十年（2011-2020）高考真题数学分项详解专题32 概率和统计【理】（解析版94页）（十年大数据全景展示+大数据分析预测高考+十年真题分类探求规律）

十年高考+大数据预测 专题 32 概率和统计【理】 十年大数据*全景展示 年 份 题号 考 点 考 查 内 容 理 2[来 源:Z.Com] 概率 古典概型的概率计算[来源:学。科。网][来源:学|科|网] 2011 理 19 频数分布表 频数分布表，频率与概率 理 15 正态分布 正态分布的应用 2012 理 19 离散型随机变量及其分布列 频数分布表，频率与概率，离散型随机变量及其分布列 理 3 抽样方法 随机抽样方法的简单应用 卷 1 理 19 离散型随机变量分布列、期望 独立重复事件发生的概率，离散型随机变量分布列、期 望 理 14 概率 古典概型的概率计算 2013 卷 2 理 19 概率 古典概型的概率计算 理 5 概率 古典概型的概率计算 卷 1 理 18 频率分布直方图，正态分布 频率分布直方图，正态分布的 3 原则，二项分布的期 望 理 5 概率 条件概率的计算 2014 卷 2 理 19 变量间的相关关系 线性回归方程及其应用 理 4 概率 独立重复事件概率的计算，互斥事件的概率 卷 1 理 19 变量间的相关关系 非线性拟合；线性回归方程 理 3 统计 统计知识，柱形图 2015 卷 2 理 18 茎叶图 茎叶图及其应用，互斥事件和独立事件的概率计算 理 4 概率 几何概型概率的计算 卷 1 理 19 离散型随机变量分布列、期望 条形统计图及其应用，离散型随机变量分布列、期望 理 10 概率 几何概型概率的计算 卷 2 理 19 离散型随机变量的分布列、期望 条件概率、离散型随机变量的分布列、期望 理 4 统计 平均数的计算，统计图及其应用 2016 卷 3 理 18 变量间的相关关系 线性相关与线性回归方程的求法与应用 理 2 概率 古典概型的概率计算 卷 1 理 19 离散性随机变量的分布列、期望 离散性随机变量的分布列、期望，正态分布 理 13 离散性随机变量的分布列、期望 离散性随机变量的分布列、期望，正态分布 卷 2 理 18 频率分布直方图，统计案例 频率分布直方图及其应用，统计案例及其应用 理 3 统计 折线图统计图的应用 2017 卷 3 理 18 离散型随机变量的分布列、期望 频数分布表，离散型随机变量的分布列、数学期望 σ 十年高考+大数据预测 理 3 统计 扇形统计图及其应用 理 10 概率 几何概型概率的计算，数学文化 卷 1 理 20 离散性随机变量的数学期望 次独立重复试验恰好发生 次的概率及其最值问题， 二项分布，离散性随机变量的数学期望 理 8 概率 古典概型的概率计算卷 2 理 18 变量间的相关关系 线性回归方程及其应用 理 8 二项分布 二项分布分布列及期望 2018 卷 3 理 18 茎叶图和独立性检验 茎叶图的应用，统计案例及其应用 理 6 概率 古典概型的概率计算 卷 1 理 15 概率 独立重复事件的概率 理 5 统计 中位数、平均数、方差、极差 理 13 概率 利用统计数据进行概率的估计卷 2 理 18 概率 独立事件、互斥事件的概率计算 理 3 统计 抽样数据的统计 2019 卷 3 理 17 频率分布直方图 频率分布直方图，用样本平均数估计总体的平均数 理 5 变量间的相关关系 由散点图选择合适的回归模型 卷 1 理 19 概率 独立事件、互斥事件及独立重复事件概率的计算 理 14 排列与组合 计数原理的应用，排列与组合应用题的解法 卷 2 理 18 变量间的相关关系 平均数的估计，相关系数的计算，抽样方法的选取 理 3 统计 标准差的计算 2020 卷 3 理 18 独立性检验 统计案例及其应用 大数据分析*预测高考 考 点 出现频率 2021 年预测 考点 107 随机抽样 23 次考 1 次 考点 108 用样本估计总体 23 次考 10 次 考点 109 变量间的相关关系 23 次考 7 次 考点 110 随机事件的概率、古典概型、几何概型 23 次考 20 次 考点111离散型随机变量及其分布列、均值与方差、 正态分布、二项分布 23 次考 14 次 考点 112 独立性检验 23 次考 4 次 2021 年在选择题和填空题中仍会重 点考查各种统计图表、古典概型或几 何概型及其概率计算，在解答题中重 点考查频率分布直方图及其应用（与 概率相结合），离散性随机变量的分 布列与均值，二项分布及其应用，统 计案例及其应用． n k 十年高考+大数据预测 十年试题分类*探求规律 考点 107 随机抽样 1．（2017 江苏理）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200，400，300，100 件， 为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品 中抽取 件． 【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取 件． 2．（2014 广东理）为了解 1000 名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为 40 的样本，则 分段的间隔为（ ） A．50 B．40 C．25 D．20 【答案】C【解析】由 ，可得分段的间隔为 25．故选 C． 3．（2014 湖南理）对一个容器为 的总体抽取容量为 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽 样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个 体被抽到的概率都是 ，故 ，故选 D． 4．（2013 新课标 I 理理）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进 行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况 差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽 样 D．系统抽样 【答案】C【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法 是按学段分层抽样，故选 C． 5．（2014 湖北理）甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测．若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件． 【答案】1800【解析】分层抽样中各层的抽样比相同，样本中甲设备生产的有 50 件，则乙设备生产的有 30 件，在 4800 件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为 5：3，所以乙设备生产的产品总数为 1800 件． 6．（2014 天津理）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从 该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年 30060 181000 × = 1000 2540 = N n 1 2 3, ,p p p 1 2 3p p p= < 2 3 1p p p= < 1 3 2p p p= < 1 2 3p p p= = n N 1 2 3p p p= = 十年高考+大数据预测 级的本科生人数之比为 4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生． 【答案】60【解析】应从一年级抽取 名． 7．（2012 江苏理）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ，现用分层抽样的方法从该校高中三个 年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取 名学生． 【答案】15【解析】由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的 ，利用分层抽样的有关知识得应 从高二年级抽取 50× =15 名学生． 8．（2012 浙江理）某个年级有男生 560 人，女生 420 人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个 容量为 280 的样本，则此样本中男生人数为____________． 【答案】160【解析】总体中男生与女生的比例为 ，样本中男生人数为 ． 考点 108 用样本估计总体 9．（2020 全国Ⅲ文 3）设一组样本数据 的方差为 ，则数据 的方差 为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为数据 的方差是数据 的方差的 倍， 所以所求数据方差为 ，故选：C． 10．（2020 全国Ⅲ理 3）在一组样本数据中， 出现的频率分别为 ，且 ， 则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于 A 选项，该组数据的平均数为 ，方差为 ；对于 B 选项，该组数据的 平均数为 ，方差为 4:3 4280 1607 × = 4 604 5 5 6300´ =+ + + 3 3 4: : 10 3 10 3 1 2, , , nx x x 0.01 1 210 ,10 , ,10 nx x x 0.01 0.1 1 10 ( 1,2, , )iax b i n+ = ， ( 1,2, , )ix i n= ， 2a 210 0.01=1× 1, 2 , 3 , 4 1 2 3 4, , ,p p p p ∑ = = 4 1 1 i ip 1 4 2 30.1, 0.4p p p p= = = = 1 4 2 30.4 , 0.1p p p p= = = = 1 4 2 30.2 , 0.3p p p p= = = = 1 4 2 30.3 , 0.2p p p p= = = = ( ) ( )1 4 0.1 2 3 0.4 2.5Ax = + × + + × = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2.5 0.1 2 2.5 0.4 3 2.5 0.4 4 2.5 0.1 0.65As = − × + − × + − × + − × = ( ) ( )1 4 0.4 2 3 0.1 2.5Bx = + × + + × = 十年高考+大数据预测 ；对于 C 选项，该组数据的 平均数为 ，方差为 ；对于 D 选项，该组数据 的平均数为 ，方差为 ，因此 B 选项这一组的标 准差最大，故选 B． 11．（2020 天津 4）从一批零件中抽取 80 个，测量其直径（单位： ），将所得数据分为 9 组： ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零 件中，直径落在区间 内的个数为（ ） A．10 B．18 C．20 D．36 【答案】B【解析】由题意可得，直径落在区间 之间的零件频率为： ， 则区间 内零件的个数为： ，故选 B． 12．（2019 全国 II 理 5）演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个 原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分．7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的 数字特征是 A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 【答案】A【解析】根据题意，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分，7 个 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2.5 0.4 2 2.5 0.1 3 2.5 0.1 4 2.5 0.4 1.85Bs = − × + − × + − × + − × = ( ) ( )1 4 0.2 2 3 0.3 2.5Cx = + × + + × = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2.5 0.2 2 2.5 0.3 3 2.5 0.3 4 2.5 0.2 1.05Cs = − × + − × + − × + − × = ( ) ( )1 4 0.3 2 3 0.2 2.5Dx = + × + + × = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2.5 0.3 2 2.5 0.2 3 2.5 0.2 4 2.5 0.3 1.45Ds = − × + − × + − × + − × = mm [5.31,5.33),[5.33,5.35), ,[5.45,5.47],[5.47,5.49] [5.43,5.47) [ )5.43,5.47 ( )6.25 5.00 0.02 0.225+ × = [ )5.43,5.47 80 0.225 18× = 十年高考+大数据预测 有效评分与 9 个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变．