．（2014 广东理）设集合 ，那么集合 A 中满足条件
“ ”的元素个数为（ ）
A．60 B．90 C．120 D．130
【答案】D【解析】易知 1 或 2 或 3，下面分三种情况讨论．其一：
1，此时，从 中任取一个让其等于 1 或-1，其余等于 0，于
是有 种情况；其二： 2，此时，从 中任取两个让
其都等于 1 或都等于-1 或一个等于 1、另一个等于-1，其余等于 0，于是有 种情况；其三：
3，此时，从 中任取三个让其都等于 1 或都等于-1 或两个等
于 1、另一个等于-1 或两个等于-1、另一个等于 1，其余等于 0，于是有 种情况．由
于 ．
15．（2014 安徽理）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 的共有
A．24 对 B．30 对 C．48 对 D．60 对
1 2 ⋅⋅⋅ 9 9
5
18
4
9
5
9
7
9
2
1，3，4，5，6，7，8，92，3，4，5，6，7，8，9
1
( ){ }1 2 3 4 5= , , , , { 1,0,1}, 1,2,3,4,5iA x x x x x x i∈ − =
1 2 3 4 51 3x x x x x≤ + + + + ≤
60°
1
12
1
14
1
15
1
18
2
10C
2
10
3 1
C 15
= =P
1 1
9 8C C 9 8 72= × =
(1,2) (2,1) 1 1
5 42C C 40 5
72 8
=
1 2 3 4 5| | | | | | | | | |x x x x x+ + + + =
1 2 3 4 5| | | | | | | | | |x x x x x+ + + + = 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x
1 1
5 2 10C C = 1 2 3 4 5| | | | | | | | | |x x x x x+ + + + = 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x
2 2 1
5 5 22 40C C C+ =
1 2 3 4 5| | | | | | | | | |x x x x x+ + + + = 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x
3 3 1 3 2
5 5 3 5 32 80C C C C C+ + =
10 40 80 130+ + =
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【答案】C【解析】解法一（直接法）：如图，在上底面中选 ，四个侧面中的面对角线都与它成 ，
共 8 对，同样 对应的也有 8 对，下底面也有 16 对，这共有 32 对；左右侧面与前后侧面中共有 16 对，
所以全部共有 48 对．
解法二（间接法）：正方体的 12 条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为 ，所以成角为 的共
有 ．
16．（2013 山东理）用 0，1，…，9 十个数学，可以组成有重复数字的三位数的个数为
A．243 B．252 C．261 D．279
【答案】B【解析】能够组成三位数的个数是 9×10×10=900，能够组成无重复数字的三位数的个数是 9×9
×8 =648．故能够组成有重复数字的三位数的个数为 ．
17．（2012 新课标理）将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每
个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有
A．12 种 B．10 种 C．9 种 D．8 种
【答案】A【解析】先安排 1 名教师和 2 名学生到甲地，再将剩下的 1 名教师和 2 名学生安排到乙地，共有
种．
18．（2012 浙江理）若从 1，2，3，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法
共有
A．60 种 B．63 种 C．65 种 D．66 种
【答案】D【解析】和为偶数，则 4 个数都是偶数，都是奇数或者两个奇数两个偶数，则有
种取法．
19．（2012 山东理）现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张，从中任取 3 张，要
求这 3 张卡片不能是同一种颜色，并且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数是
A．232 B．252 C．472 D．484
60°
60° 60°
D1
A1
A B
C
C1
B1
D
1 1B D
1 1AC
2
12 12 6 48C − − =
900 648 252− =
1 2
2 4 12C C =
4 4 2 2
4 5 4 5 1 5 60 66C C C C+ + ⋅ = + + =
十年高考+大数据预测
