2013-2020年全国高考文科数学(Ⅱ卷)真题分类汇编（word解析版 78页）

2013-2020 年全国高考文科数学（Ⅱ卷）真题分类汇编 一、集合与简易逻辑、推理与证明 【2019.1】已知集合 ， ，则 A∩B=( ) A．(–1，+∞) B．(–∞，2) C．(–1，2) D． 1.（2017·1）设集合 则 （ ） A. B. C. D. 2.（2016·1）已知集合 A={1，2，3}，B={x | x2 < 9}，则 （ ） A．{-2,-1,0,1,2,3} B．{-2,-1,0,1,2} C．{1,2,3} D．{1,2} 3.（2015·1）已知集合 ， ，则 A∪B=（ ） A. B. C. D. 4.（2014·1）已知集合 A={-2, 0, 2}，B={x|x2-x-2=0}，则 A B=（ ） A．Φ B．{2} C．{0} D． {-2} 5.（2013·1）已知集合 ， ，则 （ ） A．{-2, -2, 0, 1} B．{-3, -2, -1, 0} C．{-2, -1, 0} D．{-3, -2, -1} A B = }21|{ n，输出 s=17，故选 C． 4.（2014·8）执行右面的程序框图，如果如果输入的 x，t 均为 2，则输出的 S=（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 （2014·8） （2013·7） （2018·8 ） 5.（2013·7）执行右面的程序框图，如果输入的 N=4，那么输出的 S=（ ） A． B． C． D． 结束 输出 S 1M = ， 3S = 开始 输入 x，t 1k = k t≤ MM xk = S M S= + 1k k= + 是 否 开始 0, 0N T= = S N T= − S输出 1i = 100i < 1N N i = + 1 1T T i = + + 结束 是 否 （2015·8）B 解析：输出的 a 是 18，14 的最大公约数 2. （2014·8）D 解析：输入的 ， 均为 2． 是， ， ， ； 是 ， ， ，否，程序结束，输出 ． x t 1 2≤ 1 2 21M = ⋅ = 2 3 5S = + = 1 1 2k = + = 2 2≤ 2 2 22M = ⋅ = 2+5=7 2+1=3S k= =， 3 2≤ 7S = 1 1 11 2 3 4 + + + 1 1 11 2 3 2 4 3 2 + + +× × × 1 1 1 11 2 3 4 5 + + + + 1 1 1 11 2 3 2 4 3 2 5 4 3 2 + + + +× × × × × × 6.（2018·8）为计算 ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入 A． B． C． D． 7、【2020.7】执行右面的程序框图，若输入的 k=0，a=0，则输出的 k 为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 1 1 1 1 11 2 3 4 99 100S = − + − + + − 1i i= + 2i i= + 3i i= + 4i i= + （2013·7）B 解析：第一次循环， ；第二次循环， ； 第三次循环， ，第四次循环， 此时满足条件输出 ，故选 B. 1, 1, 2T S k= = = 1 1, 1 , 32 2T S k= = + = 1 1 1, 1 , 42 3 2 2 3T S k= = + + =× × 1 1 1 1, 1 , 52 3 4 2 2 3 2 3 4T S k= = + + + =× × × × × 1 1 11 2 2 3 2 3 4S = + + +× × × 【答案】B 【解析】根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由 得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应 填入 ，选 B. 六、函数及其性质 【2019.6】设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)= ，则当 x 2 1 1 3a = × + = , 1 1 2k = + = 3 10> 2 3 1 7a = × + = , 2 1 3k = + = 7 10> 2 7 1 15a = × + = , 3 1 4k = + = 15 10> 4k = 1xe − e 1x− − e 1x− + e 1x−− − e 1x−− + 【答案】D 【解析】 是奇函数， ．当 时， ， ， 得 ．故选 D． ( )f x 0 2 0 0 1 1( )f x x x = +′ 0x < 0x− > ( ) e 1 ( )xf x f x−− = − = − ( ) e 1xf x −= − + 2( ) ln( 2 8)f x x x= − − ∞ ∞ ∞ ∞ （2017·8）D 解析：函数有意义，则 x 2-2x-8>0，解得 x4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性 和复合函数“同增异减”的原则可得函数的单调增区间为(4，+∞)，故选 D. A．y=x B．y=lgx C．y=2x D． *3.（2016·12 ）已知函数 f(x)（x∈R）满足 f(x)=f(2-x)，若函数 y=|x2-2x-3| 与 y=f(x) 图像的交点为 ， ，…， ，则 （ ） A．0 B．m C．2m D．4m 4.（2015·11）如图，长方形 ABCD 的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，∠ BOP=x.将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f（x），则 f（x）的图像大致为 （ ） A． B． C． D． *5.（2015·12）设函数 ，则使得 成立的 x 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.（2014·11）若函数 f (x) = kx-lnx 在区间(1，+ )单调递增，则 k 的取值范围是（ ） 6.A． B． C． D． 1y x = （2016·10）D 解析： ，定义域与值域均为 ，只有 D 满足，故选 D．lg10 xy x= = ( )0,+∞ 1 1( , )x y 2 2( , )x y ( , )m mx y 1 m i i x = =∑ （2016·12）B 解析：因为 都关于 对称，所以它们交点也关于 对称，当 为偶 数时，其和为 ，当 为奇数时，其和为 ，因此选 B. 2( ) | 2 3|y f x y x x= = − −， 1x = 1x = m 2 2 m m× = m 12 12 m m −× + = （2015·11）B】解析：∵ ， ，∴ ，由此可排除 C，D，当 时， ，可排除 A. ( ) 2 22f π = ( ) 5 14f π = + ( ) ( )2 4f f π π< 3 4 x π π≤ ≤ 1( ) tan cosf x x x = − + 2 1( ) ln(1 ) 1f x | x| x = + − + ( ) (2 1)f x f x> − 1( ,1)3 1( , ) (1, )3 −∞ +∞ 1 1( , )3 3 − 1 1( , ) ( , )3 3 −∞ − +∞ （2015·12）A 解析： 是偶函数，且在[0, +∞)是增函数，所以 . ( )f x ( ) (2 1) (| |) (|2 1|)f x f x f x f x> − ⇔ > − 1| | | 2 1| 13x x x⇔ > − ⇔ < < ∞ ( ], 2−∞ − ( ], 1−∞ − [ )2,+∞ [ )1,+∞ 7.（2013·8）设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 8.（2017·14）已知函数 是定义在 R 上的奇函数，当 时， ，则 = 9.（2015·13）已知函数 f (x) = ax3-2x 的图象过点(-1, 4)，则 a = . *10.（2015·16）已知曲线 在点(1, 1)处的切线与曲线 相切，则 . 11.（2014·15）偶函数 y = f (x)的图象关于直线 x = 2 对称，f (3) = 3，则 f (-1) = ______. 12．（2018·3）函数 的图像大致为 xxy ln+= 1)2(2 +++= xaaxy =a ( ) 2 e ex x f x x −−= 【答案：D】解析：∵函数 在区间（1，+∞）单调递增，∴当 x＞1 时， 恒成立， ，∴ ，故选 D. ( )f x ( ) 0f x′ ≥ 1( ) ln ( ) 0f x kx x f x k x ′= − ∴ = − ≥ 11k x ≥ > 3log 2a = 5log 2b = 2log 3c = a c b> > b c a> > c b a> > c a b> > （2013·8）D 解析：因为 ， ，又 ，所以 最大. 又 ，所以 ，即 ，所以 ，故选 D. 3 2 1log 2 1log 3 = < 5 2 1log 2 1log 5 = < 2log 3 1> c 2 21 log 3 log 5< < 2 2 1 1 log 3 log 5 > a b> c a b> > ( )f x ( 0)，∈ −∞x 3 2( )=2 +f x x x (2)f （2017·14）12 解析： (2) ( 2) [2 ( 8) 4] 12f f= − − = − × − + = （2015·13）-2 解析： .( )1 2 4 2f a a− = − + = ⇒ = − 解析：曲线 y=x+lnx 在点(1,1)处的切线斜率为 2，故切线方程为 y=2x-1，与 y= ax2+(a+2)x+1 联立得 ax2+ax+2=0，显然 a≠0，所以由△=a2-8a=0，得 a=8 . （2014·15）3 解析：∵ 为偶函数，∴ ，∵ 的图像关于 对称，∴ ，∴ . ( )f x ( 1) (1)f f− = ( )f x 2x = (1) (3) 3f f= = ( 1) 3f − = 13．（2018·12）已知 是定义域为 的奇函数，满足 ．若 ，则 A． B．0 C．2 D．50 14、【2020.10】设函数 f(x)=x3－ ，则 f(x) （ ） A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 ( )f x ( , )−∞ +∞ (1 ) (1 )f x f x− = + (1) 2f = (1) (2) (3)f f f+ + (50)f+ + = 50− 【答案】B 【解析】 为奇函数，舍去 A, 舍去 D; ，所以舍去 C；因此选 B. 【答案】C 【解析】因为 f(x)是定义域为 的奇函数，且 ， 所以 ，所以 ，所以 T=4, 因此 ， 因为 ，所以 ， ，从而 ，选 C. (1 ) (1 )f x f x− = +),( +∞−∞ )1()1( −−=+ xfxf )1()1()3( −=+−=+ xfxfxf 3 1 x 15、【2020.12】若 2x－2y0 B. ln(y-x+1)0 D. ln∣x-y∣ 1 1y x∴ − + > ( )ln 1 0y x∴ − + > x y− 1 1 0x y− − π − = 2 2 1 0x y− − π − = C． D． 1.（2014·11）若函数 f (x) = kx-lnx 在区间(1，+ )单调递增，则 k 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.（2013·11）已知函数 ，下列结论中错误的是（ ） A． ， B．函数 的图象是中心对称图形 C．若 是 的极小值点，则 在区间 单调递减 D．若 是 的极值点，则 *3.（2013·12）若存在正数 使 成立，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2 2 1 0x y+ − π + = 1 0x y+ − π + = 【答案】C 【解析】当 时， ，即点 在曲线 上． 则 在点 处的切线方程为 ，即 ．故选 C． x π= 2sin cos 1y = π + π = − ( , 1)π − 2sin cosy x x= + 2cos sin ,y x x′ = − 2cos sin 2,xy π π π=∴ = − = −′ 2sin cosy x x= + ( , 1)π − ( 1) 2( )y x− − = − − π 2 2 1 0x y+ − π + = ∞ ( ], 2−∞ − ( ], 1−∞ − [ )2,+∞ [ )1,+∞ （2014·11）D 解析：∵函数 在区间（1，+∞）单调递增，∴当 x＞1 时， 恒成立， ，∴ ，故选 D. ( )f x ( ) 0f x′ ≥ 1( ) ln ( ) 0f x kx x f x k x ′= − ∴ = − ≥ 11k x ≥ > 3 2( )f x x ax bx c= + + + 0x R∃ ∈ 0( ) 0f x = ( )y f x= 0x ( )f x ( )f x 0( , )x−∞ 0x ( )f x 0( ) 0f x′ = （2013·11）C 解析：若 则有 ，所以 A 正确. 由 得 ， 因为函数 的对称中心为（0,0），所以 的对称中心为 ，所以 B 正确. 由三次函数的图象可知，若 是 f (x)的极小值点，则极大值点在 的左侧，所以函数在区间（-∞, ）单调递减是错误的，D 正确. 故选 C. 0c = (0) 0f = 3 2( )f x x ax bx c= + + + 3 2( )f x c x ax bx− = + + 3 2y x ax bx= + + 3 2( )f x x ax bx c= + + + (0, )c 0x 0x 0x x 2 ( ) 1x x a− < a ( , )−∞ +∞ ( 2, )− +∞ (0, )+∞ ( 1, )− +∞ 4.