专题09 解三角形（新高考地区专用）-2021届高三《新题速递·数学》9月刊（适用于高考复习）（解析版）

专题 09 解三角形 一、单选题 1．（2020·高一期末）已知 的三个内角 所对的边分别为 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理知， , 即 ， 故选：B 2．（2020·广东高一期末）在△ABC 中，已知 A＝75°，B＝45°，b＝4，则 c＝（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为 A＝75°，B＝45°，所以 ， 由正弦定理 ，得 ， 故选：D 3．（2020·眉山市东坡区多悦高级中学校高一期中）在三角形 中，若三个内角 的对边分别是 ， ， ， ，则 的值等于（ ） ABC , ,A B C , ,a b c 30 , 45A B= =  a b = 2 2 2 6 2 2 3 sin sin a b A B = sin sin30 2 sin sin 45 2 a A b B °= = =° 6 4 3 2 6 60C = ° sin sin b c B C = 34sin 4 sin 60 2 2 6sin sin 45 2 2 b Cc B ×⋅ ⋅ °= = = =° ABC , ,A B C , ,a b c 1a = 4 2c = 45B = ° sinCA． B． C． D． 【答案】B 【解析】在三角形 中， ， ， ， 由余弦定理得： ， ， 所以 ， 由正弦定理得： ， 所以 ， 故选：B 4．（2020·广东高一期末）△ABC 中，角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c．已知 a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC 的面积为（　　） A．6 B．6 C． D．14 【答案】A 【解析】由题意得， ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 4 41 4 5 4 25 4 41 41 ABC 1a = 4 2c = 45B = ° 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 21 32 2 1 4 2 252 = + − × × × = 5b = sin sin b c B C = 24 2sin 42sin 5 5 c BC b × = = = 3 21 4 2 2 2 9 64 49 1cos 2 2 3 8 2 b c aA bc + − + −= = =× × (0, )A π∈ 2 3sin 1 cos 2A A= − = 1 1 3sin 3 8 6 32 2 2ABCS bc A= ⋅ = × × × = 故选：A 5．（2020·武威第六中学高一期末）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. 若满足 的 三角形有两个，则边长 a 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图， ，垂线段 ， 由正弦定理知，三角形有两个解，则满足 ，即 . 故选：C. 6．（2020·四川射洪中学高一期中）在△ 中， ， ， ，则△ 的外接圆半 径 R 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三角形的面积公式可得 ，可得 ， 由余弦定理得 ，则 ， 由正弦定理可知，△ 的外接圆直径为 ， 2, 30b A= = ° 0 1a< < 1a = 1 2a< < 2a ≥ 2, 30b A= = ° 1 1CB = sinb A a b< < 1 2a< < ABC 60A∠ = ° 1b = 3ABCS =  ABC 39 3 13 33 4 33 3 1 1 3sin 1 32 2 2S bc A c= = × × × = 4c = 2 2 2 2 2 12 cos 1 4 2 1 4 132a b c bc A= + − = + − × × × = 13a = ABC 13 2 2 3913sin 33 3 2 a A = = × =所以半径为 . 故选：A. 7．（2020·山东高一期末）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 acosA＝bcosB，且 c2＝ a2+b2﹣ab，则△ABC 的形状为（ ） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解析】因为 acosA＝bcosB，故可得 ，即 ， 又 ，故可得 或 ； 又 c2＝a2+b2﹣ab，即 ，又 ，故可得 . 综上所述， . 故三角形 是等边三角形. 故选： . 8．