专题13 解析几何（新高考地区专用）-2021届高三《新题速递·数学》9月刊（适用于高考复习）（解析版）

专题 13 解析几何 一、单选题 1．（2020·武威第八中学高二期末（理））已知椭圆 ： 的一个焦点为 ，则 的离 心率为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，可知 ，因为 ， 所以 ，即 ， 所以椭圆 的离心率为 ，故选 C. 2．（2020·运城市景胜中学高二月考（文））已知椭圆 的离心率为 ，直线 与椭圆 交于 两点， 为坐标原点，且 ，则椭圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线 与椭圆在第一象限的交点为 ， C 2 2 2 1( 0)4 x y aa + = > (2 0)， C 1 3 1 2 2 2 2 2 3 2c = 2 4b = 2 2 2 8a b c= + = 2 2a = C 2 2 22 2 e = = ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 2 2 2x = C ,A B O OA OB⊥ 2 2 12 x y+ = 2 2 14 2 x y+ = 2 2 18 4 x y+ = 2 2 16 3 x y+ = 2x = ( )02,A y因为 ，所以 ， 即 ，由 可得 ， ， 故所求椭圆的方程为 . 故选 D. 3．（2020·全国高三其他（文））设 P 是椭圆 上一点，M，N 分别是两圆： 和 上的点，则 的最小值、最大值分别为（ ） A．18，24 B．16，22 C．24，28 D．20，26 【答案】C 【解析】椭圆的两个焦点坐标为 ，且恰好为两个圆的圆心坐标为 所以 ，两个圆的半径相等且等于 1 所以 所以选 C 4．（2020·武威第八中学高二期末（理））已知双曲线 : 的左右焦点分别为 , 为 的右 支上一点,且 ,则 的面积等于 OA OB⊥ 0 2y = ( )2, 2A 2 2 2 2 2 2 2 1, 2 ,2 a b c a a b c  + =   =  = +  2 6a = 2 3b = 2 2 16 3 x y+ = 2 2 1169 25 x y+ = ( )2 212 1x y+ + = ( )2 212 1x y− + = PM PN+ ( ) ( )1 212,0 , 12,0F F− 1 2 26PF PF+ = ( ) 1 2min 2 24PM PN PF PF r+ = + − = ( ) 1 2max 2 28PM PN PF PF r+ = + + = C 2 2 19 16 x y− = 1 2,F F P C 2 1 2| | || PF F F= 1 2PF F△A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵双曲线 中 ∴ ∵ ∴ 作 边上的高 ，则 ∴ ∴ 的面积为 故选 C 5．（2020·运城市景胜中学高二月考（文））点 是双曲线 ： 与圆 ： 的一个交点，且 ，其中 、 分别为 的左右焦点，则 的离心率 为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵a2+b2＝c2， ∴圆 C2 必过双曲线 C1 的两个焦点， ， 24 36 48 96 3, 4, 5a b c= = = ( ) ( )1 25,0 , 5,0F F− 2 1 2PF F F= 1 22 6 10 16PF a PF= + = + = 1PF 2AF 1 8AF = 2 2 2 10 8 6AF = − = 1 2PF F∆ 1 2 1 1 16 6 482 2PF AF⋅ = × × = P 1C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2C 2 2 2 2x y a b+ = + 1 2 2 12 PFF PFF∠ =∠ 1F 2F 1C 1C 3 1 2 + 3 1+ 5 1 2 + 5 1− 1 2 2F PF π∠ =2∠PF1F2＝∠PF2F1 ，则|PF2|＝c， c， 故双曲线的离心率为 ． 故选 B． 6．（2020·山西迎泽�高三二模（文））已知点 为抛物线 的焦点，过点 的 直线 交 于 、 两点，与 的准线交于点 ，若 ，则 的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如下图所示，分别过点 、 作抛物线 的准线 的垂线，垂足分别为点 、 ， ，则点 为线段 的中点， ， 由抛物线的定义可得 ， ， ， ， ， ， ， 3 π= 1 3PF = 2 3 1 3 c c c = + − F 2: 2 ( 0)C y px p= > F l C A B C M 0AB AM+ =   AB 3 4 p 2p 3p 9 4 p A B C l D E 0AB AM+ =    A BM 2BE AD∴ = AD AF= BE BF= 2BF AF∴ = 3AM AB AF= = //AD FN 3 4 AD AM FN FM ∴ = = 3 3 4 4 pAD FN∴ = =因此， . 