【答案】C【解析】若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选 3 张，若都不同色则有
=64，若 2 张同色，则有 ，若红色 1 张，其余 2 张不同色，则有
，其余 2 张同色则有 ，所以共有 64+144+192+72=472．
另解 1： ，答案应选 C．
另解 2： ．
20．【2020 上海卷 9】从 6 个人选 4 个人去值班，每人值班一天，第一天安排 1 个人，第二天安排 1 个人，
第三天安排 2 个人，则共有 种安排情况．
【答案】180
【解析】按照先选再排的方法可知共有 种方法．
故答案为：180
21．(2018 全国Ⅰ理)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法
共有 种．（用数字填写答案）
【答案】16【解析】通解 可分两种情况：第一种情况，只有 1 位女生入选，不同的选法有
（种）；第二种情况，有 2 位女生入选，不同的选法有 （种）．
根据分类加法计数原理知，至少有 l 位女生人选的不同的选法有 16 种．
优解 从 6 人中任选 3 人，不同的选法有 （种），从 6 人中任选 3 人都是男生，不同的选法有
（种），所以至少有 1 位女生入选的不同的选法有 20–4 =16（种）．
22．（2014 广东理）从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6 的
概率为 ．
【答案】 【解析】6 之前 6 个数中取 3 个，6 之后 3 个数中取 3 个， ．
23．（2014 江西理）10 件产品中有 7 件正品、3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到 1 件次品的概率是
________．
【答案】 【解析】从 10 件产品中任取 4 件共有 =210 种不同取法，因为 10 件产品中有 7 件正品、3 件
次品，所以从中任取 4 件恰好取到 1 件次品共有 种不同的取法，故所求的概率为
．
4728856072166
1415164 1
12
2
4
3
4
3
16 =−=−−××=−− CCCC
472122642202
11124126
1011123 2
12
1
4
3
4
3
12
0
4 =−+=××+−××=+− CCCCC
1
6
3 3
6 3
3
10
1
6
C CP C
⋅= =
1
4C × 1
4C × 1
4C
2 1 2 1
3 2 4 4 144C C C C× × × =
1 2 1 1
4 3 4 4 192C C C C× × × = 1 1 2
4 3 4 72C C C× × =
4 1 1
6 4 3 180C C C =
1 2
2 4C C 12= 2 1
2 4C C 4=
3
6C 20= 3
4C 4=
1
2
4
10C
1 3
3 7C C 105=
105 1
210 2P = =
十年高考+大数据预测
24．（2013 新课标 2 理）从 个正整数 1，2，…， 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5
的概率为 ，则 =________．
【答案】8【解析】由题意 ，解得 ．
25．（2011 湖北理）给 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当 时，在所有不同的着色方 案中，
黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：
由此推断，当 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着
色方案共有 种，（结果用数值表示）
【答案】21 43【解析】 时，黑色正方形互不相邻的着色方案种数分别为 2，3，5，8，由此可
看出后一个总是前 2 项之和，故 时应为 5+8=13， 时应为 8+13=21； 时，所有的着色方案
种数为 种，∴至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有
种．
考点 105 排列与组合的综合应用
26．【2020 全国Ⅱ理 14】4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区
至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有______种． ．
【答案】
【解析】 4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同
学， 先取 2 名同学看作一组，选法有： ，现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区，分法有：
，根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种，故答案为： ．