（2015·16）已知曲线 在点(1, 1)处的切线与曲线 相切，则 . 5.【2017，14】曲线 在 处的切线方程为 ． 6．【2018，13】曲线 在点 处的切线方程为__________． 解答题（节选 15-19 年） xxy ln+= 1)2(2 +++= xaaxy =a 2lny x= (1, 0) （2013·12）D 解析：因为 ，所以由 得 ，在坐标系中，作出函数 的图象，当 时， ，所以如果存在 ，使 ，则有 ，即 ，故选 D. 2 0x > 2 ( ) 1x x a− < 1 22 x xx a −− < = ( ) , ( ) 2 xf x x a g x −= − = 0x > ( ) 2 1xg x −= < 0x > 2 ( ) 1x x a− < 1a− < 1a > − （2015·16）8 解析：曲线 y=x+lnx 在点(1,1)处的切线斜率为 2，故切线方程为 y=2x-1，与 y= ax 2+(a+2)x+1 联立 得 ax2+ax+2=0，显然 a≠0，所以由△=a2-8a=0，得 a=8 . 2 1y x x = + ( )1,2 【 解 】 ． 求 导 得 ， 故 切 线 的 斜 率 ， 所 以 切 线 方 程 为 ， 即 ． 1y x= + 2 12y x x ′ = − 1| 1xk y =′= = 2 1y x− = − 1y x= + 【答案】y=2x–2【解析】由 ，得 ，则曲线 在点 处的切线的斜率为 ， 则所求切线方程为 ，即 . 【2019.21】．已知函数 .证明： （1） 存在唯一的极值点； （2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 5. （2017·21）设函数 f (x) = (1-x2)ex. （1）讨论 f (x)的单调性； *（2）当 x 0 时，f (x) ax+1，求 a 的取值范围. ( ) ( 1)ln 1f x x x x= − − − ( )f x ( )=0f x 【解析】（1）由题意可得， 的定义域为 ， 由 ，得 ， 显然 单调递增； 又 ， ，故存在唯一 ，使得 ； 又当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减； 因此， 存在唯一的极值点； ( )f x (0, )+∞ ( ) ( 1)ln 1f x x x x= − − − 1 1( ) ln 1 lnxf x x xx x −′ = + − = − 1( ) lnf x x x ′ = − (1) 1 0f ′ = − < 1 ln 4 1(2) ln 2 02 2f −′ = − = > 0x 0( ) 0f x′ = 0x x> 0( ) 0f x′ > ( )f x 00 x x< < 0( ) 0f x′ < ( )f x ( )f x （2）由（1）知， ，又 ， 所以 在 内存在唯一实根，记作 . 由 得 ，又 ， 故 是方程 在 内的唯一实根； 综上， 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 0( ) (1) 2f x f< = − 2 2( ) 3 0f e e= − > ( ) 0f x = 0( , )x +∞ x α= 01 x α< < 0 1 1 xα < < 1 1 1 1 ( )( ) ( 1)ln 1 0ff α α α α α α= − − − = = 1 α ( ) 0f x = 0(0, )x ( )=0f x ≥ ≤ 6.（2016·20）已知函数 . （Ⅰ）当 a=4 时，求曲线 y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程； *（Ⅱ）若当 x∈(1,+∞)时，f(x)>0，求 的取值范围. ( ) ( 1)ln ( 1)f x x x a x= + − − a （2017·21） 解析：∵ ，令 得 ， ， 当 时， ；当 时， ； 当 时， ； 所以 f (x)在 ， 上单调递减，在 上单调递增. （2）∵ ， 当 a≥1 时，设函数 ， ，因此 在 单调递减， 而 ，故 ，所以 ； 当 0 +1f x ax 0 5 1 2x −= 2 0 00 0( ) > (1 )(1 1) 1f ax x x x+ >− = + [1 + )， ∞ 7.（2015·21）已知函数 f (x) = ln x +a(1- x). （Ⅰ）讨论 f (x)的单调性； *（Ⅱ）当 f (x)有最大值，且最大值大于 2a -2 时，求 a 的取值范围. （2016·20）（I） 的定义域为 . 当 时， ， ， 曲线 在 处的切线方程为 （II）当 时， 等价于 令 ，则 ， （i）当 ， 时， 故 在 上单调递增，因此 ； （ii）当 时，令 得 ， 由 和 得 ，故当 时， ， 在 单调递减， 因此 . 综上， 的取值范围是 ( )f x (0, )+∞ 4=a ( ) ( 1)ln 4( 1)f x x x x= + − − 1( ) ln 3f x x x ′ = + − (1) 2, (1) 0.′ = − =f f ( )=y f x (1, (1))f 2 2 0.x y+ − = (1, )∈ +∞x ( ) 0>f x ( 1)ln 0.1 −− >+ a xx x ( 1)( ) ln 1 −= − + a xg x x x 2 2 2 1 2 2(1 ) 1( ) , (1) 0( 1) ( 1) + − +′ = − = =+ + a x a xg x gx x x x 2≤a (1, )∈ +∞x 2 22(1 ) 1 2 1 0+ − + ≥ − + >x a x x x ( ) 0, ( )′ >g x g x (1, )∈ +∞x ( ) 0>g x 2>a ( ) 0′ =g x 2 2 1 21 ( 1) 1, 1 ( 1) 1= − − − − = − + − −x a a x a a 2 1>x 1 2 1=x x 1 1 1( , )x a ∈ +∞ ( ) 0,f x′ < ( )f x 1(0, )a 1( , )a +∞ 0a≤ ( ) (0, )f x +∞在 0a > ( )f x 1x a = 1 1 1( ) ln( ) (1 ) ln 1f a a aa a a = + − = − + − 1( ) 2 2f aa > − ln 1 0a a+ − < ( ) ln 1g a a a= + − ( )g a (0, )+∞ (1) 0g = 0 1a< < ( ) 0g a < 1a > ( ) 0g a > a (0,1) 【2020.21】已知函数 f（x）=2lnx+1． （1）若 f（x）≤2x+c，求 c 的取值范围； （2）设 a>0 时，讨论函数 g（x）= 的单调性． （1）当 a=3 时，f（x）= ，f ′（x）= ． 令 f ′（x）=0 解得 x= 或 x= ． 当 x∈（–∞， ）∪（ ，+∞）时，f ′（x）>0； 当 x∈（ ， ）时，f ′（x） ( ) 0f x = 3 2 3 01 x ax x − =+ + ( )g x 3 2 31 x ax x −+ + 2 2 2 2 ( 2 3) ( 1) x x x x x + + + + 2 21 1 16 2 6( ) 03 6 6a a a− + − = − − − < 1 03 > ( ) ( )f x f a x a − − 八、三角函数与解三角形 【2019.8】若 x1= ，x2= 是函数 f(x)= ( >0)两个相邻的极值点，则 = ( ) A．2 B． C．1 D． 【详解】（1）函数 的定义域为： ， ， 设 ，则有 ， 当 时， 单调递减，当 时， 单调递增， 所以当 时，函数 有最大值，即 ， 要想不等式 在 上恒成立，只需 ； （2） 且 因此 ，设 ，则有 ， 当 时， ，所以 ， 单调递减，因此有 ， 即 ，所以 单调递减； ( )f x (0, )+∞ ( ) 2 ( ) 2 0 2ln 1 2 0( )f x x c f x x c x x c≤ + ⇒ − − ≤ ⇒ + − − ≤ ∗ ( ) 2ln 1 2 ( 0)h x x x c x= + − − > 2 2(1 )( ) 2 xh x x x −′ = − = 1x > ( ) 0, ( )h x h x′ < 0 1x< < ( ) 0, ( )h x h x′ > 1x = ( )h x max( ) (1) 2ln1 1 2 1 1h x h c c= = + − × − = − − ( )∗ (0, )+∞ max( ) 0 1 0 1h x c c≤ ⇒ − − ≤ ⇒ ≥ − 2ln 1 (2ln 1) 2(ln ln )( ) ( 0x a x ag x xx a x a + − − −= = >− − )x a≠ 2 2( ln ln )( ) ( ) x a x x x ag x x x a − − +′ = − ( ) 2( ln ln )m x x a x x x a= − − + ( ) 2(ln ln )m x a x′ = − x a> ln lnx a> ( ) 0m x′ < ( )m x ( ) ( ) 0m x m a< = ( ) 0g x′ < ( )g x 当 时， ，所以 ， 单调递增，因此有 ，即 ，所以 单调递减， 所以函数 在区间 和 上单调递减，没有递增区间. 0 x a< < ln lnx a< ( ) 0m x′ > ( )m x ( )m x ( ) ( ) 0mx ma< = ( ) 0g x′ < ( ) 0g x′ < (0, )a ( , )a +∞ 4 π 3 4 π sin xω ω ω 3 2 1 2 【2019.11】已知 a∈（0， ），2sin2α=cos2α+1，则 sinα=( ) A． B． C． D． 【2019.15】 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsinA+acosB=0，则 B=___________. 1.（2017·3）函数 的最小正周期为（ ）A.4 B.2 C. D. 2.（2016·3）函数 的部分图像如图所示，则（ ） A． B． = sin( )y A xω ϕ+ 2sin(2 )6y x π= − 2sin(2 )3y x π= − 【答案】A 【解析】由题意知， 的周期 ，得 ．故选 A．( ) sinf x xω= 2 32( )4 4T ω π π π= = − = π 2ω = π 2 1 5 5 5 3 3 2 5 5 【答案】B 【解析】 ， ． ，又 ， ，又 ， ，故选 B． 2sin 2 cos2 1α = α + 24sin cos 2cos . 0, , cos 02 π ∴ α⋅ α = α α∈ ∴ α >   sin 0, 2sin cosα > ∴ α = α 2 2sin cos 1α α+ = 2 2 15sin 1, sin 5 ∴ α = α = sin 0α > 5sin 5 α∴ = ABC 【答案】 . 【解析】由正弦定理，得 ． ， 得 ，即 ， 故选 D． 3 4 π sin sin sin cos 0B A A B+ = (0, ), (0, )A B∈ π ∈ π sin 0,A∴ ≠ sin cos 0B B+ = tan 1B = − 3 .4B π∴ = ( ) sin(2 )3 π= +f x x π π π 2 π （2017·3）C 解析：由题意 ，故选 C.2 2 π π= =T C． D． 3.（2016·11）函数 的最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 4.（2013·4）在△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ， ， ，则△ABC 的面积为 （ ） A． B． C． D． 5.（2013·6）已知 ，则 （ ）A． B． C． D． 6.（2012·9）已知 >0， ，直线 = 和 = 是函数 图像的两条相邻的对称轴， 2sin(2 + )6y x π= 2sin(2 + )3y x π= π( ) cos2 6cos( )2f x x x= + − （2016·3）A 解析：由 及 得 ，由最大值 2 及最小值-2，的 A=2，再将 代 入解析式， ，解得 ，故 ，故选 A. ( )2 3 6 2 T π π π= − − = 2T π ω= | | 2=ω ( 2)3 π ， 2sin(2 ) 23 π ϕ× + = 6 πϕ=- 2sin(2 )6y x π= − （2016·11）B 解析：因为 ，而 ，所以当 时，取最大值 5，选 B.23 11( ) 2(sin )2 2f x x= − − + sin [ 1,1]x∈ − sin 1x = 2b = 6B π= 4C π= 2 3 2+ 3 1+ 2 3 2− 3 1− （2013·4）B 解析：因为 ,所以 .由正弦定理得 ，解得 .所以三角 形的面积为 . 因为 ， 所以 ，故选 B. ,6 4B C π π= = 7 12A π= sin sin6 4 b c π π= 2 2c = 1 1 7sin 2 2 2 sin2 2 12bc A π= × × 7 3 2 2 1 2 3 1sin sin( ) sin cos cos sin ( )12 3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 2 2 2 π π π π π π π= + = + = × + × = + 1 2 3 1sin 2 2 ( ) 3 12 2 2 2bc A = × + = + 2sin 2 3 α = 2cos ( )4 πα + = 1 6 1 3 1 2 2 3 （2013·6）A 解析：因为 ， 所以 ，故选 A. 2 1 cos2( ) 1 cos(2 ) 1 sin 24 2cos ( )4 2 2 2 π πα απ αα + + + + −+ = = = 2 211 sin 2 13cos ( )4 2 2 6 π αα −−+ = = = ω 0 ϕ π< < x 4 π x 5 4 π ( ) sin( )f x xω ϕ= + 则 =（ ） A．