专题07 数列（新高考地区专用）-2021届高三《新题速递·数学》9月刊（适用于高考复习） （解析版）

专题 07 数列 一、单选题 1．（2020·四川高一期末）已知数列 则 5 是这个数列的（ ） A．第 12 项 B．第 13 项 C．第 14 项 D．第 25 项 【答案】A 【解析】由题意可知，该数列的通项公式为 由 ，解得 ，即 5 是这个数列的第 12 项 故选：A 2．（2020·玉龙纳西族自治县田家炳民族中学高一期中）若数列的前 项分别是 、 、 、 ，则此 数列一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设所求数列为 ，可得出 ， ， ， ， 因此，该数列的一个通项公式为 . 故选：A. 3．（2020·安徽高一期末）已知数列 的通项公式为 ，则 的值是（ ） A．9 B．13 C．17 D．21 【答案】C 3, 5, 7, 11, , 2 1,+ n 2 1na n= + 2 1 5n + = 12n = 4 1 2 − 1 3 1 4 − 1 5 ( )1 1 n n − + ( )1 n n − ( ) 11 1 n n +− + ( ) 11 n n −− { }na ( )1 1 1 1 1a −= + ( )2 2 1 2 1a −= + ( )3 3 1 3 1a −= + ( )4 4 1 4 1a −= + ( )1 1 n na n −= + { }na 4 3na n= − 5a【解析】 试题分析：把 n=5 代入 =4n－3 中得到所求为 17．故选 C． 4．（2020·广东高二期末）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S9＝36，则 a5＝（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】∵{an}是等差数列，∴ ， ． 故选：B． 5．（2020·四川高一期末）已知等差数列 中， ，公差 ，则 与 的等差中项是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 与 的等差中项是 . 故选：A. 6．（2020·河南高二期末（理））已知等比数列{an}满足 a1a6＝a3，且 a4+a5＝ ，则 a1＝（ ） A． B． C．4 D．8 【答案】D 【解析】设等比数列 的公比为 ，根据题意可得： ， 解得 . 故选： . na 9 59 36S a= = 5 4a = { }na 1 2a = − 3 2d = 2a 6a 5 2 7 2 11 2 6 2a 6a 4 3 52 3 2 2a = − + × = 3 2 1 8 1 4 { }na q ( )2 5 2 3 1 1 1 3, 1 2a q a q a q q= + = 1 18, 2a q= = D7．（2020·武威第六中学高一期末）在递增等比数列 中， 是其前 项和，若 ， ，则 （ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 是等比数列，所以有 ， ，因为 是递增等比数列，解得 ， ， 所以 ，得 或 （舍）， ，所以 ． 故选：A 8．（2020·四川高一期末）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn＝2an﹣2，则 a2020＝（ ） A．22019 B．22020 C．22021 D．22021﹣2 【答案】B 【解析】当 时， ， 当 时，由 Sn＝2an﹣2， 得 Sn-1＝2an-1﹣2， 两式相减得：an=2an-1 所以数列{an}是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列， 所以 ， ，适合上式， 所以 { }na nS n 2 4 5a a+ = 1 5 4a a⋅ = 7S = 127 2 21 2 63 2 63 8 { }na 21 5 4 4a a a a= ⋅ =⋅ 2 4 5a a+ = { }na 2 1a = 4 4a = 24 2 4a qa = = 2q = 2q = − 1 1 2a = ( )7 1 7 1 127 1 2 a q S q − = =− 1n = 1 2a = 2n ≥ 2n na = 1 2a = 2020 2020 2a =故选：B 二、多选题 9．（2020·福建高一期末）已知数列{an}满足 a1＝﹣11，且 3（2n﹣13）an+1＝（2n﹣11）an，则下列结论正 确的是（ ） A．数列{an}的前 10 项都是负数 B．数列{an} 先增后减 C．数列{an} 的最大项为第九项 D．