十年（2011-2020）高考真题数学分项详解专题34 极坐标系与参数方程（解析版）（十年大数据全景展示+大数据分析预测高考+十年真题分类探求规律）

十年高考+大数据预测 专题 34 极坐标系与参数方程 十年大数据*全景展示 年 份 题号 考 点 考 查 内 容 2011 文理 23[来 源:Z&xx&k.Com] 极坐标系与参数方程 直线和圆的参数方程，极坐标方程的应用[来源:学*科*网] 2012 文理 23 极坐标系与参数方程 极坐标与直角坐标的互化，椭圆参数方程的应用 卷 1 文理 23[来源: 学科网] 极坐标系与参数方程 参数方程与极坐标方程的互化，极坐标方程的应用 2013 卷 2 文理 23 极坐标系与参数方程 参数方程的求法，参数方程的应用 卷 1 文理 23 极坐标系与参数方程 直线和椭圆的参数方程及其应用 2014 卷 2 文理 23 极坐标系与参数方程 圆的极坐标方程与参数方程的互化，圆的参数方程的应用 卷 1 文理 23 极坐标系与参数方程 直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆极坐标方程的应用 2015 卷 2 文理 23 极坐标系与参数方程 极坐标方程与参数方程的互化，极坐标方程的应用 卷 1 文理 23 极坐标系与参数方程 极坐标方程与参数方程的互化，极坐标方程的应用 卷 2 文理 23 极坐标系与参数方程 圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，圆的弦 长公式 2016 卷 3 文理 23 极坐标系与参数方程 椭圆的参数方程，直线的极坐标方程，参数方程的应用 卷 1 文理 22 极坐标系与参数方程 直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程的 互化，椭圆参数方程的应用 卷 2 文理 22 极坐标系与参数方程 直角坐标方程与极坐标方程的互化，极坐标方程的应用 2017 卷 3 文理 22 极坐标系与参数方程 参数方程与普通方程的互化，极坐标方程的应用 卷 1 文理 22 极坐标系与参数方程 极坐标与直角坐标方程互化，直线与圆的位置关系，圆的几 何性质 卷 2 文理 22 极坐标系与参数方程 直线和椭圆的参数方程，直线参数方程参数几何意义的应用 2018 卷 3 文理 22 极坐标系与参数方程 直线与圆的位置关系，圆的参数方程，点的轨迹方程求法 卷 1 文理 22 极坐标系与参数方程 参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的 互化，参数方程的应用 卷 2 文理 22 极坐标系与参数方程 直线和圆的极坐标方程及其应用 2019 卷 3 文理 22 极坐标系与参数方程 极坐标方程及其应用 卷 1 文理 22 极坐标系与参数方程 参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化 卷 2 文理 22 极坐标系与参数方程 参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程，极坐标 与参数方程的综合应用 2020 卷 3 文理 22 极坐标系与参数方程 极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程及其应用 十年高考+大数据预测 大数据分析*预测高考 考 点 出现频率 2021 年预测 考点 116 平面直角坐标系中的伸缩变换 23 次考 0 次 考点 117 极坐标和直角坐标的互化 23 次考 5 次 考点 118 参数方程与普通方程的互化 23 次考 1 次 考点 119 极坐标方程与参数方程的综合应用 23 次考 17 次 2021 年高考在试题难度、知识点考查等方 面，不会有太大的变化，主要考查极坐标方 程和直角坐标方程的互化、及常见曲线的极 坐标方程与极坐标方程的简单应用． 十年试题分类*探求规律 考点 116 平面直角坐标系中的伸缩变换 考点 117 极坐标和直角坐标的互化 1．（2020 全国Ⅱ文理 21）已知曲线 的参数方程分别为 （ 为参数）， （ 为参数）． （1）将 的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设 的交点为 ，求圆心在极轴上，且经 过极点和 的圆的极坐标方程． 【解析】（1）由 得 的普通方程为： ， 由 得： ，两式作差可得 的普通方程为： ． （2）由 得： ，即 ． 