π 4 B．π 3 C．π 2 D．3π 4 7.（2011·7）已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y = 2x 上，则 cos2θ =（ ） A． B． C． D． 8.（2011·11）设函数 ，则（ ） A．y = f (x)在 单调递增，其图像关于直线 对称 B．y = f (x)在 单调递增，其图像关于直线 对称 C．y = f (x)在 单调递减，其图像关于直线 对称 D．y = f (x)在 单调递减，其图像关于直线 对称 9.（2017·13）函数 的最大值为 . 10.（2017·16）△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c，若 2bcosB=acosC+ccosA，则 B= ϕ （ 2012·9 ） A 解 析 ： 由 题 设 知 ， = ， ∴ =1 ， ∴ = （ ），∴ = （ ），∵ ，∴ = ，故选 A. π ω 5 4 4 π π− ω 4 π ϕ+ 2k ππ + k Z∈ ϕ 4k ππ + k Z∈ 0 ϕ π< < ϕ 4 π 4 5 − 3 5 − 3 5 4 5 （2011·7）B 解析：易知 tan =2，cos = .由 cos2θ=2，cos2θ-1= ，故选 B.θ θ 5 1± 3 5- ( ) sin(2 ) cos(2 )4 4f x x x π π= + + + (0 )2, π 4x π= (0 )2, π 2x π= (0 )2, π 4x π= (0 )2, π 2x π= D 解析： . 所以 f (x) 在 单调递减，其图像关于直线 对称. 故选 D.( ) 2sin(2 ) 2cos22f x x x π= + = (0 )2, π 2x π= ( ) 2cos sin= +f x x x （2017·13） 解析： .5 ( )= 5 sin( )( tan 2) 5其中ϕ ϕ+ = ≤f x x 11. （2016·15）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ， ，a=1，则 b=_____. 12.（2014·14）函数 f (x) = sin(x+φ)-2sinφcosx 的最大值为_________. 13.（2013·16）函数 的图象向右平移 个单位后，与函数 的图象重合，则 _________. 14.（2018·7）在 中， ， ， ，则 A． B． C． D． 4cos 5A = 5cos 13C = ABC△ 5cos 2 5 C = 1BC = 5AC = AB = 4 2 30 29 2 5 （2017·16） 解析：由正弦定理可得 3 π 2sin cos sin cos sin cos sin( ) sin= + = + =B B A C C A A C B 1 πcos 2 3 ⇒ = ⇒ =B B （2016·15） 解析：因为 ，且 为三角形内角，所以 ， ，又因为 ，所以 . 21 13 4 5cos ,cos5 13A C= = ,A C 3 12sin ,sin5 13A C= = 13sin sin( C) sin cos cos sin 65B A A C A C= + = + = sin sin a b A B = sin 21 sin 13 a Bb A = = （2014·14）1 解析：∵f (x) = sin(x+φ)-2sinφcosx = sinxcosφ+cosxsinφ-2sinφcosx = sinxcosφ-sinφcosx = sin(x-φ) ≤ 1， ∴f (x)的最大值为 1. cos(2 )( )y x ϕ π ϕ π= + − ≤ ≤ 2 π sin(2 )3y x π= + ϕ = （2013·16） 解析：函数 ，向右平移 个单位，得到 ，即 向左平移 个单位得到函数 ，所以 向左平移 个单位，得 ，即 . 5 6 π cos(2 )y x ϕ= + 2 π sin(2 )3y x π= + sin(2 )3y x π= + 2 π cos(2 )y x ϕ= + sin(2 )3y x π= + 2 π sin[2( ) ] sin(2 )2 3 3y x x π π ππ= + + = + + sin(2 ) cos( 2 )3 2 3x x π π π=− + = + + 5cos(2 )6x π= + 5 6 πϕ = 15.（2018·10）若 在 是减函数，则 的最大值是 A． B． C． D． 16.（2018·15）已知 ，则 __________． 17、【2020.13】若 ，则 __________． 解答题 17.（2015·17）在 ΔABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分∠BAC，BD=2DC. （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B. ( ) cos sinf x x x= − [0, ]a a π 4 π 2 3π 4 π 5π 1tan( )4 5α − = tanα = 【答案】A 【解析】因为 所以 ，选 A. 【答案】C 【解析】因为 ，所以由 得 ,因此 ， 的最大值为 ，选 A. 【答案】 【解析】 ，解方程得 . 2sin 3x = − cos2x = 【答案】 【详解】 .故答案为： .1 9 2 22 8 1cos2 1 2sin 1 2 ( ) 13 9 9x x= − = − × − = − = 1 9 sin sin B C ∠ ∠ 18.（2014·17）四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2. （Ⅰ）求 C 和 BD； （Ⅱ）求四边形 ABCD 的面积. 19.（2012·17）已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边， . （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 =2，△ABC 的面积为 ，求 ， . （ 2015·17 ） 解 析 ： （ Ⅰ ） 由 正 弦 定 理 得 因 为 AD 平 分 所以 , .sin sin sin sin AD BD AD DC B BAD C CAD = =∠ ∠ ∠ ∠ , 2 ,BAC DB DC∠ = sin 1 .sin 2 B DC C BD ∠ = =∠ （ Ⅱ ） 因 为 ， 所 以 由（Ⅰ）知 所以 即 . 180 ( ), 60C BAC B BAC∠ = °− ∠ +∠ ∠ = ° sin sin( )C BAC B∠ = ∠ +∠ 3 1cos sin .2 2B B= ∠ + ∠ 2sin sin ,B C∠ = ∠ 3tan ,3B∠ = 30B∠ = ° （2014·17）解析：（Ⅰ）在△BCD 中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2 = BC2+CD2-2BC·CDcosC = 13 -12cosC ①，在△ABD 中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2 = AB2+AD2 -2AB·ADcosA = 5-4cosA = 5+4cosC ②，由①②得： ，则 C=60°， . （Ⅱ）∵ ， ，∴ ，则 . 1cos 2C = 7BD = 1cos 2C = 1cosA 2 = − 3sin sin 2C A= = 1 1 1 3 1 3sin sin 1 2 3 2 2 32 2 2 2 2 2S AB DA A BC CD C= ⋅ + ⋅ = × × × + × × × = 3 sin cosc a C c A= − A a 3 b c 20、【2020.17】△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ． （1）求 A； （2）若 ，证明：△ABC 是直角三角形． 九、数列 1.（2015·5）设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 nS }{ na n 3531 =++ aaa =5S （2012·17）解析：（Ⅰ）由 及正弦定理得 ，由于 ，所以 ，又 ，故 . （Ⅱ） 的面积 = = ，故 =4，而 ，故 ，解得 =2. 3 sin cosc a C c A= − 3sin sin cos sin sinA C A C C− = sin 0C ≠ 1sin( )6 2A π− = 0 A π< < 3A π= ABC∆ S 1 sin2 bc A 3 bc 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 =8c b+ b c= 2 5cos ( ) cos2 4A A π + + = 3 3b c a− = 【详解】（1）因为 ，所以 ，即 ， 解得 ，又 ，所以 ； （2）因为 ，所以 ，即 ①， 又 ②， 将②代入①得， ， 即 ，而 ，解得 ，所以 ， 故 ，即 是直角三角形． 2 5cos cos2 4A A π + + =   2 5sin cos 4A A+ = 2 51 cos cos 4A A− + = 1cos 2A = 0 A π< < 3A π= 3A π= 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = 2 2 2b c a bc+ − = 3 3b c a− = ( )22 2 3b c b c bc+ − − = 2 22 2 5 0b c bc+ − = b c> 2b c= 3a c= 2 2 2b a c= + ABC 2.（2015·9）已知等比数列 满足 ， ，则 （ ） A. 2 B. 1 C. D. 3.（2014·5）等差数列{an}的公差为 2，若 a2，a4，a8 成等比数列，则{an}的前 n 项 Sn=（ ） A． B． C． D． 4.（2014·16）数列 满足 ， = 2，则 =_________. 5、【2020.6】记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a5–a3=12，a6–a4=24，则 =（ ） A. 2n–1 B. 2–21–n C. 2–2n–1 D. 21–n–1 }{ na 4 1 1 =a )1(4 453 −= aaa =2a 2 1 8 1 }{ na n n aa −=+ 1 1 1 2a 1a （2015·5）A 解析： ， .1 3 5 3 33 3 1a a a a a+ + = = ⇒ = ( )1 5 5 3 5 5 52 a aS a += = = （2015·9）C 解析：由 a42 =a3·a5= 4(a4-1)，得 a4 = 2，所以 ，故 .3 4 1 8 2aq qa = = ⇒ = 2 1 1 2a a q= = ( 1)n n + ( 1)n n − ( 1) 2 n n + ( 1) 2 n n − （2014·5）A 解析：∵d=2，a2，a4，a8 成等比，∴a42 = a2·a8， 即 a42=(a4-4)(a4 + 8)，解得 a4=8，∴a1=a4-3×2=2，∴ ，故选 A.1 ( 1) ( 1)2 2 ( 1)2 2n n n n nS na d n n n − −= + = + × = + （2014·16） 解析：由已知得 ，∵ ，∴ ， ， ， . 2 1 1 11n n a a + = − 8 2a = 7 8 1 11 2a a = − = 6 7 11 1a a = − = − 5 6 11 2a a = − = 4 3 2 1 1 11 22 2a a a a= = − = =， ， ， n n S a 14.记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a1=–2，a2+a6=2，则 S10=__________． 解答题 18．已知 是各项均为正数的等比数列， . （1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 n 项和. 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为 ， 由 可得： ， 所以 ， 因此 . 故选：B. q 5 3 6 412, 24a a a a− = − = 4 2 1 1 5 3 11 1 12 2 124 a q a q q aa q a q  − = = ⇒  =− =  1 1 1 1 (1 ) 1 22 , 2 11 1 2 n n n n n n n a qa a q S q − − − −= = = = = −− − 1 1 2 1 2 22 n nn n n S a − − −= = − 【答案】 【详解】 是等差数列，且 ， 设 等差数列的公差 ，根据等差数列通项公式： 可得 ，即： 整理可得： ，解得： 根据等差数列前 项和公式： 可得： ， ，故答案为： . 25  { }na 1 2a = − 2 6 2a a+ = { }na d ( )1 1na a n d+ −= 1 1 5 2a d a d+ + + = ( )2 2 5 2d d− + + − + = 6 6d = 1d =  n * 1 ( 1) ,2n n nS na d n N −= + ∈ ( )10 10 (10 1)10 2 20 45 252S × −= − + = − + = ∴ 10 25S = 25 { }na 1 3 22, 2 16a a a= = + { }na 2logn nb a= { }nb 5.