27．（2017 新课标理Ⅱ理）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不
同的安排方式共有
A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种
n n
1
14 n
2
2 1
14nC
= 8n =
n 4n ≤
6n =
1,2,3,4n =
5n = 6n = 6n =
0 1 2 3 4 5 6
6 6 6 6 6 6 6C C C C C C C 64N = + + + + + + =
64 21 43− =
36
∴ 2
4 6C =
3
3 6A = 6 6 36× = 36
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【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作
分成三份：有 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有 种．故选
D．
28．(2018 浙江理)从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成
个没有重复数字的四位数．(用数字作答)
【答案】1260【解析】若取的 4 个数字不包括 0，则可以组成的四位数的个数为 ；若取的 4 个数字
包括 0，则可以组成的四位数的个数为 ．综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为
+ =720+ 540 =1 260．
29．（2017 浙江理）从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，
要求服务队中至少有 1 名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
【答案】660【解析】分两步，第一步，选出 4 人，由于至少 1 名女生 ，故有 种不同的选法；
第二步，从 4 人中选出队长、副队长各一人，有 种不同的选法，根据分步乘法计数原理共有
种不同的选法．
30．（2017 天津理）用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四
位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）
【答案】1080【解析】分两种情况，只有一个数字为偶数有 个，没有偶数有 个，所以共有
个．
31．（2014 浙江理）在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖．将这 8 张奖券分配给 4 个人，
每人 2 张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）．
【答案】60【解析】分情况：一种情况将有奖的奖券按 2 张、1 张分给 4 个人中的 2 个人，种数为
；另一种将 3 张有奖的奖券分给 4 个人中的 3 个人，种数为 ，则获奖情况总共有 36
+24 =60（种）．
考点 106 二项式定理
32．【2020 全国Ⅲ理 14】 的展开式中常数项是 （用数字作答）．
【答案】
2
4C 2 3
4 3C A 36× =
2 2 4
5 3 4C C A
2 1 1 3
5 3 3 3C C C A
2 2 4
5 3 4C C A 2 1 1 3
5 3 3 3C C C A
4 4
8 6C C 55− =
2
4A 12=
55 12 660× =
1 3 4
4 5 4C C A 4
5A
4 1 3 4
5 4 5 4 1080A C C A+ =
2 1 2
3 1 4C C A 36= 3
4A 24=
6
2 2x x
+
240
十年高考+大数据预测
【思路导引】写出 二项式展开通项，即可求得常数项．
【解析】 ，其二项式展开通项：
，当 ，解得 ，
的展开式中常数项是： ．故答案为： ．
33．【2020 浙江卷 12】设 ，则 ；
．
【答案】80；51
【解析】由题意可知 表示 的系数，即 ， ， ，
，∴ ，故答案为：80；51．
34．【2020 天津卷 11】在 的展开式中， 的系数是_________．
【答案】10
【解析】因为 的展开式的通项公式为 ，令
，解得 ．所以 的系数为 ．故答案为： ．
35．（2020 全国Ⅰ理 8） 的展开式中 的系数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 展开式的通项公式为 （ 且 ），∴ 与 展开式的
乘积可表示为： 或 ，在
6
2 2x x
+
6
2 2x x
+
( )62
61
2 r
rr
r C x xT
−
+
⋅ ⋅
= 12 2
6 (2)r r r rxC x− −⋅= ⋅ 12 3
6 (2)r r rC x −= ⋅ 12 3 0r− = 4r = ∴
6
2 2x x
+
6 6
4 4 22 16 15 16 240C C⋅ = ⋅ = × = 240