数列{an}最大项的值为 【答案】BD 【解析】对于 A，将等式整理得 ， 当 ，解得 或 ， ，解得 ， a1＝﹣11，则数列前 项都为负，第七项为正，之后都为正，故 A 错误； 对于 B，对所有的 ，当 时，满足 时， 为负， 时， 乘以一个小于 的正数， 一直增加； 当 时， ， 当 时， ，当 时， 为正数， 1 729 ( )1 2 11 1 ,63 2 13 3 2 11 n n n na a a n Nn n ∗ + −= = ∈− − − 1 063 2 11n > − − 11 2n < 13 2n > 1 063 2 11n < − − 6n =  6 n ∗∈N 11 2n < 10 163 2 11n < < − −  1a { }1,2,3,4,5n∴ ∈ 1a 1 na 5n = ( )6 5 5 1 1 03 3 7a a a −= = − 7n ≥ 7a乘以一个小于 的正数， 在减少，故 B 正确； 对于 C，数列{an} 的最大项为第七项，故 C 错误； 对于 D， ，故 D 正确； 故选：BD 10．（2020·高一月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关， 初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（ ） A．此人第六天只走了 5 里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多 6 里 C．此人第二天走的路程比全程的 还多 1.5 里 D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的 8 倍 【答案】BCD 【解析】根据题意此人每天行走的路程成等比数列， 设此人第 天走 里路，则 是首项为 ，公比为 的等比数列. 所以 ，解得 . 选项 A: ,故 A 错误, 选项 B:由 ，则 ，又 ，故 B 正确. 6a 1 na 7 6 5 4 1 1 1 1 1 1 3 3 9 3 9 5a a a a= − = − × = − × × 3 2 1 1 1 5 1 1 1 5 7 3 9 5 21 3 9 5 21 27a a= − × × × = − × × × × 1 1 1 1 5 7 3 1 3 9 5 21 27 11 729a= − × × × × × = 1 4 n na { }na 1a 1 2q = 6 6 1 1 6 1[1 ( )](1 ) 2= 37811 1 2 aa qS q −− = =− − 1 192a = 5 5 6 1 1192 62a a q  = = × =   1 192a = 6 1 378 192 186S a− = − = 192 186 6− =选项 C: ,而 ， ,故 C 正确. 选项 D: , 则后 3 天走的路程为 , 而且 ,故 D 正确. 故选：BCD 11．（2019·江苏鼓楼�南京师大附中高二开学考试）（多选题）等差数列 是递增数列，满足 ， 前 项和为 ，下列选择项正确的是（ ） A． B． C．当 时 最小 D． 时 的最小值为 【答案】ABD 【解析】由题意，设等差数列 的公差为 ， 因为 ，可得 ，解得 ， 又由等差数列 是递增数列，可知 ，则 ，故 正确； 因为 ， 由 可知，当 或 时 最小，故 错误， 令 ，解得 或 ，即 时 的最小值为 ，故 正确. 故选：ABD 2 1 1192 962a a q= = × = 6 1 94.54 S = 96 94.5 1.5− = 2 1 2 3 1 1 1(1 ) 192 (1 ) 3362 4a a a a q q+ + = + + = × + + = 378 336=42− 336 42 8÷ = { }na 7 53a a= n nS 0d > 1 0a < 5n = nS 0nS > n 8 { }na d 7 53a a= ( )1 16 3 4a d a d+ = + 1 3a d= − { }na 0d > 1 0a < ,A B 2 2 1 7 2 2 2 2n d d d dS n a n n n = + − = −   7 72 2 d n n d − = − = 3n = 4 nS C 2 7 02 2n d dS n n= − > 0n < 7n > 0nS > n 8 D12．（2020·全国高三一模（文））设等比数列 的公比为 q,其前 n 项和为 ,前 n 项积为 ,并满足条件 , ,下列结论正确的是( ) A．S2019 > 2019 2020 1 01 a a − 2019 2020 1 01 a a − < < 2020 2019S S> A 2 2019 2021 20201 1 0a a a− = − < B 2019T { }nT CD AB { }na 1 1a = 1 2n na a n+ = + 4a 13  1 2n na a n+ − = ∴ 2 1 2 1a a− = × 3 2 2 2a a− = ×， ， ， ， ， 故答案为： 14．（2020·高二期中）已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2+n+2，则 a1+a3+a5+a7＝ _____． 【答案】34 【解析】因为 ， 当 时， ； 当 时， . 又当 不满足上式， 故可得 . 则 . 故答案为： . 15．