2013-2020年全国高考文科数学（Ⅰ卷）真题分类汇编（94页 word版含答案解析）

2013-2020 年全国高考文科数学（Ⅰ卷）真题分类汇编 一、集合与简易逻辑、推理与证明 【2019，2】已知集合 ，则 A． B． C． D． 1.【2017，1】已知集合 ， ，则（ ） A． B． C． D． 2.【2016，1】设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3.【2015，1】已知集合 A={x|x=3n+2, n∈N}，B={6,8,10,12,14}，则集合 A∩B 中的元素个数为( ) D A．5 B．4 C．3 D．2 4.【2014，1】已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． { } { } { }1,2,3,4,5,6,7 2,3,4,5 2,3,6,7U A B= = =， ， CUB A { }1,6 { }1,7 { }6,7 { }1,6,7 【答案】C 【解析】由已知得 ，所以 ，故选 C．{ }1,6,7UC A = UB C A∩ = {6,7} { }2A x x= < { }3 2 0B x x= − > 3{ | }2A B x x= =< ba 3, π>=< ba ( 4, 3)AC = − − BC = 解： =(-7,-4)，故选 A(3,1),     AB BC AC AB= ∴ = − =+ FCEB A． B． C． D． 3. 【2017，13】已知向量 ， ，若向量 与 垂直，则 ． 4.【2016，13】设向量 ， ，且 ，则 ． 5.【2013，13】已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60°，c＝ta＋(1－t)b．若 b·c＝0，则 t＝______． 6．【2018，7】在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 A． B． C． D． 7、【2020.14】设向量 ，若 ，则 ______________. ( )1,2a = − ( ),1b m= a b+  a m = AD AD2 1 BC2 1 BC 解： = ,故选 A+EB FC EC CB FB BC+ = + +      1 1 1( )2 2 2AC AB AB AC AD+ = + =     【解析】由题得 ，因为 ，所以 ，解得 ；( 1,3)a b m+ = −  ( ) 0a b a+ ⋅ =   ( 1) 2 3 0m− − + × = 7m = ( )1x x +,a = ( )1 2,b = ⊥a b x = 解析： ．由题意 ，解得 ．故填 ．2 3 − ( )2 1 0x x⋅ = + + =a b 2 3x = − 2 3 − 解析： ． ∵b·c＝0，|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝ ． ∴b·c＝[ta＋(1－t)b]·b＝0，即 ta·b＋(1－t)b 2＝0．∴ ＋1－t＝0． ∴t＝2． 2 1 11 1 2 2 × × = 1 2 t ABC AD BC E AD EB = 3 1 4 4AB AC−  1 3 4 4AB AC−  3 1 4 4AB AC+  1 3 4 4AB AC+  答案 A 解析： 1 1 3 1( )2 4 4 4EB EA AB DA AB AB AC AB AB AC= + = + = − + + = −          (1, 1), ( 1,2 4)m m= − = + −a b a b⊥  m = 【答案】5 【解析】由 可得 ，又因为 ， 所以 ，即 ， a b⊥  0a b⋅ =  (1, 1), ( 1,2 4)a b m m= − = + −  1 ( 1) ( 1) (2 4) 0a b m m⋅ = ⋅ + + − ⋅ − =  5m = 四、不等式 1.【2017，7】设 x，y 满足约束条件 则 z=x+y 的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.【2014，11】设 x，y 满足约束条件 且 z=x+ay 的最小值为 7，则 a= ( ) A．-5 B．3 C．-5 或 3 D．5 或-3 3.【2016，16】某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1．5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0．5kg，乙材料 0．3kg，用 3 个工时．生产 一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg， 则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元． 3 3, 1, 0, x y x y y + ≤  − ≥  ≥ 【答案】D 【解法】目标函数 经过 时最大，故 ，故选 D．z x y= + (3,0)A max 3 0 3z = + = , 1, x y a x y + ≥  − ≤ − B 解：联立x+y=a与x-y=-1解得交点M ，z取得最值 ，解之得a=-5或a=3． 但a=-5 时，z取得最大值，舍去，所以a=3，故选B． 1 1( , )2 2 a a− + 1 1 72 2 a aa − ++ × = 4.【2015,15】15．若 x,y 满足约束条件 ，则 z=3x+y 的最大值为 ． 5.【2013，14】设 x，y 满足约束条件 则 z＝2x－y 的最大值为______． 解析： ． 设生产产品 A，B 的件数分别为 ，获得利润为 元，则 满足约束条件为： ，目标函数为 ，画出满足不等式组的可行域，如图所 示．联立 ，得 ，即 ．移动目标函数 ，可得到当其经过点 时， 有最大值 ．故填 ． 100 200 300 60,100( ) x y O 216000 ,x y z ,x y , 1.5 0.5 150 0.3 90 5 3 600 x y x y x y x y ∈  + +  + N    ( )2100 900 300 7 3z x y x y= + = + 5 3 600 0.3 90 x y x y + =  + = 60 100 x y =  = ( )60,100A 7 3 900 zy x= − + ( )60,100A z 216000 216000 2 0 2 1 0 2 2 0 x y x y x y + − ≤  − + ≤  − + ≥ 解：作出可行域四边形 ABC，如图．画出直线 l0：3x+y =0，平移 l0 到 l，当 l 经过点 A 时 z 最大，联立 x+y-2=0 与 x-2y+2=0 解得交点 A(1,1)，所以 zmax=4． 1 3, 1 0, x x y ≤ ≤ − ≤ − ≤ 答案：3 解析：画出可行域如图所示．画出直线 2x－y＝0，并平移，当直线经过点 A(3,3)时，z 取最大值，且 最大值为 z＝2×3－3＝3． 6.