专题06 平面向量（新高考地区专用）-2021届高三《新题速递·数学》9月刊（适用于高考复习）(解析版)

专题 06 平面向量 一、单选题 1．（2020·衡水市第十四中学高一月考）下列说法错误的是（ A．向量 的长度与向量 的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行 C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等 【答案】D A.向量 与向量 的方向相反，长度相等，故 A 正确； B.规定零向量与任意非零向量平行，故 B 正确； C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故 C 正确； D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故 D 不正确. 2．（2020·山东省淄博第七中学高一月考）在 中，点 D，E 分别为边 ， 的中点，则如图所示 的向量中，相等向量有（ ） A．一组 B．二组 C．三组 D．四组 【答案】A 【解析】由相等向量的定义可知，题图中只有一组向量相等，即 . OA AO OA AO ABC∆ AB AC CE EA= 故选：A 3．（2020·四川高一期末）如图，在正方形 ABCD 中，下列命题中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可知： A. ，故错误； B. ，故错误； C. 不共线，故错误； D. ，故正确. 故选：D 4．（2020·衡阳市第二十六中学高一期末）化简 得（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题, , 故选:A 5．（2020·四川高一期末）在△ABC 中，点 P 满足 ，则 ＝（ ） A． B． C． D． AB BC=  AB CD=  2= AC AB AC BD=  AB BC⊥  AB CD= −  ,AC AB  AC BD=  AC BD CD AB− + −    0 DA BC AB ( ) 0AC BD CD AB AC BD CD BAB BC DD CD CDC= − − = −− + − + + = + =              3BP PC=  AC 3 1 2 2AP AB−  4 1 3 3AP AB−  3 1 4 4AP AB+  2 1 3 3AP AB+ 【答案】B 【解析】因为点 满足 ，故点 是 边上靠近点 的四等分点. 则 . 故选： . 6．（2020·安徽高三其他（文））若平面向量 ， ，则 （ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由 ， ， 可得 ， 所以 ． 故选：B． 7．（2020·武威第六中学高一期末）已知平面向量 ， 满足 ，且 ， ，则 （ ） P 3BP PC=  P BC C ( )1 1 3 3AC AP PC AP BP AP AP AB= + = + = + −        4 1 3 3AP AB= −  B (2,0)m = (1, 3)m n− = −  ⋅ =m n 3 3+ 1 3− 2 3 (2,0)m = (1, 3)m n− = −  (1, 3)n = ( ) ( )· 2,0 1, 3 2m n = ⋅ =  a b ( ) 2a b b+ ⋅ =   1a = 2b = a b+ = A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】由 及 ，可得 ，可得 ， ， 故选：C. 8．（2020·大连海湾高级中学高一月考）在矩形 中， ， ，点 为 的中点，点 在 ，若 ，则 的值（　　） A． B．2 C．0 D．1 【答案】A 【解析】建立如图所示的坐标系，可得 ， ， ， ， ， ， 解得 ， ， ， . 3 2 2 3 ( ) 2a b b+ ⋅ =   2b = 2 2a b b⋅ + =   2a b⋅ = −  2 22 2 2( ) 2 1 2 ( 2) 2 1a b a b a a b b+ = + = + ⋅ + = + × − + =        ABCD 2AB = 2BC = E BC F CD 2AB AF⋅ =  AE BF⋅  2 ( )0,0A ( )2 0B ， ( )2,1E ( ),2F x ( )2,0AB∴ = ( ),2AF x= 2 2AB AF x∴ ⋅ = =  1x = ( )1,2F∴ ( )2,1AE∴ = ( )1 2,2BF = − ( )2 1 2 1 2 2AE BF∴ ⋅ = − + × = 故选 A 项． 二、多选题 9．（2020·高二期末）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A．已知 均为非零向量，则 存在唯一的实数 ，使得 B．若向量 与 共线，则点 ， ， ， 必在同一直线上 C．若 且 ，则 D．若点 为 的重心，则 【答案】AD 【解析】A. 由向量共线定理知正确； B.若向量 ， 共线，则 ， 所在直线互相平行或重合，则点 ， ， ， 不一定在同一直 线上，故错误； C.若 ，则 ，因为 ，则 或 与 垂直，故错误； D.若点 G 为△ABC 的重心，延长 AG 与 BC 交于 M，则 M 为 BC 的中点，所以 ，所以 ，故正确. 