（2020·定远县育才学校高一期末）在等比数列 中，若 是方程 的两根，则 4 3 2 3a a− = ×  1 2 ( 1)n na a n−− = × − ∴ [ ]1 (1 1)( 1)2 1 2 3 ( 1) 2 ( 1)2n n na a n n n + − −− = + + + + − = × = − ∴ 2 1na n n= − + 2 4 4 4 1 13a∴ = − + = 13 2 2nS n n= + + 1n = 1 1 4a S= = 2n ≥ ( ) ( )22 1 2 1 1 2 2n n na S S n n n n n−  = − = + + − − + − + =  1 4a = 4, 1 2 , 2n na n n ==  ≥ 1 3 5 7 4 6 10 14 34a a a a+ + + = + + + = 34 { }na 1 10,a a 24 15 0x x− − ==______. 【答案】 【解析】因为 是方程 的两根， 故可得 ， 又数列 是等比数列， 故可得 . 故答案为： . 四、双空题 16．（2020·湖北高三月考（理））对于正整数 n，设 是关于 x 的方程 的实数根.记 ，其中 表示不超过 x 的最大整数，则 ____________；设数列 的前 n 项和为 则 ___. 【答案】0 1010 【解析】（1）当 时， ， 设 单调递减， ， ，所以 ， 4 7.a a 15 4 − 1 10,a a 24 15 0x x− − = 1 10 15 4a a = − { }na 4 7 1 10 15 4a a a a= = − 15 4 − nx 2 12 1 log 3n n x n nx +− = + 1 2n n a x  =    [ ]x 1a = { }na nS 2020S = 1n = 22 1 log 4− =xx 22 1( ) log 4= − −f x xx 1( ) 1>02 =f (1) 3 0f = − < 1 1 12 < 1 2 3,,2 6a a a + 2 4 1 54a a a=所以 ，解得 ， 所以 ， （2）由（1）得， ， 所以 ， 所以 18．（2020·福建高一期末）已知数列{an}满足 a1＝1，an+1＝3an+1． （1）证明{2an+1}是等比数列； （2）求数列{an}的前 n 项和 Sn． 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）∵ ，∴ ， ，则 ，∴ ， ∴ 是以 3 为首项，公比为 3 的等比数列； （2）由（1）得 ， ， ． 19．（2020·浙江衢州�高一期末）已知等比数列 的前 n 项为和 ，且 ， ，数列 2 1 1 1 3 2 4 1 1 1 4 6 ( ) 4 ( ) a q a a q a q a a q  = + +  = 1 2a q= = 1 1 2n n na a q −= = 12 2n nS += − 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 (2 2)(2 2) 2 2 2 2 n n n n n n n n n ab S S + + + + + + + = = = −− − − − 2 3 3 4 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2n n n nT + + += − + − +⋅⋅⋅+ − = −− − − − − − − 13 3 2 4 n n+ − − 1 1a = 12 1 3 0a + = ≠ 1 3 1n na a+ = + 12 1 6 3 3(2 1)n n na a a+ + = + = + 12 1 32 1 n n a a + + =+ {2 1}na + 2 1 3n na + = 3 1 2 n na −= 2 13 1 3 1 3 1 1 3(1 3 ) 3 3 2 2 2 2 2 1 3 4 n n n n nS n + − − − − − −= + + + = − = −  { }na nS 3 23 0a a− = 2 12S = { }nb中， ， ． 求数列 ， 的通项 和 ； 设 ，求数列 的前 n 项和 ． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）设等比数列 的公比为 ， ∵ ， ， ∴ ， ， 解得 ， ， ∴数列 是等比数列， ∴ ． ∵ ，即数列 是以 2 为公差的等差数列， 又 ， ∴ ； （2）∵ ∵ ， ∴ ， 两式相减得： 1 1b = 1 2n nb b+ − = ( )1 { }na { }nb na nb ( )2 .n n nc a b= { }nc nT 3 , 2 1n n na b n= = − ( ) 13 1 3n nT n += + − { }na q 3 23 0a a− = 2 12S = 2 1 13 0a q a q− = 1 1 12a a q+ = 3q = 1 3a = { }na 3n na = 1 2n nb b+ − = { }nb 1 1b = 2 1nb n= − ( )2 1 3n n n nc a b n= ⋅ = − ⋅ ( ) ( )2 3 11 3 3 3 5 3 2 3 3 2 1 3n n nT n n−= × + × + × + + − + − ( ) ( )2 3 4 13 1 3 3 3 5 3 2 3 3 2 1 3n n nT n n += × + × + × + + − + − ( ) ( )2 3 4 12 3 2 3 3 3 3 2 1 3n n nT n +− = + × + + + + − −， ∴ ． 