【2018，14】 若 满足约束条件 则 的最大值为________． 7、【2020.13】若 x，y 满足约束条件 则 z=x+7y 的最大值为______________. x y， 2 2 0 1 0 0 x y x y y − − ≤  − + ≥  ≤ ， ， ， 3 2z x y= + 【答案】6 【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由 可得 ，画出直线 ，将其上下移动，结合 的几何意义，可知当直线过点 B 时，z 取得最大值，由 ，解得 ，此时 ，故答案为 6. 2 2 0, 1 0, 1 0, x y x y y + − ≤  − − ≥  + ≥ 【答案】1 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 五、程序框图 【2019.9】如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入 A.A= B．A= C．A= D．A= 目标函数 即： ， 其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值， 联立直线方程： ，可得点 A 的坐标为： ， 据此可知目标函数的最大值为： . 7z x y= + 1 1 7 7y x z= − + 2 2 0 1 0 x y x y + − =  − − = ( )1,0A max 1 7 0 1z = + × = 1 12 12 2 + + 1 2 A+ 12 A + 1 1 2A+ 11 2A + 1.【2017，10】如图是为了求出满足 的最小偶数 ，那么在 和 两个空白框中，可以分 别填入( ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2017.10 图 2016.10 图 2015.9 图 否 是 n=n+1 结束 输出x,y x2+y2≥36？ x=x+ n-1 2 ，y=ny 输入x,y,n 开始 【答案】A 【解析】该程序只进行了两次循环，即 k=1 以及 k=2 时，进行了循坏。如图 ，由结构观察，第一次得 到的结构应该为红色部分，根该问题，就可判断为 A。 如果还不能确定，也可以回代检验：执行第 1 次， 是，因为第一次应该计算 = ， =2，循环，执行第 2 次， ，是，因为第二次应该计算 = ， =3，循环， 执行第 3 次， ，否，输出，故循环体为 ，故选 A． 1 , 1 22A k= = ≤ 1 12 2 + 1 2 A+ 1k k= + 2 2k = ≤ 1 12 12 2 + + 1 2 A+ 1k k= + 2 2k = ≤ 1 2A A = + 3 2 1000n n− > n 1000A > 1n n= + 1000A > 2n n= + 1000A ≤ 1n n= + 1000A ≤ 2n n= + 【答案】D 【解法】解法一：因为要在 时输出 ，且框图中在“否”时输出，所以 中应填入 ，又要求 为偶数，且 的初始值为 0，所以 中应填入 ，故选 D. 3 2 1000n nA = − > n 1000A ≤ n n 2n n= + 2.【2016，10】执行如图所示的程序框图，如果输入的 则输出 的值满足（ ） A． B． C． D． 3.【2015,9】9．执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=( ) A．5 B．6 C．7 D．8 4.【2014，9】9．执行下面的程序框图，若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3，则输出的 M=( ) A． B． C． D． 5.【2013，7】执行下面的程序框图，如果输入的 t∈[－1,3]，则输出的 s 属于 0, 1,x y= = 1n = ， ,x y 2y x= 3y x= 4y x= 5y x= C 解析 将程序框图所执行的程序分步计算如表所示.故输出 ， ，满足 ．故选 C． 步骤 ? 第一次 否 第二次 否 第三次 是 3 2x = 6y = 4y x= n x y 2 2 36x y+ ≥ 1 0 1 2 1 2 2 3 3 2 6 解：运行程序，S,m,n 依次是( )，( )， ( )，( )，( )， ( )，( )，故选 C 1 1, ,12 4 1 1, ,24 8 1 1 ,38 16, 1 1, ,416 32 1 1, ,532 64 1 1, ,664 128 1 1, ,7128 256 20 3 7 2 16 5 15 8 解：运行程序 M,a,b,n 依次为 ; ; ；输出 .故选 D.3 3( ,2, ,2)2 2 8 3 8( , , ,3)3 2 3 15 8 15( , , ,4)8 3 8 15 8M= (  )． A．[－3,4] B．[－5,2] B．C．[－4,3] D．[－2,5] 6、【2020.9】执行下面的程序框图，则输出的 n=（ ） A. 17 B. 19 C. 21 D. 23 答案：A 解析：当－1≤t＜1 时，s＝3t，则 s∈[－3,3)． 当 1≤t≤3 时，s＝4t－t2. ∵该函数的对称轴为 t＝2，∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3] 上单调递减． ∴smax＝4，smin＝3.∴s∈[3,4]．综上知 s∈[－3,4]．故选 A. 【答案】C 【解析】据程序框图的算法功能可知，输出的 是满足 的最小正奇数， 因为 ，解得 ，所以输出的 ． n 1 3 5 100n+ + + + > ( ) ( )2 11 1 121 3 5 1 1002 4 nn n n − + × +  + + + + = = + > 19n > 21n = 六、函数及其性质 【2019.3】已知 ，则 A． B． C． D． 【2019.5】函数 f(x)= 在[—π，π]的图像大致为 A B C D 1.【2017，8】函数 的部分图像大致为（ ） 0.2 0.3 2log 0.2, 2 , 0.2a b c= = = a b c< < a c b< < c a b< < b c a< < 【答案】B 【解析】 则 ．故选 B．2 2log 0.2 log 1 0,a = < = 0.2 02 2 1,b = > = 0.3 00 0.2 0.2 1,< < = 0 1,c a c b< < < < 2 sin cos x x x x + + 【答案】D 【解析】由 ，得 是奇函数，其图象关于原 点对称．又 ．故选 D． 2 2 sin( ) ( ) sin( ) ( )cos( ) ( ) cos x x x xf x f xx x x x − + − − −− = = = −− + − + ( )f x 2 2 1 4 22( ) 1,2 ( )2 f π π π π π + += = > 2( ) 01f ππ π= >− + sin2 1 cos xy x = − 2.【2017，9】已知函数 ，则（ ） A． 在 单调递增 B． 在 单调递减 C． 的图像关于直线 对称 D． 的图像关于点 对称 3.