设所求圆圆心的直角坐标为 ，其中 ，则 ，解得： ， 所求圆的半径 ， 所求圆的直角坐标方程为： ，即 ， 1 2,C C 2 1 2 4cos ,: 4sin xC y θ θ  = = θ 2 1 , : 1 x t tC y t t  = +  = − t 1 2,C C x 1 2,C C P P 2 2cos sin 1θ θ+ = 1C 4x y+ = 1 1 x t t y t t  = +  = − 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 x t t y t t  = + +  = + − 2C 2 2 4x y− = 2 2 4 4 x y x y + =  − = 5 2 3 2 x y  =  = 5 3,2 2P     ( ),0a 0a > 2 2 25 302 2a a   − + − =       17 10a = ∴ 17 10r = ∴ 2 2 217 17 10 10x y   − + =       2 2 17 5x y x+ = 十年高考+大数据预测 所求圆的极坐标方程为 ． 2．（2020 全国Ⅲ文理 22）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数且 ）， 与坐标轴交于 两点． （1）求 ； （2）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 的极坐标方程． 【解析】（1）令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 ． 令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 ． ． （2）由（1）可知 ，则直线 的方程为 ，即 ． 由 可得，直线 的极坐标方程为 ． 3．（2020 江苏 22）在极坐标系中，已知点 在直线 上，点 在圆 上（其中 ， ）． （1）求 ， 的值 （2）求出直线 与圆 的公共点的极坐标． 【解析】（1） ． （2） ， 当 时 ；当 时 （舍）；即所求交点坐标为当 ． 4．（2019 全国 II 文理 22）在极坐标系中，O 为极点，点 在曲线 上，直线 l 过点 且与 垂直，垂足为 P． （1）当 时，求 及 l 的极坐标方程； （2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程． 【解析】（1）因为 在C上，当 时， ． 0 0 0( , )( 0)M ρ θ ρ > : 4sinC ρ θ= (4,0)A OM 0 = 3 θ π 0 ρ ( )0 0,M ρ θ 0 3 θ π= 0 4sin 2 33 ρ π= = ∴ 17 cos5 ρ θ= xOy C 2 2 2 , 2 3 x t t y t t  = − − = − + t 1t ≠ C ,A B AB x AB 0x = 2 2 0t t+ − = 2t = − 1t = 2 6 4 12y = + + = (0,12)A 0y = 2 3 2 0t t− + = 2t = 1t = 2 2 4 4x = − − = − ( 4,0)B − 2 2(0 4) (12 0) 4 10AB∴ = + + − = 12 0 30 ( 4)ABk −= =− − AB 3( 4)y x= + 3 12 0x y− + = cos , sinx yρ θ ρ θ= = AB 3 cos sin 12 0ρ θ ρ θ− + = 1 π( , )3A ρ : cos 2l ρ θ = 2 π( , )6B ρ : 4sinC ρ θ= 0ρ ≥ 0 2θ π≤ < 1 ρ 2 ρ l C 1 1 2 2cos 2 4; 4sin 23 6 π πρ ρ ρ ρ= ∴ = = ∴ =  5cos 2, 4sin 4sin cos 2, sin 2 1 [0,2 ) ,4 4 π πρ θ ρ θ θ θ θ θ π θ= = ∴ = ∴ = ∈ ∴ =  4 πθ = 2 2ρ = 5 4 πθ = 2 2 0ρ = − < (2 2, )4 π 十年高考+大数据预测 由已知得 ． 设 为l上除P的任意一点．在 中 ， 经检验，点 在曲线 上． 所以，l的极坐标方程为 ． （2）设 ，在 中， 即 ．． 因为P在线段OM上，且 ，故 的取值范围是 ． 所以，P点轨迹的极坐标方程为 ． 5．(2019 全国 III 文理 22）如图，在极坐标系 Ox 中， ， ， ， ，弧 ， ， 所在圆的圆心分别是 ， ， ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 ． （1）分别写出 ， ， 的极坐标方程； （2）曲线 由 ， ， 构成，若点 在 M 上，且 ，求 P 的极坐标． 