故选 A． 13．（2019 全国 II 理 13）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次 的正点率为 0．97，有 20 个车次的正点率为 0．98，有 10 个车次的正点率为 0．99，则经停该站高铁列车 所有车次的平均正点率的估计值为__________． 【答案】0．98【解析】经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为： ． 14．（2020 上海 8）已知有四个数 ，这四个数的中位数为 3，平均数为 4，则 ． 【答案】36【解析】设 ，则 ，解得： ， ，解得： ，所以 ． 故答案为：36。 15．（2020 江苏 3）已知一组数据 的平均数为 ，则 的值是 ． 【答案】 【解析】由题意得 ，解得 ． 16．（2019 江苏 5）已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ． 【答案】 【解析】 一组数据 6，7，8，8，9，10 的平均数为 ， 所以该组数据的方差为 ． 17．（2020 新高考山东海南 9）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续 11 天复工复产指数折线图，下列说法正确的是 （ ） A．这 11 天复工指数和复产指数均逐日增加 B．这 11 天期间，复产指数增量大于复工指数的增量 10 0.97 20 0.98 10 0.99 0.9810 20 10x × + × + ×= =+ + 1 (6 7 8 8 9 10) 86x = + + + + + = 2 2 2 2 2 2 21 5[(6 8) (7 8) (8 8) (8 8) (9 8) (10 8) ]6 3s = − + − + − + − + − + − = 1,2, ,a b ab = a b≤ 2 32 a+ = 4a = 1 2 44 a b+ + + = 9b = 36ab = 4 , 2 , 3 2 , 5 , 6a a− 4 a 2 ( )4 2 3 5 6 45 a a+ + − + + = 2a = 5 3 十年高考+大数据预测 C．第 3 天至第 11 天复工复产指数均超过 80% D．第 9 天至第 11 天复产指数增量大于复工指数的增量 【答案】CD【解析】由图可知，第 1 天到第 2 天复工指数减少，第 7 天到第 8 天复工指数减少，第 10 天到 第 11 复工指数减少，第 8 天到第 9 天复产指数减少，故 A 错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标 的差大于第 11 天的复产指标与复工指标的差，所以这 11 天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故 B 错误；由图可知，第 3 天至第 11 天复工复产指数均超过 80%，故 C 正确；由图可知，第 9 天至第 11 天复 产指数增量大于复工指数的增量，故 D 正确． 18．（2018 全国Ⅰ理）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了 解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼 图： 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A【解析】通解 设建设前经济收入为 ，则建设后经济收入为 ，则由饼图可得建设前种植收入 为 ，其他收入为 ，养殖收入为 ．建设后种植收入为 ，其他收入为 ，养殖收入为 ，养殖收入与第三产业收入的总和为 ，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选 A． 优解 因为 ，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以 A 是错误的．故选 A． 19．（2017 新课标Ⅲ理）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图． a 2a 0.6a 0.04a 0.3a 0.74a 0.1a 0.6a 1.16a 0.6 0.37 2< × 十年高考+大数据预测 根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月份 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A【解析】由折线图，7 月份后月接待游客量减少，A 错误，故选 A． 20．（2016 年山东理）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分 布直方图，其中自习时间的范围是 ，样本数据分组为 ， ， ， ， ．根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22．5 小时的人数是 A．56 B．60 C．120 D．140 【答案】D【解析】由频率分布直方图可知，这 200 名学生每周的自习时间不少于 22．5 小时的频率为 (0．16+0．08+0．04)×2．5=0．7，故这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22．5 小时的人数为 200× 0．7=140．故选 D． 21．(2016 年全国 III 理)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均 最低气温的雷达图．图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为 5℃．下 面叙述不正确的是 [17.5,30] [17.5,20) [20,22.5) [22.5,25) [25,27.5) [27.5,30] 十年高考+大数据预测 A．各月的平均最低气温都在 0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均气温高于 20℃的月份有 5 个 【答案】D【解析】由图可知 0℃在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在 0℃以上，A 正确；由图可知 七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都约为 10℃，基本 相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于 20℃的月份不是 5 个，D 不正确，故选 D． 22．（2015 陕西理）某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例如图所示，则该校 女教师的人数为 A．167 B．137 C．123 D．93 【答案】C【解析】由扇形统计图可得，该校女教师人数为 ． 23．（2015 新课标 I 理理 I 理）根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱 形图，以下结论不正确的是． A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 110 70 150 (1 60%) 137× + × − = 十年高考+大数据预测 B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D【解析】根据柱形图易得选项 A，B，C 正确，2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份负相关， 选项 D 错误． 24．（2015 安徽理）若样本数据 ， ， ， 的标准差为 ，则数据 ， ， ， 的标准差为 A． B． C． D． 【答案】C【解析】设样本数据 ， ， ， 的标准差为 ，则 ，即方差 ， 而 数 据 ， ， ， 的 方 差 ， 所 以 其 标 准 差 为 ，故选 C． 25．（2014 广东理）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示，为了解该地区中小学生的 近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是 A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10 【 答 案 】 A 【 解 析 】 所 抽 人 数 为 ， 近 视 人 数 分 别 为 小 学 生 ，初中生 ，高中生 ，∴抽取的高中生近视人数为 ，故选 A． 26．（2013 福建理）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为 6 组：[40，50)， [50，60)， [60，70)， [70，80)， [80，90)， [90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知 高一年级共有学生 600 名，据此估计，该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为（ ） A．588 B．480 C．450 D．120 1x 2x ⋅⋅⋅ 10x DX 8DX = 64DX = 12 1x − 22 1x − ⋅⋅⋅ 102 1x − 2 2(2 1) 2 2 64D X DX− = = × 22 64 16× = 1x 2x ⋅⋅⋅ 10x 8 12 1x − 22 1x − ⋅⋅⋅ 102 1x − 8 15 16 (3500 2000 4500) 2% 200+ + × = 3500 10% 350× = 4500 30% 1350× = 2000 50% 1000× = 1000 2% 20× = 十年高考+大数据预测 【答案】B【解析】由图知道 60 分以上人员的频率为后 4 项频率的和，由图知道 ，故分数在 60 以上的人数为 600×0．8=480 人． 27．（2013 山东理）将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，7 个剩余分数的平均分为 91， 现场做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以 表示： 则 7 个剩余分数的方差为（ ） A． B． C．36 D． 【答案】B【解析】由图可知去掉的两个数是 87，99，所以 ， ． ． 28．（2012 陕西理）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该 样本的中位数、众数、极差分别是（ ） A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53 【答案】A【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即 众数是 45，极差为 68-12=56， 故选 A． 29．(2018 江苏理)已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平 均数为 ． (0.03 0.025 0.015 0.01)*10 0.8P = + + + = x 9 4 0 1 0 x 9 1 8 7 7 116 9 36 7 6 7 7 6 1 7 8 5 0 0 1 1 4 7 9 4 5 5 5 7 7 8 8 9 3 1 2 4 4 8 9 2 0 2 3 3 1 2 5 45+47 =462 ， 87 90 2 91 2 94+ × + × + 90 91 7x+ + = × 4x = 2 2 2 2 21 36[(87 91) (90 91) 2 (91 91) 2 (94 91) 2]7 7s = − + − × + − × + − × = 十年高考+大数据预测 【答案】90【解析】由茎叶图可得分数的平均数为 ． 29．（2015 湖南理）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示． 若将运动员按成绩由好到差编为 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间[139，151] 上的运动员人数是 ． 【答案】4【解析】由茎叶图可知，在区间 的人数为 ，再由系统抽样的性质可知人数为 人． 30．（2014 江苏理）为了了解一片经济的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的底部周长(单位：cm)，所 得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 60 株树木中，有 株树木的底部 周长小于 100cm． 