【2016，8】若 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【解法】选 C 由题意知，函数 为奇函数，故排除 B；当 时， ，排除 D；当 时， ，排除 A．． sin 2 1 cos xy x = − x π= 0y = 1x = sin 2 01 cos2y = >− ( ) ( )ln ln 2f x x x= + − ( )f x ( )0,2 ( )f x ( )0,2 ( )y f x= 1x = ( )y f x= ( )1,0 【解析】（法一）函数的定义域为 ， ， 设 ， 为增函数，当 时， 为增函数， 为增函数，当 时， 为减函数， 为减函数．排除 A,B， 因为 是二次函数，图像关于直线 对称，故 ， 所以 ， 的图像关于直线 对称，故选 C； （法二） ，当 时， ， 为增函数． 当 时， ， 为减函数，故排除 A,B． 故选 C； )2,0( )2(ln)2ln(ln)( xxxxxf −=−+= 2)1(2)2()( 22 +−−=+−=−= xxxxxxt )(tf )1,0(∈x )(xt ∴ )(xf )2,1(∈x )(xt ∴ )(xf )(xt 1=x )2()( xtxt −= )2()( xfxf −= )2( 22 2 11)( xx x xxxf − −=−−=′ )1,0(∈x 0)( >′ xf )(xf )2,1(∈x 0)( > 0 1c< < log loga bc c< log logc ca b< c ca b< a bc c> 4.【2016，9】函数 在 的图像大致为（ ） A． B． C． D． 5.【2015,10】已知函数 ，且 f(a)=-3，则 f(6-a)=( ) A． B． C． D． 6.【2015，12】设函数 y=f(x)的图像与 y=2x+a 的图像关于直线 y=-x 对称，且 f(-2)+f(-4)=1，则 a=( ) C -2 2 1 O x y -2 2 1 O x y -2 2 1 O x y -2 2 1 O x y 8．B 解析 由 可知 是减函数，又 ，所以 ．故选 B． 评注:作为选择题，本题也可以用特殊值代入验证，如取 ， ， ，可快速得到答案． 另外，对于 A， ， ，因为 ，所以 ． 又 ，所以 ，但正负性无法确定，所以 A 无法判断． 对于 C，D，可分别利用幂函数、指数函数的单调性判断其错误． 0 1c< < logcy x= 0a b> > log logc ca b< 4a = 2b = 1 2c = lglog lga cc a = lglog lgb cc b = 0 1c< < lg 0c < 0a b> > lg lga b> 22 e xy x= − [ ]2,2− 解析:选 D. 设 ，由 ，可排除 A（小于 ），B（从趋势上超过 ）；又 时, , ，所以 在 上不是单调函数,排除 C．故 选 D． ( ) 22 e xf x x= − ( ) ( )22 8 e 0,1f = − ∈ 0 1 ( )0,2x∈ ( ) 4 exf x x′ = − ( ) ( ) ( )0 1 4 e 0f f′ ′⋅ = − − < ( )f x ( )0,1 1 2 2 2, 1( ) log ( 1), 1 x xf x x x − − ≤= − + > 7 4 − 5 4 − 3 4 − 1 4 − 解：∵f(a)=-3，∴当 a≤1 时，f(a)=2 a-1-2=-3，则 2a-1=-1，无解．当 a>1 时，f(a)=-log 2(a+1) =-3，则 a+1=8，解得 a=7，∴f(6-a)=f(-1)= 2-2-2= ，故选 A．7 4 − A．-1 B．1 C．2 D．4 7.【2014，5】设函数 , 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论中正确的是 （ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 8.【2013，9】函数 f(x)＝(1－cos x)sin x 在[－π，π]的图像大致为(  ) *9.【2013，12】已知函数 f(x)＝ 若|f(x)|≥ax，则 a 的取值范围是(  )． A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0] 解：设 f(-2)=m，f(-4)=n，则 m+n=1，依题点(-2，m)与点(-4，n)关于直线 y=-x 对称点为(-m，2)与点(-n， 4)在函数 y=2x+a 的图像上，∴2=2-m+a，4=2-n+a，∴-m+a=1，-n+a=2，∴2a=3+m+n=4，∴a=2，故选 C ( )f x ( )g x R ( )f x ( )g x ( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x 解：设 F(x)=f(x)|g(x)|，依题可得 F(-x)=-F(x)，∴ F(x)为奇函数，故选 C 解析：选 C. 由 f(x)＝(1－cos x)sin x 知其为奇函数．可排除 B．当 x∈ 时，f(x)＞0，排除 A． 当 x∈(0，π)时，f′(x)＝sin2x＋cos x(1－cos x)＝－2cos2x＋cos x＋1．令 f′(x)＝0，得 ． 故极值点为 ，可排除 D. π0, 2      2 π3x = 2 π3x = 2 2 , 0, ln( 1), 0. x x x x x − + ≤  + > 10．【2018，12】设函数 ，则满足 的 x 的取值范围是 A． B． C． D． 11．【2018，13】已知函数 ，若 ，则 ________． 12、【2020.8】设 ，则 （ ） 解析：选 D．可画出|f(x)|的图象如图所示．当 a＞0 时，y＝ax 与 y＝|f(x)|恒有公共点，所以排除 B，C； 当 a≤0 时，若 x＞0，则|f(x)|≥ax 恒成立．若 x≤0，则以 y＝ax 与 y＝|－x2＋2x|相切为界限，由 得 x2－(a＋2)x＝0．∵Δ＝(a＋2)2＝0，∴a＝－2．∴a∈[－2,0]． 2 , 2 , y ax y x x =  = − ( ) 2 0 1 0 x xf x x −=  > ， ≤ ， ( ) ( )1 2f x f x+ < ( ]1−∞ −， ( )0 + ∞， ( )1 0− ， ( )0−∞， 【答案】D 【解析】首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有 成立，一定会有 ，从而求得结果. 观察图像可知会有 ，解得 ，所以满足 的 x 的取值范围是 ，故选 D. ( ) ( )2 2logf x x a= + ( )3 1f = a = 【答案】-7 【解析】根据题意有 ，可得 ，所以 ，故答案是 . 3log 4 2a = 4 a− = A. B. C. D. 七、函数与导数 【2019.13】曲线 在点 处的切线方程为___________． *1.【2016，12】若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ） A. B． C． D． 2【2018，6】设函数 ．