【解析】（1）由题设可得，弧 所在圆的极坐标方程分别为 ， ， ，所以 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ． | | | | cos 23OP OA π= = ( , )Q ρ θ Rt OPQ△ cos | | 23 OPρ θ π − = =   (2, )3P π cos 23 ρ θ π − =   cos 23 ρ θ π − =   ( , )P ρ θ Rt OAP△ | | | | cos 4cos ,OP OA θ θ= = 4cosρ θ= AP OM⊥ θ ,4 2 π π     4cos , ,4 2 ρ θ θ π = ∈   π (2,0)A ( 2, )4B π ( 2, )4C 3π (2, )D π AB BC CD (1,0) (1, )2 π (1, )π 1M AB 2M BC 3M CD 1M 2M 3M M 1M 2M 3M P | | 3OP =   , ,AB BC CD 2cosρ θ= 2sinρ θ= 2cosρ θ= − 1M π2cos 0 4 ρ θ θ =     2M π 3π2sin 4 4 ρ θ θ =     3M 3π2cos π4 ρ θ θ = −     十年高考+大数据预测 （2）设 ，由题设及（1）知 若 ，则 ，解得 ； 若 ，则 ，解得 或 ； 若 ，则 ，解得 ． 综上，P的极坐标为 或 或 或 ． 考点 118 参数方程与普通方程的互化 6．（2020 上海 14）已知直线方程 的一个参数方程可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A．参数方程可化简为 ，故 A 不正确；B．参数方程可化简 为 ，故 B 不正确；C．参数方程可化简为 ，故 C 不正确；D．参数方程可化简为 ， 故 D 正确．故选 D． 7．（2018 全国Ⅲ）[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 ，（ 为参数），过点 且倾斜角为 的直 线 与 交于 ， 两点． (1)求 的取值范围； (2)求 中点 的轨迹的参数方程． 【解析】(1) 的直角坐标方程为 ． 当 时， 与 交于两点． 当 时，记 ，则 的方程为 ． 与 交于两点当且仅当 ，解得 或 ，即 或 ． 综上， 的取值范围是 ． ( , )P ρ θ π0 4 θ  2cos 3θ = π 6 θ = π 3π 4 4 θ  2sin 3θ = π 3 θ = 2π 3 θ = 3π π4 θ  2cos 3θ− = 5π 6 θ = π3, 6      π3, 3      2π3, 3      5π3, 6      3 4 1 0x y+ + = 1 3 1 4 x t y t = +  = − + 1 4 1 3 x t y t = −  = − − 1 3 1 4 x t y t = −  = − + 1 4 1 3 x t y t = +  = − − 4 3 7 0x y− − = 3 4 7 0x y− − = 4 3 1 0x y+ − = 3 4 1 0x y+ + = xOy O cos sin x y θ θ =  = θ (0, 2)− α l O A B α AB P O 2 2 1x y+ = 2 α π= l O 2 α π≠ tan kα = l 2y kx= − l O 2 2| | 1 1 k < + 1k < − 1k > ( , )4 2 α π π∈ ( , )2 4 α π 3π∈ α ( , )4 4 π 3π 十年高考+大数据预测 (2) 的参数方程为 为参数， ． 设 ， ， 对应的参数分别为 ， ， ，则 ，且 ， 满足 ． 于是 ， ．又点 的坐标 满足 所以点 的轨迹的参数方程是 为参数， ． 考点 119 极坐标方程与参数方程的综合应用 8．（2018 北京文理）在极坐标系中，直线 与圆 相切，则 =___． 【答案】 【解析】利用 ， ，可得直线的方程为 ，圆的方程为 ，所以圆心 ，半径 ，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即 ，∴ 或 ，又 ，∴ ． 9．（2017 北京文理）在极坐标系中，点 A 在圆 上，点 P 的坐标为 ）， 则 的最小值为___________． 【答案】1【解析】圆的普通方程为 ，即 ． 设圆心为 ，所以 ． 10．（2017 天津文理）在极坐标系中，直线 与圆 的公共点的个数为 _____． 【答案】2【解析】直线的普通方程为 ，圆的普通方程为 ，因为圆心到直 线的距离 ，所以有两个交点． 11．（2016 北京文理）在极坐标系中，直线 与圆 交于 两点，则 ． 