【答案】24【解析】由频率分布直方图可得树木底部周长小于 100cm 的频率是(0．025 +0．015)×10=0．4， 又样本容量是 60，所以频数是 0．4×60=24． 31．（2013 辽宁理）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取 5 个班级，把每个班级 参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互不相同，则样本数据 中的最大值为 ． 【答案】10【解析】设五个班级的数据分别为 ．由平均数方差的公式得 110 99 9 8 ]151,139[ 20 435 720 =× a b c d e< < < < 89 89 90 91 91 905 + + + + = 1 35 十年高考+大数据预测 ， ，显然各个括号为整数．设 分别为 ， ， 则 ． 设 = = ， 因为数据互不相同，分析 的构成，得 恒成立， 因此判别式 ，得 ，所以 ，即 ． 32．（2012 山东理）右图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图， 其中平均气温的范围是［20．5，26．5］，样本数据的分组为 ， ， ， ， ， ．已知样本中平均气温低于 22．5℃的城市个数为 11，则样本中平均气温不低于 25．5℃的城市个数为＿＿＿＿． 【答案】9【解析】最左边两个矩形面积之和为 0．10×1+0．12×1＝0．22，总城市数为 11÷0．22＝50，最 右面矩形面积为 0．18×1＝0．18，50×0．18＝9． 33．（2019 全国 III 理 17）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随 机分成 A、B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给 服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分 比．根据试验数据分别得到如下直方图： 75 a b c d e+ + + + = 2 2 2 2 2( 7) ( 7) ( 7) ( 7) ( 7) 45 a b c d e− + − + − + − + − = 7, 7, 7, 7, 7a b c d e− − − − − , , , ,p q r s t ( , , , , )p q r s t Z∈ 2 2 2 2 2 0 (1) 20 (2) p q r s t p q r s t + + + + =  + + + + =   2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x x p x q x r x s= − + − + − + − 2 2 2 2 24 2( ) ( )x p q r s x p q r s− + + + + + + + 2 24 2 20x tx t+ + − ( )f x ( ) 0f x > 0 ，因此可看出 A 药的疗效更好． （2）由观测结果可绘制如下茎叶图： A 药 B 药 A B 20 A 20 B 40 h A 20 B 20 x y 1 20x = 1 (0.5 0.5 0.6 0.8 0.9 1.1 1.2 1.220 1.3 1.4 1.6 1.7 1.8 1.9 2.1 2.4 2.5 2.6 2.7 3.2) 1.6 y = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = x y x s− x s+ 23 63.89%36 ≈ 十年高考+大数据预测 6 0． 5 5 6 8 9 8 5 5 2 2 1． 1 2 2 3 4 6 7 8 9 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2． 1 4 5 6 7 5 2 1 0 3． 2 从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有的叶集中在茎 2．3 上，而 B 药疗效的试验结果有 的叶 集中在茎 0，1 上，由此可看出 A 药的疗效更好． 37．（2012 广东理）某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间 是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]． （1）求图中 的值； （2）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分； （3）若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数（ ）与数学成绩相应分数段的人数（ ）之比如下表所 示，求数学成绩在[50，90）之外的人数． 分数段 x ：y 1：1 2：1 3：4 4：5 【解析】（1） （2）平均分为 （3）数学成绩在 内的人数为 人． 数学成绩在 外的人数为 人． 7 10 a x y (2 0.02 0.03 0.04) 10 1 0.005a a+ + + × = ⇔ = 55 0.05 65 0.4 75 0.3 85 0.2 95 0.05 73× + × + × + × + × = [50,90) 1 4 5(0.005 0.04 0.03 0.02) 10 100 902 3 4 + × + × + × × × = [50,90) 100 90 10− = [ )60,50 [ )70,60 [ )80,70 [ )90,80 十年高考+大数据预测 答：（1） （2）这 100 名学生语文成绩的平均分为 （3）数学成绩在 外的人数为 人． 考点 109 变量间的相关关系 38．（2020 全国Ⅰ文理 5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 和温度 （单位： ）的关 系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图： 由此散点图，在 至 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 和温度 的回归方程类型 的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图像附近，因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 ，故选 D． 39．（2017 山东理）为了研究某班学生的脚长 （单位：厘米）和身高 （单位：厘米）的关系，从该班随 机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 ．已知 ， ， ．该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为 A． B． C． D． 【答案】C【解析】因为 ， ，所以 ， ，故选 C． 40．（2015 福建理）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如 下统计数据表： 收入 （万元） 8．2 8．6 10．0 11．3 11．9 0.005a = 73 [50,90) 10 x y y x ˆˆ ˆy bx a= + 10 1 225i i x = =∑ 10 1 1600i i y = =∑ ˆ 4b = 160 163 166 170 y x C° ( )( ), 1, 2 , , 20i ix y i =  10 C° 40 C° y x y a bx= + 2y a bx= + exy a b= + lny a b x= + y x lny a b x= + 22.5x = 160y =  160 4 22.5 70a = − × = 4 24 70 166y = × + = x 十年高考+大数据预测 支出 （万元） 6．2 7．5 8．0 8．5 9．8 根据上表可得回归本线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为 15 万 元家庭年支出为 A．11．4 万元 B．11．8 万元 C．12．0 万元 D．12．2 万元 【答案】B【解析】∵ ， ， ，∴ ， ∴回归方程为 ，把 代入上式得， (万元)，故选 B． 41．（2014 重庆理）已知变量 与 正相关，且由观测数据算得样本的平均数 ， ，则由该观 测数据算得的线性回归方程可能为 A． B． C． D． 【答案】A【解析】由题意可知，相应的回归直线的斜率应为正，排除 C、D．且直线必过点 ，代入 A、B 得 A 正确． 42．（2014 湖北理）根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4．0 2．5 0．5 得到的回归方程为 ，则 A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】A【解析】画出散点图知 ，故选 A． 43．（2012 新课标理）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn 不全相等） 的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1，2，…，n)都在直线 上，则这组样本数据的样本相关 系数为 A．−1 B．0 C．1 2 D．1 【答案】D【解析】因为所有的点都在直线上，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为 1，故故选 D． 44．（2014 江西理）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量之间的关系，随机抽查 52 名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是 x y 3.5y = 0.5− 2.0− 3.0− y ˆˆ ˆy bx a= + ˆ ˆˆ0.76,b a y bx= = − 10.0x = 8.0y = ˆ 0.76b = ˆ 8 0.76 10 0.4a = − × = ˆ 0.76 0.4y x= + 15x = ˆ 0.76 15 0.4 11.8y = ´ + = 3x =  0.4 2.3y x= +  2 2.4y x= −  2 9.5y x= − +  0.3 4.4y x= − + (3,3.5) ˆy bx a= + 0a > 0b < 0a > 0b > 0a < 0b < 0a < 0b > 0, 0b a< > 1 12y x= + 十年高考+大数据预测 【答案】D【解析】因为 ， ， ， ， 则有 ，所以阅读量与性别关联的可能性最大，故选 D． 45．（2012 湖南理）设某大学的女生体重 y（单位：kg）与身高 x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一 组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 =0．85x 85．71，则下列结论 中不正确的是 A．y 与 x 具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心（ ， ） C．若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0．85kg D．若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重必为 58．79kg 【答案】D【解析】由回归方程为 =0．85x 85．71 知 随 的增大而增大，所以 y 与 x 具有正的线性相 关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知 y x y y y x 2 2 2 1 52 (6 22 14 10) 52 8 16 36 32 20 16 36 32 20 χ × × − × ×= =× × × × × × 2 2 2 2 52 (4 20 16 12) 52 112 16 36 32 20 16 36 32 20 χ × × − × ×= =× × × × × × 2 2 2 3 52 (8 24 12 8) 52 96 16 36 32 20 16 36 32 20 χ × × − × ×= =× × × × × × 2 2 2 4 52 (14 30 6 2) 52 408 16 36 32 20 16 36 32 20 χ × × − × ×= =× × × × × × 2 2 2 2 4 2 3 1 χ χ χ χ> > > − − 十年高考+大数据预测 ， 所以回归直线过样本点的中心（ ， ），利用回归方程可以预测估计总体，所以 D 不正确． 46．