（2017·17）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn，a1=-1，b1=1，a2 + b2 = 2. （1）若 a3 + b3 = 5，求{bn}的通项公式；（2）若 T3=21，求 S3. 6.（2016·17）等差数列{an}中，a3 + a4 = 4，a5 + a7 = 6． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设 bn=[an]，求数列{bn}的前 10 项和，其中[x]表示不超过 x 的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2. 【解析】(1)因为数列 是各项均为正数的等比数列， ， ， 所以令数列 的公比为 ， ， ， 所以 ，解得 (舍去)或 ， 所以数列 是首项为 、公比为 的等比数列， 。 (2)因为 ，所以 ， ， ， 所以数列 是首项为 、公差为 的等差数列， . { }na 3 22 16a a= + 1 2a = { }na q 2 2 3 1 =2a a q q= 2 1 2a a q q= = 22 4 16q q= + 2q = − 4 { }na 2 4 1 2 12 4 2n n na − −= × = 2logn nb a= 2 1nb n= − +1 2 1nb n= + 1 2n nb b+ - = { }nb 1 2 2 2 )121( nnnsn =−+= （2017·17）解析：（1）设{an}的公差为 d，{bn}的公比为 q，则 an = -1+(n-1)d，bn = qn-1 . 由 a2 + b2 = 2 得 d+q=3 ①，由 a3 + b3 = 5 得 2d+q2=6 ②，联立①和②解得 （舍去） ，因此{bn}的通项公式 bn =2n-1 . （2）由 b1=1，T1=21，得 q2+q-20=0. 解得 q =-5 或 q=4，当 q =-5 时，由①得 d=8，则 S3=21；当 q=4 时， 由①得 d=-1，则 S3=-6. 3 0 =  = d q 1 2 =  = d q （2016·17）解析：（Ⅰ）设数列 的公差为 d，由题意有 ，解得 ，所以 的通项公式为 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，当 n=1, 2, 3 时， ；当 n=4, 5 时， ； 当 n=6, 7, 8 时， ；当 n=9, 10 时， ，所以数列 的前 10 项和为 . { }na 1 12 5 4, 5 3a d a d− = − = 1 21, 5a d= = { }na 2 3 5n na += 2 3[ ]5n nb += 2 31 2, 15 n n b +≤ < = 2 32 3, 25 n n b +≤ < = 2 33 4, 35 n n b +≤ < = 2 34 5, 45 n n b +≤ < = { }nb 1 3 2 2 3 3 4 2 24× + × + × + × = 7.（2013·17）已知等差数列 的公差不为零， ，且 成等比数列. （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）求 . 8.（2018·17）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ． （1）求 的通项公式； （2）求 ，并求 的最小值． 十、立体几何 【2019.7】设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是( ) A．α 内有无数条直线与 β 平行 B．α 内有两条相交直线与 β 平行 C．α，β 平行于同一条直线 D．α，β 垂直于同一平面 nS { }na n 1 7a = − 3 15S = − { }na nS nS { }na 1 25a = 1 11 13, ,a a a { }na 1 4 7 3 2+ na a a a −+ +⋅⋅⋅+ （2013·17）解析：（Ⅰ）设{an}的公差为 d. 由题意，a112＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)． 于是 d(2a1＋25d)＝0. 又 a1＝25，所以 d＝0（舍去），d＝－2. 故 an＝－2n＋27. （Ⅱ）令 Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 由(Ⅰ)知 a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为 25，公差为－6 的等差 数列．从而 Sn＝ (a1＋a3n－2)＝ (－6n＋56)＝－3n2＋28n.2 n 2 n 解：（1）设{an}的公差为 d，由题意得 3a1+3d=–15． 由 a1=–7 得 d=2．所以{an}的通项公式为 an=2n–9． （2）由（1）得 Sn=n2–8n=（n–4）2–16． 所以当 n=4 时，Sn 取得最小值，最小值为–16． 【2019.16】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南 北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面 体.半正多面体体现了数学的对称美．图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面 上，且此正方体的棱长为 1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________． 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知： 内两条相交直线都与 平行是 的充分条件，由面面平行性质定理 知，若 ，则 内任意一条直线都与 平行，所以 内两条相交直线都与 平行是 的必要条件，故 选 B． α β / /α β / /α β α β α β / /α β 1.（2017·6）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆 柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A. 90 B. 63 C. 42 D. 36 （2017·6） （2016·7） （2015·6） （2014·6） 【答案】共 26 个面. 棱长为 . 【解析】由图可知第一层与第三层各有 9 个面，计 18 个面，第二层共有 8 个面，所以该半正多面体共有 个面．如图，设该半正多面体的棱长为 ，则 ，延长 与 交于点 ，延长 交正方体棱于 ，由半正多面体对称性可知， 为等腰直角三角形， ， ，即该半正多面体棱长为 ． 2 1− 18 8 26+ = x AB BE x= = BC FE G BC H BGE∆ 2 2, 2 ( 2 1) 12 2BG GE CH x GH x x x∴ = = = ∴ = × + = + = 1 2 1 2 1 x∴ = = − + 1 x x − π π π π （2017·6）B 解析：由题意，该几何体是由高为 6 的圆柱截取一半后的图形加上高为 4 的圆柱，故其体积为 ，故选 B.2 21 3 6 3 4 632V π π π= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 4 4 2 3 · 2.（2016·4）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ） A． B． C． D． 3.（2016·7）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A．20π B．24π C．28π D．32π 4.（2015·6）一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的 比值为（ ） A. B. C. D. 5.（2015·10）已知 A、B 是球 O 的球面上两点，∠AOB=90º，C 为该球面上的动点. 若三棱锥 O-ABC 体积的最大值 为 36，则球 O 的表面积为（ ） A. 36π B. 64π C. 144π D. 256π 6.（2014·6）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一 个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A． B． C． D． 7.（2014·7）正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 ，D 为 BC 中点，则三棱锥 A-B1DC1 的体积为（ ） 12π 32 3 π 8π 4π 8 1 7 1 6 1 5 1 （2016·4）A 解析：因为正方体的体积为 8，所以正方体的体对角线长为 ，所以正方体的外接球的半径 为 ，所以球面的表面积为 ，故选 A. 2 3 3 24 ( 3) 12π π⋅ = （2016·7）C 解析：因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成，所以其表面积为 ，故选 C.28S π= D 解析：截去部分是正方体的一个角，其体积是正方体体积的 ，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 . 1 6 1 5 （2015·10）C 解析：设球的半径为 R，则△AOB 面积为 ，三棱锥 O-ABC 体积最大时，C 到平面 AOB 距离 最大且为 R，此时 ，所以球 O 的表面积 . 21 2 R 31 36 66V R R= = ⇒ = 24 144S Rπ π= = 17 27 5 9 10 27 1 3 （2014·6）C 解析：原毛坯体积为：π·32·6=54π (cm2)，由三视图，该零件由左侧底面半径为 2cm，高为 4cm 的 圆柱和右侧底面半径为 3cm，高为 2cm 的圆柱构成，所以该零件的体积为：π·32·2+π·2 2·4=34π (cm2)，则切 削掉部分的体积为 54π-34π =20π(cm2)，所以切削掉部分的体积与原毛坯体积的比值为 ，故选 C.20 10 54 27 π π = 3 A．3 B． C．1 D． 8. （2017·15）长方体的长、宽、高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 9（2013·15）正四棱锥 O-ABCD 的体积为 ，底面边长为 ，则以 O 为球心，OA 为半径的球的表面积为__. 10.（2018·9）在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为 A． B． C． D． 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1CC AE CD 2 2 3 2 5 2 7 2 3 2 3 2 （2014·7）C 解析：∵B1C1 // BD，∴BD // 面 AB1C1，点 B 和 D 到面 AB1C1 的距离相等， 故选 C.1 1 1 1- -D ABC B ABCV V∴ = 1 1- 1 1 2 3 3 13 2C ABBV= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ， （2017·15）14π 解析：球的直径是长方体的对角线，所以 . 2 2 2 22 = 3 +2 +1 = 14 4 14， π π= =R S R 3 2 2 3 解析：设正四棱锥的高为 ，则 ，解得高 . 则底面正方形的对角线长为 ，所以 ，所以球的表面积为 . 24π h 21 3 2( 3)3 2V h= × = 3 2 2h = 2 3 6× = 2 23 2 6( ) ( ) 62 2OA = + = 24 ( 6) 24π π= 【答案】C 【解析】在正方体 中， ，所以异面直线 与 所成角为 ， 设正方体边长为 ，则由 为棱 的中点，可得 ，所以 则 .故选 C. 11.（2018·16）已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 互相垂直， 与圆锥底面所成角为 ，若 的面积为 ， 则该圆锥的体积为__________． 【2020.11】已知△ABC 是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上.若球 O 的表面积为 16π，则 O 到 平面 ABC 的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【2019.17】如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1. S SA SB SA 30° SAB△ 8 【答案】8π 【解析】如下图所示， ,又 ， 解得 ，所以 ，所以该圆锥的体积为 . 9 3 4 3 3 2 3 2 【答案】C 【详解】设球 的半径为 ，则 ，解得： . 设 外接圆半径为 ，边长为 ， 是面积为 的等边三角形， ，解得： ， ， 球心 到平面 的距离 ，故选：C. O R 24 16Rπ π= 2R = ABC r a ABC 9 3 4 21 3 9 3 2 2 4a∴ × = 3a = 2 22 2 99 33 4 3 4 ar a∴ = × − = × − = ∴ O ABC 2 2 4 3 1d R r= − = − = （1）证明：BE⊥平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥 的体积． 12.