故选：D. 7．（2020·湖北高三期中（理））若抛物线 与圆 x2+y2﹣2ax+a2﹣1＝0 有且只有两个不同的公共点， 则实数 a 的取值范围为（ ） A． B． C．﹣1＜a＜1 D．﹣1＜a＜1 或 【答案】D 【解析】联立抛物线与圆的方程可得 ，整理得， ，由题意知，方程有两个相等的正根或有一个正根，一个负根， 则 或 ， 解得 或 ， 故选:D. 8．（2020·湖南雁峰�衡阳市八中高三其他（理））等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物 线 的准线交于 两点， ；则 的实轴长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 93 3 4AB AF AD p= = = 2 1 2y x= 17 8a < 17 8a = 17 8a = 2 2 2 2 1 2 2 1 0 y x x y ax a  =  + − + − = 2 21 2 1 02x a x a + − + − =   ( )2 21 172 4 1 2 02 4 1 2 02 a a a a   ∆ = − − − = − + =       − − >    2 172 04 1 0 a a ∆ = − + >  − > 2 3 3 A A b A A C M N 3y x= ± 3 3y x= ± 60MAN∠ = ° 120MAN∠ = ° 2 2 2 2: 1 y ,x y bC xa b a − = = ±的渐近线方程为 2 3 3 c a = ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 31 , ,3 3 3 c a b b b b a a a a a 则 则 ，+= = + = = = ± 3 3y x= ±取 MN 的中点 P,连接 AP,利用点到直线的距离公式可得 , 则 ， 所以 则 故选 BC 10．（2019·福建仓山�高二期中）关于 x,y 的方程 ，(其中 ) 对应的曲线可能是 ( ) A．焦点在 x 轴上的椭圆 B．焦点在 y 轴上的椭圆 C．焦点在 x 轴上的双曲线 D．焦点在 y 轴上的双曲线 E.圆 【答案】ABCE 【解析】由题，若 ，解得 ， ，解得 或 ，则 d AP ab c = = cos ab AP acPAN AN b c ∠ = = = 2 2 1cos cos2 2 1 2 aMAN PAN c ∠ = ∠ = × − = 60MAN∠ = ° 2 2 2 2 12 3 2 x y m m + =+ − 2 2 3m ≠ 2 22 3 2m m+ > − 2 2m− < < 23 2 0m − > 6 3m < − 6 3m >当 时，曲线是焦点在 x 轴上的椭圆，A 正确；若 ，解得 或 ，此时曲线是焦点在 y 轴上的椭圆，B 正确；若 ，解得 ， 此时曲线是焦点在 x 轴上的双曲线，C 正确；因为 时，m 无实数解，所以 D 错误；当 时， 方程为 ，所以 E 正确，故选 ABCE. 11．（2020·浙江高三月考） 为椭圆 ： 上的动点，过 作 切线交圆 ： 于 ， ，过 ， 作 切线交于 ，则（ ） A． 的最大值为 B． 的最大值为 C． 的轨迹是 D． 的轨迹是 【答案】AC 【解析】根据题意，作图如下： 6 6( 2, ) ( , 2)3 3x∈ − − ∪ 2 23 22m m− > + 2m < − 2m > 23 2 0m − < 6 6 3 3m− < < 2 2 0m + < 2 2m = 2 2 4x y+ = P 1C 2 2 14 3 x y+ = P 1C 2C 2 2 12x y+ = M N M N 2C Q OPQS 3 2 OPQS 3 3 Q 2 2 136 48 x y+ = Q 2 2 148 36 x y+ =不妨设点 的坐标为 ，点 坐标为 ， 故切点 所在直线方程为： ； 又点 为椭圆上的一点， 故切线方程 所在直线方程为： ； 故可得 .即 不妨设直线 交 于点 ，故 设直线 方程为： ， 故 ，又 ， 故可得三角形 的面积 ， 当且仅当 ，且 时，即 时取得最大值. 