（2020·广东高一期末）如图，为了测量河对岸 A，B 两点间的距离，在河的这边测定 CD＝1km，∠ADB ＝∠CDB＝30°，∠DCA＝45°，∠ACB＝60°，则 A、B 两点距离是（ ） R = 39 3 sinAcosA sinBcosB= 2 2sin A sin B= ( ), 0,A B π∈ A B= 2A B π+ = 1 2cosC = ( )0,C π∈ 60C = ° 60A B C= = = ° ABC DA． km B． km C． km D． km 【答案】C 【解析】由题意可得 ， ， 在 中，由正弦定理得 ， 在 中，由正弦定理得 ， 在 中，由余弦定理得 ， 所以 km. 故选：C. 二、多选题 9．（2020·盐城市伍佑中学高一期中）在△ABC 中，三个内角分别为 A，B，C，下列结论正确的是（ ） A． B．若 ，则三角形 A，B，C 是锐角三角形 C． D．若 ，则 A=B 【答案】AD 【解析】对 A： ，故正确； 3 3 10 2 2 − 15 5 2 − 2 2 2 75DAC∠ =  45DBC∠ =  ADC sin sin CD ADCAC DAC ⋅ ∠= ∠ 31 2 sin 75 × =  3 3 2 62 22 6 4 −= = + BDC sin sin CD BDCBC DBC ⋅ ∠= ∠ 11 22 22 2 × = = ACB△ 2 2 2 2 cosAB AC BC AC BC ACB= + − × × ⋅ ∠ 2 2 3 2 6 2 3 2 6 2 122 2 2 2 2    − −= + − × × ×          20 10 3 5(4 2 3) 4 4 − −= = 5 15 5( 3 1)2 2AB −= × − = sin( ) sinB C A+ = cos 0A > cos( ) cosB C A+ = sin sinA B= sin( ) sin( ) sinB C A Aπ+ = − =对 B：若 ，则 A 为锐角，但 B 或 C 可能是钝角，故错误； 对 C： ，故错误； 对 D： ，则 ，故 ，故正确. 故答案为：AD. 10．（2020·江苏建邺�高一期中）在 中，内角 所对的边分别为 ，下列命题正确的有 （ ） A．若 ，则 一定为直角三角形 B．若 ，则 一定是钝角三角形 C．若 ，则 为锐角三角形 D．若 ，则 是等腰三角形 【答案】ABD 【解析】对于 A 选项，由正弦定理得 ， 由余弦定理得 ， 即 ， 即 ， ， ， ， cos 0A > cos( ) cos( ) cosB C A Aπ+ = − = − sin sinA B= a b= A B= ABC , ,A B C , ,a b c ( )sin sin sin cos cosA B C A B+ = + ABC 0 tan tan 1A B< ⋅ < ABC 2 2 2a b c+ > ABC 2 cosa b C= ABC ( )cos cosa b c A B+ = ⋅ + 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a a c ba b c bc ac  + − + −+ = +   2 2 2 2 2 2 2 2 b c a a c ba b b a + − + −+ = + 2 2 2 2 3 2 2 32 2a b ab ab ac a a b bc b+ = + − + + − 2 2 2 3 2 3a b ab ac a bc b+ = − + − ( ) ( )2 2 2 3 3a b ab a b c a b+ = + − + ( ) ( ) ( )2 2 2ab a b a b c a ab b + = + − − + ，则 ，所以三角形 是直角三角形.故 A 正确. 对于 B 选项，由于 ，所以 ，所以 为锐角， ，所以 ， ， 所以 ，即 ，所以 ， 而 ，所以 为钝角，所以三角形 是钝角三角形.所以 B 选项正确. 对于 C 选项，取 ，则 ，但 ，所以三角形 是直角三角形，所 以 C 选项错误. 对于 D 选项，由余弦定理得 ，即 ，所以 即 ，所以三角形 是等腰三角形，所以 D 选项正确. 综上所述，正确的选项为 ABD 故答案为：ABD 11．（2020·江苏海陵�高一月考）三角形有一个角是 ，这个角的两边长分别为 8 和 5，则 （ ）． A．三角形另一边长为 7 B．三角形的周长为 20 C．三角形内切圆周长为 D．三角形外接圆面积为 【答案】ABD 【解析】可得另一边长为 ， 三角形的周长为 20，则 A 正确，B 正确； 设内切圆半径为 ， ( )2 2 2ab c a ab b= − − + 2 2 2c a b= + ABC 0 tan tan 1< > ,A B cos 0,cos 0> >A B sin sin0 1cos cos A B A B < < 0 sin sin cos cosA B A B< < cos cos sin sin 0A B A B− > ( )cos 0A B+ > ( )cos cos 0C A B= − + < 0 C π< < C ABC 3, 5, 4a b c= = = 2 2 2a b c+ > 2 2 2a c b+ = ABC 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b ca b ab a + − + −= ⋅ = 2 2 2 2a a b c= + − 2 2b c= b c= ABC 60° 3π 49 3 π 2 28 5 2 8 5cos60 7+ − × × ° = r则 ， 则 ， 则内切圆周长为 ，则 C 不正确； 设外接圆半径为 ，则 ， , 其面积为 ， 则 D 正确． 