第四章三角函数与解三角形
B 卷 滚动能力检测
一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．（2020·河北省衡水中学高三其他（理））已知 ， ，则 （ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】∵ ， ，
∴ ，∴ .
故选：A.
2．（2020·山东省高三其他）已知函数 的导函数 ，则下列结论正确
的是（ ）
A． 在 处有极大值 B． 在 处有极小值
C． 在 上单调递减 D． 至少有 3 个零点
【答案】C
【解析】解：由函数 的导函数 可知，
当 和 时， ， 单调递增区间为 和 ，
当 时， ， 单调递减区间为 ，
故 AB 错误，C 正确，
又 ， 的符号无法确定，
故无法确定 的零点个数，故 D 错误.
故选：C.
3．（2020·浙江省高三其他）若函数 的导函数 的图像如图所示，则（ ）
2 5cos 2 5
πα − = −
3, 2
πα π ∈ tanα =
3
2
1
2
2 5cos sin2 5
πα α − = = −
3, 2
πα π ∈
5cos 5
α = − tan 2α =
( )f x ( ) ( ) ( ) ( )3 24 1 2 3f x x x x x′ = − − −
( )f x 0x = ( )f x 2x =
( )f x [ ]1,3 ( )f x
( )f x ( ) ( ) ( ) ( )3 24 1 2 3f x x x x x′ = − − −
( ),1x∈ −∞ ( )3,+∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ),1−∞ ( )3,+∞
[ ]1,3x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x [ ]1,3
( )1f ( )3f
( )f x
( )f x '( )f xA．函数 有 1 个极大值，2 个极小值
B．函数 有 2 个极大值，2 个极小值
C．函数 有 3 个极大值，1 个极小值
D．函数 有 4 个极大值，1 个极小值
【答案】B
【解析】
由导函数图像可知原函数的单调性为先增后减再增再减，最后增，所以原函数 有 2 个极大值，2 个极
小值，
所以选
4．（2020·河南省高三其他（理））若角 的终边过点 ，且 则实数 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】： ，则点 的坐标为 ，
因为 ．所以角 的终边在第二象限或第三象限，故 ．
再根据三角函数的定义得： ，即 ，解得 （舍)或 .
故选：C．
5．（2020·陕西省高三其他（理））在四边形 中， ，且 ， ， ，
则边 的长（ ）
A． B． C． D．
( )f x
( )f x
( )f x
( )f x
( )f x
B
α 8 , 6cos( )60P m− − 4cos 5
α = − m
1
2
− 3
2
− 1
2
3
2
6cos60 3− = − P ( 8 , 3)P m− −
4cos 5a = − a 0m >
2
8 4
564 9
m
m
− = −
+
2 1
4m = 1
2m = − 1
2m =
ABCD 2D B∠ = ∠ 1AD = 3CD = 3cos 3B∠ =
AC
3 4 2 2 2 3【答案】D
【解析】 ， ，
由余弦定理得 ，
因此， .
故选：D.
6．（2020·河北省衡水中学高三其他（理）） 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，利用正弦定理得 ，即
，所以 ， .代入
，解得 ，又 ， ， 同号，所以
，所以 .
故选：D.
7．（2020·湖北省华中师大一附中高三其他（理）） 中， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
2D B∠ = ∠
2
2 3 1cos cos2 2cos 1 2 13 3D B B
∴ ∠ = ∠ = ∠ − = × − = −
2 2 2 2 2 12 cos 1 3 2 1 3 123AC AD CD AD CD D = + − ⋅ ⋅ ∠ = + − × × × − =
2 3AC =
ABC
cos :cos :cos 6 :3 : 2A B C a b c= cosC
3
3
1
3
2 2
3
10
10
6 3 2
cos cos cos
a b c
A B C
= = 6sin 3sin 2sin
cos cos cos
A B C
A B C
= =
6tan 3tan 2tanA B C= = 1tan tan3A C= 2tan tan3B C=
( ) tan tantan tan 1 tan tan
A BC A B A B
+= − + = − − tan 3C = ± tan A tan B tanC
tan 3C = 10cos 10C =
ABC sin 2sin cos 0A B C+ =
3sin sinB C= cosC =
1
2
3
2
1
2
− 3
2
−
3sin sinB C= 3b c= 3
3b c=
sin 2sin cos 0A B C+ = sincos 2sin 2
A aC B b
= − = −
2 2 2
cos 2
a b cC ab
+ −=
2 2 2
2 2
a b c
ab
a
b
+ = -- 化简得 ，代入 ，解得 ，
再将 、 代入 中，
即 ，
故选：C.