（2011 山东理）某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x（万元） 4 2 3 5 销售额 y（万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 中的 为 9．4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 A．63．6 万元 B．65．5 万元 C．67．7 万元 D．72．0 万元 【答案】B【解析】样本中心点是（3．5，42），则 ，所以回归方程是 ，把 代入得 ． 47．（2018 全国Ⅱ理）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型．根据 2000 年 至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型①： ；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型②： ． (1)分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 【解析】(1)利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 (亿 元)． 利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 (亿元)． (2)利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下： ˆ ( )y bx a bx y bx a y bx= + = + − = − x y ˆˆ ˆy bx a= + ˆb ˆˆ 42 9.4 3.5 9.1a y bx= − = − × = ˆ 9.4 9.1y x= + 6x = ˆ 65.5y = y y t t 1 2 17， ，… ， ˆ 30.4 13.5= − +y t t 1 2 7， ，… ， ˆ 99 17.5= +y t ˆ 30.4 13.5 19 226.1y = − + × = ˆ 99 17.5 9 256.5y = + × = 十年高考+大数据预测 （ⅰ）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 上下．这 说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近， 这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立 的线性模型 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型② 得到的预测值更可靠． （ⅱ）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型①得到的预测值 226．1 亿 元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠． 以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 48．(2016 新课标Ⅰ理 II)下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立 关于 的回归方程（系数精确到 0．01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据： ， ， ， ≈2．646． 参考公式：相关系数 回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 【解析】（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得 30.4 13.5y t= − + ˆ 99 17.5y t= + y t y t 7 1 9.32i i y = =∑ 7 1 40.17i i i t y = =∑ 7 2 1 ( ) 0.55i i y y = − =∑ 7 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) (y y) n i i i n n i i i i t t y y r t t = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ ， y a bt= +   1 2 1 ( )( ) ( ) n i i i n i i t t y y b t t = = − − = − ∑ ∑  ， = .a y bt−   十年高考+大数据预测 ， ， ， ， ． 因为 与 的相关系数近似为 0．99，说明 与 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合 与 的 关系． （Ⅱ）由 及（Ⅰ）得 ， ． 所以， 关于 的回归方程为： ． 将 2016 年对应的 代入回归方程得： ． 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1．82 亿吨． 49．（2015 新课标 I 理）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 （单位：千元） 对年销售量 （单位：t）和年利润 （单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 和年销售量 （ =1， 2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． 46．6 563 6．8 289．8 1．6 1469 108．8 表中 ， = ． （Ⅰ）根据散点图判断， 与 哪一个适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程 4=t 28)( 7 1 2 =−∑ =i i tt 55.0)( 7 1 2 =−∑ =i i yy 7 7 7 1 1 1 ( )( ) 40.17 4 9.32 2.89i i i i i i i i t t y y t y t y = = = − − = − = − × =∑ ∑ ∑ 99.0646.2255.0 89.2 ≈××≈r y t y t y t 331.17 32.9 ≈=y 7 1 7 2 1 ( )( ) 2.89ˆ 0.10328( ) i i i i i t t y y b t t = = − − = = ≈ − ∑ ∑ 92.04103.0331.1ˆˆ ≈×−≈−= tbya y t ty 10.092.0ˆ += 9=t 82.1910.092.0ˆ =×+=y x y z ix iy i x y w 8 2 1 ( )i i x x = −∑ 8 2 1 ( )i i w w = −∑ 8 1 ( )( )i i i x x y y = − −∑ 8 1 ( )( )i i i w w y y = − −∑ i iw x= w 1 8 8 1 i i w = ∑ y a bx= + y c d x= + y x 十年高考+大数据预测 类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 关于 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利率 与 、 的关系为 ．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （ⅰ）年宣传费 =49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据 ， ， ， ，其回归线 的斜率和截距的最小二乘估计分 别为 ， ． 【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断， 适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程类型． （Ⅱ）令 ，先建立 关于 的线性回归方程，由于 ． ， 所以 关于 的线性回归方程为 ，因此 关于 的回归方程为 ． （Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当 时，年销售量 的预报值 ， 年利润 的预报值 ． （ⅱ）根据（Ⅱ）得结果知，年利润 的预报值 ，所以 当 ，即 时， 取得最大值，故年宣传费为 千元时，年利润的预报值最 大． 50．（2014 新课标 II 理）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y（单位：千元）的数据如下表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2．9 3．3 3．6 4．4 4．8 5．2 5．9 （Ⅰ）求 y 关于 t 的线性回归方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并 y x z x y 0.2z y x= − x x 1 1( , )u v 2 2( , )u v ⋅⋅⋅ ( , )n nu v v uα β= + 1 2 1 ( )( ) ˆ ( ) n i i i n i i u u v v u u β = = − − = − ∑ ∑ ˆˆ v uα β= − y c d x= + y x w x= y w 8 1 8 2 1 ( )( ) 108.8ˆ 681.6( ) i i i i i w w y y d w w = = − − = = = − ∑ ∑ ˆˆ 563 68 6.8 100.6c y dw= − = − × = y w ˆ 100.6 68y w= + y x ˆ 100.6 68y x= + 49x = y ˆ 100.6 68 49 576.6y = + = z ˆ 576.6 0.2 49 66.32z = × − = z ˆ 0.2(100.6 68 ) 13.6 20.12z x x x x= + − = − + + 13.6 6.82x = = 46.24x = ˆz 46.24 十年高考+大数据预测 预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， 【解析】（I） 由所给数据计算得 （1+2+3+4+5+6+7）=4， （2．9+3．3+3．6+4．4+4．8+5．2+5．9）=4．3 =9+4+1+0+1+4+9=28， = ， ， ，所求回归方程为 ． 51．（2020 全国Ⅱ文理 18）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调 查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽 取 20 个作为样区，调查得到样本数据 ，其中 和 分别表示第 个样区的植物覆 盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得 ， ， ， ， ． （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均 数乘以地块数）； （2）求样本 的相关系数（精确到 ）； （3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动 物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． ( )( ) ( ) 1 2 1 n i i i n i i t t y y b t t ∧ = = − − = − ∑ ∑ ˆˆa y bt= − 1 7t = 1 7y = 7 2 1 1 ( ) t t t = −∑ 7 1 1 1 ( )( ) t t t y y = − −∑ ( 3) ( 1.4) ( 2) ( 1) ( 1) ( 0.7)− × − + − × − + − × − 0 0.1 1 0.5 2 0.9 3 1.6 14+ × + × + × + × = 7 1 1 1 7 2 1 1 ( )( ) 14 0.528( ) t t t t y y b t t = = − − = = = − ∑ ∑   4.3 0.5 4 2.3a y bt= − = − × =  0.5 2.3y t= + ( )( ), 1, 2 , , 20i ix y i =  ix iy i ∑ = = 20 1 60 i ix ∑ = = 20 1 1200 i iy ( )∑ = =− 20 1 2 80 i i xx ( )∑ = =− 20 1 2 9000 i i yy ( )( ) 080 20 1 ∑ = =−− i ii yyxx ( )( ), 1, 2 , , 20i ix y i =  0.01 十年高考+大数据预测 附：相关系数 ， ． 【解析】（1）样区野生动物平均数为 ， 地块数为 ，该地区这种野生动物的估计值为 ． （2）样本 的相关系数为 ． （3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样．