【答案】2【解析】将 化为直角坐标方程为 ，将 ρ=2cos θ 化为直 l cos , ( 2 sin x t t y t α α = = − + 4 4 απ 3π< < ) A B P At Bt Pt 2 A B P t tt += At Bt 2 2 2 sin 1 0t t α− + = 2 2 sinA Bt t α+ = 2 sinPt α= P ( , )x y cos , 2 sin . P P x t y t α α = = − + P 2 sin 2 ,2 2 2 cos22 2 x y α α  =  = − − (α 4 4 απ 3π< < ) cos sin ( 0)a aρ θ ρ θ+ = > =2cosρ θ a 1 2+ cosx ρ θ= siny ρ θ= 0x y a+ − = 2 2( 1) 1x y− + = (1,0) 1r = |1 | 1 2 a− = 1 2a = + 1 2− 0a > 1 2a = + 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = (1,0) | |AP 2 2 2 4 4 0x y x y+ − − + = 2 2( 1) ( 2) 1x y− + − = (1,2)C min| | | | 2 1 1AP PC r= − = − = 4 cos( ) 1 06 ρ θ π− + = 2sinρ θ= 2 3 2 1 0x y+ + = 2 2( 1) 1x y+ − = 3 14d = < cos 3 sin 1 0ρ θ ρ θ− − = 2cosρ θ= ,A B | |AB = cos 3 sin 1 0ρ θ ρ θ− − = 3 1 0x y− − = 十年高考+大数据预测 角坐标方程为 ，圆心坐标为(1，0)，半径 r=1，又(1，0)在直线 上，所以 |AB|=2r=2． 12．（2015 广东文理）已知直线 的极坐标方程为 ，点 的极坐标为 ，则点 到直线 的距离为 ． 【答案】 【解析】由 得 ，所以 ， 故直线 的直角坐标方程为 ，而点 对应的直角坐标为 ，所以点 到直线 ： 的距离为 ． 13．（2015 安徽文理）在极坐标系中，圆 上的点到直线 距离的最大值 是 ． 【答案】6【解析】圆 即 ，化为直角坐标方程为 ， 直线 ，则 ，化为直角坐标方程为 ，圆心 到直线 的距离为 ，所以圆上的点到直线距离的最大值为 6． 14．（2020 全国Ⅰ文理 21） 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）当 时， 是什么曲线？ （2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标． 【解析】（1）当 时，曲线 的参数方程为 （ 为参数），两式平方相加得 ， ∴曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆． 2 2( 1) 1x y− + = 3 1 0x y− − = l 2 sin( ) 24 πρ θ − = Α 72 2, )4 πΑ( Α l 5 2 2 2 sin( ) 24 πρ θ - = 22 (sin cos ) 22 ρ θ θ´ - = 1y x- = l 1 0x y- + = 7(2 2, )4A π (2, 2)A - (2, 2)A - l 1 0x y- + = | 2 2 1| 5 2 22 + + = 8sinρ θ= ( )3 R πθ ρ= ∈ 8sinρ θ= 2 8 sinρ ρ θ= 2 2( 4) 16x y+ - = 3 πθ = tan 3θ = 3 0x y- = (0,4) | 4 | 2 4 - = xOy 1C cos , sin k k x t y t  =  = (t ) x 2C 4 cos 16 sin 3 0ρ θ ρ θ− + = 1k = 1C 4k = 1C 2C 1k = 1C cos , sin x t y t =  = t 2 2 1x y+ = 1C 十年高考+大数据预测 （2）当 时，曲线 的参数方程为 （ 为参数），∴ ，曲线 的参数方程化 为 为参数），两式相加得曲线 方程为 ，得 ，平方得 ， 曲线 的极坐标方程为 ，曲线 直角坐标方程为 ， 联立 方程 ，整理得 ，解得 或 （舍去）， ， 公共点的直角坐标为 ． 15．（2019 全国 1 文理 22）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数），以坐标 原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 【解析】（1）因为 ，且 ，所以C的直角坐标方程为 ． 的直角坐标方程为 ． （2）由（1）可设C的参数方程为 （ 为参数， ）． C上的点到 的距离为 ． 