故选：ABD. 12．（2020·高密市教育科学研究院高三其他）在边长为 2 的等边三角形 中，点 分别是边 上的点，满足 且 ，（ ），将 沿直线 折到 的位置.在翻折过程 中，下列结论不成立的是（ ） A．在边 上存在点 ，使得在翻折过程中，满足 平面 B．存在 ，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面 平面 C．若 ，当二面角 为直二面角时， D．在翻折过程中，四棱锥 体积的最大值记为 ， 的最大值为 【答案】ABC 【解析】对于 A.在边 上点 F，在 上取一点 N，使得 ，在 上取一点 H，使得 ，作 交 于点 G，如图所示， 1 1(8 7 5) 8 5sin 602 2r+ + = × × ° 3r = 2 2 3rπ π= R 72 sin 60R = ° 7 3 3R = 2 49 3R ππ = ABC ,D E ,AC AB //DE BC AD AC λ= ( )01λ ∈ ， ADE DE A DE′△ A E′ F //BF A CD′ 10 2 λ ∈    , A BC′ ⊥ BCDE 1 2 λ = A DE B′− − | | 10 4A B′ = A BCDE′− ( )f λ ( )f λ 2 3 9 A E′ A D′ / /FN ED ED / /NH EF / /HG BE BC则可得 平行且等于 ，即四边形 为平行四边形， ∴ ，而 始终与平面 相交， 因此在边 上不存在点 F，使得在翻折过程中，满足 平面 ，A 不正确. 对于 B， ，在翻折过程中，点 在底面 的射影不可能在交线 上，因此不满足平面 平面 ，因此 B 不正确. 对于 C. ，当二面角 为直二面角时，取 的中点 M，如图所示： 可得 平面 ， 则 ，因此 C 不正确； 对于 D.在翻折过程中，取平面 AED⊥平面 BCDE，四棱锥 体积 ， ， ，可得 时，函数 取得最大值 FN BG BGNF / /NG BE GN ACD A E′ //BF A CD′ 10 2 λ ∈    , A′ BCDE BC A BC′ ⊥ BCDE 1 2 λ = A DE B′− − ED AM ⊥ BCDE 2 2 2 23 1 1 10 10( ) 1 ( ) 2 1 cos1202 2 2 2 4A B AM BM′ = + = + + − × × × ° = ≠ A BCDE′− ( ) 31 33 BCDEf Sλ λ λ λ= ⋅ ⋅ = − ( )01λ ∈ ， ( ) 21 3f λ λ′ = − 3 3 λ = ( )f λ，因此 D 正确. 综上所述，不成立的为 ABC. 故选：ABC. 三、填空题 13．（2020·广东高一期末）设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a+c＝2b，3sinB＝5sinA， 则 C＝_____． 【答案】 【解析】因为 ，则由正弦定理可得 ，所以 ， 又 ，所以 ， 由余弦定理可得 ， 又因为 ， 所以 ， 故答案为： ． 14．（2020·赤峰二中高三三模（理））在锐角 中，角 的对边分别为 ， 且 ，则角 ___. 【答案】 【解析】 , ( ) 3 1 2 313 3 9f λ  = − =   2 3 π 3sin 5sinB A= 3 5b a= 3 5a b= 2a c b+ = 72 5c b a b= − = 2 2 2 2 2 2 9 49 125 25cos 32 22 5 b b ba b cC ab b b + −+ −= = = − ⋅ ⋅ (0, )C π∈ 2 3C π= 2 3 π ABC , ,A B C , ,a b c 2a = 2 24 bc b c+ = + A = 3 π  2a =, 由余弦定理得: ,又 . 故答案为: . 15．（2019·四川青羊�石室中学高一期末）已知函数 f（x）＝Asin（ x+φ），x∈R，A＞0，0＜φ＜ ．y＝ f（x）的部分图象，如图所示，P，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点 P 的坐标为（1，A），点 R 的坐 标为（1，0），∠PRQ＝ ，则 sin∠PQR＝_____． 【答案】 【解析】过点 作 延长线的垂线，垂足为 ，连接 ，如下图所示 ，则 由正弦定理可知 2 2 24 bc a bc b c+ = + = +∴ 2 2 2b c a bc∴ + − = 2 2 2 1cos 2 2 2 b c a bcA bc bc + −= = = 0 3A A ππ< < ∴ =， 3 π 3 π 2 π 2 3 π 21 14 Q PR D PQ 2 6 3 T π π= = 32 TDQ = = 6xRQ RQD π∠ = ∠ = 3tan 3 36 3DR DQ π∴ = ⋅ = × = 2 23, 2 3, 12 9 21PR DP PQ PD PQ∴ = = = + = + = sin sin PQ PR PRQ PQR =∠ ∠则 故答案为： 四、双空题 16．