先将植物覆盖面 积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可． 考点 110 随机事件的概率、古典概型、几何概型 52．（2020 全国Ⅰ文 4）设 为正方形 的中心，在 中任取 点，则取到的 点共线 的概率为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，从 个点中任取 个有 ， ，共 种不同取 法， 点共线只有 与 共 2 种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到 点共线的 概率为 ，故选 A． 53．（2020 全国Ⅱ文理 4）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 份订单的 ( )( ) ( ) ( )∑∑ ∑ == = −− −− = n i i n i i n i ii yyxx yyxx r 1 2 1 2 1 414.12 ≈ 20 1 1 1 1200 6020 20i i y = = × =∑ 200 200 60 12000× = ( , )i ix y 20 1 20 20 2 2 1 1 ( )( ) 800 2 2 0.94380 9000( ) ( ) i i i i i i i x x y y r x x y y = = = − − = = = ≈ ×− − ∑ ∑ ∑ O ABCD , , , ,O A B C D 3 3 1 5 2 5 1 2 4 5 , , , ,O A B C D 5 3 { } { } { }, , , , , , , ,O A B O A C O A D { } { } { } { } { } { } { }, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,O B C O B D O C D A B C A B D A C D B C D 10 3 { }, ,O A C { }, ,O B D 3 2 1 10 5 = 1200 十年高考+大数据预测 配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该 超市某日积压 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 份的概率为 ，志愿者每人每天能完 成 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 ，则至少需要志愿者 （ ） A． 名 B． 名 C． 名 D． 名 【答案】B 【解析】由题意，第二天新增订单数为 ，故需要志愿者 名，故选 B． 54．（2020 新高考山东海南 5）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 的学生喜欢足球或游泳， 的学生喜欢足球， 的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比 例是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件 ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 ，则“该中学学生喜欢足球或 游泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ，则 ， ， ，所以 ，所以该中学既喜 欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 ，故选：C． 55．（2019 全国 I 理 6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦 恰有 3 个阳爻的概率是（ ） A． B． C． D． 5 16 11 32 21 32 11 16 500 1600 0.05 50 0.95 10 18 24 32 500 1600 1200 900+ − = 900 1850 = 96% 60% 82% 62% 56% 46% 42% A B A B+ A B⋅ ( ) 0.6P A = ( ) 0.82P B = ( ) 0.96P A B+ = ( )P A B⋅ = ( ) ( ) ( )P A P B P A B+ − + 0.6 0.82 0.96 0.46= + − = 46% 十年高考+大数据预测 【解析】在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数 ，该重卦恰有 3 个阳爻包含的基本个数 ，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率 ，故选 A． 56．（2018 全国Ⅰ理）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个 半圆的直径分别为直角三角形 的斜边 ，直角边 ， ． 的三边所围成的区域记为Ⅰ， 黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 ， ， ，则 A． B． C． D． 【答案】A【解析】通解 设直角三角形 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则区域 I 的 面积即 的面积，为 ，区域Ⅱ的面积 ，所以 ，由几何概型的知识知 ，故选 A． 优解 不妨设 为等腰直角三角形， ，则 ，所以区域 I 的面积即 的面 积，为 ，区域Ⅱ的面积 ，区域Ⅲ的面积 ． 根据几何概型的概率计算公式，得 ， ，所以 ， ， ，故选 A． 57．（2018 全国Ⅱ理）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想 是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不 同的数，其和等于 30 的概率是 62 64n = = 3 3 6 3C C 20m = = 20 5 64 16 mp n = = = ABC BC AB AC ∆ABC 1p 2p 3p 1 2 =p p 1 3 =p p 2 3 =p p 1 2 3 = +p p p ABC A B C a b c ∆ABC 1 1 2 =S bc 2 2 1 ( )2 2 π= × +cS 2 2 2 2 2 ( )1 1 1 1 12( ) [ ] ( )2 2 2 2 8 2 2 π π π × × − − = + − + = a b bc c b a bc bc 1 2 =S S 1 2 =p p ∆ABC 2= =AB AC 2 2=BC ∆ABC 1 1 2 2 22 = × × =S 2 2 2 ( 2)1 [ 2] 22 ππ ×= × − − =S 2 3 ( 2) 2 22 π π×= − = −S 1 2 2 2p p π= = + 3 2 2 π π −= +p 1 3 ≠p p 2 3 ≠p p 1 2 3 ≠ +p p p 30 7 23= + 十年高考+大数据预测 A． B． C． D． 【答案】C【解析】不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，从中随机选取两 个不同的数有 种不同的取法，这 10 个数中两个不同的数的和等于 30 的有 3 对，所以所求概率 ，故选 C． 58．（2017 新课标Ⅰ理）如图，正方形 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部 分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． B． C． D． 【答案】B【解析】设正方形的边长为 ，由题意可知太极图的黑色部分的面积是圆的面积的一半，根据 几何概型的概率计算，所求概率为 ．故选 B． 59．（2017 山东理）从分别标有 ， ， ， 的 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张．则抽 到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A． B． C． D． 【答案】C【解析】不放回的抽取 2 次有 ，如图 可知 与 是不同，所以抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同有 =40，所求概率为 ． 60．（2016 新课标Ⅰ理）某公司的班车在 7：30，8：00，8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车 1 2 ⋅⋅⋅ 9 9 5 18 4 9 5 9 7 9 2 1，3，4，5，6，7，8，92，3，4，5，6，7，8，9 1 1 12 1 14 1 15 1 18 2 10C 2 10 3 1 C 15 = =P ABCD 1 4 8 π 1 2 4 π 2a 2 2 1 2 4 8 a a π π= 1 1 9 8C C 9 8 72= × = (1,2) (2,1) 1 1 5 42C C 40 5 72 8 = 十年高考+大数据预测 站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 A． B． C． D． 【答案】B【解析】由题意得图： 由图得等车时间不超过 10 分钟的概率为 ． 61．（2016 新课标Ⅰ理）从区间 随机抽取 2n 个数 ， ，…， ， ， ，…， ，构成 个数 对 ， ，…， ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 个，则用随机模拟的方法得到 的圆周率 的近似值为 A． B． C． D． 【答案】C【解析】由题意得： 在如图所示方格中，而平方和小于 1 的点均在如图 所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知 ，∴ ，故选 C． 62．（2015 广东理）袋中共有 个除了颜色外完全相同的球，其中有 个白球， 个红球．从袋中任取 个球，所取的 个球中恰有 个白球， 个红球的概率为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 基本事件总数为 ，恰有 个白球与 1 个红球的基本事件为 ，所求概率为 ． 63．（2014 新课标 I 理）4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学 参加公益活动的概率为 8:308:208:108:007:50 1 3 1 2 2 3 3 4 1 2 [ ]0 , 1 1x 2x nx 1y 2y ny n ( )1 1,x y ( )2 2,x y ( ),n nx y m π 4n m 2n m 4m n 2m n ( )( )1 2i ix y i n= ⋅⋅⋅， ， ， ， π 4 1 m n = 4π m n = 15 10 5 2 2 1 1 5 21 10 21 11 21 1 2 15C 1 1 1 10 5C C 1 1 10 5 2 15 10 21 C C C = 十年高考+大数据预测 ． ． ． ． 【答案】D【解析】 ． 64．（2014 江西理）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为 5 的概率等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】掷两颗均匀的骰子的所有基本事件有 种，点数之和为 5 的有 4 中，所以所求 概率为 ． 65．（2014 湖南理）在区间 上随机选取一个数 ，则 的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】区间长度为 ， 的长度为 ，故满足条件的概率为 ． 66．（2014 辽宁理）若将一个质点随机投入如图所示的长方形 中，其中 ， ，则质点 落在以 为直径的半圆内的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】由几何模型的概率计算公式，所求概率 ． 67．（2014 陕西理）从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离小于该正方形 边长的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】5 个点中任取 2 个点共有 10 种方法，若 2 个点之间的距离小于边长，则这 2 个点中必须 有 1 个为中心点，有 4 种方法，于是所求概率 ． A D C B A 1 8 B 3 8 C 5 8 D 7 8 4 4 2 2 7 2 8P −= = 1 18 1 9 1 6 1 12 6 6 36× = 4 1 36 9 = [ 2,3]− X 1X ≤ 4 5 3 5 2 5 1 5 3 ( 2) 5− − = [ 2,1]− 1 ( 2) 3− − = 2 3P = ABCD 2AB = 1BC = AB 2 π 4 π 6 π 8 π 1 2= 2 4 SP S π π= =阴影 长方形 1 5 2 5 3 5 4 5 4 2 10 5P = = 十年高考+大数据预测 68．