2 2 2 1 1 4 1 tx t ty t  −= +  = + ， 2 cos 3 sin 11 0ρ θ ρ θ+ + = 2 2 11 11 t t −− < ≤+ ( ) 22 2 2 2 22 2 1 4 12 1 1 y t tx t t  − + = + =   +    + 2 2 1( 1)4 yx x+ = ≠ − l 2 3 11 0x y+ + = cos , 2sin x y α α =  = α π πα− < < l π4cos 11| 2cos 2 3sin 11| 3 7 7 αα α  − + + +  = 4k = 1C 4 4 cos , sin x t y t  =  = t 0, 0x y≥ ≥ 1C 2 2 cos ( sin x t t y t  = = 1C 1x y+ = 1y x= − 2 1,0 1,0 1y x x x y= − + ≤ ≤ ≤ ≤ 2C 4 cos 16 sin 3 0ρ θ ρ θ− + = 2C 4 16 3 0x y− + = 1 2,C C 2 1, 4 16 3 0 y x x x y  = − + − + = 12 32 13 0x x− + = 1 2x = 13 6x = 1 1,4 4x y∴ = = 1 2,C C∴ 1 1( , )4 4 十年高考+大数据预测 当 时， 取得最小值7，故C上的点到 距离的最小值为 ． 16．(2018 全国Ⅰ文理) 在直角坐标系 中，曲线 的方程为 ．以坐标原点为极点， 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． (1)求 的直角坐标方程； (2)若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程． 【解析】(1)由 ， 得 的直角坐标方程为 ． (2)由(1)知 是圆心为 ，半径为 的圆． 由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线．记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射线为 ．由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与 有两个 公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点． 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ． 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两个公共 点． 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ． 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点． 综上，所求 的方程为 ． 17．（2018 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的 参数方程为 （ 为参数）． (1)求 和 的直角坐标方程； (2)若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率． 2π 3 α = − π4cos 113 α − +   l 7 xOy 1C | | 2y k x= + x 2C 2 2 cos 3 0ρ ρ θ+ − = 2C 1C 2C 1C cosx ρ θ= siny ρ θ= 2C 2 2( 1) 4x y+ + = 2C ( 1,0)A − 2 1C (0,2)B y y 1l y 2l B 2C 1C 2C 1l 2C 2l 2C 2l 2C 1l 2C 1l 2C A 1l 2 2 | 2 | 2 1 k k − + = + 4 3k = − 0k = 0k = 1l 2C 4 3k = − 1l 2C 2l 2C 2l 2C A 2l 2 2 | 2 | 2 1 k k + = + 0k = 4 3k = 0k = 1l 2C 4 3k = 2l 2C 1C 4 | | 23y x= − + xOy C 2cos , 4sin , =  = x θ y θ θ l 1 cos 2 sin = +  = + x t α y t α t C l C l (1, 2) l 十年高考+大数据预测 【解析】(1)曲线 的直角坐标方程为 ． 当 时， 的直角坐标方程为 ； 当 时， 的直角坐标方程为 ． (2)将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程 ．① 因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内，所以①有两个解，设为 ， ，则 ． 又由①得 ，故 ，于是直线 的斜 率 ． 18．（2018 江苏）在极坐标系中，直线 的方程为 ，曲线 的方程为 ，求直线 被 曲线 截得的弦长． 