( ) 2 3 4 5
1 2 3 4 5
5
61 2x a a x a x a x a x a x+ = + + + + + 5a =
1 2 3a a a+ + =
5a 4x 4 4
5 5 2 80a C= ⋅ = 1 1a = 1
2 5 2 10a C= ⋅ =
2 2
3 5 2 40a C= ⋅ = 1 2 3 51a a a+ + =
5
2
2x x
+
2x
5
2
2x x
+
( )5 5 3
1 5 52
2 2 0,1,2,3,4,5
r
r r r r r
rT C x C x rx
− −
+
= = ⋅ ⋅ =
5 3 2r− = 1r = 2x 1
5 2 10C × = 10
( )2
5y
xx x y
+
+ 3 3x y
5 10 15 20
5( )x y+ 5
1 5
r r r
rT C x y−
+ = r N∈ 5r ≤
2yx x
+
5( )x y+
5 6
1 5 5
r r r r r r
rxT xC x y C x y− −
+ = = 2 2
5 4 2
1 5 5
r r r r r r
rT C x yx C yy y xx
− − +
+ = = 6
1 5
r r r
rxT C x y−
+ =
十年高考+大数据预测
中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，在 中，令 ，可得：
，该项中 的系数为 ，∴ 的系数为 ，故选 C．
36．【2020 北京卷 3】在 的展开式中， 的系数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意展开式的通项为 Tr+1 = 퐶r
5（x
1
2）
5-r
( ―2)
r
= = 퐶r
5( ―2)r푥
5―푟
2 ，令 r=1 得 x2 的系数为-10，故选
C．
37．（2019 全国 I 理 II 理 4）（1+2x2 ）（1+x）4 的展开式中 x3 的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A【解析】 的展开式中 的系数为 ．故选 A．
38．（2019 浙江理 13）在二项式 的展开式中，常数项是________，系数为有理数的
项的个数是_______．
【答案】5【解析】二项式 的展开式的通项为 ．
由 ，得常数项是 ；当r=1，3，5，7，9时，系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数是
5个．
39．(2018 全国Ⅲ理) 的展开式中 的系数为
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】C【解析】 ，由 ，得 ，所以 的系数为
．故选 C．
40．（2017 新课标Ⅰ理） 展开式中 的系数为
A．15 B．20 C．30 D．35
【答案】C【解析】 展开式中含 的项为 ，故 前系数为 30，
故选 C．
2 4(1 2 )(1 )x x+ + 3x 3 1 3
4 41 C 1 2 C 1 12× × + × × =
9( 2 )x+
( )9
2 x+
9
9 2
1 9 9C ( 2) 2 C
r
r r r r r
rT x x
−
−
+ = =
0r = 1 16 2T =
3r = 3 3 3
4 5xT C x y= 3 3x y 10 4 2
1 5
2
r r r
rT C xx yy − +
+ = 1r =
5
2
1 3 3
2T Cy xx y= 3 3x y 5 3 3x y 10 5 15+ =
( )5
2x − 2x
5− 5 10− 10
2 52( )x x
+ 4x
2 5 10 3
1 5 5
2C ( ) ( ) C 2r r r r r r
rT x xx
− −
+ = = 10 3 4r− = 2r = 4x
2 2
5C 2 40× =
6
2
1(1 )(1 )xx
+ + 2x
6
2
1(1 )(1 )xx
+ + 2x 2 2 4 4 2
6 62
11 30C x C x xx
⋅ + ⋅ = 2x
十年高考+大数据预测
41．（2017 新课标Ⅲ理） 的展开式中 的系数为
A． 80 B． 40 C．40 D．80
【答案】C【解析】 的展开式的通项公式为： ，
当 时， 展开式中 的系数为 ，
当 时， 展开式中 的系数为 ，
所以 的系数为 ，故选 C．
42．(2016 四川理) 设 为虚数单位，则 的展开式中含 的项为
A．－15 B．15 C．－20 D．20
【答案】A【解析】通项 ，令 ，得含 的项为 ，故选
A．
43．（2015 湖北理）已知 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和
为
A． B． C． D．
【答案】D【解析】因为 的展开式中的第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，所以 ，解得
，所以二项式 的展开式中奇数项的二项式系数和为 ．