20．（2020·河南高二期末（文））已知数列{an}的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，满足 2anSn＝an2+4 （n∈N*）. （1）证明：数列{Sn2}为等差数列； （2）求满足 an＜ 的最小正整数 n. 【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【解析】（1）当 时， ， ， 当 时，由 得： ， 化简得 ． 所以数列 是以 4 为首项，4 为公差的等差数列． （2）由（1）知 ，所以 ， 所以 ， 当 时， ， 令 ，即 ， 两边平方整理得 ，所以 ， 因为 ，所以 的最小值为 5． ( ) 16 2 1 3nn += − − − ( ) 13 1 3n nT n += + − 1 2 1n = 2 2 1 12 4S S= + ∴ 2 1 4S = 2n 22 4n n na S a= + 2 1 12( ) ( ) 4n n n n nS S S S S− −− = − + 2 2 1 4n nS S −− = { }2 nS 2 4 ( 1) 4 4nS n n= + − × = 2nS n= 1 1 12 2a S= = > 2n 1 2 2 1n n na S S n n−= − = − − 12 2 1 2n n− − < 1 14n n< + − 151 8n − > 289 64n > *n N∈ n21．（2020·武威第六中学高一期末）设数列 的前 项和为 ， ． （1）求证： 是等比数列； （2）求 的通项公式，并判断 中是否存在三项成等差数列？若存在，请举例说明；若不存在，请 说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）不存在. 【解析】（1）①当 时， ∴ ②当 时 ∵ ∴ ∴ ∴ ．因为 ∴ ∴ 是等比数列 （2）由（1）知 是等比数列， ，公比 ∴ ∵将数列的项转化为曲线 上任意两点确定的线段，除端点外，都在该曲线的上方， { }na n nS 3 12n nS a= − { }na { }na { }na 1n = 1 1 3 12a a= − 1 2a = 2n ≥ 3 12n nS a= − 1 1 3 12n nS a− −= − 1 3 3 2 2n n na a a −= − 13n na a −= 0na ≠ 1 3n n a a − = { }na { }na 1 2a = 3q = 12 3n na −= ⋅ 2 33 xy = ×即无三点共线 ∴不存在三项成等差数列 22．（2020·高一期中）已知数列 中，各项均为正数，其前 项和为 ，且满足 . （Ⅰ）求证数列 为等差数列，并求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，若 对所有的 和 都成立， 求实数 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）证明见解析， ；（Ⅱ） . 【解析】（Ⅰ）证明：∵ ， ∴当 时， ， 整理得， ，又 ， ∴数列 为首项和公差都是 1 的等差数列. ∴ ，又 ，∴ ∴ 时， ，又 适合此式 ∴数列 的通项公式为 ； （Ⅱ）解：∵ ∴ { }na n nS 22 1n n na S a− = { }2 nS { }na 4 2 4 1n n b S = − { }nb n nT 2 1 3nT ax ax> − − *n N∈ x∈R a 1= − −na n n ( ]4,0− 22 1n n na S a− = 2n ≥ ( ) ( )2 1 12 1n n n n nS S S S S− −− − − = ( )2 2 1 1 2n nS S n−− = ≥ 2 1 1S = { }2 nS 2 nS n= 0nS > =nS n 2n ≥ 1 1−= − = − −n n na S S n n 1 1 1a S= = { }na 1= − −na n n ( )( )4 2 2 1 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n b S n n n n = = = −− − + − + 1 1 1 1 1 11 ... 13 3 5 2 1 2 1 2 1nT n n n = − + − + + − = −− + +∵ ，∴ 依题意有 ，即 当 时， 恒成立； 若 ，则 ，解得 . ∴ 的取值范围为 . *n N∈ 1 2 3nT T≥ = 22 1 3 3ax ax> − − 2 1 0ax ax− − < 0a = 1 0− < 0a ≠ 2 0 4 0 a a a