（2017·18）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD， ，∠BAD=∠ABC=90°. （1）证明：直线 BC∥平面 PAD； 1 1E BB C C− 【解析】（1）因为在长方体 中， 平面 ； 平面 ，所以 ，又 ， ， 且 平面 ， 平面 ，所以 平面 ； （2）设长方体侧棱长为 ，则 ， 由（1）可得 ；所以 ，即 ， 又 ，所以 ，即 ，解得 ； 取 中点 ，连结 ，因为 ，则 ；所以 平面 ， 所以四棱锥 的体积为 . 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B C ⊥ 1 1AA B B BE ⊂ 1 1AA B B 1 1B C BE⊥ 1BE EC⊥ 1 1 1 1B C EC C∩ = 1EC ⊂ 1 1EB C 1 1B C ⊂ 1 1EB C BE ⊥ 1 1EB C 2a 1AE A E a= = 1EB BE⊥ 2 2 2 1 1EB BE BB+ = 2 2 12BE BB= 3AB = 2 2 2 12 2AE AB BB+ = 2 22 18 4a a+ = 3a = 1BB F EF 1AE A E= EF AB∥ EF ⊥ 1 1BB C C 1 1E BB C C− 1 1 1 1 1 1 1 1 3 6 3 183 3 3E BB C C BB C CV S EF BC BB EF− = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = × × × =矩形 1 2AB = BC = AD D P A B C （2）若△PCD 面积为 ，求四棱锥 P-ABCD 的体积. 13.（2016·19）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E、F 分别在 AD，CD 上，AE=CF，EF 交 BD 于点 H，将△DEF 沿 EF 折到△D´EF 的位置. （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）若 ,求五棱锥 D´—ABCE 'AC HD⊥ 55, 6, , ' 2 24AB AC AE OD= = = = 2 7 （2017·18）解析：（1）在平面 ABCD 内，因为∠BAD=∠ABC=90º，所以 BC//AD. 又 ，故 BC//平 面 PAD . （2）取 AD 的中点 M，连结 PM，CM，由 及 BC//AD，知四边形 ABCM 为正方形，则 CM⊥ AD. 因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD， ，所 以 CM ⊥面 PAD ，因为 ，所以 CM ⊥PM. 设 BC=x ，则 CM=x ， ， PC=PD=x。取得中点，连结，因为△PCD 的面积为 ，所以 ，解得 x=-2（舍去） x=2，于是 AB=BC=2，AD=4， ，所以四棱锥 P-ABCD 的体积 . 面⊄BC PAD 1 2AB = BC = AD 底面⊂CM ABCD 面⊂PM PAD 2 3，= =CD x PM x 2 7 1 142 2 72 2 × × =x x 2 3PM = 1 2(2 4) 2 33 2V += × × 4 3= （2016·19 ）解析：（ I）由已知得， 又由 得 ，故 由此得 ，所以 （II）由 得 由 得 所以 于是 故 由（I）知 ，又 ， 所以 平面 于是 又由 ， 所以， 平面 又由 得 五边形 的面积 所以五棱锥 体积' ABCEFD − , .⊥ =AC BD AD CD =AE CF =AE CF AD CD / / .AC EF , ′⊥ ⊥EF HD EF HD / / .′AC HD / /EF AC 1 .4 = =OH AE DO AD 5, 6= =AB AC 2 2 4.= = − =DO BO AB AO 1, 3.′= = =OH D H DH 2 2 2 2 2(2 2) 1 9 ,′ ′+ = + = =OD OH D H .′ ⊥OD OH ′⊥AC HD , ′⊥ =AC BD BD HD H ⊥AC ,′BHD .′⊥AC OD ,′ ⊥ =OD OH AC OH O ′ ⊥OD .ABC =EF DH AC DO 9 .2 =EF ABCFE 1 1 9 696 8 3 .2 2 2 4 = × × − × × =S 1 69 23 22 2 .3 4 2 = × × =V O B A C F D H E D′ 14.（2015·19）如图，长方体 ABCD-A 1B1C1D1 中 AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F 分别在 A1B1 ，D1C1 上，A1E=D1F=4， 过点 E，F 的平面 α 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（Ⅱ）求平面 α 把该长方体分成的两部分体积的比值. 15.（2014·18）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的点. （Ⅰ）证明：PB // 平面 AEC； （Ⅱ）设 AP=1，AD= ，三棱锥 P-ABD 的体积 V= ，求 A 点到平面 PBD 的距离. 16（2013·18）如图，直三棱柱 中， ， 分别是 ， 的中点. （Ⅰ）证明： 平面 ；（Ⅱ）设 ， ，求三棱锥 的体积. 3 4 3 （2015·19）解析：（Ⅰ）交线围成的正方形 EHGF 如图： （ Ⅱ ） 作 EM ⊥ AB ， 垂 足 为 M ， 则 AM=A1E=4 ， EB1=12 ， EM=AA1=8. 因 为 EHGF 为 正 方 形 ， 所 以 EH=EF=BC=10.于是 MH= .因为长方体被平面 分为两个高为 10 的直棱柱， 所以其体积的比值为 （ 也正确）. 2 2 6, 10, 6EH EM AH HB− = = = α 9 7 7 9 （2014·18）解析：（Ⅰ）设 AC 的中点为 O， 连接 EO. 在三角形 PBD 中，中位线 EO//PB，且 EO 在平面 AEC 上，所以 PB//平面 AEC. （Ⅱ）∵AP=1， ， ， ，∴ ，作 AH⊥PB 角 PB 于 H，由题意可知 BC⊥平面 PAB，∴BC⊥AH，故 AH⊥平面 PBC．又 ，故 A 点 到平面 PBC 的距离 . 3AD = - 3 4P ABDV = - 1 1=3 2P ABDV PA AB AD∴ ⋅ ⋅ ⋅ 3 3= =6 4AB 3 2AB = 3 13 13 PA ABAH PB ⋅= = 3 13 13 1 1 1ABC ABC− D E AB 1BB 1 / /BC 1ACD 1 2AA AC CB= = = 2 2AB = 1C A DE− 17.（2018·19） 如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离． P ABC− 2 2AB BC= = 4PA PB PC AC= = = = O AC PO ⊥ ABC M BC 2MC MB= C POM 解析：（Ⅰ）连结 AC1 交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1 中点．又 D 是 AB 中点，连结 DF，则 BC1∥DF. 因为 DF⊂平面 A1CD， BC1 平面 A1CD，所以 BC1∥平面 A1CD. （Ⅱ）因为 ABC－A1B1C1 是直三棱柱，所以 AA1⊥CD. 由已知 AC＝CB，D 为 AB 的中点，所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB＝A，于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1＝AC＝CB＝2， 得∠ACB＝90°， ， ， ，A1E＝3，故 A1D2＋DE2＝A1E2，即 DE⊥A1D. 所以 E D B1 C1 A C B A1 ⊄ 2 2AB = 2CD = 1 6A D = 3DE = 1 1 1 6 3 2=13 2C A DEV × × × ×－ ＝ 【2020.20】如图，已知三棱柱 ABC–A1B1C1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1 的中 点，P 为 AM 上一点．过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F． （1）证明：AA1//MN，且平面 A1AMN⊥平面 EB1C1F； （2）设 O 为△A1B1C1 的中心，若 AO=AB=6，AO//平面 EB1C1F，且∠MPN= ，求四棱锥 B–EB1C1F 的体积． 17．解：（1）因为 AP=CP=AC=4，O 为 AC 的中点，所以 OP⊥AC，且 OP= ． 连结 OB．因为 AB=BC= ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且 OB⊥AC，OB= =2． 由 知，OP⊥OB．由 OP⊥OB，OP⊥AC 知 PO⊥平面 ABC． （2）作 CH⊥OM，垂足为 H．又由（1）可得 OP⊥CH，所以 CH⊥平面 POM． 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离．由题设可知 OC= =2，CM= = ，∠ACB=45°． 所以 OM= ，CH= = ．所以点 C 到平面 POM 的距离为 ． 2 3 2 2 AC 1 2 AC 2 2 2OP OB PB+ = 1 2 AC 2 3 BC 4 2 3 2 5 3 sinOC MC ACB OM ⋅ ⋅ ∠ 4 5 5 4 5 5 π 3 【详解】（1） 分别为 ， 的中点， 又 ， 在等边 中， 为 中点，则 又 侧面 为矩形， ， ，由 ， 平面 平面 又 ，且 平面 ， 平面 ， 平面 又 平面 ，且平面 平面 ， ， 又 平面 ， 平面 平面 ， 平面 平面  ,M N BC 1 1B C 1//MN BB∴ 1 1/ /AA BB 1//MN AA∴ ABC M BC BC AM⊥  1 1BB C C 1BC BB∴ ⊥ 1//MN BB MN BC⊥ MN AM M∩ = ,MN AM ⊂ 1A AMN ∴ BC ⊥ 1A AMN  1 1 //B C BC 1 1B C ⊄ ABC BC ⊂ ABC 1 1 //B C∴ ABC  1 1B C ⊂ 1 1EB C F 1 1EB C F ∩ ABC EF= 1 1 / /B C EF∴ //EF BC∴ BC ⊥ 1A AMN ∴ EF ⊥ 1A AMN EF ⊂ 1 1EB C F ∴ 1 1EB C F ⊥ 1A AMN （2）过 作 垂线，交点为 ， 画出图形，如图 平面 ， 平面 ，平面 平面 又 ， 为 的中心. 故： ，则 ， 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 平面 又 在等边 中 ，即 由（1）知，四边形 为梯形 四边形 的面积为： ， 为 到 的距离 ， . M PN H  //AO 1 1EB C F AO ⊂ 1A AMN 1A AMN ∩ 1 1EB C F NP= //AO NP∴  //NO AP ∴ 6AO NP= =  O 1 1 1A B C△ ∴ 1 1 1 1sin 60 6 sin 60 33 3ON AC= ° = × × ° = 3ON AP= = 3 3 3AM AP= =  1 1EB C F ⊥ 1A AMN 1 1EB C F ∩ 1A AMN NP= MH ⊂ 1A AMN ∴ MH ⊥ 1 1EB C F  ABC EF AP BC AM = 3 6 2 3 3 AP BCEF AM ⋅ ×= = = 1 1EB C F ∴ 1 1EB C F 1 1 1 1 2 6= 6 242 2EB C F EF B CS NP + += ⋅ × =四边形 1 1 1 1 1 3B EB C F EB C FV S h−∴ = ⋅四边形 h M PN 2 3 sin 60 3MH ⋅= ° = ∴ 1 24 3 243V = × × = 十一、解析几何 【2019.9】若抛物线 y2=2px（p>0）的焦点是椭圆 的一个焦点，则 p=（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 【2019.12】设 F 为双曲线 C： （a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2 交于 P、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为( ) A． B． C．2 D． 2 2 3 1x y p p + = 【答案】D 【解析】因为抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点，所以 ，解得 ，故选 D． 2 2 ( 0)y px p= > ( ,0)2 p 2 2 3 1x y p p + = 23 ( )2 pp p− = 8p = 2 2 2 2 1x y a b − = 2 3 5 1.（2017·5）若 a＞1，则双曲线 的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.（2017·12）过抛物线 C：y2 = 4x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M（M 在 x 轴上方），l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN⊥l,则 M 到直线 NF 的距离为（ ） A. B. C. D. 3.（2016·5）设 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，曲线 y= (k>0)与 C 交于点 P，PF⊥x 轴，则 k =（ ） A． B．