因为点 在椭圆上，故 ， 又 ， 故可得 ，整理得 . P ( )1 1,x y Q ( ),m n MN 12mx ny+ = P MN 1 1 14 3 x yx y+ = 1 1,12 4 12 3 x ym n= = 1 13 , 4m x n y= = MN OQ H PH OQ⊥ OQ 0nx my− = 1 1 2 2 nx myPH m n −= + 2 2OQ m n= + OPQ 1 1 1 1 2 2S OQ PH nx my= × × = − 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 32 2 2x y x y x y x y= − = = 22 2 2 2 1 1 1 11 1 1 312 122 4 3 2 4 4 3 2 x y x y = × × ≤ × × + =    2 2 1 1 4 3 x y= 2 2 1 1 14 3 x y+ = 2 2 1 1 32, 2x y= = P 2 2 1 1 14 3 x y+ = 1 13 , 4m x n y= = 2 21 1 14 9 3 16 m n× + × = 2 2 136 48 m n+ =故动点 的轨迹方程为： . 故选： . 12．（2020·山东威海�高三二模）已知抛物线 上三点 ， ， ， 为抛物线的焦点，则（ ） A．抛物线的准线方程为 B． ，则 ， ， 成等差数列 C．若 ， ， 三点共线，则 D．若 ，则 的中点到 轴距离的最小值为 2 【答案】ABD 【解析】把点 代入抛物线 ，得 ，所以抛物线的准线方程为 ，故 A 正确； 因为 ，所以 ， ， ，又 由 ，得 ， 所以 ，即 ， ， 成等差数列，故 B 正确； 因为 A，F，C 三点共线，所以直线斜率 ，即 ，所以 ，化 简得， ，故 C 不正确； 设 AC 的中点为 ，因为 ， ，所以 ，得 ， 即 的中点到 轴距离的最小值为 2 ，故 D 正确. Q 2 2 136 48 x y+ = AC ( )2 2 0y px p= > ( )1 1,A x y ( )1,2B ( )2 2,C x y F 1x = − 0FA FB FC+ + =    FA FB FC A F C 1 2 1y y = − 6AC = AC y (1,2)B 2 2y px= 2p = 1x = − 1 1 2 2( , ), (1,2), ( , ), (1,0)A x y B C x y F 1 1( 1, )FA x y= − (0,2)FB = 2 2( 1, )FC x y= − 0FA FB FC+ + =    1 2 2x x+ = 1 21 1 4 2FA FC x x FB+ = + + + = =   FA FB FC CFAF kk = 1 2 1 21 1 y y x x =− − 1 2 2 2 1 2 1 11 14 4 y y y y = − − 1 2 4y y = − 0 0( , )M x y AF CF AC+ ≥ 1 2 01 1 2 2AF CF x x x+ = + + + = + 02 2 6x + ≥ 0 2x ≥ AC y故选：ABD 三、填空题 13．（2020·全国高三其他（理））已知抛物线 ， ，若抛物线 上存在点 ， 使得过点 的切线 ，设 与 轴交于点 ，则 的面积为______. 【答案】4 【解析】由 可得 ， ， 所以直线 的斜率 ， 又直线 的斜率为 ， 因为切线 ，所以 . 又 ，解得 ， ， 不妨设 ，则直线 的方程为 ，即 . 所以 ，则 的面积为 . 故答案为：4. 14．（2020·安徽高三其他（文））已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆 于 ， 两点，若 的中点坐标为 ，则椭圆 的方程为__． 【答案】 2: 4C x y= ( )0,3A C ( )( )0 0 0, 0P x y x ≠ P l PA⊥ l y E APE 2 4x y= 21 4y x= 1 2y x′ = l 0 0 1 2x xk y x= =′= AP 0 0 3y x − l PA⊥ 0 0 0 3 12 x y x −⋅ = − 2 0 04x y= 0 2x = ± 0 1y = ( )2,1P l 1 2y x− = − 1y x= − ( )0, 1E − APE 1 4 2 42 × × = 2 2 : 1( 0)2 x yE mm m + = > F F E A B AB (1, 1)− E 2 2 118 9 x y+ =【解析】由题意可知，点 ， ，所以直线 的斜率为 ， 设 ， 两点的坐标分别为 ， ， ， ， 则 ，两式相减，整理得， ， 所以 ，解得 ， 椭圆 的方程为 ． 故答案为： ． 15．