故选：AD ,a b → → //a b → → ⇒ λ b aλ → → = AB CD A B C D a c b c → → → → ⋅ = ⋅ 0c → ≠  a b → → = G ABC 0GA GB GC+ + =    AB CD AB CD A B C D a c b c → → → → ⋅ = ⋅ ( ) 0c a b⋅ − =   0c → ≠  a b → → = c a b−  ( )12 2 2AG GM GB GC GB GC= = × × + = +      0GA GB GC+ + =   10．（2020·山东临沂�高三二模）设向量 ， ，则（ ） A． B． C． D． 与 的夹角为 【答案】CD 【解析】因为 ， ，所以 ，所以 ，故 A 错误； 因为 ， ，所以 ，所以 与 不平行，故 B 错误； 又 ，故 C 正确； 又 ，所以 与 的夹角为 ，故 D 正确. 故选：CD. 11．（2020·山东新校高一月考）下列说法正确的是（ ） A．若 则存在唯一的实数 使得 B．两个非零向量 ， ，若 ，则 与 共线且反向 C．已知非零向量 ， ，且 与 夹角为锐角，则实数 的取值范围是 D．在 中， ，则 为等腰三角形 【答案】BD 【解析】若 ， ，就不存在 ，使得 ，A 错； 若 不共线，则一定有 ．若 同向，则 ，若 反向，则 ，B 正确； ( )2,0a = ( )1,1b = a b=  ( )//a b b−   ( )a b b− ⊥   a b π 4 ( )2,0a = ( )1,1b = 2, 2a b= =  a b≠  ( )2,0a = ( )1,1b = ( ) ( )= 1, 1a b− −  ( )a b−  b ( ) 1 1 0a b b− ⋅ = − =   2 2cos , 22 2 a ba b a b ⋅< >= = = ⋅ r rr r r r a b π 4 //a b λ a bλ=  a b +a b a b− =   a b ( )1,2a = ( )1,1b = a a bλ+  λ 5 ,3  − +∞   ABC BC CA AB CA⋅ = ⋅    ABC 0a ≠  0b =  λ a bλ=  ,a b  +a b a b−    5 3 λ > − 0λ = a a bλ+  a a bλ+  λ 5 3 λ > − 0λ ≠ ABC BC CA AB CA⋅ = ⋅    cos( ) cos( )ab C cb Aπ π− = − cos cos=a C c A sin cos sin cosA C C A= sin( ) 0A C− = 0A C− = A C= ( )1,0a = 1b = ( )0, 1c = − 3 7 0a kb c+ + =   58 58− 58− ( ) ( ) ( )3 7 3 1,0 7 0, 1 3,7kb a c= − − = − × − × − = −   ( )2 2| 3 7 58kb k b∴ = ⋅ = − + =  1b =  58k∴ = ± P A (0 )2， OA PA⋅ 【答案】 【解析】设 ， ， ， 在以原点为圆心的单位圆上， ， . 故答案为： . 14．（2020·高三月考（理））已知在 中， ， ，若边 的 中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则 __________． 【答案】1 【解析】依题意，得 ，故 是以 为底边的等腰三角形，故 ， 所以 .所以 . 15．（2020·上海市七宝中学高三其他）已知向量 ， ，则 的面积为 _____________ . 【答案】5 【解析】因为 ，又因为 ，所以 ， 所以 ． 故答案为：5． [ ]2,6 ( ),P x y ( ) ( )0,2 , ,2OA PA x y\ = = - -  4 2OA PA y ∴ ⋅ = − P 1 1y\ - £ £ 2 4 2 6y\ £ - £ [ ]2,6 ABC∆ BC AB CB= −   (1,2)AB = AB D (3,1) C ( ,2)t t = BC AC=  ABC∆ AB CD AB⊥  ( ) ( )3 t, 1 1,2 3 t 2 0CD AB = − − = − − =    t 1= ( )1,2AB = ( )4, 2AC = − ABC 5, 2 5AB AC= = 0AB AC⋅ =  90BAC∠ = ° 1 5 2 5 52ABCS = × × = 四、双空题 16．（2020·浙江衢州�高一期末）已知 ， ，若 ，则 ________；若 ， 则 ________. 【答案】 【解析】 ， ，解得 ； ， ，解得 ． 故答案为： ； ． 五、解答题 17．（2020·山东滨州�高二期末）如图，在 中， 为边 上的一点 ， ， 且 与 的夹角为 . （1）设 ，求 ， 的值； （2）求 的值. 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】（1）因为 ，所以 . ( 2,3)a = − ( 1,1)b k= − / /a b k = a b⊥  k = 1 3 5 2  / /a b 2 3( 1) 0k∴− − − = 1 3k =  a b⊥  ∴ 2( 1) 3 0a b k= − − + = 5 2k = 1 3 5 2 OAB P AB 2BP PA=  6OA = 2OB = OA OB 60° OP xOA yOB= +   x y OP AB⋅  2 3x = 1 3y = 62 3 − 2BP PA=  2 3BP BA= . 又 ， 又因为 、 不共线，所以， ， （2）结合（1）可得： . ， 因为 ， ，且 与 的夹角为 . 