1 C． D．2 k x 1 2 3 2 【答案】A 【解析】设 与 轴交于点 ，由对称性可知 轴，又 ， 为以 为直径的圆的半径， 为圆心 ． ，又 点在圆 上， ，即 ． ，故选 A． PQ x A PQ x⊥ | |PQ OF c= = | | ,2 cPA PA∴ = ∴ OF A∴ | | 2 cOA = ,2 2 c cP ∴    P 2 2 2x y a+ = 2 2 2 4 4 c c a∴ + = 2 2 2 2 2, 22 c ca e a = ∴ = = 2e∴ = 2 2 2 1− =x ya 2 +∞（ ， ） 2 2（ ，） 2（1， ） 1 2（，） （2017·5）C 解析：由题意 ，因为 a>1，所以 ，则 ，故选 C. 2 2 2 2 2 2 1 11 += = = +c ae a a a 2 11 1 2< + < a 1 2< PF x⊥ 21 k = 4.（2016·6）圆 的圆心到直线 的距离为 1，则 a =（ ） A． B． C． D．2 5.（2015·7）已知三点 ， ， ，则 外接圆的圆心到原点的距离为（ ） A. B. C. D. 6.（2014·10）设 F 为抛物线 C：y2 = 3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交于 C 于 A、B 两点，则|AB|=（  ） A． B．6 C．12 D． 7.（2014·12）设点 M(x0，1)，若在圆 O：x2+y2=1 上存在点 N，使得∠OMN=45°，则 x0 的取值范围是（  ） A． B． C． D． 8. （ 2013·5 ） 设 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 ， P 是 C 上 的 点 ， ， ，则 C 的离心率为（ ） A． B． C． D． )0,1(A )3,0(B )3,2(C ABC∆ 2 2 2 8 13 0x y x y+ − − + = 1 0ax y+ − = 4 3 − 3 4 − 3 （2016·6）A 解析：圆心为 ，半径 ，所以 ，解得 ，故选 A. (1,4) 2r = 2 2 | 4 1| 1 1 a a + − = + 4 3a = − 5 3 21 3 2 5 3 4 3 （ 2015·7 ） B 解 析 ： 圆 心 在 直 线 BC 垂 直 平 分 线 上 ， 即 直 线 x=1 上 ， 设 圆 心 D(1, b) ， 由 DA=DB 得 ，所以圆心到原点的距离 .2 2 3| | 1 ( 3) 3b b b= + − ⇒ = 2 22 3 211 ( )3 3d = + = 30 3 7 3 （2014·10）C 解析：由题意，得 又因为 ，故直线 AB 的方程为 ，与抛物线 联立，得 ，设 ，由抛物线定义得， 3( ,0).4F 3tan30 3k = °= 3 3( )3 4y x= − 2 =3y x 216 168 9 0x x− + = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 168 3 1216 2AB x x p= + + = + = [ 1,1]− 1 1[ ]2 2 − ， [ 2, 2]− 2 2[ ]2 2 − ， （2014·12）A 解析：由题意画出图形如图：∵点 M（x0，1），∴若在圆 O：x2+y2=1 上存在点 N，使得 ∠OMN=45°，∴圆上的点到 MN 的距离的最大值为 1，要使 MN=1，才能使得∠OMN=45°，图中 M′显然不 满足题意，当 MN 垂直 x 轴时，满足题意，∴x0 的取值范围是[-1，1]． 2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 0)a b> > 1 2,F F 2 1 2PF F F⊥ 1 2 30PF F∠ =  3 6 1 3 1 2 3 3 9.（2013·10）设抛物线 C: y2=4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A，B 两点. 若|AF|=3|BF|，则 l 的方程为（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 10.（2015·15）已知双曲线过点 ，且渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程为 . 11.（2018·6）双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 A． B． C． D． 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3 2y x= ± 3y x= ± 2 2y x= ± 3 2y x= ± （2013·5）D 解析：因为 ，所以 .又 ，所以 ，即椭圆的离心率为 ，故选 D. 2 1 2 1 2, 30PF F F PF F⊥ ∠ =  2 1 2 3 4 32 tan30 ,3 3PF c c PF c= = = 1 2 6 3 23PF PF c a+ = = 1 3 33 c a = = 3 3 1y x= − 1y x= − + 3 ( 1)3y x= − 3 ( 1)3y x= − − 3( 1)y x= − 3( 1)y x= − − 2 ( 1)2y x= − 2 ( 1)2y x= − − （2013·10）C 解析：抛物线 y2=4x 的焦点坐标为（1，0），准线方程为 x=-1，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则因为 |AF|=3|BF|，所以 x1+1=3(x2+1)，即 x1=3x2+2，因为|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以 x1=3，x2= ，当 x1=3 时， ，所以此时 ，若 ，则 ,此时 ,此时直线方程 为 . 若 ，则 ,此时 ,此时直线方程为 . 所以 的方程是 或 ，故选 C. 1 3 2 1 12y = 1 12 2 3y = ± = ± 1 2 3y = 1 2 3(3,2 3), ( , )3 3A B − 3ABk = 3( 1)y x= − 1 2 3y = − 1 2 3(3, 2 3), ( , )3 3A B− 3ABk = − 3( 1)y x= − − l 3( 1)y x= − 3( 1)y x= − − (4, 3) 1 2y x= ± （2015·15） 解析：根据双曲线渐近线方程为 ，可设双曲线的方程为 ，把 代入得 m=1. 2 2 14 x y− = 1 2y x= ± 2 2 4 x y m− = (4, 3) 【答案】A【解析】 因为渐近线方程为 ，所以渐近线方程为 ，选 A. 12.（2018·11）已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且 ，则 的离心 率为 A． B． C． D． 8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为（ ） A. B. C. D. 9.设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，若 的 面积为 8，则 的焦距的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 1F 2F C P C 1 2PF PF⊥ 2 1 60PF F∠ = ° C 31 2 − 2 3− 3 1 2 − 3 1− 12.【答案】D 【解析】在 中， ,设 ，则 ， 又由椭圆定义可知 ,则离心率 ， 故选 D. 2 3 0x y− − = 5 5 2 5 5 3 5 5 4 5 5 【答案】B【详解】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，圆的标准方程为 . 由题意可得 ，可得 ，解得 或 ， 所以圆心的坐标为 或 ，圆心到直线 的距离均为 ； 所以，圆心到直线 的距离为 .故选：B. ( )2,1 ( ),a a a ( ) ( )2 2 2x a y a a− + − = ( ) ( )2 2 22 1a a a− + − = 2 6 5 0a a− + = 1a = 5a = ( )1,1 ( )5,5 2 3 0x y− − = 2 2 5 55 d −= = 2 3 0x y− − = 2 5 5 O x a= 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ,D E ODE C 三、解答题 【2019.20】已知 是椭圆 的两个焦点，P 为 C 上一点，O 为坐标原点． （1）若 为等边三角形，求 C 的离心率； （2)如果存在点 P，使得 ，且 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围. 【答案】B 【详解】 ， 双曲线的渐近线方程是 直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点 不妨设 为在第一象限， 在第四象限 联立 ，解得 ，故 ，联立 ，解得 ，故 ， 面积为： 双曲线 ， 其焦距为 当且仅当 取等号， 的焦距的最小值： ，故选：B.  2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ∴ by xa = ±  x a= 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > D E D E x a by xa = = x a y b =  = ( , )D a b x a by xa = = − x a y b =  = − ( , )E a b− ∴| | 2ED b= ∴ ODE 1 2 82ODES a b ab= × = =△  2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ∴ 2 22 2 2 2 2 16 8c a b ab= + ≥ = = 2 2a b= = ∴ C 8 1 2,F F 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2POF 1 2PF PF⊥ 1 2F PF△ 13.（2017·20）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 （1）求点 P 的轨迹方程； （2）设点 Q 在直线 x=-3 上，且 .证明过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 【解析】（1）连结 ，由 为等边三角形可知：在 中， ， ， ， 于是 ，故椭圆 C 的离心率为 ； （2）由题意可知，满足条件的点 存在，当且仅当 ， ， ， 即 ① ② ③ 由②③以及 得 ，又由①知 ，故 ； 由②③得 ，所以 ，从而 ，故 ； 当 ， 时，存在满足条件的点 . 故 ，a 的取值范围为 . 1PF 2POF 1 2F PF△ 1 2 90F PF∠ =  2PF c= 1 3PF c= 1 22 3a PF PF c c= + = + 2 3 1 1 3 ce a = = = − + ( , )P x y 1 2 162 y c⋅ = 1y y x c x c ⋅ = −+ − 2 2 2 2 1x y a b + = 16c y = 2 2 2x y c+ = 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 2a b c= + 4 2 2 by c = 2 2 2 16y c = 4b = 2 2 2 2 2 ( )ax c bc = − 2 2c b≥ 2 2 2 22 32a b c b= + ≥ = 4 2a ≥ 4b = 4 2a ≥ ,22 c cP ∴   4b = [4 2, )+∞ 2 2 12 x y+ = 2NP NM=  1OP PQ⋅ =  14.（2016·21）已知 A 是椭圆 E: 的左顶点，斜率为 k (k>0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上， MA⊥NA. （Ⅰ）当|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当 2|AM|=|AN|时，证明： . 解析：（1）设 ， ， ， ， ，即 ，代入椭圆方程 ，得到 ，∴点 的轨迹方程 . （ 2 ） 由 题 意 知 , 椭 圆 的 左 焦 点 为 F(-1 ， 0) ， 设 P(m ， n) ， Q(-3 ， t) ， 则 由 得 ， 又 由 （ 1 ） 知 ，故 .所以 ，即 . 又过点 P 存在唯一直线垂直于， 所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. ( , )P x y ( , )M x y′ ′ ( ,0)N x′ 2NP NM=  ( , ) 2(0, )x x y y′ ′− = 0 2 2 x xx x yyy y ′ =′− = ⇒  ′ =′=  2 2 12 x y ′ ′+ = 2 2 2x y+ = P 2 2 2x y+ = ( , )OP m n= ， ( 3, )OQ t= - ， ( 3 )PQ m t n= − − − ， ， ( 1 )PF m n= − − − ， ， 1OP PQ⋅ =  2 23 1m m tn n− − + − = 2 2 2m n+ = 3+3 0m tn− = 3 3 0OQ PF m tn⋅ = + − =  OQ PF⊥  2 2 14 3 x y+ = 3 2k< < （2016·21）解析：（Ⅰ）设 ，则由题意知 .由已知及椭圆的对称性知，直线 的倾斜角为 ， 又 ，因此直线 的方程为 .将 代入 得 ，解得 或 ，所以 .