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期末（理））设抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交抛物线 于 两点，过 的中点 作 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点 ，若 ，则直线 的方 程为__________． 【答案】 【解析】 抛物线方程为 ， (F m 0) AB 1 1 k m = − A B 1(x 1)y 2(x 2 )y 2 2 1 1 2 2 2 2 12 12 x y m m x y m m  + =  + = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 ( 1) 2 2 y y x x x x y y − + ×= − = − =− + × − × 1 1 21 k m = = − 9m = ∴ E 2 2 118 9 x y+ = 2 2 118 9 x y+ = 2 4y x= F F l ,A B AB M y P 3 2PF = l 2 2 0x y− − =  2 4y x=抛物线焦点为 ，准线为 ， 设 ， 因为 在第一象限，所以直线 的斜率 ， 设直线 方程为 ， 代入抛物线方程消去 ，得 ， ， 过 的中点 作准线的垂线与抛物线交于点 ， 设 点的坐标为 ，可得 ， ， ， 得到 ，可得 ， ， ，解之得 ， 所以 ，直线方程为 ，即 , ，故答案为 . 四、双空题 ∴ ( )1,0F : 1l x = − ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y P AB 0k > AB ( )1y k x= − y ( )2 2 2 22 4 0k x k x k− + + = 2 1 2 1 22 2 4 , 1kx x x xk +∴ + = =  AB M P P ( )0 0,x y ( )0 1 2 1 2y y y= + ( ) ( )1 1 2 21 , 1y k x y k x= − = − ( ) 2 1 2 1 2 2 2 4 42 2ky y k x x k k kk k +∴ + = + − = ⋅ − = 0 0 2 2 1,y xk k = ∴ = 2 1 2,P k k      3 2PF = 2 2 2 1 4 31 2k k  ∴ − + =   2 2k = 2k = ( )2 1y x= − 2 2 0x y− − = 2 2 0x y− − =16．（2020·四川金牛�成都实外高三三模）已知抛物线方程 ， 为焦点， 为抛物线准线上一点， 为线段 与抛物线的交点，定义： .已知点 ，则 ______；设点 ，则 的值为____. 【答案】4 2 【解析】（1） ， ， ， 直线 的方程为 ，与 联立得： ， 解得： 或 ， ， ； （2）设准线与 轴的交点为 ， 于 ， ， 故答案为： . 2 4y x= F P Q PF | |( ) | | PFd P FQ = ( 1,4 2)P − ( )d P = ( 1, )( 0)P t t− > 2 ( ) | |d P PF−  ( 1,4 2)P − (1,0)F ∴| | 6PF = ∴ PF 2 2( 1)y x= − − 2 4y x= 22 5 2 0x x− + = 1 2x = 2x = ∴ 1( , 2)2Q ∴ | | 6( ) 41| | 12 PFd P FQ = = = + x M QN PM⊥ N ∴ | | | | | | | |2 ( ) | | 2 | | 2 | | 2 2 | || | | | | | PF PQ QF PQd P PF PF PF PFFQ FQ FQ +− = − = − = + − | | | |2 2 | | 2 2 | | 22| | PQ PFPF PFNQ = + − = + − = 4,2五、解答题 17．（2020·全国高三其他（文））已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上任意一点， 的最小值为 1． （1）求 的值； （2）若点 在抛物线 上，过点 的直线与抛物线 交于 ， （ ， 与点 不重合）两点， 直线 ， 与抛物线 的准线相交于 ， 两点，求以线段 为直径的圆所过的定点． 【答案】（1）2；（2）以 为直径的圆所过定点的坐标为 和 ． 【解析】（1）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 则 ，可得 ，则 ， 故 的值为 2． （2）由（1）知抛物线 的标准方程为 ，代入 可求得 ， ( )2: 2 0C y px p= > F A AF p ( ),4B m C F C P Q P Q B BP BQ C M N MN MN ( )3,0− ( )1,0 A ( )( )0 0 0, 0x y x ≥ F ,02 p     0 2 2 p pAF x= + ≥ 12 p = 2p = p C 2 4y x= 4y = 4m =故点 的坐标为 ． 