若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为 A． B． C． D． 1 16 1 9 1 8 1 6 【答案】B 【解析】由 可得 ，所以 ，所以有 ，3log 4 2a = 3log 4 2a = 4 9a = 14 9 a− = 23( )exy x x= + (0,0) 【答案】 . 【解析】 所以 ,所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ． 3 0x y− = / 2 23(2 1) 3( ) 3( 3 1) ,x x xy x e x x e x x e= + + + = + + / 0| 3xk y == = 23( )exy x x= + (0,0) 3y x= 3 0x y− = 1( ) sin 2 sin3f x x x a x= − + ( ),−∞ +∞ a [ ]1,1− 11, 3  −   1 1,3 3  −   11, 3  − −   解析：选 C ．问题转化为 对 恒成立，故 ，即 恒成立． 令 ，得 对 恒成立． ( ) 21 cos2 cos 03f x x a x′ = − + ≥ x ∈R ( )221 2cos 1 cos 03 x a x− − + ≥ 24 5cos cos 03 3a x x− + ≥ cos x t= 24 5 03 3t at− + + ≥ [ ]1,1t ∈ − ( ) ( )3 21f x x a x ax= + − + ( )f x ( )y f x= ( )0 0， 2y x= − y x= − 2y x= y x= 3、【2020.15】曲线 的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为______________. 解答题(15-20 年) 【2019.20】已知函数 f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为 f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若 x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求 a 的取值范围． 【答案】D 【解析】利用奇函数偶此项系数为零求得 ，进而得到 的解析式，再对 求导得出切线的 斜率 ，进而求得切线方程:因为函数 是奇函数，所以 ，解得 ，所以 ， ， 所以 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，化简可得 ，故选 D. ln 1y x x= + + 【答案】 ，【解析】设切线的切点坐标为 ， ，所以切点坐标为 ， 所求的切线方程为 ，即 . 2y x= 0 0 1( , ), ln 1, 1x y y x x y x = + + ′ = + 0 0 0 0 1| 1 2, 1, 2x xy x yx=′ = + = = = (1,2) 2 2( 1)y x− = − 2y x= 【解析】（1） 令 ，则 当 时，令 ，解得： 当 时， ；当 时， ∴g(x)在 上单调递增；在 上单调递减 又 ， ， 即当 时， ，此时 无零点，即 无零点 ，使得 又 在 上单调递减 为 ，即 在 上的唯一零点 综上所述： 在区间 存在唯一零点. （2）若 时， ，即 恒成立 令 ,则 ， ( ) 2cos cos sin 1 cos sin 1f x x x x x x x x′ = − + − = + − ( ) cos sin 1g x x x x= + − ( ) sin sin cos cosg x x x x x x x′ = − + + = ( )0,x π∈ ( ) 0g x′ = 2x π= ∴ )2,0( π∈x ( ) 0g x′ > ,2x π π ∈   ( ) 0g x′ < 0, 2 π     ,2 π π     ( )0 1 1 0g = − = 1 02 2g π π  = − >   ( ) 1 1 2g π = − − = − )2,0( π∈x ( ) 0g x > ( )g x ( )f x′ ( ) 02g g π π ⋅    ( ) 0h π′ < 1 ,2x π π ∴∃ ∈   ( )1 0h x′ = ( )h x∴ [ )10, x ( ]1,x π ( )0 0h = ( ) ( )2sin cos 1 0h a aπ π π π π π= − − + = − ≥ ( ) 0h x∴ ≥ [ ]0,π ( )f x ax≥ 20 2a π −< < ( )0 0h′ < 2 02 2h a π π − ′ = − >   2 0, 2x π ∴∃ ∈   ( )2 0h x′ = ( )h x∴ [ )20, x 2 , 2x π     ( )20,x x∴ ∈ ( ) ( )0 0h x h< = ( )f x ax≥ 2 2a π −≥ ( )max 2 02 2h x h a π π − ′ ′= = − ≤   ( )h x∴ 0, 2 π     )0()( hxh ≤ ( )f x ax≥ ( ],0a∈ −∞ 3.【2017，21】已知函数 ． （1）讨论 的单调性；*（2）若 ，求 的取值范围． ( ) ( ) 2x xf x e e a a x= − − ( )f x ( ) 0f x ≥ a 【解析】（1） ①当 时， ，令 ，即 ，解得 ， 令 ，即 ，解得 ， 所以当 ， 在 上递增，在 上递减． ②当 时， ， 在 上递增． ③当 时， ，令 ， 令 ， 所以当 时， 在 上递增，在 上递减． 综上所述：当 ， 在 上递减，在 上递增； 当 时， 在 上递增； 当 时， 在 上递减，在 上递增． （2）由（1）得当 时， ， ，得 ．当 时， 满足条件． 当 时， ， ，又因为 ，所以 ． 综上所述， 的取值范围是 ． ( ) ( ) ( )( )2 22 2′ = − − = + −x x x xf x e ae a e a e a 0>a 2 0+ >xe a ( ) 0′ >f x 0− >xe a ln>x a ( ) 0′ f x ⇒ 2 0+ >xe a ⇒ 2 > −x ae ⇒ ln 2  > −   ax ( ) 0′ 0 (1)若 a≤0 时，f '(x)>0 在(0,+∞)恒成立，所以 f '(x)没有零点； (2)若 a>0 时，f '(x)单调递增．当 x →0, f '(x) →-∞；当 x →+ ∞,f '(x) →+∞， 所以 f '(x) 存在一个零点． (Ⅱ) 设 f '(x)的唯一零点为 k，由(Ⅰ)知(0, k)上，f '(x) − = a 1( , )e +∞ 八、三角函数与解三角形 【2019.7】tan255°= A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+ 【2019.11】△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinA－bsinB=4csinC，cosA=－ ，则 = A．6 B．5 C．4 D．