44．（2015 陕西理）二项式 的展开式中 的系数为 15，则
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C【解析】由 ，知 ，
∴ ，解得 或 (舍去)，故选 C．
45．（2015 湖南理）已知 的展开式中含 的项的系数为 30，则
A． B． C．6 D．－6
【答案】D【解析】 ，令 ，可得 ，故选 D．
46．（2014 浙江理）在 的展开式中，记 项的系数为 ，
1=r
46 )1()1( yx ++ nm yx ),( nmf
5( )(2 )x y x y+ − 3 3x y
− −
5(2 )x y− 5
1 5C (2 ) ( )r r r
rT x y−
+ = −
3r = 5(2 )x x y− 3 3x y 3 2 3
5C 2 ( 1) 40× × − = −
2r = 5(2 )y x y− 3 3x y 2 3 2
5C 2 ( 1) 80× × − =
3 3x y 80 40 40− =
i 6( )x i+ 4x
4x 4x 4ix 4ix
6
1 6 ( 0,1,2, ,6)r r r
rT C x i r−
+ = = ⋅⋅⋅ 2r = 4x 2 4 2 4
6 15C x i x= −
(1 )nx+
122 112 102 92
(1 )nx+ 3 7C Cn n
=
10n = 10(1 )x+ 10 91 2 22
× =
( 1) ( )nx n N++ ∈ 2x n =
1 2 2( 1) (1 ) 1n n n n
n n nx x C x C x C x+ = + = + + +⋅⋅⋅+ 2 15nC =
( 1) 152
n n − = 6n = 5n = −
5( )ax
x
−
3
2x a =
3 3−
5
2
1 5 ( 1) rr r r
rT C a x
−
+ = − 5 30a− = 6a⇒ = −
十年高考+大数据预测
则 =
A．45 B．60 C．120 D．210
【答案】C【解析】由题意知 ， ， ， ，因此
．
47．（2014 湖南理） 的展开式中 的系数是
A．－20 B．－5 C．5 D．20
【答案】A【解析】由二项展开式的通项可得，第四项 ，故 的系数为
－20，故选 A．
48．（2014 福建理）用 代表红球， 代表蓝球， 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从 1 个红球和 1 个
篮球中取出若干个球的所有取法可由 的展开式 表示出来，如：“1”表示一个球
都不取、“ ”表示取出一个红球，面“ ”用表示把红球和篮球都取出来．以此类推，下列各式中，其展
开式可用来表示从 5 个无区别的红球、从 5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的
篮球都取出或都不取出的所有取法的是
A．
B．
C．
D．
【答案】A【解析】分三步：第一步，5 个无区别的红球可能取出 0 个，1 个，…，5 个，则有
种不同的取法；第二步，5 个无区别的篮球都取出或都不取出，则有 种不
同的取法；第三步，5 个有区别的黑球看作 5 个不同色，从 5 个不同色的黑球任取 0 个，1 个，…，5 个，
有 种不同的取法，所以所求的取法种数为 ．
49．（2013 辽宁理）使得 的展开式中含常数项的最小的 为
A． B． C． D．
(3,0)f + (2,1)f + (1,2)f + (0,3)f
51( 2 )2 x y− 2 3x y
2 3x y
4 5 6 7
3 0
6 4(3,0) C Cf = 2 1
6 4(2,1) C Cf = 1 2
6 4(1,2) C Cf = 0 3
6 4(0,3) C Cf =
(3,0) (2,1) (1,2) (0,3) 120f f f f+ + + =
3 2 3 2 3
4 5
1( ) ( 2 ) 202T C x y x y= − = −
a b c
( )( )ba ++ 11 abba +++1
a ab
( )( )( )555432 111 cbaaaaa +++++++
( )( )( )554325 111 cbbbbba +++++++
( ) ( )( )554325 111 cbbbbba +++++++
( )( ) ( )543255 111 cccccba +++++++
2 3 4 5(1 )a a a a a+ + + + + 5(1 )b+
5(1 )c+ 2 3 4 5(1 )a a a a a+ + + + + 5(1 )b+ 5(1 )c+
( )13
n
x n N
x x +
+ ∈ n
十年高考+大数据预测
【答案】B【解析】通项 ，常数项满足条件 ，所以 时
最小．
50．（2013 江西理） 展开式中的常数项为
A．80 B．－80 C．40 D．－40
【答案】C【解析】 ，令 ，解得 ，所以常数项为
．
51．（2012 安徽理） 的展开式的常数项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】第一个因式取 ，第二个因式取 得： ，第一个因式取 ，第二个因