因此 的面积 . （Ⅱ）将直线 的方程 代入 得 .由 得 ，故 . 由题设，直线 的方程为 ，故同理可得 .由 得 ，即 . 设 ，则 是 的零点， ， 1 1( , )M x y 1 0y > AM 4 π ( 2,0)A − AM 2y x= + 2x y= − 2 2 14 3 x y+ = 27 12 0y y− = 0y = 12 7y = 1 12 7y = AMN∆ 1 12 12 1442 2 7 7 49AMNS∆ = × × × = AM ( 2)( 0)y k x k= + > 2 2 14 3 x y+ = 2 2 2 2(3 4 ) 16 16 12 0k x k x k+ + + − = 2 1 2 16 12( 2) 3 4 kx k −⋅ − = + 2 1 2 2(3 4 ) 3 4 kx k −= + 2 2 1 2 12 1| | 1 | 2 | 3 4 kAM k x k += + + = + AN 1 ( 2)y xk = − + 2 2 12 1| | 4 3 k kAN k += + 2 | | | |AM AN= 2 2 2 3 4 4 3 k k k =+ + 3 24 6 3 8 0k k k− + − = 3 2( ) 4 6 3 8f t t t t= − + − k ( )f t 2 2'( ) 12 12 3 3(2 1) 0f t t t t= − + = − ≥ 所以 在 单调递增， 又 ，因此 在 有唯一的零点，且零点 在 内， 所以 . ( )f t (0, )+∞ ( 3) 15 3 26 0, (2) 6 0f f= − < = > ( )f t (0, )+∞ k ( 3,2) 3 2k< >0）的离心率为 ，点（2， ）在 C 上. （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A、B，线段 AB 的中点为 M，证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 16.（2014·20）设 F1 ，F2 分别是椭圆 C： （a>b>0）的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直， 直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. （Ⅰ）若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率； （Ⅱ）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且|MN|=5|F1N|，求 a，b. 2 2 2 2 1x y a b + = a b 2 2 2 12 2 2 2 =+ b y a x 4 3 （ 2015·20 ） 解 析 ： （ Ⅰ ） 由 题 意 有 ， 解 得 . 所 以 C 的 方 程 为 （Ⅱ）设直线 将 代入 得 ， 故 ，于是直线 OM 的斜率 ， 即 ，所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 2 2 2 2 2 4 2, 12 a b a a b − = + = 2 28, 4a b= = 2 2 1.8 4 x y+ = 1 1 2 2: ( 0, 0), ( , ), ( , ), ( , ).M Ml y kx b k b A x y B x y M x y= + ≠ ≠ y kx b= + 2 2 18 4 x y+ = 2 2 2(2 1) 4 2 8 0k x kbx b+ + + − = 1 2 2 2 2 ,2 2 1 2 1M M M x x kb bx y kx bk k + −= = = + =+ + 1 2 M OM M yk x k = = − 1 2OMk k⋅ = − 17.（2013·20）在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 在 轴上截得线段长为 ，在 轴上截得线段长为 . （Ⅰ）求圆心 的轨迹方程； （Ⅱ）若 点到直线 的距离为 ，求圆 的方程. （2014·20）解析：∵M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直，∴M 的横坐标为 c，当 x=c 时， ，即 ， 若直线 MN 的斜率为 ，则 ，即 ， 亦即 ，则 ，解得 ，故椭圆 C 的离心率为 ． （Ⅱ）由题意，原点 O 是 F1F2 的中点，则直线 MF1 与 y 轴的交点 D（0，2）是线段 MF1 的中点，故 ，即 b2=4a，由|MN|=5|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，设 N（x1，y1），由题意知 y1＜0，则 ， 即 ，代入椭圆方程得 ，将 b2=4a 代入得 ，解得 a=7， . 2by a = 2 ( )bM c a ， 3 4 2 2 1 2 3tan 2 2 4 b a bMF F c ac ∠ = = = 2 2 23 2b ac a c= = − 2 23 1 02 2c ac a− − = 22 3 2 0e e− − = 1 2e = 1 2 2 44 b = 1 1 2( ) 2 2 c x c y − − = − = 1 1 3 2 1 x c y  = −  − 2 2 2 9 1 14 c a b + = 2 2 9( 4 ) 1 14 4 a a a a − + = 2 7b = P x 2 2 y 2 3 P P y x= 2 2 P 18 ．（ 2018·20 ） 设 抛 物 线 的 焦 点 为 ， 过 且 斜 率 为 的 直 线 与 交 于 ， 两 点 ， ． （1）求 的方程； （2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程． 2 4C y x=： F F ( 0)k k > l C A B | | 8AB = l A B C （2013·20）解析：（Ⅰ）设 P(x，y)，圆 P 的半径为 r. 由题设 y2+2=r2，x2+3=r2. 从而 y2+2=x2+3. 故 P 点的轨迹方程为 y2-x2=1. （Ⅱ）设 P(x0，y0)．由已知得 . 又 P 点在双曲线 y2-x2=1 上，从而得 . 由 ，得 . 此时，圆 P 的半径 . 由 ，得 . 此时，圆 P 的半径 . 故圆 P 的方程为 x2+(y-1)2=3 或 x2+(y+1)2=3. 0 0| | 2 22 x y− = 0 0 2 2 1 0 | | 1 1 x y y x − =  − = 0 0 2 2 0 0 1 1 x y y x − =  − = 0 0 0 1 x y =  = − 3r = 0 0 2 2 0 0 1 1 x y y x − = −  − = 0 0 0 1 x y =  = 3r = 19.已知椭圆 C1： (a>b>0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，C1 的中心与 C2 的顶点重合．过 F 且与 x 轴重直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且|CD|= |AB|． （1）求 C1 的离心率； （2）若 C1 的四个顶点到 C2 的准线距离之和为 12，求 C1 与 C2 的标准方程． 2018.20．解：（1）由题意得 F（1，0），l 的方程为 y=k（x–1）（k>0）．设 A（x1，y1），B（x2，y2）． 由 得 ． ，故 ． 所以 ． 由题设知 ，解得 k=–1（舍去），k=1． 因此 l 的方程为 y=x–1． （2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2），所以 AB 的垂直平分线方程为 ，即 ． 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 解得 或 因此所求圆的方程为 或 ． 2 ( 1) 4 y k x y x = −  = 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + = 216 16 0k∆ = + = 2 1 2 2 2 4kx x k ++ = 2 1 2 2 4 4( 1) ( 1) kAB AF BF x x k += + = + + + = 2 2 4 4 8k k + = 2 ( 3)y x− = − − 5y x= − + 0 0 2 2 0 0 0 5 ( 1)( 1) 16.2 y x y xx = − + − ++ = + ， 0 0 3 2 x y =  = ， 0 0 11 6. x y =  = − ， 2 2( 3) ( 2) 16x y− + − = 2 2( 11) ( 6) 144x y− + + = 2 2 2 2 1x y a b + = 4 3 十二、坐标系与参数方程（解析版） 【2019.22】[选修 4-4：坐标系与参数方程] 【详解】解：（1）因为椭圆 的右焦点坐标为： ,所以抛物线 的方程为 ，其中 . 不妨设 在第一象限，因为椭圆 的方程为： ， 所以当 时，有 ，因此 的纵坐标分别为 ， ； 又因为抛物线 的方程为 ，所以当 时，有 ， 所以 的纵坐标分别为 ， ，故 ， . 由 得 ，即 ，解得 （舍去）， . 所以 的离心率为 . （2）由（1）知 ， ，故 ，所以 的四个顶点坐标分别为 ， ， ， ， 的准线为 . 由已知得 ，即 . 所以 的标准方程为 ， 的标准方程为 . 1C (c,0)F 2C 2 4y cx= 2 2c a b= − ,A C 1C 2 2 2 2 1x y a b + = x c= 2 2 2 2 2 1c y bya b a + = ⇒ = ± ,A B 2b a 2b a − 2C 2 4y cx= x c= 2 4 2y c c y c= ⋅ ⇒ = ± ,C D 2c 2c− 22| | bAB a = | | 4CD c= 4| | | |3CD AB= 284 3 bc a = 23 2 2( )c c a a ⋅ = − 2c a = − 1 2 c a = 1C 1 2 2a c= 3b c= 2 2 1 2 2: 14 3 x yC c c + = 1C (2 ,0)c ( 2 ,0)c− (0, 3 )c (0, 3 )c− 2C x c= − 3 12c c c c+ + + = 2c = 1C 2 2 116 12 x y+ = 2C 2 8y x= 在极坐标系中，O 为极点，点 在曲线 上，直线 l 过点 且与 垂直， 垂足为 P. （1）当 时，求 及 l 的极坐标方程； （2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程. 1.（2017·22） 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方 程为 ． （1）M 为曲线 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 ,求点 P 的轨迹 的直角坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 上，求 面积的最大值． 1C cos 4ρ θ = 1C | | | | 16OM OP⋅ = 2C (2, )3 π 2C OAB∆ 0 0 0( , )( 0)M ρ θ ρ > : 4sinC ρ θ= (4,0)A OM 0 = 3 πθ 0 ρ 【解析】（1）因为点 在曲线 上， 所以 ； 即 ，所以 ，因为直线 l 过点 且与 垂直， 所以直线 的直角坐标方程为 ，即 ； 因此，其极坐标方程为 ，即 l 的极坐标方程为 ； （2）设 ，则 ， ， 由题意， ，所以 ，故 ，整理得 ， 因为 P 在线段 OM 上，M 在 C 上运动，所以 ， 所以，P 点轨迹的极坐标方程为 ，即 . 0 0 0( , )( 0)M ρ θ ρ > : 4sinC ρ θ= 0 04sin 4sin 2 33 πρ θ= = = (2 3, )3M π tan 33OMk π= = (4,0)A OM l 3 ( 4)3y x= − − 3 4 0x y − =+ cos 3 sin 4ρ θ ρ θ+ = sin( ) 26 πρ θ + = ( , )P x y OP yk x = 4AP yk x = − OP AP⊥ 1OP APk k = − 2 2 14 y x x = −− 2 2 4 0x y x+ − = 0 2,2 4x y≤ ≤ ≤ ≤ 2 4 cos 0ρ ρ θ− = 4cos ( )4 2 π πρ θ θ= ≤ ≤ （2017·22）解析：（1）解法一：设 点在极坐标下坐标为 由 可得 点的坐标为 ， 代入曲线 的极坐标方程，得： ，即 ，两边同乘以 ，化成直角坐标方程为： ，由题意知 ，所以检验得 ． 解法二：设 点在直角坐标系下坐标为 ，曲线 的直角坐标方程为 ，因为 三点共线，所以 点的坐标为 ，代入条件 得： ，因为 ，化简得： ． （2）解法一：由（1）知曲线 的极坐标方程为 ，故可设 点坐标为 ， P ( ),ρ θ 16OM OP⋅ = M 16 ,θρ      1C 16 cos 4θρ = 4cosρ θ= ρ 2 2 4x y x+ = 0ρ > 2 2 4 ( 0)x y x x+ = ≠ P ( ),x y 1C 4x = , ,O P M M 44, y x      16OM OP⋅ = 2 2 2 2 1616 16y x yx + ⋅ + = 0x > 2 2 4 ( 0)x y x x+ = ≠ 2C 4cosρ θ= B (4cos , )θ θ ， 由 得 ，即最大值为 ． 解法二：在直角坐标系中， 点坐标为 ，直线 的方程为 ． 设点 点坐标 ，则点 到直线 的距离 ， 所以 ，又因为点 坐标满足方程 ，由柯西不等式得： ，即 ， 即 ，由 得， ． 