8．（2020·天津高三三模（理））若函数 的图象关于
对称，则函数 在 上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由辅助角公式可得： ，函数图像关于 对称，
则当 时， ，即 ，
由于 ，故令 可得 ，
函数的解析式为 ，
，则 ，故函数在定义域内单调递减，
函数的最小值为： .
故选 C.
9．（2020·河北省高三其他（理））已知函数 ，其图象相
邻的最高点之间的距离为 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，
2 2 22a b c+ = 3
3b c= 3
3a c=
3
3b c= 3
3a c=
2 2 2
cos 2
a b cC ab
+ −=
2 2
2
2
3 3
3 3 1cos 232 3
c c c
C
c
æ ö æ öç ÷ ç ÷+ -ç ÷ ç ÷è ø è ø= = -
æ öç ÷´ ç ÷è ø
( ) ( ) ( )( )3sin 2 cos 2 0 πf x x xθ θ θ= + + + < <
π ,02
( )f x π π,4 6
−
1− 1
2
− 3− 3
2
−
( ) 2sin 2 6f x x
πθ = + +
π ,02
2x
π= ( )72 6 6x k k Z
πθ θ π π+ + = + = ∈ ( )7
6k k Zθ π π= − ∈
0 πθ< < 2k = 5
6q p=
( ) 52sin 2 2sin26 6f x x x
ππ = + + = −
π π,4 6x ∈ −
π π
2 32 ,x ∈ −
2sin 2 36 6f
π π = − × = −
( ) ( )2sin 0, 2f x x
πω ϕ ω ϕ = + > 1 1x >
1
1
2 1 1
1
x
xx x xe
−− = − ( ) 1 , 1x
xh x x xe
−= − >
( ) 2 21
x
x x
x x eh x e e
− − −= − =′
( )1,x∈ +∞ 2 xy x e= − − 12 2 1 0xx e e− − < − − <
( ) 0h x′ < ( )1,+∞
( )h x ( )1,+∞ ( ) ( )1 1h x h< = −
1x > 1 1 1 11x
x xx x xe e e e
− − − < − = − −
( )h x ( ), 1−∞ −
( ) ( )( )ln 1 ex mf x x ax ax−= + − − a
( ) 0f x < m
( )1,+∞ ( ),1−∞ ( )1,2 ( )2,1−
a y ax= ( ) ln 1g x x= + ( ) ex mh x −=直线 与函数 ，函数 相切于同一点的情况，设切点为 ，
由 ， 可知， ，解得 ，
作出下图，
由图象观察可知，当 时，函数 越偏离函数 ，符合题意，即实数 的取值范围为 .
故选 B.
12．（2020·河南省高三其他（理））已知函数 与 的图象上存在两对关
于直线 对称的点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 与
的图象上存在两对关于直线 对称的点，
所以函数 与函数
的图象有两个交点，即方程 ， 有两解，
即方程 ， 有两解，
令 ， ，
y ax= ( )g x ( )h x ( )0 0,x y
( ) 1g x x
′ = ( ) ex mh x −′ =
0
0
0
0
0 0
1 e
e
ln 1
x m
x m
x
y
y x
−
−
=
=
= +
0
0
1
1
1
x
y
m
=
=
=
1m < ( )h x ( )g x m ( ),1−∞
( ) 2 1 ,f x x ax x ee
= − ∈ ( ) xg x e=
y x= a
1 ,e ee
−
1(1, ]e e
− 1[1, ]e e
− 1[1, ]e e
+
( ) 2 1 ,f x x ax x ee
= − ∈ ( ) xg x e=
y x=
( ) 2 1 ,f x x ax x ee
= − ∈ ( ) lnh x x=
2 lnx ax x− = 1( )x ee
≤ ≤
ln xa x x
= − 1( )x ee
≤ ≤
ln xy x x
= − 1( )x ee
≤ ≤则 ，
当 时， ，函数 为减函数；
当 时， ，函数 为增函数.
故当 时， ，
又 ，
所以当 时， ，
画出函数图象，如图：
由图可知 的取值范围 .
故选：B.
二、填空题：本大题共 4 小题，共 20 分。
13．（2020·湖北省华中师大一附中高三其他（理））函数 在点 处的切线方程为
______．
【答案】
【解析】由题意， ，即切点为 ，
对函数求导， ，
2
2
1 lnx xy x
− +′ =
1 1xe
≤ < 0y′ < y
1 x e< ≤ 0y′ > y
1x = min 1| 1xy y == =
1
1 1| |x ex e
y e y ee e==
= + = − ，
1x e
= 1
maxy e e
= +
a 1(1, ]e e
−
( ) ( )2 exf x x= − ( )( )2 2f,
2 2e 2e 0x y− − =
( ) ( ) 22 2 2 e 0f = − = ( )2,0
( ) ( ) ( )e 2 e 1 ex x xf x x x′ = + − = −则 ，即切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，即 .