3 【2019.15】函数 的最小值为___________． 3 3 3 3 【答案】D 【解析】 =0 0 0 0 0 0tan 255 tan(180 75 ) tan 75 tan(45 30 )= + = = + 0 0 0 0 31tan 45 tan30 3 2 3.1 tan 45 tan30 31 3 ++ = = +− − 1 4 b c 【答案】A 【解析】由已知及正弦定理可得 ，由余弦定理推论可得 ，故选 A． 2 2 24a b c− = 2 2 2 2 21 4 1 3 1 3cos , , , 4 64 2 2 4 2 4 2 b c a c c c bA bc bc b c + − −− = = ∴ = − ∴ = ∴ = × = 3π( ) sin(2 ) 3cos2f x x x= + − 1.【2017，11】△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 ，a=2，c= ， 则 C=( ) A． B． C． D． 2.【2016，4】 的内角 的对边分别为 ．已知 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3.【2016，6】若将函数 的图像向右平移 个周期后，所得图像对应的函数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】 .【解析】 ， ， 当 时， ，故函数 的最小值为 ． 4− 23( ) sin(2 ) 3cos cos2 3cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x π= + − = − − = − − + 23 172(cos )4 8x= − + + 1 cos 1x− ≤ ≤ ∴ cos 1x = min ( ) 4f x = − ( )f x 4− sin sin (sin cos ) 0B A C C+ − = 2 π 12 π 6 π 4 π 3 【 答 案 】 B 【 解 法 】 解 法 一 ： 因 为 ， ， 所 以 ，又 ，所以 ， ，又 ，所以 ，又 a=2， c= ，由正弦定理得 ,即 ．又 ，所以 ，故选 B． 解法二：由解法一知 ，即 ，又 ，所以 ．下同解法一． sin sin (sin cos ) 0B A C C+ − = sin sin( )B A C= + sin (sin cos ) 0C A A+ = sin 0C > sin cosA A= − tan 1A = − 0 A π< < 3 4A π= 2 2 2 sinC2 2 = 1sin 2C = 0 2C π< < 6C π= sin cos 0A A+ = 2 sin( ) 04A π+ = 0 A π< < 3 4A π= ABC△ A B C, , a b c, , 5a = 2c = 2cos 3A = b = 2 3 2 3 解析：选 D ．由余弦定理得 ，即 ，解得 ．故选 D． 2 2 2 cos 2 b c aA bc + −= 2 4 5 2 4 3 b b + − = 3b = π2sin 2 6y x = +   1 4 π2sin 2 4y x = +   π2sin 2 3y x = +   π2sin 2 4y x = −   π2sin 2 3y x = −   4.【2015，8】函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递减区间为( ) A． B． C． D． 5.【2014，7】在函数① y=cos|2x|，②y=|cosx|，③ ，④ 中，最小正周期为 π 的 所有函数为( ) A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 6.【2014，2】若 ，则（ ） A． B． C． D． 7.【2013,10】已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7,c＝6,则 b＝(  ) A．10 B．9 C．8 D．5 )62cos( π+= xy )42tan( π−= xy 解析：选 D．将函数 的图像向右平移 个周期，即向右平移 个单位， 故所得图像对应的函数为 ．故选 D． π2sin 2 6y x = +   1 4 π 4 π π2sin 2 4 6y x   = − +     π2sin 2 3x = −   1 3( , ),4 4k k k Zπ π− + ∈ 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Zπ π− + ∈ 1 3( , ),4 4k k k Z− + ∈ 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Z− + ∈ 解：选 D．依图， ，解得 ω=π， ， ， ，解得 ，故选 D． 1 5 3+ +4 2 4 2 π πω ϕ ω ϕ= =且 = 4 πϕ ( ) cos( )4f x x ππ∴ = + 2 24k x k ππ π π π< + < +由 ， 1 32 24 4k x k− < < + 解：选 A．由 是偶函数可知①y=cos|2x|=cos2x，最小正周期为 π；②y=|cosx|的最小正周期也是 π；③中 函数最小正周期也是 π；正确答案为①②③，故选 A cosy x= tan 0α > sin 0α > cos 0α > sin 2 0α > cos2 0α > 解：选 C．tanα>0，α 在一或三象限，所以 sinα 与 cosα 同号，故选 C 解析：选 D．由 23cos2A＋cos 2A＝0，得 cos2A＝ ．∵A∈ ，∴cos A＝ ． ∵cos A＝ ，∴b＝5 或 (舍)． 1 25 π0, 2      1 5 236 49 2 6 b b + − × 13 5b = − 8.【2017，15】已知 ， ，则 ________． 9.【2016，】14．已知 是第四象限角，且 ，则 ． 10.【2013，16】设当 x＝θ 时，函数 f(x)＝sin x－2cos x 取得最大值，则 cos θ＝______． 0, 2 πα  ∈   tan 2α = cos 4 πα − =   【解析】 ． ， ，又 ，解得 ， ， ． 【 基 本 解 法 2 】 ， ， 角 的 终 边 过 ， 故 ， ， 其中 ， ． 3 10 10 0, 2 πα  ∈   sintan 2 2 sin 2coscos αα α αα= ⇒ = ⇒ = 2 2sin cos 1α α+ = 2 5sin 5 α = 5cos 5 α = 2 3 10cos (cos sin )4 2 10 πα α α ∴ − = + =   0, 2 πα  ∈   tan 2α = ∴ α (1,2)P 2 5sin 5 y r α = = 5cos 5 x r α = = 2 2 5r x y= + = 2 3 10cos (cos sin )4 2 10 πα α α ∴ − = + =   θ π 3sin 4 5 θ + =   πtan 4 θ − =   解析： ．