【解析】因为曲线 的极坐标方程为 ，所以曲线 的圆心为 ，直径为 4 的圆． 因为直线 的极坐标方程为 ，则直线 过 ，倾斜角为 ，所以 A 为直线 与圆 的一 个交点． 设另一个交点为 B，则∠OAB= ，连结 OB，因为 OA 为直径，从而∠OBA= ，所以 ． 因此，直线 被曲线 截得的弦长为 ． 19．（2017 全国Ⅰ文理）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，( 为参数)，直线 的 参数方程为 ( 为参数)． (1)若 ，求 与 的交点坐标； x B O A l C 2 2 14 16 + =x y cos 0α ≠ l tan 2 tanα α= ⋅ + −y x cos 0α = l 1=x l C t 2 2(1 3cos ) 4(2cos sin ) 8 0α α α+ + + − =t t C l (1,2) C 1t 2t 1 2 0+ =t t 1 2 2 4(2cos sin ) 1 3cos α α α ++ = − +t t 2cos sin 0α α+ = l tan 2α= = −k l πsin( ) 26 ρ θ− = C 4cosρ θ= l C C =4cosρ θ C (2,0) l πsin( ) 26 ρ θ− = l (4,0)A π 6 l C π 6 π 2 π4cos 2 36AB = = l C 2 3 xOy C 3cos sin x y θ θ =  = θ l 4 1 x a t y t = +  = − t 1a = − C l 十年高考+大数据预测 (2)若 上的点到 距离的最大值为 ，求 ． 【解析】（1）曲线 的普通方程为 ． 当 时，直线 的普通方程为 ． 由 解得 或 ，从而 与 的交点坐标为 ， ． （2）直线 的普通方程为 ，故 上的点 到 的距离为 ． 当 时， 的最大值为 ．由题设得 ，所以 ； 当 时， 的最大值为 ．由题设得 ，所以 ． 综上， 或 ． 20．（2017 全国Ⅱ文理）在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 的极坐标方程为 ． (1) 为曲线 上的动点，点 在线段 上，且满足 ，求点 的轨迹 的直角坐标 方程； (2)设点 的极坐标为 ，点 在曲线 上，求 面积的最大值． 【解析】（1）设 的极坐标为 ， 的极坐标为 ． 由椭圆知 ， ．由 得 的极坐标方程 ， 因此 的直角坐标方程为 ． （2）设点 的极坐标为 ．由题设知 ， ，于是 面积 C l 17 a C 2 2 19 x y+ = 1a = − l 4 3 0x y+ − = 2 2 4 3 0 19 x y x y + − = + = 3 0 x y =  = 21 25 24 25 x y  = −  = C l (3,0) 21 24( , )25 25 − l 4 4 0x y a+ − − = C (3cos ,sin )θ θ l | 3cos 4sin 4 | 17 ad θ θ+ − −= 4a −≥ d 9 17 a + 9 17 17 a + = 8a = 4a < − d 1 17 a− + 1 17 17 a− + = 16a = − 8a = 16a = − xOy x 1C cos 4ρ θ = M 1C P OM | | | | 16OM OP⋅ = P 2C A (2, )3 π B 2C OAB∆ P ( , )ρ θ ( 0)ρ > M 1( , )ρ θ 1( 0)ρ > | |OP ρ= 1 4| | cosOM ρ θ= = | | | | 16OM OP⋅ = 2C 4cosρ θ= ( 0)ρ > 2C 2 2( 2) 4( 0)x y x− + = ≠ B ( , )B ρ α ( 0)B ρ > | | 2OA = 4cosB ρ α= OAB∆ 十年高考+大数据预测 ． 当 时， 取得最大值 ，所以 面积的最大值为 ． 21．（2017 全国Ⅲ文理）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，直线 的参数 方程为 （ 为参数）．设 与 的交点为 ，当 变化时， 的轨迹为曲线 ． (1)写出 的普通方程； (2)以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 ： ， 为 与 的交点，求 的极径． 【解析】（1）消去参数 得 的普通方程 ，消去参数 得 的普通方程 ． 设 ，由题设得 ，消去 得 ，所以 的普通方程为 ． （2） 的极坐标方程为 ，联立 得 ，故 ，从而 ，代入 得 ，所以交点 的极径为 ． 22．（2017 江苏）在平面坐标系中 中，已知直线 的参考方程为 （ 为参数），曲线 的参 数方程为 （ 为参数）．设 为曲线 上的动点，求点 到直线 的距离的最小值． 