故答案为： .
14．（2020·河北省衡水中学高三其他（理））函数 的图象向右平移 个单位得到函
数 的图象，且 与 的图象关于点 对称，那么 的最小值等于_______________.
【答案】6
【解析】由图象平移规律可知 ，由 与 的图象关于点 对称，所以
，化简得 恒成立，得
，故 ， ，所以正数 的最小值为 6.
故答案为:6.
15．（2020·宁夏回族自治区高三其他（理））已知向量 ， ，函
数 ，下列命题，说法正确的序号是__________.
① ；
② 图象关于 称；
③若 ，则 ；
④若 ，则 .
【答案】②④
【解析】
( ) 22 ef ′ = 2e
( )2e 2y x= − 2 2e 2e 0x y− − =
2 2e 2e 0x y− − =
( ) ( )sin 0f x xω ω= >
3
π
( )y g x= ( )f x ( )g x ,03
π
ω
( ) sin ( )3g x x
πω = −
( )f x ( )g x ,03
π
2sin sin3 3x x
ωπ πω ω − = − −
2sin sin3 3x x
ωπ ωπω ω − = −
sin sin3 3 3x x
ωπ ωπ ωπω ω − = − − 23 k
ωπ π= k Z∈ ω
(sin , 3)m x= − 2co( o )s ,c sxn x=
( ) 2 3 1f x m n= ⋅ + +
( ) 2 ( )6f x f x
π − = −
( )6f x
π −
4x
π=
1 20 2x x
π< < < ( ) ( )1 2f x f x<
1 2 3, , ,3 2x x x
π π ∈
( ) ( ) ( )1 2 3f x f x f x+ >
2( ) 2sin cos 2 3 cos 3 1f x x x x= − + +
1 cos22sin cos 2 3 3 12
xx x
+= − × + +
sin 2 3 cos2 1x x= − +，
①当 时， ， ，故①错误；
② ，当 时，对应的函数值可取得最小值为 ，所以②正确；
③当 时， ，所以函数 在 不单调，故③错误；
④因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，即 ，
所以 ， 恒成立，故④正确.
故答案为：②④
16．（2020·江苏省西亭高级中学高三其他）已知函数 ，（e＝2.71828…
是自然对数的底数） ，若存在 ，使得 成立，则实数 的取
值范围是____.
【答案】 ；
【解析】当 时， ，则 ，
即 在 递减，得 ，
当 时， 在 递增，则 ，
综合得 的值域为 .
由题若存在 ，使得 成立，
1 32( sin 2 cos2 ) 12 2x x= − +
2sin 2( 13)
π= − +x
0x = ( ) ( ) 16 6f x f
π π− = = 2 ( ) 2 (0) 1 3f x f− = − = +
( ) 2sin( 2 )6f x x− = −π
4x
π= 2−
(0, )2x
π∈ 22 ( , )3 3 3x
π π π− ∈ − ( ) 2sin(2 ) 13f x x
π= − + (0, )2
π
,3 2x
π π ∈
22 ,3 3 3x
π π π − ∈ ( ) 3 1,3f x ∈ +
2( 3 1) 3+ > min max2 ( ) ( )f x f x>
1 2 3, , ,3 2x x x
π π ∈
( ) ( ) ( )1 2 3f x f x f x+ >
3 23 5 (1 2)2 2( ) 1 1 (2 )2 2
x x x
f x
x x e
− + + ≤ 0 x 1< < ( )g x 0′ < x 1>
( )g x ( )0,1 ( )1, ∞+ ( ) ( )maxg x g 1 1∴ = = −
( )f x ( )g x y m=
m 1< − m ( ), 1∞− −
( ) ( ) xf x x 2 e 0+ − − + −
( ) ( ) x 1h x x 2 e lnx x,x ,12
= − + − ∈
( ) ( ) x 1h x x 1 e x
= − −
′ 设 ， ，则 在 上单调递增.
又 ， . ，使得 ，即 ，
.
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减.
.
设 ， .
当 时， 恒成立，则 在 上单调递增，
，即当 时， .
当 时，关于 的不等式 在 上恒成立.