式取 得： 展开式的常数项是 ．
52．（2012 天津理）在 的二项展开式中， 的系数为
A．10 B．－10 C．40 D．－40
【答案】D【解析】∵ = ，∴ ，即 ，
∴ 的系数为 ．
53．（2011 福建理） 的展开式中， 的系数等于
A．80 B．40 C．20 D．10
【答案】B【解析】 的展开式中含 的系数等于 ，系数为 40．答案选 B．
54．（2011 陕西理） （ R）展开式中的常数项是
A． B． C．15 D．20
【答案】C【解析】 ，
令 ，则 ，所以 ，故选 C．
55．（2019天津理理10） 是展开式中的常数项为 ．
5
21(3 ) ( ) 3 n rr n r r r n r
n nC x C x
x x
−− −= 5
2n r= 2r = 5n =
2 2 2
5 (2 ) 40C x x=
6(4 2 )x x−− x∈
20− 15−
6 2 (6 ) 12 3
1 6 6 6(4 ) (2 ) 2 2 2r x r x r r x r xr r x xr
rT C C C− − − − −
+ = = ⋅ ⋅ = ⋅
12 3 0x xr− = 4r = 4
5 6 15T C= =
8
3
12 8x x
−
5
2
3
2x x
−
2 5 10 5
1 5 53
2( ) ( ) ( 2)r r r r r r
rT C x C xx
− −
+ = − = − 10 5 0r− = 2r =
2 2
5( 2) 40C− =
2 5
2
1( 2)( 1)x x
+ −
3− 2− 2 3
2x 2
1
x
1 4
51 ( 1) 5C× − = 2
5( 1)− 52 ( 1) 2× − = − 5 ( 2) 3+ − =
2 51(2 )x x
− x
2 5- 1
+1 5= (2 ) ( )r r r
rT C x x−⋅ − 5- 10-3
52 ( 1)r r r rC x− 10 3 =1r− =3r
x 40−
5(1 2 )x+ 2x
5(1 2 )x+ 2x
十年高考+大数据预测
【答案】28【解析】由题意，可知此二项式的展开式的通项为
．
所以当 ，即 时， 为常数项，此时 ．
56．(2018 天津理)在 的展开式中， 的系数为 ．
【答案】 【解析】 ，令 ，得 ，
所以 的系数为 ．
57．(2018 浙江理)二项式 的展开式的常数项是___________．
【答案】7【解析】 ，令 ，解得 ，所以所求常数项为
．
58．（2017 浙江理）已知多项式 = ，则 =___， =___．
【答案】16，4【解析】将 变换为 ，则其通项为 ，取
和 可得，
，令 ，得 ．
59．（2017 山东理）已知 的展开式中含有 项的系数是 ，则 ．
【答案】4【解析】 ，令 得： ，解得 ．
60．(2016 山东理)若 的展开式中 的系数是-80，则实数 a=_______．
【答案】 【解析】因为 ，所以由 ，
因此
( )8
r+1 8 3
1C 2 8
r
rrT x x
− = − =
( )8 8 8 4 8 4
8 83
1 1C 2 C 1 28
r r
rr r r r r rx xx
− − − − − = −
8 4 0r− = 2r =
r 1T + ( )22 8 4 2
3 2 1 8C 1 2 28T T − ×
+= = ⋅ − =
54 n =
5102 5 5 2
1 5 5
1( ) ( ) rr r r r r
rT C ax C a x
x
−− −
+ = = 510 5 22 r r− = ⇒ =
2 5 2
5 80 2.C a a− = − ⇒ = −
51( )
2
x
x
− 2x
5
2
355 2
1 5 5
1 1C ( ) C ( )22
r
r r r r r
rT x x
x
−−
+ = − = − 35 22 r− = 2r =
2x 2 2
5
1 5C ( )2 2
− =
83 1( )2x x
+
8 8 4
3 3
1 8 8
1 1C ( ) C ( )2 2
r r
r r r r
rT x xx
− −
+ = = 8 4 03
r− = 2r =
2 2
8
1C ( ) 72
× =
3 2( 1) ( 2)x x+ + 5 4 3 2
1 2 3 4 5x a x a x a x a x a+ + + + + 4a 5a
3 2( 1) ( 2)x x+ + 3 2(1 ) (2 )x x+ + 3 2
3 2C 1 C 2r r r m m mx x− −
0, 1r m= = 1, 0r m= =
0 1 1 0 2
4 3 2 3 2C C 2 + C C 2 4 12 16a = × × = + = 0x = 5 4a =
(1 3 )nx+ 2x
( )1 C 3 C 3rr r r r
r n nΤ x x+ = = ⋅ ⋅ 2r = 2 2C 3 54n
⋅ = 4n =
2 51( )ax
x
+ 5x
2−
十年高考+大数据预测
61．(2016 全国 I 理) 的展开式中，x3 的系数是 ．（用数字填写答案）