【解析】直线 的普通方程为 ． 因为点 在曲线 上，设 ，从而点 到直线 的的距离 1 | | sin2 BS OA AOBρ= ⋅ ⋅ ∠ 4cos | sin( ) |3 πα α= − 32 | sin(2 ) |3 2 πα= − − 2 3+≤ 12 πα = − S 2 3+ OAB∆ 2 3+ xOy 1l 2x t y kt = +  = t 2l 2x m my k = − + = m 1l 2l P k P C C x 3l (cos sin )ρ θ θ+ − 2 0= M 3l C M t 1l ( ):l y k x= −1 2 m 2l ( ):l y xk = +2 1 2 ( , )P x y ( ) ( ) y k x y xk  = − = + 2 1 2 k ( )x y y− = ≠2 2 4 0 C ( )x y y− = ≠2 2 4 0 C ( )cos sinρ θ θ− =2 2 2 4 ( ),θ π θ π≠0＜ ＜2 ( ) ( ) cos sin cos sin ρ θ θ ρ θ θ  − =  2 2 2 4 + - 2=0 ( )cos sin cos sinθ θ θ θ− =2 + tanθ = − 1 3 cos sinθ θ2 29 1= ， =10 10 ( )cos sinρ θ θ2 2 2- =4 ρ 2=5 M 5 xOy l 8 2 x t ty = − + = t C 22 2 2 x s y s  = = s P C P l l 2 8 0x y− + = P C 2(2 ,2 2 )P s s P l 十年高考+大数据预测 ，当 时， ． 因此当点 的坐标为 时，曲线 上点 到直线 的距离取到最小值 ． 23．（2016 全国 I 文理）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t 为参数，a＞0）．在 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ： ． （I）说明 是哪种曲线，并将 的方程化为极坐标方程； （II）直线 的极坐标方程为 ，其中 满足 ，若曲线 与 的公共点都在 上，求 a． 【 解析】(1) （ 均为参数），∴ ① ∴ 为以 为圆心， 为半径的圆．方程为 ． ∵ ，∴ ，即为 的极坐标方程． (2) ，两边同乘 得 ， ， 即 ② ：化为普通方程为 ，由题意： 和 的公共方程所在直线即为 ， ①—②得： ，即为 ，∴ ，∴ ． 24．（2016 全国 II 文理）在直角坐标系 中，圆 C 的方程为 ． （I）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ，求 C 的极坐标方程； （II）直线 l 的参数方程是 （t 为参数），l 与 C 交于 A、B 两点， ，求 l 的斜率． 【解析】（Ⅰ）整理圆的方程得 ，由 可知圆 的极坐标方程为 ． cos 1 sin x a t y a t =  = + t ( )22 21x y a+ − = 1C ( )0 1， a 2 2 22 1 0x y y a+ − + − = 2 2 2 sinx y yρ ρ θ+ = =， 2 22 sin 1 0aρ ρ θ− + − = 1C 2 4cosC ρ θ=： ρ 2 2 2 24 cos cosx y xρ ρ θ ρ ρ θ= = + = ， 2 2 4x y x∴ + = ( )2 22 4x y− + = 3C 2y x= 1C 2C 3C 24 2 1 0x y a− + − = 3C 21 0a− = 1a = 2 2 2 2 | 2 4 2 8| 2( 2) 4 5( 1) ( 2) s s sd − + − += = − + − 2s = min 4 5 5d = P (4,4) C P l 4 5 5 xOy 1C cos 1 sin x a t y a t =  = + x 2C 4cosρ θ= 1C 1C 3C 0=aθ 0a 0tan =2a 1C 2C 3C xOy ( )2 26 25x y+ + = cos sin x t y t α α =  = 10AB = 2 2 12 11 0x y+ + + = 2 2 2 cos sin x y x y ρ ρ θ ρ θ  = +  =  = C 2 12 cos 11 0ρ ρ θ+ + = 十年高考+大数据预测 (Ⅱ)记直线的斜率为 ，则直线的方程为 ，由垂径定理及点到直线距离公式知： ，即 ，整理得 ，则 ． 25．（2016 全国 III 文理）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐 标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （Ⅰ）写出 的普通方程和 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点 P 在 上，点 Q 在 上，求 的最小值及此时 P 的直角坐标． 