18．（2020·广东省高三月考（理））已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的值域；
（2）设 的三个内角 所对的边分别为 ，若 为锐角且 ，求
的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）
( ) x 1u x e x
= − ( ) x
2
1u x e 0x
= + >′ ( )u x 1 ,12
1u e 2 02
= − 0
1x ,12
∴∃ ∈
( )0u x 0= 0x
0
1e x
=
0 0lnx x∴ = −
0
1x ,x2
∈
( ) ( )u x 0,h x 0′ ( ]0x x ,1∈ ( ) ( )u x 0,h x 0′> <
( )h x∴ 0
1 ,x2
( ]0x ,1
( ) ( ) ( ) ( )0x
0 0 0 0 0 0 0max
0 0
1 2h x h x x 2 e lnx x x 2 2x 1 2xx x
∴ = = − + − = − ⋅ − = − −
( ) 2φ x 1 2xx
= − − ( ) 2
2 2
2 2 2xφ x 2x x
−∴ = − =′
1x ,12
∈
( )φ x 0′ > ( )φ x 1 ,12
( ) ( )φ x φ 1 3∴ < = − 1x ,12
∈
( )h x 3< −
∴ m 3≥ − x ( ) ( ) xf x x 2 e 0+ − < 1 ,12
( ) 2sin ·cos3f x x x
π = +
0 2x
π≤ ≤ ( )f x
ABC∆ , ,A B C , ,a b c A ( ) 3 , 2, 32f A b c= = =
( )cos A B−
30,1 2
+
5 7
14
( ) ( ) 2sin 3 cos cos sin cos 3 cosf x x x x x x x= + = +由 得， ， ．
∴ ，即函数 的值域为 ．
（2）由 得 ，
又由 ，∴ ，∴ ．
在 中，由余弦定理 ，得 ，
由正弦定理 ，得 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴
19．（2020·四川省高三二模（理））在 中，内角 的对边分别为 ，且
.
（1）求角 C；
（2）若 ，求 周长的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）由 得 ．
根据正弦定理，得 ，化为 ，
整理得到 ，因为 ，
1 3 3 3sin 2 cos2 sin 22 2 2 3 2x x x
π = + + = + +
0 2x
π≤ ≤ 423 3 3x
π π π≤ + ≤ 3 sin 2 12 3x
π − ≤ + ≤
3 30 sin 2 13 2 2x
π ≤ + + ≤ +
( )f x 30,1 2
+
( ) 3 3sin 2 3 2 2f A A
π = + + = sin 2 03A
π + =
0 2A
π< < 423 3 3A
π π π< + < 2 ,3 3A A
π ππ+ = =
ABC∆ 2 2 2 2 cos 7a b c bc A= + − = 7a =
sin sin
a b
A B
= sin 21sin 7
b AB a
= =
b a< B A< 2 7cos 7B =
( ) 1 2 7 3 21 5 7cos cos cos sin sin 2 7 2 7 14A B A B A B− = + = × + × =
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
22 2 1 2cos 2
B Ca b c
+ + = −
2 3c = ABC∆
2πC .3
= 4 2 3+
22 2 1 2cos 2
B Ca b c
+ + = − 2 2 cosa b c A+ =
sin 2sin 2cos sinA B A C+ = ( )sin 2sin 2cos sinA A C A C+ + =
sin 2sin cosA A C= − sin 0A >故 ，又 ，所以 ．
(2)由余弦定理有 ，故 ，
整理得到 ，故 ，
当且仅当时等号成立，所以周长的最大值为 ．
20．（2020·河南省高三其他（理））已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的面积．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）因为 ，
，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
又 ， ，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以 ；
（2）因为 ， ， ，
所以 ， ；
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
1cos 2C = − 0 C π< < 2
3C
π=
2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 2 12a b ab+ + =
( ) 2
2 12 12 2
a ba b ab
+ + = + ≤ + 4a b+ ≤
2 2 2 3 4 2 3+ + = +
ABC A B C a b c
cos cos cos sin 2 sinA B C A B+ =
A
A B C+ = 1b = ABC
3A
π= 3
2
2cosAcosB cosC sin AsinB+ =
A B C π+ + =
( ) 2cosAcosB cos A B sin AsinB− + =
2cosAcosB cosAcosB sinAsinB sin AsinB− + =
2sinAsinB sinAcosAsinB=
( )0,A π∈ ( )0,B π∈
0sinA ≠ 0sinB ≠
1
2cosA =
3A
π=
A B C+ = A B C π+ + =
3A
π=
6B
π=
2C
π=
1b =
1
sin30 sin 60
a=° °
3a =所以 的面积 ．
21．（2020·河北省高三其他（理））如图．在 中，点 P 在边 上， ， ，
．
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ．求
【答案】（1） ；（2） ．
（1）在 中，设 ， 因为 ，
，
又因为 ， ，
由余弦定理得：
即： ，
解得 ，
所以 ，
此时 为等边三角形，
所以 ；
ABC
1 1 33 12 2 2S a b= × × = × × =
ABC BC 3C
π= 2AP =
4AC PC⋅ =
APB∠
ABC
5 3
2 sin PAB∠
2
3APB∠ = π 3 57sin 38PAB∠ =
APC△ AC x= 4AC PC⋅ =
4PC x
=
3C
π= 2AP =
2 2 2 2 cos 3AP AC PC AC PC
π= + − ⋅ ⋅ ⋅
2
2 2 4 42 2 cos 3x xx x
π = + − ⋅ ⋅ ⋅
2x =
AC PC AP= =
APC△
2
3APB∠ = π（2）由 ，
解得 ，
则 ，
作 交 于 D，如图所示：
由（1）知，在等边 中， ， ，
在 中 ．
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ．
22．（2020·河南省高三二模（理））已知函数 ，且 .