（2014 湖北理）由不等式 确定的平面区域记为 ，不等式 ，确定的平面区 域记为 ，在 中随机取一点，则该点恰好在 内的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】由题意作图，如图所示， 的面积为 ，图中阴影部分的面积为 ，则所求的概率 ，故选 D． 69．（2013 陕西理）如图，在矩形区域 ABCD 的 A， C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分 别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随 机地选一地点，则该地点无信号的概率是 A． B． C． D． 【答案】A【解析】由题设可知矩形ABCD面积为2，曲边形DEBF的面积为 故所求概率为 ， 故选 A． 70．（2013 安徽理）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等， 则甲或乙被录用的概率为 A． B． C． D． 1 4 π− 12 π − 2 2 π− 4 π 2 2 π− 2 2 12 4 π π− = − 2 3 2 5 3 5 9 10    ≤−− ≥ ≤ 02 0 0 xy y x 1Ω    −≥+ ≤+ 2 1 yx yx 2Ω 1Ω 2Ω 8 1 4 1 4 3 8 7 1Ω 1 2 2 22 × × = 1 2 2 72 2 2 2 4 − × × = 7 8P = 1 2 D A C B E F 十年高考+大数据预测 【答案】D【解析】总的可能性有 10 种，甲被录用乙没被录用的可能性 3 种，乙被录用甲没被录用的可能 性 3 种，甲乙都被录用的可能性 3 种，所以最后的概率 ． 71．（2013 新课标 I 理）从 中任取 个不同的数，则取出的 个数之差的绝对值为 的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】任取两个不同的数有 共 6 种，2 个数之差的绝对 值为 2 的有 ，故 ． 72．（2013 湖南理）已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P，使△APB 的最大边是 AB”发生的 概率为 ，则 = A． B． C． D． 【答案】D【解析】由已知，点 P 的分界点恰好是边 CD 的四等分点， 由勾股定理可得 ，解得 ，即 ，故选 D． 73．（2012 辽宁理）在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C，现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的 长，则该矩形面积小于 32 的概率为 A． B． C． D． 【答案】C【解析】如图所示，令 ， 则 ，矩形面积设为 ，则 ， 解得 ，该矩形面积小于 32 的概率为 ，故选 C． 74．（2012 北京理）设不等式组 表示的平面区域为 ，在区域 内随机取一个点，则此点到坐标 原点的距离大于 2 的概率是（ ） 3 3 3 110p + += = 1,2,3,4 2 2 2 1 2 1 3 1 4 1 6 1 2 AD AB 1 2 1 4 3 2 7 4 2cm A BC C B A 1 6 1 3 2 3 4 5 = , =AC x CB y ( )+ =12 >0,y>0x y x S ( )= = 12- 32S xy x x ≤ 0< 4 8 ⋅ + ( ) ( )H X H Y> p X 2.4DX = ( 4) ( 6)P X P X= < = p 10 (1 ) 2.4DX p p= − = 0.6p = 0.4p = ( 4) ( 6)P X P X= < = 4 4 6 6 6 4 10 10C (1 ) C (1 )p p p p− < − 2 2(1 )p p− < 0.5p > 0.6p = 0 1p< < ξ ξ P 1 2 p− 1 2 2 p p (0,1) 十年高考+大数据预测 A． 减小 B． 增大 C． 先减小后增大 D． 先增大后减小 【答案】D【解析】由题可得 ，所以 ，所以当 在 内增大时， 先增大后减小．故选 D． 115．（2017 浙江理）已知随机变量 满足 ， ， =1，2． 若 ，则 A． < ， < B． < ， > C． > ， < D． > ， > 【答案】A【解析】由题意可得 0 1 0 1 由两点分布 ， ； ， ， ∵ ， ∵ ，∴ ， ，∴ < ， < ，故选 A． 116．（2014 浙江理）已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有 个红球和 个篮球 ，从乙 盒中随机抽取 个球放入甲盒中． （a）放入 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ； （b）放入 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 ．则 A． B． C． D． 【答案】A【解析】解法一（特值法）取 =3 进行计算、比较即可． 解法二 从乙盒中取 1 个球时，取出的红球的个数记为 ，则 的所有可能取值为 0，1，则 ， ， m n ( )3, 3m n≥ ≥ ( )1,2i i = i ( )1,2i iξ = i ( )1,2ip i = ( ) ( )1 2 1 2,p p E Eξ ξ> < ( ) ( )1 2 1 2,p p E Eξ ξ< > ( ) ( )1 2 1 2,p p E Eξ ξ> > ( ) ( )1 2 1 2,p p E Eξ ξ< < ( )D ξ ( )D ξ ( )D ξ ( )D ξ 1( ) 2E pξ = + 2 21 1 1( ) ( )4 2 2D p p pξ = − + + = − − + p (0,1) ( )D ξ i ξ ( 1)i iP pξ = = ( 0) 1i iP pξ = = − i 1 2 10 2p p< < < 1( )E ξ 2( )E ξ 1( )D ξ 2( )D ξ 1( )E ξ 2( )E ξ 1( )D ξ 2( )D ξ 1( )E ξ 2( )E ξ 1( )D ξ 2( )D ξ 1( )E ξ 2( )E ξ 1( )D ξ 2( )D ξ 1 ξ 2 ξ P 11 p− 1p P 21 p− 2p 1 1( )E pξ = 2 2( )E pξ = 1 1 1( ) (1 )D p pξ = − 2 2 2( ) (1 )D p pξ = − 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1( ) ( ) (1 ) (1 ) ( ) ( )D D p p p p p p p pξ ξ− = − − − = − − − 2 1 2 1( )(1 )p p p p= − − − 1 2 10 2p p< < < 2 1 0p p− > 2 11 0p p− − > 1( )E ξ 2( )E ξ 1( )D ξ 2( )D ξ m n= ξ ξ 1( 0) ( 1)nP Pm n ξ ξ= = = =+ 1( 1) ( 2)mP Pm n ξ ξ= = = =+ 十年高考+大数据预测 所以 ， 所以 ；从乙盒中取 2 个球时，取出的红球的个数记为 ，则 的所有可能的取值为 0，1，2，则 ， ， ， ∴ ，∴ ，所以 ， ，故选 A． 117．（2020 浙江 16）一个盒子里有 1 个红 1 个绿 2 个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即 停，设拿出黄球的个数为 ，则 ； ． 【答案】 ； 【解析】 表示第一次拿到的是红球，设为事件 A，或第一次是绿球，第二次是红球，设为事件 B，则 ； 表示拿出红球时已经拿出了一个黄球，即第一次拿到黄球，第二次拿到红球，概率 ，或 是前两次拿到的是一个黄球一个是绿球， ，∴ ； ，表示拿到红球时已经拿出了两个黄球，即前两次黄球，第三次红球， ，说是第四 次拿到红球， ，∴ ， ，故答案为： ； ． 118．（2017 新课标Ⅱ理）一批产品的二等品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 次，훸表示抽到的二等品件数，则 = ． 【答案】1．96【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即 ，由二项分布 的期望公式可得 ． 119．（2016 年四川理）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功， 则在 2 次试验中成功次数 的均值是 ． 【答案】 【解析】实验成功的概率 ，故 ，所以 ． 1 1 1( ) 1 ( 1) 2 ( 2) 1mE P P m n ξ ξ ξ= ⋅ = + = = ++ 1 1 ( ) 2 2 2( ) E m np m n ξ += = + η η 2 22 C( 0) ( 1)C n m n P Pη ξ + = = = = 1 1 22 C C( 1) ( 2)C n m m n P Pη ξ + = = = = 2 22 C( 2) ( 3)C m m n P Pη ξ + = = = = 2 2 2 2 2( ) 1 ( =1) 2 ( =2) 3 ( =3) 1mE P P P m n ξ ξ ξ ξ= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ++ 2 2 ( ) 3 3 3( ) E m np m n ξ += = + 1 2p p> ( ) ( )1 2E Eξ ξ< ξ ( 0)P ξ = = ( )E ξ = 1 3 1 0ξ = ( ) ( ) ( ) 1 1 10 4 4 3 3P P A P Bξ = = + = + =× 1ξ = 2 1 1 4 3 6P ×= =× 2 1 1 12 4 3 2 6P × ×= × =× × ( ) 1 1 11 6 6 3P ξ = = + = 2ξ = 2 1 1 1 4 3 2 12P × ×= =× × 3 2 1 1 4 3 2 1 4P × ×= =× × × ( ) 1 1 12 12 4 3P ξ = = + = ( ) 1 1 10 1 2 13 3 3E ξ = × + × + × = 1 3 1 0.02 100 DX ( )~ 100,0.02X B ( )1 100 0.02 0.98 1.96DX np p= − = × × = X 3 2 3 4p = 3(2, )4X B 3 3( ) 2 4 2E X = × = 十年高考+大数据预测 120．（2014 浙江理）随机变量 的取值为 0，1，2，若 ， ，则 __． 【答案】 【解析】由题意设 的分布列如下 0 1 2 由 ，可得 ，所以 ． 121．（2020 江苏 25）甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球．现从甲、乙两口袋中各 任取一个球交换放入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn． （1）求 p1·q1 和 p2·q2； （2）求 2pn+qn 与 2pn-1+qn-1 的递推关系式和 Xn 的数学期望 E(Xn)(用 n 表示) ． 【解析】（1） ， ， ． （2） ， ， 因此 ，从而 ， 即 ， ． 122．（2019 天津理 16）设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 ．假定甲、乙两位 同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立． （Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天 数恰好多 2”，求事件 发生的概率． 