（2020·全国高三二模（文））在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ，则 的最大值为______；若 ，则 面积的最大值为______． 【答案】 【解析】由 ，可得 ， 即 ，由正弦定理，可得 ， 由余弦定理，可得 ，当且仅当 时，等号成立， 所以 ，于是 的最大值为 ， 面积 ． 33sin 212sin 1421 PR PRQPQR PQ ⋅⋅ ∠∠ = = = 21 14 ABC A B C a b c cos2 2sin sin 1B A C+ = B 2b = ABC 3 π 3 cos2 2sin sin 1B A C+ = 21 2sin 2sin sin 1B A C− + = 2sin sin sinB A C= 2b ac= 2 2 2 2 1cos 2 2 2 a c b ac acB ac ac + − −= ≥ = a c= 0 3B π< ≤ B 3 π ABC 1 1 3sin 4 32 2 2S ac B= ≤ × × =故答案为： ， . 五、解答题 17．（2015·陕西高考真题（文）） 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．向量 与 平行． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ， 求 的面积． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ． 【解析】（1）根据平面向量 ，列出方程，在利用正弦定理求出 的值，即可求解角 的大小； （2）由余弦定理，结合基本不等式求出 的最大值，即得 的面积的最大值. 试题解析：（1）因为向量 与 平行， 所以 ， 由正弦定理得 ， 又 ，从而 tanA＝ ，由于 0 6sin 4C > 6 2sin 4C += 2 2a b c+ = 2 sin sin 2 sinA B C+ = ( )sin sin sin cos cos sinB A C A C A C= + = + 3A π= 3 3 12 cos sin 2sin2 2 2C C C∴ × + + = 3sin 6 3cosC C− = 3sin 3cos 2 3sin 66C C C π − = − =   2sin 6 2C π ∴ − =   2(0, ), ( , )3 6 6 2C C π π π π∈ − ∈ − ,6 4 4 6C C π π π π− = = + 6 2sin sin( )4 6 4C π π += + = ABC∆ 45B °∠ = 10AC = 2 5cos 5C∠ = D AB AB cos A CD 13【解析】（（1）由 可知， 是锐角， 所以， 由正弦定理 , （2） 由余弦定理: 20．（2019·全国高考真题（理）） 的内角 的对边分别为 ，已知 ． （1）求 ； （2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围． 【答案】(1) ;(2) . 【解析】(1)根据题意 ，由正弦定理得 ，因为 ， 故 ，消去 得 ． ， 因为故 或者 ，而根据题意 ，故 2 5cos 05ACB∠ = > ACB∠ 2 2 2 5 5sin 1 cos 1 5 5ACB ACB  ∠ = − ∠ = − =    sin sin AC AB B ACB = ∠ 10 5sin 2sin 52 2 ACAB ACBB = ∠ = × = cos cos(180 45 ) cos(135 )A C C° ° °= − − = − 2 10( cos sin ) ,2 10C C= − + = − 2 2 102 cos 1 10 2 1 10 ( ) 1310CD AD AC AD AC A= + − ⋅ = + − × × × − = ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin sin2 A Ca b A + = B ABC∆ 1c = ABC∆ 3B π= 3 3( , )8 2 sin sin2 A Ca b A + = sin sin sin sin2 A CA B A + = 0 A π< < sin 0A > sin A sin sin2 A C B + = 0 < B π< 0 2 A C π+< < 2 A C B + = 2 A C B π+ + = A B C π+ + =不成立，所以 ，又因为 ，代入得 ，所以 . (2)因为 是锐角三角形，由（1）知 ， 得到 ， 故 ，解得 . 又应用正弦定理 ， ， 由三角形面积公式有： . 又因 ,故 ， 故 . 故 的取值范围是 21．（2020·四川省冕宁中学校高三三模（文））已知 中，角 、 、 所对边的长分别为 、 、 ，且 . （1）求角 的大小； （2）记 的外接圆半径为 ，求 的值. 2 A C B π+ + = 2 A C B + = A B C π+ + = 3B π= 3B π= ABC 3B π= A B C π+ + = 2 3A C π+ = 0 2 20 3 2 C C π π π  < 1cos 2A∴ = − 0 A π<