由题意 ． 因为 ，所以 ， 从而 ，因此 ．故填 ． 4 3 − sin sin4 4 2 θ θπ π π    + = − +         3cos 4 5 θ π = − =   2 2 22k kθ3ππ + < < π + π ( )k ∈Z 72 24 4 4k kθ5π π ππ + < − < π + ( )k ∈Z 4sin 4 5 θ π − = −   4tan 4 3 θ π − = −   4 3 − 11.【2014，16】16．如图所示，为测量山高 ，选择 和另一座山的山顶 为测量观测点．从 点测得 点的仰角 ， 点的仰角 以及 ；从 点测得 ． 已知山高 ，则山高 ． 12.【2018，8】已知函数 ，则（） A． 的最小正周期为 π，最大值为 3 B． 的最小正周期为 π，最大值为 4 C． 的最小正周期为 ，最大值为 3 D． 的最小正周期为 ，最大值为 4 13.【2018，11】已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ， ，且 ，则 解析： ． ∵f(x)＝sin x－2cos x＝ sin(x－φ)，其中 sin φ＝ ，cos φ＝ ． 当 x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，f(x)取最大值．即 θ－φ＝2kπ＋ (k∈Z)，θ＝2kπ＋ ＋φ(k∈Z)． ∴cos θ＝ ＝－sin φ＝ ． 2 5 5 − 5 2 5 5 5 5 π 2 π 2 π 2 πcos 2 ϕ +   2 5 5 − MN A C A M 60MAN∠ = ° C 45CAB∠ = ° 75MAC∠ = ° C 60MCA∠ = ° 100BC m= MN = m 解：在 RtΔABC 中，由条件可得 ，在 ΔMAC 中，∠MAC=45°； 由正弦定理可得 ，故 ，在直角 RtΔMAN 中， MN=AMsin60°=150． 100 2AC = sin60 sin45 AM AC=° ° 3 100 3 2 AM AC= = ( ) 2 22cos sin 2f x x x= − + ( )f x ( )f x ( )f x 2π ( )f x 2π 【答案】B 【解析】根据题意有 ， 所以函数 的最小正周期为 ，且最大值为 ，故选 B. α x ( )1A a， ( )2B b， 2cos2 3 α = a b− = A． B． C． D． 14. 【 2018 ， 16 】 △ 的 内 角 的 对 边 分 别 为 ， 已 知 ， ，则△ 的面积为________． 15、【2020.7】设函数 在 的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 1 5 5 5 2 5 5 1 【答案】B【解析】根据题的条件，可知 三点共线，从而得到 ，因为 ，解得 ，即 ，所以 ，故选 B. ABC A B C， ， a b c， ， sin sin 4 sin sinb C c B a B C+ = 2 2 2 8b c a+ − = ABC 【答案】 【解析】根据题意，结合正弦定理可得 ，即 ， 结合余弦定理可得 ，所以 A 为锐角，且 ，从而求得 ， 所以△ 的面积为 ，故答案是 . ( ) cos π( )6f x xω= + [ π,π]− 10π 9 7π 6 4π 3 3π 2 解答题 15.【2015，17】已知 分别为 内角 的对边， ． （1）若 ，求 ；（2）设 ，且 ，求 的面积． 【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点 ，将它代入函数 可得： 又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，所以 ，解得： 所以函数 的最小正周期为 4 ,09 π −   ( )f x 4cos 09 6 π πω − ⋅ + =   4 ,09 π −   ( )f x x 4 9 6 2 π π πω− ⋅ + = − 3 2 ω = ( )f x 2 2 4 3 3 2 T π π π ω= = = , ,a b c ABC△ , ,A B C 2sin 2sin sinB A C= a b= cos B 90B∠ =  2a = ABC△ 解析：（1）由正弦定理得， ．又 ， 所以 ，即 ．则 ． （2）解法一：因为 ，所以 ， 即 ，亦即 ． 又因为在 中， ，所以 ，则 ，得 ． 所以 为等腰直角三角形，得 ，所以 ． 解法二：由（1）可知 ，①，因为 ，所以 ，② 将 代入 得 ，则 ，所以 ． 2 2b ac= a b= 2 2a ac= 2a c= 2 2 2 2 2 2 12cos 2 42 2 aa aa c bB aac a  + − + −  = = = ⋅ 90B∠ =  ( )2sin 1 2sin sin 2sin sin 90B A C A A= = = − 2sin cos 1A A = sin 2 1A = ABC△ 90B∠ =  0 90A< ∠ <  2 90A∠ =  45A∠ =  ABC△ 2a c= = 1 2 2 12ABCS = × × =△ 2 2b ac= 90B∠ =  2 2 2a c b+ = ② ① ( )2 0a c− = 2a c= = 1 2 2 12ABCS = × × =△ 16.【2012，17】已知 ， ， 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边， ． （1）求 A； （2）若 ，△ABC 的面积为 ，求 ， ． 【2020.18】 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 B=150°. （1）若 a= c，b=2 ，求 的面积； （2）若 sinA+ sinC= ，求 C. a b c 3 sin cosc a C c A= − 2a = 3 b c 【解析】（1）根据正弦定理 ，得 ， ， 因为 ，所以 ， 化简得 ， 因为 ，所以 ，即 ， 而 ， ，从而 ，解得 ． （2）若 ，△ABC 的面积为 ，又由（1）得 ， 则 ，化简得 ，从而解得 ， ． ARa sin2= CRc sin2= CCACA sinsincossinsin3 =− 0sin ≠C 1cossin3 =− AA 2 1)6sin( =− π A π > 1 sin50° 1 cos50° 【答案】D 【解析】由已知可得 ， ，故选 D． tan130 , tan50b b a a − = ° ∴ = ° 2 2 2 2 2 2 2 sin 50 sin 50 cos 50 11 1 tan 50 1 cos 50 cos 50 cos50 c be a a ° °+ ° ∴ = = + = + ° = + = =  ° ° °  1 21,0 1,0F F−( ) ， ( ) 2 22AF F B=│ │ │ │ 1AB BF=│ ││ │ A． B． C． D． 1.【2017，5】已知 是双曲线 的右焦点， 是 上一点，且 与 轴垂直，点 的坐标是 ，则 的面积为（ ） A． B． C． D． *2.