设点 ， 的坐标分别为 ， ，直线 的方程为 ， 联立方程 消去 后整理，得 ， 则 ， ， 所以直线 的斜率为 ， 则直线 的方程为 ，代入 ， 有 ，可得点 的坐标为 ，同理点 的坐标为 ． 由 可得 中点的坐标为 ． 所以 ， B ( )4,4 P Q ( )1 1,x y ( )( )2 2 1 2, 4, 4x y x x≠ ≠ PQ 1ay x= − 2 4 , 1, y x ay x  =  = − x 2 4 4 0y ay− − = 1 2 4y y a+ = 1 2 4y y = − BP ( )11 1 2 2 11 1 1 4 44 4 4 4 16 444 yy y yx y y −− −= = =− − +− BP ( ) 1 44 44y xy − = −+ 1x = − ( )1 1 1 4 1204 4 4 yy y y −= − =+ + M ( )1 1 4 11, 4 y y − − +  N ( )2 2 4 11, 4 y y − − +  ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 1 4 4 14 1 4 1 1 144 4 4 4 4 4 y y y yy y y y y y y y y y − + + + − − −  − −  + = + = + + + + + +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 3 8 4 3 16 3 16 12 16 4 16 4 12 3 4 3 y y y y y y y y a y y y y y y y y a + + − + −    + − −   = = = =+ + + + + + + + MN 6 81, 4 3 a a − − +  ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 14 20 204 4 4 4 4 16 y y y y y yMN y y y y y y y y − − − −= − = =+ + + + + + + ( ) ( ) ( )2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 16 120 5 204 12 3 4 3 y y y y y y a y y y y a + − + + += = =+ + + + +以 为直径的圆的方程为 ． 由对称性知，以 为直径的圆若过定点，必在 轴上，故当 时， ， 解得 或 故以 为直径的圆所过定点的坐标为 和 ． 18．（2020·北京海淀�人大附中高三其他）已知椭圆 ： 的离心率为 ，过 的 左焦点做 轴的垂线交椭圆于 、 两点，且 . （1）求椭圆 的标准方程及长轴长； （2）椭圆 的短轴的上下端点分别为 ， ，点 ，满足 ，且 ，若直线 ， 分别与椭圆 交于 ， 两点，且 面积是 面积的 5 倍，求 的值. 【答案】（1）椭圆 的标准方程为： ，长轴长为 4（2） 【解析】（1）因为椭圆 的左焦点横坐标为 , 由 及 ,得 , 故 ,又 ,解得： , 所以,椭圆 的标准方程为： ,长轴长为 4. MN ( ) ( )22 2 2 100 16 81 4 3 (4 3) aax y a a +− + + − = + +  MN x 0y = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 22 2 2 2 2 2 4 25 1 (3 4)100 1 4 16 24 9 4 4 36 81 44 34 3 4 3 4 3 4 3 a aa a a aax aa a a a  + − −+ + + +−   + = − = = == = + + + + + 3x = − 1x = MN ( )3,0− ( )1,0 C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 3 2 C x P Q 1PQ = C C A B 1, 2M m     0m ≠ 3m ≠ ± AM BM C E F BME∆ AMF∆ m C 2 2 14 x y+ = 1m = ± C c− ( )2 2 2 2 1c y a b − + = 2 2 2a b c= + 2by a = ± 22 1b a = 3 2 c a = 2 2 4 1 a b  =  = C 2 2 14 x y+ =（2）∵ , , ,且 , ∴直线 的斜率为 ,直线 斜率为 , ∴直线 的方程为 ,直线 的方程为 , 由 得 ,∴ , ,∴ , 由 得 ,∴ , ,∴ ； ∵ , , , , ∴ , 即 , 又 , ∴ , 整理方程得： , ( )0,1A ( )0, 1B − 1, 2M m     0m ≠ AM 1 1 2k m = − BM 2 3 2k m = AM 1 12y xm = − + BM 3 12y xm = − 2 2 14 1 12 x y y xm  + =  = − + ( )2 21 4 0m x mx+ − = 0x = 2 4 1 mx m = + 2 2 2 4 1,1 1 m mE m m  −  + +  2 2 14 3 12 x y y xm  + =  = − ( )2 29 12 0m x mx+ − = 0x = 2 12 9 mx m = + 2 2 2 12 9,9 9 m mF m m  −  + +  1 sin2AMFS MA MF AMF∆ = ∠ 1 sin2BMES MB ME BME∆ = ∠ AMF BME∠ = ∠ 5 AMF BMES S∆ ∆= 5 MA MF MB ME= 5 MA MB ME MF = 3m ≠ ± 2 2 5 4 12 1 9 m m m mm mm m = − −+ + ( )2 25 1 9m m+ = +解得： . 19．（2020·四川武侯�成都七中高三其他（理））在平面直角坐标系中，点 、 分别为 ： 的左、右焦点，双曲线 的离心率为 2，点 在双曲线 上.不在 轴上的动 点 与动点 关于原点 对称，且四边形 的周长为 . （1）求动点 的轨迹方程； （2）在动点 的轨迹上有两个不同的点 、 ，线段 的中点为 ，已知点 在圆 上，求 的最大值，并判断此时 的形状. 【答案】（1） ；（2） ； 为直角三角形. 【解析】（1）设点 、 分别为 ， ， 由已知 ，所以 ， ， ， 又因为点 在双曲线 上，所以 ， 则 ，即 ， 解得 ， . 1m = ± 1F 2F C ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > C 31, 2      C x P Q O 1 2PFQF 4 2 P P ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y MN G ( )1 2,x x 2 2 2x y+ = OG MN⋅ OMN ( )2 2 1 02 x y y+ = ≠ 3 2 OMN 1F 2F ( ),0c− ( ),0c ( )0c > 2c a = 2c a= 2 24c a= 2 2 2 23b c a a= − = 31, 2      C 2 2 9 1 4 1a b − = 2 2 2 29 4b a a b− = 2 2 493 34a a a− = 2 1 4a = 1 2a =所以 . 连接 ，因为 ， ，所以四边形 为平行四边形， 因为四边形 的周长为 ，所以 . 所以动点 的轨迹是以点 、 分别为左、右焦点， 长轴长为 的椭圆（除去左右顶点）. 可得动点 的轨迹方程为： （2）因为 ， ， ，所以 ， 所以 . 等号当且仅当 ，即 ， 所以 ，即 为直角三角形. 20．（2020·全国高三课时练习（理））如图，已知椭圆 ，抛物线 ，点 A 是椭圆 与抛物线 的交点，过点 A 的直线 l 交椭圆 于点 B，交抛物线 于 M（B，M 不同于 A）． 1c = PQ 1 2OF OF= OP OQ= 1 2PFQF 1 2PFQF 4 2 2 1 1 22 2 2PF PF F F+ = > = P 1F 2F 2 2 p ( )2 2 1 02 x y y+ = ≠ 2 2 1 2 2x x+ = 2 21 1 12 x y+ = 2 22 2 12 x y+ = 2 2 1 2 1y y+ = OG MN MN OG⋅ = ⋅ ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 x x y yx x y y + +   = − + − +       2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 12 22 2x x y y x x y y= + + + − − = 1 2 1 2 1 2 1 23 2 2 3 2 2x x y y x x y y− − + + 1 2 1 2 1 2 1 23 2 2 3 2 21 3 2 2 2 x x y y x x y y− − + + + ≤ =   1 2 1 2 1 2 1 23 2 2 3 2 2x x y y x x y y− − = + + 1 2 1 2 0x x y y+ = OM ON⊥ OMN 2 2 1 : 12 xC y+ = 2 2 : 2 ( 0)C y px p= > 1C 2C 1C 2C（Ⅰ）若 ，求抛物线 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）当 时， 的方程为 ，故抛物线 的焦点坐标为 ； （Ⅱ）设 ， 由 ， ， 由 在抛物线上，所以 ， 又 ， ， ， . 