【解析】（Ⅰ） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 ． （Ⅱ）由题意，可设点 的直角坐标为 ，因为 是直线，所以 的最小值，即为 到 的距离 的最小值， ． 当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 的直角坐标为 ． 26．（2016 江苏）在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 ，椭圆 的参 数方程为 ，设直线 与椭圆 相交于 两点，求线段 的长． 【解析】椭圆 的普通方程为 ，将直线 的参数方程 ，代入 ，得 ，即 ，解得 ， ，所以 ． 27．（2015 全国Ⅰ文理）在直角坐标系 中，直线 ： ，圆 ： ，以坐标 原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求 ， 的极坐标方程； k 0kx y− = 2 2 6 1025 21 k k  − = −   +   2 2 36 90 1 4 k k =+ 2 5 3k = 15 3k = ± xOy 1C 3 cos sin x y α α  = = α 2C sin( ) 2 24 ρ θ π+ = 1C 2C 1C 2C | |PQ 1C 2 2 13 x y+ = 2C 4 0x y+ − = P ( 3 cos ,sin )α α 2C | |PQ P 2C ( )d α | 3 cos sin 4 |( ) 2 | sin( ) 2 |32 d α α πα α+ −= = + − 2 ( )6k k Z πα π= + ∈ ( )d α 2 P 3 1( , )2 2 xOy l ( ) 11 ,2 3 ,2 x t t y t  = +  = 为参数 C ( )cos , 2sin , x y θ θθ =  = 为参数 l C ,A B AB C 2 2 14 yx + = l 11 2 3 2 x t y t  = +  = 2 2 14 yx + = 2 2 3( )1 2(1 ) 12 4 t t+ + = 27 16 0t t+ = 1 0t = 2 16 7t = − 1 2 16| | 7AB t t= − = xOy 1C 2x = − 2C 2 2( 1) ( 2) 1x y− + − = x 1C 2C 十年高考+大数据预测 （Ⅱ）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 ， ，求 的面积． 【解析】（Ⅰ）因为 ， ∴ 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ． （Ⅱ）将 代入 ，得 ，解得 = ， = ， |MN|= － = ，因为 的半径为 1，则 的面积 = ． 28．（2015 全国Ⅱ文理）在直角坐标系 中，曲线 ： （ 为参数， ≠0）其中 ，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ： ， ： ． （Ⅰ）求 与 交点的直角坐标； （Ⅱ）若 与 相交于点 A， 与 相交于点 B，求 的最大值． 【解析】（Ⅰ）曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 ．联立 解得 或 所以 与 交点的直角坐标为 和 ． （Ⅱ）曲线 的极坐标方程为 ，其中 ． 因此 得到极坐标为 ， 的极坐标为 ． 所以 ，当 时， 取得最大值，最大值为 ． 29．（2015 江苏） 已知圆 C 的极坐标方程为 ，求圆 C 的半径． 【解析】 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 ，以极轴为 轴的正半轴，建立直角坐标系 ． 3C ( ) 4 R πθ ρ= ∈ 2C 3C M N 2C MN∆ cos , sinx yρ θ ρ θ= = 1C cos 2ρ θ = − 2C 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = = 4 πθ 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2 3 2 4 0ρ ρ− + = 1 ρ 2 2 2 ρ 2 1 ρ 2 ρ 2 2C 2C MN o1 2 1 sin 452 × × × 1 2 xOy 1C cos , sin , x t y t α α =  = t t 0 α π