【2017,12】设 A、B 是椭圆 C： 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°，则 m 的取 值范围是( ) A． B． C． D． 2 2 12 x y+ = 2 2 13 2 x y+ = 2 2 14 3 x y+ = 2 2 15 4 x y+ = 【答案】B 【解析】如图，由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有 ．在 中，由余弦定理推论得 ．在 中，由余弦定理得 ，解得 ． 所求椭圆方程为 ，故选 B． 2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = = 1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n= + = ∴ = − = 1AF B△ 2 2 2 1 4 9 9 1cos 2 2 3 3 n n nF AB n n + −∠ = =⋅ ⋅ 1 2AF F△ 2 2 14 4 2 2 2 43n n n n+ − ⋅ ⋅ ⋅ = 3 2n = 2 2 22 4 2 3 , 3 , 3 1 2 ,a n a b a c∴ = = ∴ = ∴ = − = − = ∴ 2 2 13 2 x y+ = F 2 2: 13 yC x − = P C PF x A (1,3) APF∆ 1 3 1 2 2 3 3 2 【解法】选 D．由 得 ，所以 ，将 代入 ，得 ，所以 ，又 A 的坐标是(1,3)，故 APF 的面积为 ，选 D． 2 2 2 4c a b= + = 2c = (2,0)F 2x = 2 2 13 yx − = 3y = ± 3PF = 1 33 (2 1)2 2 × × − = 2 2 13 x y m + = (0,1] [9, )+∞ (0, 3] [9, )+∞ (0,1] [4, )+∞ (0, 3] [4, )+∞ 3.【2016，5】直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心 率为（ ）A． B． C． D． 4.【2015，5】已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点与抛物线 C: y2=8x，的焦点重合，A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|=( ) A．3 B．6 C．9 D．12 【解法】选 A． 图 1 图 2 解法一：设 是椭圆 C 短轴的两个端点，易知当点 是椭圆 C 短轴的端点时 最大，依题意只需使 ． 1．当 时，如图 1， ，解得 ，故 ； 2． 当 时，如图 2， ，解得 ． 综上可知，m 的取值范围是 ，故选 A． E F、 M AMB∠ 0120AEB∠ ≥ 0 3m< < 03tan tan60 32 AEB a b m ∠ = = ≥ = 1m ≤ 0 1m< ≤ 3m > 0tan tan60 32 3 AEB a m b ∠ = = ≥ = 9m ≥ (0,1] [9, )+∞ l l 1 4 1 3 1 2 2 3 3 4 解析：选 B． 由等面积法可得 ，故 ，从而 ．故选 B．1 1 122 2 4bc a b× = × × × 1 2c a= 1 2 ce a = = 1 2 解：选 B．抛物线的焦点为(2,0)，准线为 x=-2，所以 c=2，从而 a=4，所以 b 2=12，所以椭圆方程为 ，将 x=-2 代入解得 y=±3，所以|AB|=6，故选 B 2 2 116 12 x y+ = 5.【2014，10】10．已知抛物线 C：y2=x 的焦点为 F，A(x0,y0)是 C 上一点，|AF|= ，则 x0=( )A A．1 B．2 C．4 D．8 6.【2014，4】4．已知双曲线 的离心率为 2，则 a=( ) D A．2 B． C． D．1 7.【2013，4】已知双曲线 C： (a＞0，b＞0)的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为(  )． A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝±x 8.【2013，8】O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2＝ 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|＝ ，则△POF 的面 积为(  ) A．2 B． C． D．4 9.【2016，15】设直线 与圆 相交于 两点，若 ，则圆 的面 0 5 4 x 解：根据抛物线的定义可知|AF|= ，解之得 x0=1． 故选 A0 0 1 5 4 4x x+ = )0(13 2 2 2 >=− ay a x 2 6 2 5 解： ，解得 a=1，故选 D 2 2 2 2 2 3 2c a b ae a a a + += = = = 2 2 2 2 =1x y a b − 5 2 1 4 x± 1 3 x± 1 2 x± 解析：选 C．∵ ，∴ ，即 ．∵c2＝a2＋b2，∴ ．∴ ． ∵双曲线的渐近线方程为 ，∴渐近线方程为 ．故选 C． 5 2e = 5 2 c a = 2 2 5 4 c a = 2 2 1 4 b a = 1 2 b a = by xa = ± 1 2y x= ± 4 2x 4 2 2 2 2 3 答案：C 解析：利用|PF|＝ ，可得 xP＝ ，∴yP＝ ．∴S△POF＝ |OF|·|yP|＝ ． 故选 C． 2 4 2Px + = 3 2 2 6± 1 2 2 3 2y x a= + 2 2: 2 2 0C x y ay+ − − = ,A B 2 3AB = C 积为 ． *10.【2015，16】已知 F 是双曲线 C: 的右焦点，P 是 C 左支上一点， ，当 ΔAPF 周长最 小时，该三角形的面积为 ． 11.【2018，4】已知椭圆 ： 的一个焦点为 ，则 的离心率为 A． B． C． D． 12.【2018，15】直线 与圆 交于 两点，则 ________． 解析： ．由题意直线即为 ，圆的标准方程为 ，所以圆心到直线的距 离 ， 所 以 ， 故 ， 所 以 ． 4π 2 0x y a− + = ( )22 2 2x y a a+ − = + 2 ad = ( ) 2 22 2 2 aAB a  = + −    2 2 2 2 32 a= + = 2 22 4a r+ = = 2 4S r= π = π 2 2 18 yx − = (0,6 6)A 解： ． a=1，b2=8，⇒ c=3，∴F(3,0)．设双曲线的的左焦点为 F1，由双曲线定义知|PF|=2+|PF1|， ∴ΔAPF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|AF|+|PF1|+2，由于|AF|是定值，只要|PA|+|PF1|最小，即 A,P,F1 共线，∵ ，F1 (-3,0)，∴直线 AF1 的方程为 ，联立 8x2-y2=8 消去 x 整理得 y2+ y-96=0，解 得 y= 或 y= (舍去)，此时 SΔAPF=SΔAFF1-SΔPFF1 ． 