【解析】（I）∵甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率均为 ， 故 ，从面 ． ∴随机变量 的分布列为： ξ ( ) 10 5P ξ = = ( ) 1E ξ = ( )D ξ = 2 3 X X M M 2 5 ( 1) ,P pξ ξ= = ξ P 1 5 p 4 5 p− ( ) 1E ξ = 3 5p = 2( ) 5D ξ = 1 1 1 3 1 2 3 2,3 3 3 3 3 3p q × ×= = = =× × 2 1 1 1 3 1 2 1 1 2 2 7+ +3 3 3 3 3 3 3 9 27p p q × ×= × × = × × =× × 2 1 1 2 3 1 1 2 2 2 2 2 5 16+ 0 +3 3 3 3 3 3 3 9 27q p q × × + ×= × × + = × × =× × 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2+ +3 3 3 3 3 9n n n n np p q p q− − − − × ×= × × =× × 1 1 1 1 1 2 3 1 1 2 2 3 2 1 2+ (1 ) +3 3 3 3 3 3 9 3n n n n n nq p q p q q− − − − − × × + × ×= × × + − − × = −× × × 1 1 2 1 22 +3 3 3n n n np q p q− −+ = + 1 1 1 1 1 2 12 (2 + ) 2 1 (2 + 1)3 3 3n n n n n n n np q p q p q p q− − − −+ = + ∴ + − = − 1 1 1 1 12 1 (2 + 1) 2 13 3n n n nn np q p q p q−+ − = − ∴ + = + 1( ) 2 1 3n n n nE X p q= + = + 2 3 2~ 3, 3X B     ( ) ( )3 3 2 1 0,1,2,33 3 k k kP X k C k −   = = =       X 十年高考+大数据预测 0 1 2 3 随机变量 的数学期望 ． （II）设乙同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数为 ，则 ， 且 ． 由题意知事件 与 互斥，且事件 与 ，事件 与 均相互独立，从而由（I）知： ． 123．（2019 全国 I 理 21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进 行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以 甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种 药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每 轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠 治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、 乙两种药的治愈率分别记为 α 和 β，一轮试验中甲药的得分记为 X． （1）求 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲药 比乙药更有效”的概率，则 ， ， ，其中 ， ， ．假设 ， ． (i)证明： 为等比数列； (ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性． 【解析】试题分析： 试题解析：（1）由题意可列分布列： 1− 1− X ( 0,1, ,8)ip i =  i 0 0p = 8 1p = 1 1i i i ip ap bp cp− += + + ( 1,2, ,7)i =  ( 1)a P X= = − ( 0)b P X= = ( 1)c P X= = 0.5α = 0.8β = 1{ }i ip p+ − ( 0,1,2, ,7)i =  4p 4p X P 1 27 2 9 4 9 8 27 X 2( ) 3 23E X = × = Y 2~ 3, 3Y B     { 3, 1} { 2, 0}M X Y X Y= = = = = { }3, 1X Y= = { }2, 0X Y= = { }3X = { }1Y = { }2X = { }0Y = { } { }( )( ) 3, 1 2, 0P M P X Y X Y= = = = = ( ) ( )3, 1 2, 0P X Y P X Y= = = + = = ( 3) ( 1) ( 2) ( 0)P X P Y P X P Y= = = + = = 8 2 4 1 20 27 9 9 27 243 = × + × = 十年高考+大数据预测 （2） （ⅰ）由题意可得 ， ， 此时 的分布列为： 故 ，即 化简可得： 即 ， 又 故数列 为公比为 4 的等比数列。 （ⅱ）由等比数列求和公式可得： 即 ， 又 ，即 。 此时说明，甲累计得 4 分，乙累计得 0 分，概率极小，符合甲乙两种药物都有效用的说法。 124．（2019 北京理 17） 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某 校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两 种支付方式都不使用的有 5 人，样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下： 支付金额 支付方式 大于 2000( ]0,1000 ( ]1000,2000 X 1− 0 1 P ( )1 α β− ( )1 2α β αβ− + + ( )1α β− ( ) ( )1 1 0.4a p X α β= = − = − = ( ) ( )0 1 2 0.5b p X α β αβ= = = − + + = ( ) ( )1 1 0.1c p X α β= = = − = X X 1− 0 1 P 2 5 1 2 1 10 ( )1 1 2 1 1 1,2, ,75 2 10i i i ip p p p i− += + + = ⋅⋅⋅ ( )1 1 2 2 1 1 1,2, ,75 5 10 10i i i ip p p p i− +− = − = ⋅⋅⋅ ( )( )1 14 1,2, ,7i i i ip p p p i+ −− = − = ⋅⋅⋅ ( )1 1 4 1,2, ,7i i i i p p ip p + − − = = ⋅⋅⋅− ( )1 1 2 1 1 1,2, ,75 2 10i i i ip p p p i− += + + = ⋅⋅⋅ { }( )1 0,1, ,7i ip p i+ − = ⋅⋅⋅ ( ) ( ) ( ) ( )( )8 1 0 8 0 1 0 2 1 8 7 1 4 1 4 p p p p p p p p p p − − − = − + − +⋅⋅⋅+ − = − ( )8 1 1 8 4 1 31 3 4 1p p − = ⇒ = − ( ) ( ) ( )( )4 1 0 4 0 1 0 4 3 1 4 1 4 p p p p p p p p − − − = − +⋅⋅⋅+ − = − ( )4 8 4 4 3 4 1 14 1 3 4 1p −−= = + 十年高考+大数据预测 仅使用 A 18 人 9 人 3 人 仅使用 B 10 人 14 人 1 人 （Ⅰ）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两个支付方式都使用的概率； （Ⅱ）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用 A 的学生中，随机抽查 3 人，发 现他们本月的支付金额大于 2000 元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由． 【解析】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为： 人，则： 该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率 ． (Ⅱ)由题意可知，仅使用 A 支付方法的学生中，金额不大于 1000 的人数占 ，金额大于 1000 的人数占 ， 仅使用 B 支付方法的学生中，金额不大于 1000 的人数占 ，金额大于 1000 的人数占 ，且 X 可能的取值 为 0，1，2， ， ， ， X 的分布列为： X 0 1 2 其数学期望： ． (Ⅲ)我们不认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化．理由如下： 随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于 概率． 学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这 种现象可能是发生了“小概率事件”． 125．（2018 北京理）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 100 30 25 5 40− − − = 40 2 100 5p = = 3 5 2 5 2 5 3 5 ( ) 3 2 60 5 5 25p X = = × = ( ) 2 23 2 131 5 5 25p X    = = + =       ( ) 3 2 62 5 5 25p X = = × = ( )p X 6 25 13 25 6 25 ( ) 6 13 60 1 2 125 25 25E X = × + × + × = 十年高考+大数据预测 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0．4 0．2 0．15 0．25 0．2 0．1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立． (1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率； (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第 类电影得到 人们喜欢，“ ”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢（ =1，2，3，4，5，6）．写出方差 ， ， ， ， ， 的大小关系． 【解析】(1)由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000， 第四类电影中获得好评的电影部数是 200×0．25=50，故所求概率为 ． (2)设事件 A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件 B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得 好评”． 故所求概率为 = ． 由题意知： 估计为 0．25， 估计为 0．2，故所求概率估计为 0．25×0．8+0．75×0．2=0．35． (3) > > = > > ． 126．（2018 全国Ⅰ理）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作 检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果 决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 ，且各件产品是否为不 合格品相互独立． (1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ，求 的最大值点 ． (2)现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以(1)中确定的 作为 的值．已知每件产品的检 验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ； （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 【解析】(1)20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ．因此 1k ξ = k 0k ξ = k 1Dξ 2Dξ 3Dξ 4Dξ 5Dξ 6Dξ 50 0.0252000 = ( ) ( ) ( )P AB AB P AB P AB+ = + ( )(1 ( )) (1 ( )) ( )P A P B P A P B− + − ( )P A ( )P B 1Dξ 4Dξ 2Dξ 5Dξ 3Dξ 6Dξ )10( (0.1,1)p∈ ( ) 0f p′ < ( )f p 0 0.1p = 0.1p = Y (180,0.1)Y B 20 2 25X Y= × + 40 25X Y= + (40 25 ) 40 25 490EX E Y EY= + = + = 400EX > X 3 4 3 3 7 C C( ) C k k P X k −⋅= = k X X P 1 35 12 35 18 35 4 35 X 1 12 18 4 12( ) 0 1 2 335 35 35 35 7E X = × + × + × + × = B C 十年高考+大数据预测 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，则 ，且 与 互斥， 由（i）知， ， ，故 ． 所以，事件 发生的概率为 ． 128．