【答案】 【解析】由 得 ，令 得 ，此时系
数为 10．
62．（2015 北京理）在 的展开式中， 的系数为 ．（用数字作答）
【答案】40【解析】由通项公式， ，令 ，得出 的系数为 ．
63．（2015 新课标 2 理） 的展开式中 的奇数次幂项的系数之和为 32，
则 =______．
【答案】3【解析】 展开式的通项为 ，由题意可知，
，解得 ．
64．（2014 新课标 1 理） 的展开式中 的系数为 ．(用数字填写答案)
【答案】－20【解析】 中 ，令 ，再令 ，得 的系数为
．
65．（2014 新课标 2 理） 的展开式中， 的系数为 15，则 =___．(用数字填写答案)
【答案】 【解析】二项展开式的通项公式为 ，当 时， ，
，则 ，故 ．
66．（2014 山东理）若 的展开式中 项的系数为 20，则 的最小值为 ．
【答案】2【解析】 ，令 ，得 ，
故 ，∴ ，当且仅当 或 时等号成立．
67．（2013 安徽理）若 的展开式中 的系数为 7，则实数 ______．
【答案】 【解析】通项 ，所以 ．
8
3
ax
x
+
4x a =
2
1
2
17,343
48)( 33
8
3
8
83
8
8 =⇒==⇒=−⇒= =−− aaCrrxaC
x
axC
rrrrrrr
2
1
5(2 )x x+
10 5(2 )x x+ 55 5 2
1 5 5C (2 ) ( ) 2 C
r
r r r r r
rT x x x
−− −
+ = = 5 32
r− = 4r =
( )52 x+ 3x
5
1 5 2r r r
rT C x−
+ = ⋅ 3r = 3x 3 2
5C 2 40=
4( )(1 )a x x+ + x
a
4(1 )x+ 1 4Cr r
rT x+ =
1 3 0 2 4
4 4 4 4 4( ) 32a C C C C C+ + + + = 3a =
8( )( )x y x y− + 2 7x y
8( )x y+ 8
1 8Cr r r
rT x y−
+ = 7r = 6r = 2 7x y
7 6
8 8 20C C− = −
( )10x a+ 7x a
1
2
10
1 10
r r r
rT C x a−
+ = 10 7r− = 3r =
3 3 7
4 10T C a x= 3 3
10 15C a = 1
2a =
6
2 bax x
+
3x 2 2a b+
2 6 6 12 3
1 6 6( ) ( )r r r r r r r
r
bT C ax C a b xx
− − −
+ = = 12 3 0r− = 3r =
3 3 3
6 20C a b = 2 21, 2 2ab a b ab= + =≥ 1a b= = 1a b= = −
十年高考+大数据预测
68．（2012 广东理） 的展开式中 的系数为______．（用数字作答）
【答案】20【解析】 的展开式中第 项为 ，
令 得： 的系数为 ．
69．(2012 浙江理)若将函数 表示为
，其中 ， ， ，…， 为实数，则 ．
【答案】10【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．
即： ．
法二：对等式： 两边连续对 x 求导三次得：
，再运用赋值法，令 得： ，即 ．
法三： ，则 ．
70．（2011 浙江理）设二项式 的展开式中 的系数为 A，常数项为 B，若 B=4A，则
的值是 ．
【答案】2【解析】由题意得 ，
∴ ， ，又∵ ，
∴ ，解之得 ，又∵ ，∴ ．
5
4
5 5 4 3
3 1
5 5 4 4 3
1
0 10
0
a
C a a a
C a C a a
=
+ = ⇒ =
+ + =
( ) ( ) ( ) ( )2 55
0 1 2 51 1 1f x x a a x a x a x= = + + + + + + +
2 2
3 4 560 6 24 (1 ) 60 (1 )x a a x a x= + + + + 1x = − 360 6a= 3 10a =
)0()( 6 >− a
x
ax 3x
( ) kkk
k
kk
k xCa
x
axCT 2
36
6
6
61
−−
+ −=
−=
( ) 2
6
2 CaA −= ( ) 4
6
4 CaB −= AB 4=
( ) 4
6
4 Ca− ( ) 2
6
24 Ca−= 42 =a 0>a 2=a
2 61( )x x
+ 3x
2 61( )x x
+ 1k + 2(6 ) 12 3
1 6 6 ( 0,1,2, ,6)k k k k k
kT C x x C x k− − −
+ = = =
12 3 3 3k k− = ⇔ = 3x 3
6 20C =
5( )f x x= 2
0 1 2( ) (1 ) (1 )f x a a x a x= + + + +
5
5 (1 )a x+ + + 0a 1a 2a 5a 3a =
5 5( ) ( 1 1 )f x x x= = − + + 3 2
3 5 ( 1) 10a C= − =
a
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