所以 . 18．（2020·河南项城市第三高级中学高一月考）已知平面内的三个向量 ， ， . （1）若 ，求 的值； （2）若向量 与向量 共线，求实数 k 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）∵ ， ， ∴ ，又 ，所以 ， ( )2 2 2 1 3 3 3 3OP OB BP OB BA OB OA OB OA OB= + = + = + − = +          OP xOA xOB= −   OA OB 2 3x = 1 3y = ( )2 1 3 3OP AB OA OB OB OA ⋅ = + ⋅ −         2 22 2 1 1 3 3 3 3 = ⋅ − + − ⋅     OA OB OA OB OA OB 2 21 2 1 3 3 3 = ⋅ − +   OA OB OA OB 6OA = 2OB = OA OB 60° 2 21 1 2 1 626 2 6 23 2 3 3 3OP AB⋅ = × × × − × + × = −  (3,2)a = ( 1,2)b = − (4,1)c = ( , )a b cλ µ λ µ= + ∈R  λ µ+ k+ a b 2b c−  13 9 λ µ+ = 7 3k = − ( ,2 )bλ λ λ= − (4 , )cµ µ µ= ( 4 ,2 )b cλ µ λ µ λ µ+ = − + +  a b cλ µ= +  4 3 2 2 λ µ λ µ − + =  + =解得 ，∴ . （2） ， ，∵ 与 共线， ∴ ，解得 . 19．（2020·大连海湾高级中学高一月考）在 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知向量 ， 且 . (1)求角 的大小； (2)若点 为边 上一点，且满足 ， ， ，求 的面积. 【答案】(1) ;(2) 【解析】（1）由题可知： 则 即 则 化简可得： 所以 ,又 所以 ，又 所以 5 9 8 9 λ µ  =  = 13 9 λ µ+ = (3 ,2 2 )a kb k k+ = − + 2 ( 6,3)b c− = −  k+ a b 2b c−  3(3 ) 6(2 2 )k k− = − + 7 3k = − ABC∆ 2(cos ,2cos 1)2 Cm B= − ( , 2 )n c b a= − m n⊥  C D AB AD DB=  7CD = 2 3c = ABC∆ 3C π= 2 3 =0m n   ( )2cos 2cos 1 2 02 Cc B b a + − − =   ( )cos cos 2 0c B C b a+ − = ( )sin cos cos sin 2sin 0C B C B A+ − = ( )sin 2sin cosB C A C+ = sin 2sin cosA A C= sin 0A ≠ 1cos 2C = ( )0,C π∈ 3C π=（2） ，可知点 是 的中点 所以 ， 因为 ， 则 即 ① 由 ,又 所以化简可得 ② ①-②可得： 所以 20．（2020·小店�山西大附中高一月考）已知向量 ，向量 与向量 夹角为 ，且 . （1）求向量 ； （2）若向量 与向量 的夹角为 ，向量 ，其中 为 的内角， 且 .求 的取值范围. 【答案】（1） 或 ；（2） . AD DB=  D AB 1 1 2 2CD CA CB= +   2 2 21 1 1 4 4 2CD CA CB CA CB= + +      7CD = 3C π= 2 21 1 17 cos4 4 2b a ab C= + + 2 2 28b a ab+ + = 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 3c = 2 2 12b a ab+ − = 8ab = 1 sin 2 32ABCS ab C∆ = = ( )1,1m = n m 3 4 π 1m n⋅ = −  n n ( )1,0q = 2 π 2cos ,2cos 2 Cp A =     , ,A B C ABC 2B A C= + n p+  ( )1,0n = − ( )0, 1n = − 2 5,2 2     【解析】（1）设 ，由 ，可得 ，① 与向量 夹角为 ，有 ， ，则 ，② 由①②解得 或 ，即 或 ； （2）由 与 垂直知， ，由 ， 知 ， 若 ，则 则 由 ，则 ，则 ， 则 ，故 ，得 . ( ),n x y= 1m n⋅ = −  1x y+ = − n m 3 4 π 3cos 4m m nn π⋅ = ⋅ ⋅   1n∴ = 2 2 1x y+ = 1 0 x y = −  = 0 1 x y =  = − ( )1,0n = − ( )0, 1n = − n q ( )0, 1n = − 2B A C= + 2 2, ,03 3 3B A C A π π π= + = < < ( )0, 1n = − 2cos ,2cos 1 (cos ,cos )2 Cn p A A C + = − =     2 2 2 2 1 cos2 1 cos2( ) cos cos 2 2n A Cn p A Cp + += + = + = ++     1 4 11 cos2 cos 2 1 cos 22 3 2 3A A A ππ    = + + − = + +         20 3A π< < 523 3 3A π π π< + < 11 cos 2 3 2A − ≤ +