1 16 =p 2C 1( ,0)32 10 40 1 16 =p 2C 2 1 8y x= 2C 1( ,0)32 ( ) ( ) ( )1 1 2 2 0 0, , , , , , :A x y B x y M x y I x y mλ= + ( )2 2 2 2 22 2 2 2 2 0x y y my m x y m λ λ λ  + = ⇒ + + + − = = + 1 2 0 0 02 2 2 2 2, ,2 2 2 m m my y y x y m λ λ λλ λ λ − −∴ + = = = + =+ + + M ( ) 2 2 2 2 2 22 4 42 22 m pm m p λ λ λ λλ = ⇒ =+ ++ 2 2 22 2 ( ) 2 2 0y px y p y m y p y pm x y m λ λ λ  = ⇒ = + ⇒ − − = = + 01 2y y pλ∴ + = 2 1 0 1 0 2 2x x y m y m p mλ λ λ∴ + = + + + = + 2 1 2 22 2 2 mx p mλ λ∴ = + − +由 即 ， 所以 ， ， ， 所以， 的最大值为 ，此时 . 法 2：设直线 ， . 将直线 的方程代入椭圆 得： ， 所以点 的纵坐标为 . 将直线 的方程代入抛物线 得： ， 所以 ，解得 ，因此 ， 由 解得 ， 所以当 时， 取到最大值为 . 21．（2020·浙江金华�高二期末）已知：抛物线 ，过 外点 作 的两条切线，切点分别 为 、 . 2 2 2 2 1 4 2, 2 2 x y x px y px  + = ⇒ + =  = 2 4 2 0x px+ − = 2 2 1 4 16 8 2 4 22 p px p p − + +⇒ = = − + + 2 2 2 2 2 2 1 82 4 2 2 2 2 8 162 pp p p m p p p λλ λλ λ +⇒ − + + = + ⋅ = + + ≥+ 24 2 18p p+ ≥ 2 1 160p ≤ 10 40p ≤ p 10 40 2 10 5( , )5 5A : ( 0, 0)l x my t m t= + ≠ ≠ ( )0 0,A x y l 2 2 1 : 12 xC y+ = ( )2 2 22 2 2 0m y mty t+ + + − = M 2 2M mty m = − + l 2 2 : 2C y px= 2 2 2 0y pmy pt− − = 0 2My y pt= − ( )2 0 2 2p m y m + = ( )22 0 2 2 2p m x m + = 2 20 0 12 x y+ = 2 2 2 1 2 24 2 160m mp m m    = + + +        102, 5m t= = p 10 40 2 1 : 2C y x= + 1C P 1C A B（Ⅰ）若 ，求两条切线的方程； （Ⅱ）点 是椭圆 上的动点，求 面积的取值范围. 【答案】（Ⅰ） 和 ；（Ⅱ） . 【解析】（Ⅰ）设过点 的切线方程为 ，将其代入 ，可得 ， 因为直线 与抛物线 相切， ，解得 . 因此，所求的两条切线的方程为 和 ； （Ⅱ）设 、 、 ，由 ，可得 ， 则切线 的方程为 ，又 ， 即 .同理，切线 的方程为 . 又 和 都过点 ， . 直线 方程为 ，即 . ( )2,0P P 2 2 2 : 14 xC y+ = PAB△ ( )( )4 2 6 2y x= + − ( )( )4 2 6 2y x= − − 97 972, 32       P ( )2y k x= − 2 2y x= + 2 2 2 0x kx k− + + = l 1C 2 8 8 0k k∴∆ = − − = 4 2 6k = ± ( )( )4 2 6 2y x= + − ( )( )4 2 6 2y x= − − ( )P m n, ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2y x= + 2y x′ = PA ( )1 1 12y y x x x− = − 2 1 1 2y x= + 1 12 4y x x y= − + PB 2 22 4y x x y= − + PA PB ( )P m n, 1 1 2 2 2 4 2 4 n x m y n x m y = − +∴ = − + ∴ AB 2 4n mx y= − + 2 4y mx n= − +联立 ，得 . , 由韦达定理得 ， . . 