（1）求实数 的值；
（2）令 在 上的最小值为 ，求证： .
【答案】（1） （2）证明见解析；
【解析】（1）
令 ，( )
由
可得
故：等价于 在 时恒成立
令 ，
1 5 3sin2 3 2ABCS AC BC
π= ⋅ ⋅ =△
5BC =
3BP =
AD BC⊥ BC
APC△ 3AD = 1PD =
Rt△ABD 2 2 3 16 19AB AD BD= + = + =
ABP△ sin sin
AB PB
APB PAB
=∠ ∠
33 3 572sin 3819
PAB
×
∠ = =
( ) 2ln( 1)f x a x= + + ( ) ( 1)f x a x≤ +
a
( 1) ( )( ) 1
x f xg x x a
+= + − ( 1, )x a∈ − +∞ m 8 9m< <
2
( ) 2ln( 1)f x a x= + +
1x t+ = 0t >
( ) ( )1f x a x≤ +
( )1 12ln( )a x a x+ + ≤ +
2ln 0a at t− + ≤ 0t >
( ) 2lnh t a at t= − +则 .
①当 时， ，故 在 上单调递增，
由于 ，不合题意
②当 时， ，
故当 单调递增，当 ， ， 单调递减，
故
要使 在 时恒成立，则只需
即 ，
，
则 ，
时， ， 单调递减
时 ， 单调递增，
又 ，
满足条件 的只有 2.
即 .
（2）由（1）知.令 ，
变形成
令 ，
则
由于 ，
2 2( ) ath t at t
−′ = − =
0a ≤ ( ) 0h t′ > ( )h t ( )0, ∞+
( )1 0h =
0a >
2( )
( )
a t ah t t
− −
′ =
2(0, )x a
∈ 2( , )x a
∈ +∞ ( ) 0h t′ < ( )h t
max
2( ) ( ) 2 2ln2 2lnh t h a aa
= = − + −
∴ ( ) 0h t ≤ 0t > ( )max 0h t ≤
2 2ln2 2ln 0a a− + − ≤
( ) 2 2ln 2 2lna a aϕ = − + −
2 2( ) 1 aa a a
ϕ −′ = − =
∴ ( )0,2x∈ ( ) 0aϕ′ < ( )aϕ
( )2,x∈ +∞ ( ) 0aϕ′ > ( )aϕ
( )2 0ϕ =
∴ a
2a =
1x t+ =
( 1) ( )( ) 1
x f xg x x a
+= + −
ln2 2( ) ( 2)2
t tt tt
tθ += >−
∴ 2
ln2( 2 4)( ) ( 2)
ttt t
θ − −′ = −
( ) 2ln 4s t t t= − −
2 2( ) 1 ts t t t
−′ = − =
2t >.
即要 在 上单调递增，
又 ， ，
，使得 ，即：
且当 .时， ；当 时 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增
（因为 ），
即 .
.
∴ ( ) 0s t′ >
( )s t ( )2,+∞
( )8 0s < ( )9 0s >
∴ ( )0 8,9t∃ ∈ ( )0 0s t = 0 02ln 4t t= −
02 t t< < ( ) 0s t < 0t t> ( ) 0s t >
( )xθ ( )02,t 0( )t ∞, +
∴ ( ) 2
0 0 0 0 0
min 0 0
0 0
2 2 ln 2( ) 2 2
t t t t tt t tt t
θ θ + −= = = =− − 0 02ln 4t t= −
0m t=
∴ 8 9m<
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