（2017 新课标Ⅲ理）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天 最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需 求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月 份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)求六月份这种酸奶一天的需求量 (单位：瓶)的分布列； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量 (单位：瓶)为多少 时， 的数学期望达到最大值？ 【解析】（1）由题意知， 所有的可能取值为 200，300，500，由表格数据知 ， ， ． 因此 的分布列为 0．2 0．4 0．4 （2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200， 因此只需考虑 当 时， 若最高气温不低于25，则 ； 若最高气温位于区间 ，则 ； 若最高气温低于20，则 ； 因此 ． A B C=  B C ( ) ( 2)P B p X= = ( ) ( 1)P C P X= = 6( ) ( ) ( 2) ( 1) 7P A P B C P X P X= = = + = = A 6 7 X Y n Y X ( ) 2 16200 0.290P X += = = ( ) 36300 0.490P X = = = ( ) 25 7 4500 0.490P X + += = = X X 200 300 500 P 200 500n≤ ≤ 300 500n≤ ≤ 6 4 2Y n n n= − = [20,25) 6 300 2( 200) 4 1200 2Y n n n= × + − − = − 6 200 2( 200) 4 800 2Y n n n= × + − − = − 2 0.4 (1200 2 ) 0.4 (800 2 ) 0.2 640 0.4EY n n n n= × + − × + − × = − 十年高考+大数据预测 当 时， 若最高气温不低于20，则 ； 若最高气温低于20，则 ； 因此 ． 所以 时， 的数学期望达到最大值，最大值为520元． 129．（2017 江苏理）已知一个口袋有 个白球， 个黑球（ ， ， ），这些球除颜色外全部 相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为 1，2，3，…， 的抽屉内，其中第 次取球放入编号为 的抽屉（ =1，2，3，…， ）． 1 2 3 … （1）试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 ； （2）随机变量 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数， 是 的数学期望，证明 ． 【解析】(1)编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 为： ． (2)随机变量 的概率分布为： … … … … 随机变量 的期望为： ． 所以 ， ． 200 300n 十年高考+大数据预测 145．（2012 山东理）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 ，命中得 分，没有命 中得 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率是 ，每命中一次得 分，没命中得 分．该射手每次射击 的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． （Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率； （Ⅱ）求该射手的总得分 的分布列及数学期望 ． 【解析】（Ⅰ）记：“该射手恰好命中一次”为事件 A，“该射手射击甲靶命中”为事件 B， “该射手第一 次射击乙靶命中”为事件 C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件 D，由题意可知 ， ，由于 = ； （Ⅱ） ， X 0 1 2 3 4 5 P EX=0× +1× +2× +3× +4× +5× = ． 146．（2012 福建理）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现 故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年，现从该厂已售出的两种品牌 轿车中各随机抽取 50 辆，统计数据如下： 品牌 甲 乙 首次出现故 障时间 (年) 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1．8 2．9 将频率视为概率，解答下列问题： （I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； （II）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为 ，生产一辆乙品牌轿车的利润为 4 3 1 0 3 2 2 0 X EX 5,4,3,2,1,0=X 9 1 3 2 3 1 4 1)2(,12 1)3 1(4 3)1(.36 1)3 1(4 1)0( 1 2 22 =⋅===⋅===⋅== CXPXPXP 3 1)3 2(4 3)5(,9 1)3 2(4 1)4(,3 1 3 2 3 1 4 3)3( 221 2 =⋅===⋅===⋅== XPXPCXP 36 1 12 1 9 1 3 1 9 1 3 1 36 1 12 1 9 1 3 1 9 1 3 1 12 5312 41 = 3( ) 4P B = 2( ) ( ) 3P C P D= = A BCD BCD BCD= + + ( ) ( )P A P BCD BCD BCD= + + 7 36 x 0 1x<  1 2x<  2x > 0 2x<  2x > 1X 十年高考+大数据预测 ，分别求 ， 的分布列； （III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车，若从经济 效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由． 【解析】（I）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A，则 ． （II）依题意 ， 的分布列分别如下： 1 2 3 1．8 2．9 （III）由（II）得 （万元 ）， （万元 ），∵ ，∴应生产甲品牌轿车． 147．（2011 北京理）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊， 无法确认，在图中以 X 表示． （Ⅰ）如果 X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差； （Ⅱ）如果 X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学 期望．（注：方差 ，其中 为 ， ，…… 的平均数） 【解析】（Ⅰ）当 X=8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为 方差为 （Ⅱ）当 X=9 时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8， 9，10．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有 4×4=16 种可能的结果，这两名同学植树总棵数 Y 的 可能取值为 17，18，19，20，21 事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵，乙组选出的同学植树 8 棵” 1 1 1 0 9 9 0 X 8 9 乙组甲组 2X 1X 2X 2 3 1( ) 50 10P A += = 1X 2X 1X 2X P 1 25 3 50 9 10 P 1 10 9 10 1 1 3 9( ) 1 2 3 2.8625 50 10E X = × + × + × = 2 1 9( ) 1.8 2.9 2.7910 10E X = × + × = 1 2( ) ( )E X E X> ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 ns x x x x x xn  = − + − + + −   x 1x 2x nx 8 8 9 10 35;4 4x + + += = .16 11])4 3510()4 359()4 358()4 358[(4 1 22222 =−+−+−+−=s 十年高考+大数据预测 所以该事件有 2 种可能的结果，因此 P（Y=17）= 同理可得 所以随机变量 Y 的分布列为： Y 17 18 19 20 21 P EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17× +18× +19× +20× +21× =19． 148．（2011 江西理）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了 两种不同的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 A 饮料，另外 4 杯为 B 饮料，公司要求此员工 一一品尝后，从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料，若 4 杯都选对，则月工资定为 3500 元，若 4 杯选对 3 杯，则 月工资定为 2800 元，否则月工资定为 2100 元，令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数，假设此人对 A 和 B 两种 饮料没有鉴别能力． （1）求 X 的分布列； （2）求此员工月工资的期望． 【解析】（1）X 的所有可能取值为：0，1，2，3，4， 即 X 0 1 2 3 4 P （2）令 Y 表示新录用员工的月工资，则 Y 的所有可能取值为 2100，2800，3500，则 所以新录用员工月工资的期望为 2280 元． 149．（2015 湖北理）设 ， ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结 论中正确的是 .8 1 16 2 = ;4 1)18( ==YP ;4 1)19( ==YP .8 1)21(;4 1)20( ==== YPYP 8 1 4 1 4 1 4 1 8 1 8 1 4 1 4 1 4 1 8 1 1 4 4 4 4 5 ( ) ( 0,1,2,3,4) iC CP X i iC − = = = 1 70 16 70 36 70 16 70 1 70 1 8( 3500) ( 4) , ( 2800) ( 3) ,70 35 53 1 16 53( 2100) ( 2) , 3500 2800 2100 2280 .70 70 70 70 P Y P X P Y P X P Y P X EY = = = = = = = = = = ≤ = = × + × + × = 2 1 1( , )X N µ σ 2 2 2( , )Y N µ σ 十年高考+大数据预测 A． B． C．对任意正数 ， D．对任意正数 ， 【答案】C【解析】由正态分布密度曲线的性质可知， ， 的密度曲线分别关 于直线 ， 对称，因此结合题中所给图象可得， ，所以 ，故 错误．又 得密度曲线较 的密度曲线“瘦高”，所以 ，所以 ，B 错误．对任意正数 ， ， ，C 正确，D 错误． 150．（2015 山东理）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 ，从中随机取一件， 其长度误差落在区间 内的概率为（ ） （附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ， ） A．4．56% B．13．59% C．27．18% D．31．74% 【答案】B【解析】 ． 151．（2014 新课标 II 理）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0．75，连续两 天为优良的概率是 0．6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A．0．8 B．0．75 C．0．6 D．0．45 【答案】A【解析】根据条件概率公式 ，可得所求概率为 ． 152．（2011 湖北理）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于直线 对称，所以 ，并且 ，则 ξ ( )2,2 σN ( ) 8.04 =