点 到直线 的距离为 ， 的面积 . ， ， ， . 22．（2020·浙江平阳�高三其他）已知抛物线 的准线与半椭圆 相交于 两点，且 . （Ⅰ）求抛物线 的方程； （Ⅱ）若点 是半椭圆 上一动点，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ，求 面积 的取值范围. 2 2 4 2 y mx n y x = − +  = + 2 2 2 0x xm n− + − = 2 24 4( 2) 4( 2) 0m n m n∆ = − − = − + > 1 2 2x x m+ = 1 2 2x x n= − 2 2 2 1 2| | 1 4 2 1 4 2AB m x x m m n= + − = + − +  P AB 2 2 2 2 1 4 m n d m − + = + PAB∴ ( )3 2 21 2 22PABS AB d m n= ⋅ = − +△ 2 2 14 1 m n+ = 2 24 4m n∴ = − 1 1n− ≤ ≤ ( )3 2 21 2 4 62PABS AB d n n∴ = ⋅ = − − +△ 3 2 21 97 97 972 4 2,8 16 32n     = − + + ∈          ( )2 1 : 2 0C y px p= > ( )2 2 2 : 1 04 xC y x+ = ≤ ,A B 3AB = 1C P 2C P 1C ,C D PCD【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】（Ⅰ）由题可知，抛物线 的准线为 ，则有 得 ， 所以 . （Ⅱ）设点 坐标为 ，且满足 . 由题意可知切线斜率不会为 0，即设切线 为 ， 代入 得 ， 由 可得 ①， 设切点 ，抛物线的上半部曲线函数关系式为 ，则 ， 故 ，将其代入①可得 ②. 设切线 为 ，切点 ，同理可得 ③. 由②③可知 是方程 的两根，所以 ， ， 又 ， ，所以代入②③可知 ， 是 的两点，即 直线方程为 . 故 2 1 : 4C y x= 1 ,8 22      ( )2 1 : 2 0C y px p= > 2 px = − 2 2 32 14 2 p −     + =    2p = 2 1 : 4C y x= P ( )0 0,x y 2 20 0 14 x y+ = PC ( ) ( )0 1 0x x m y y− = − 2 1 : 4C y x= 2 1 1 0 04 4 4 0y m y m y x− + − = 0= ( ) ( )2 2 1 1 0 0 1 0 1 04 4 4 4 0 0m m y x m y m x− − − = ⇒ − + = ( )1 1,C x y 12 ,y x y x ′= = 1 11 1 1 xy mx =′ = 1 1 12 2y x m= = 2 1 0 1 02 4 0y y y x− + = PD ( ) ( )0 2 0x x m y y− = − ( )2 2,D x y 2 2 0 2 02 4 0y y y x− + = 1 2,y y 2 0 02 4 0y y y x− + = 1 2 02y y y+ = 1 2 04y y x⋅ = 2 1 14y x= 2 2 24y x= ( )1 1,C x y ( )2 2,D x y 0 04 2 4 0x y y x− + = CD 0 04 2 4 0x y y x− + = 2 0 0 0 0 20 0 02 0 4 2 41 1 1 4 162 2 216 4PCD x y y x yS d CD y x y − +  = ⋅ = ⋅ + −  +△又因为 且 ，所以 . 令 ，由二次函数性质可知，其在 上单调递减，故 ， 所以 ( )3 22 2 0 00 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 02 0 4 168 2 41 14 16 4 16 4 162 2 16 162 4 y xx y y y x y x y x y −− += ⋅ − = − ⋅ − = + 2 20 0 14 x y+ = [ ]0 2,0x ∈ − ( )3 2 0 016 4 16PCD x x S − − + =△ [ ]2 0 0 016 4, 2,0t x x x= − − + ∈ − [ ]0 2,0x ∈ − [ ]4,32t ∈ ( ) ( )3 32 0 016 4 1 ,8 216 16 2PCD x x t S − − +  = = ∈  △