21 2 4cos sin( ) 2 3 cos 2sin cos 3 cos2 sin 2 32 3OABS πθ θ θ θ θ θ θ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ − = − = − + 2sin(2 ) 33 πθ= − − + 2 2 π πθ− ≤ ≤ 2 3OABS∆ ≤ + 2 3+ A (1, 3) OA 3 0x y− = B ( , )x y B OA 3 2 x y d − = 31 22 2OAB x y S d∆ − = ⋅ ⋅ = B 2 2( 2) 4x y− + = 222 2 2( 2) 3 ( 1) 3( 2)x y x y    − + + − ≥ − −      4 3( 2) 4x y− ≤ − − ≤ 4 2 3 3 4 2 3x y− + ≤ − ≤ + 3 2OAB x y S∆ − = 2 2 3OABS∆ ≤ + 2.（2016·23）【选修 4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 . （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线 l 的参数方程是 （t 为参数），l 与 C 交于 A，B 两点， ，求 l 的斜率. 3.（2015·23）在直角坐标系 中，曲线 C1： （t 为参数，t≠0）其中 ，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2: ，C3: . （Ⅰ）求 C2 与 C3 交点的直角坐标；（Ⅱ）若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值 4.（2014·23）在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 ， . （1）求 C 的参数方程； （2）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定 D 的 坐标. 2 2( + 6) + = 25x y cos sin x t y t α α =  = 10AB = xOy cos sin x t y t α α =  = 0 α π≤ < 2sinρ θ= 2 3 cosρ θ= 2cosρ θ= [0, ]2 πθ ∈ : 3 2l y x= + （2016·23）解析：⑴整理圆的方程得 ，由 可知，圆 的极坐标方程为 ． (2) 记 直 线 的 斜 率 为 ， 则 直 线 的 方 程 为 ， 由 垂 径 定 理 及 点 到 直 线 距 离 公 式 知 ： ，即 ，整理得 ，则 ． 2 2 12 11 0x y+ + + = 2 2 2 cos sin x y x y ρ ρ θ ρ θ  = +  =  = C 2 12 cos 11 0ρ ρ θ+ + = k 0kx y− = 2 2 6 1025 21 k k  − = −   +   2 2 36 90 1 4 k k =+ 2 5 3k = 15 3k = ± （ 2015·23 ） 解 析 ： （ Ⅰ ） 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 ， 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 联立 ，解得 或 ，所以 与 交点的直角坐标为 和 . （Ⅱ）曲线 C1 的极坐标方程为 ， ，因此 A 的极坐标为 ，B 的极坐标为 ，所以 ，当 时， 取得最大值，最大值为 4. 2C 2 2 2 0x y y+ − = 3C 2 2 2 3 0x y x+ − = 2 2 2 2 2 0 2 3 0 x y y x y x  + − = + − = 0 0 x y =  = 3 2 3 2 x y  =  = 2C 3C (0,0) 3 3( , )2 2 ( , 0)Rθ α ρ ρ= ∈ ≠ 0 α π≤ < (2sin , )α α (2 3cos , )α α | | |2sin 2 3cos | 4|sin( )|3AB πα α α= − = − 5 6 πα = | |AB 5.（2013·23）已知动点 ， 都在曲线 （ 为参数）上，对应参数分别为 与 ， 为 的中点. （Ⅰ）求 的轨迹的参数方程； （Ⅱ）将 到坐标原点的距离 表示为 的函数，并判断 的轨迹是否过坐标原点. 6.（2018·22）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程为 （ 为参数）． （1）求 和 的直角坐标方程； （2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率． P Q 2cos ,: 2sin x tC y t =  = t t α= 2 (0 2 )t α α π= < < M PQ M M d α M xOy C 2cos , 4sin x θ y θ =  = θ l 1 cos , 2 sin x t α y t α = +  = + t C l C l (1, 2) l （2014·23）解析：（1）设点 M(x, y)是曲线 C 上任意一点，∵ ，∴ ， 即： ，∴C 的参数方程为 ( 为参数， )． （2）设点 D(1+cosφ, sinφ)，∵C 在 D 处的切线与直线 l： 垂直，∴直线 CD 和 l 的斜率相同，∴ ，∵ ， ，∴ ，∴点 的坐标为 . 2cosρ θ= 2 2 2x y x+ = 2 2( 1) 1x y− + = 1 cos sin x y ϕ ϕ = +  = ϕ 0 ϕ π≤ ≤ 3 2y x= + sin tan 3cos ϕ ϕϕ = = 0 ϕ π≤ ≤ 3 πϕ∴ = 3sin 2 1cos 2 ϕ ϕ  =  = D 3 3( , )2 2 （2013·23）解析：（Ⅰ）依题意有 P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此 M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为 (α 为参数，0＜α＜2π)． （Ⅱ）M 点到坐标原点的距离 (0＜α＜2π)．当 α＝π 时，d＝0， 故 M 的轨迹过坐标原点． cos cos2 sin sin 2 x y α α α α = +  = + 2 2 2 2cosd x y α= + = + 7、【2020.22】已知曲线 C1，C2 的参数方程分别为 C1： （θ 为参数），C2： （t 为参数）. （1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程. 2018.22（1）曲线 的直角坐标方程为 ． 当 时， 的直角坐标方程为 ， 当 时， 的直角坐标方程为 ． （2）将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程 ．① 因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内，所以①有两个解，设为 ， ，则 ． 又由①得 ，故 ，于是直线 的斜率 ． C 2 2 14 16 x y+ = cos 0α ≠ l tan 2 tany xα α= ⋅ + − cos 0α = l 1x = l C t 2 2(1 3cos ) 4(2cos sin ) 8 0t tα α α+ + + − = C l (1,2) C 1t 2t 1 2 0t t+ = 1 2 2 4(2cos sin ) 1 3cost t α α α ++ = − + 2cos sin 0α α+ = l tan 2k α= = − 2 2 4cos 4sin x y θ θ  =  = ， 1, 1 x t t y t t  = +  = − 【详解】（1）由 得 的普通方程为： ； 由 得： ，两式作差可得 的普通方程为： . 2 2cos sin 1θ θ+ = 1C 4x y+ = 1 1 x t t y t t  = +  = − 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 x t t y t t  = + +  = + − 2C 2 2 4x y− = 十三、统计与概率 【2019.4】生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只 测量过该指标的概率为( ) A． B． C． D． 5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( ) （2）由 得： ，即 ； 设所求圆圆心的直角坐标为 ，其中 ， 则 ，解得： ， 所求圆的半径 ， 所求圆的直角坐标方程为： ，即 ， 所求圆的极坐标方程为 . 2 2 4 4 x y x y + =  − = 5 2 3 2 x y  =  = 5 3,2 2P     ( ),0a 0a > 2 2 25 302 2a a   − + − =       17 10a = ∴ 17 10r = ∴ 2 2 217 17 10 10x y   − + =       2 2 17 5x y x+ = ∴ 17 cos5 ρ θ= 2 3 3 5 2 5 1 5 【答案】B 【解析】设其中做过测试的 3 只兔子为 ，剩余的 2 只为 ，则从这 5 只中任取 3 只的所有 取法有 ， 共 10 种．其中恰有 2 只做过测试的取法有 共 6 种， 所以恰有 2 只做过测试的概率为 ，选 B． , ,a b c ,A B { , , },{ , , },{ , , },{ , , },{ , , },{ , , }a b c a b A a b B a c A a c B a A B { ,c, },{ ,c, },{b, , },{c, , }b A b B A B A B { , , },{ , , },{ , , },{ , , },a b A a b B a c A a c B { ,c, },{ ,c, }b A b B 6 3 10 5 = A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车 次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 ___________. 1.（2017·11）从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一 张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A. B. C. D. 2.（2016·8）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒. 若一名行人来到该路口遇到 红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为（ ） A． B． C． D． 3.（2015·3）根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确 的是（ ） A．逐年比较，2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B．2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 1 10 1 5 3 10 2 5 7 10 5 8 3 8 3 10 【答案】A 【解析】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故 3 人成绩由高到 低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比 乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选 A． 【答案】0．98. 【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为 ，其中高铁个数为 10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为 ． 10 0.97 20 0.98 10 0.99 39.2× + × + × = 39.2 0.9840 = （2017·11）D 解析：如下表所示，表中的点横坐标表 示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数，总 计有 25 种情况，满足条件的有 10 种，所以所求概率为 .10 2 25 5 = （2016·8）B 解析：至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 ，故选 B.40 15 5 40 8 − = C．2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势 D．2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4.（2014·13）甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服种选择 1 种，则他们选择相同颜色运 动服的概率为_______. 5.（2013·13）从 1，2，3，4，5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是_______. 6.（2018·5）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为 A． B． C． D． 7、【2020.3】如图，将钢琴上的 12 个键依次记为 a1，a2，…，a12.设 1≤i