12 6 (0,6 6)A 13 6 6 x y+ =− 6 6 2 6 8 6− 3 (6 6 2 6) 12 6= × − = C 2 2 2 14 x y a + = (2 0)， C 1 3 1 2 2 2 2 2 3 【答案】C 【解析】根据题意，可知 ，因为 ，所以 ，即 ， 所以椭圆 的离心率为 ，故选 C. 1y x= + 2 2 2 3 0x y y+ + − = A B， AB = 13、【2020.6】已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14、【2020.11】设 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且 ，则 的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【2019.21】已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，│AB│ =A，⊙M 过点 A，B 且与直线 x+2=0 相切． 【答案】 【解析】圆的方程可化为 ，所以圆的圆心为 ，且半径是 2， 点到直线的距离 ，结合圆中的特殊三角形，可知 ，故答案为 . 2 2 6 0x y x+ − = 【答案】B 【解析】圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为 ， 设 ，当过点 的直线和直线 垂直时，圆心到过点 的直线的距离最大，所求的弦长最短， 根据弦长公式最小值为 . 2 2 6 0x y x+ − = 2 2( 3) 9x y− + = C (3,0)C 3 (1,2)P P CP P 22 9 | | 2 9 8 2CP− = − = 1 2,F F 2 2: 13 yC x − = O P C | | 2OP = 1 2PF F△ 7 2 5 2 【答案】B 【解析】由已知，不妨设 ，则 ，因为 ， 所以点 在以 为直径的圆上，即 是以 P 为直角顶点的直角三角形， 故 ，即 ，又 ， 所以 ， 解得 ，所以 1 2( 2,0), (2,0)F F− 1, 2a c= = 1 2 1| | 1 | |2OP F F= = P 1 2F F 1 2F F P 2 2 2 1 2 1 2| | | | | |PF PF F F+ = 2 2 1 2| | | | 16PF PF+ = 1 2| | | | 2 2PF PF a− = = 2 1 24 | | | |PF PF= − = 2 2 1 2| | | | 2PF PF+ − 1 2| || | 16 2PF PF = − 1 2| || |PF PF 1 2| || | 6PF PF = 1 2F F PS =△ 1 2 1 | || | 32 PF PF = （1）若 A 在直线 x+y=0 上，求⊙M 的半径． （2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由． 【解析】（1） 在直线 上 设 ，则 又 ， ，解得： 过点 ， ， 圆心 必在直线 上 设 ，圆的半径为 ， 与 相切， 又 ，即 ，解得： 或 当 时， ；当 时， 的半径为： 或 （2）存在定点 ，使得 ，说明如下： ， 关于原点对称且 ， 直线 必为过原点 的直线，且 A 5 9 1 n n n nC C− − ++ ∴ ( ),A t t− ( ),B t t− 4AB = 28 16t∴ = 2t = M A B ∴ M y x= ( ),M a a r M 2 0x + = 2r a∴ = + MA MB r= = ( ) ( )2 2 22 2a a r− + + = ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2a a a∴ − + + = + 0a = 4a = 0a = 2r = 4a = 6r = M∴ 2 6 ( )1,0P 1MA MP− = A B 4AB = ∴ AB O 2OA = 13.【2017，20】设 A，B 为曲线 C： 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4． （1）求直线 AB 的斜率； *（2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 ，求直线 AB 的方程． ①当直线 斜率存在时，设 方程为： ，则 的圆心 必在直线 上 设 ， 的半径为 ， 与 相切 ，又 ，整理可得： 即 点轨迹方程为： ，准线方程为： ，焦点 ，即抛物线上点到 的距离， ， 当 与 重合，即 点坐标为 时， ②当直线 斜率不存在时，则直线 方程为： ∵M 在 轴上，设 ， ，解得：n= ，即 若 ，则 综上所述，存在定点 ，使得 为定值. AB AB y kx= M M 1= −y xk ( ),M km m− M r M 2 0x + = 2r km∴ = − + 2 2 2 2 24r MA OA OM k m m= = + = + + 2 2 22 4km k m m∴ − + = + + 2 4m km= − M 2 4y x= 1x = − ( )1,0F MA r= 1a = − ∴ 1MA MF= + 1MA MF∴ − = ∴ P F P ( )1,0 1MA MP− = AB AB 0x = x ( ),0M n 22 4n n∴ + = + 3 2 ( )0,0M ( )1,0P 2 1 1MA MP− = − = ( )1,0P MA MP− 4 2xy = BMAM ⊥ H N PM O y x 14.【2016，20】在直角坐标系 中，直线 交 轴于点 ，交抛物线 于点 ， 关于点 的对称点为 ，连结 并延长交 于点 ． （1）求 ；*（2）除 以外，直线 与 是否有其他公共点？请说明理由． 解析：(1)【解法 1】设 ,AB 直线的斜率为 k，又因为 A,B 都在曲线 C 上，所以   -得 由已知条件 ,所以， 即直线 AB 的斜率 k=1． 【解法 2】设 ,AB 直线的方程为 y=kx+b,所以 ,整理得： 且 所以 k=1 (2)设 所以  又 所以 所以 M（2,1）， ， ，且 ， 即 ，设 AB 直线的方程为 ， 化简得 ，所以 由得 所以 b=7 或者 b=-1(舍去),所以 AB 直线的方程为 y=x+7 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 4/2 11 xy = 4/2 22 xy = 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 ( )( ) 4 4 x x x x x xy y − + −− = = 1 2 4x x+ = 2 1 2 1 1y y x x − =− ),(),,( 2211 yxByxA    = += 4/2xy bkxy ,4,044 21 2 kxxbkxx =+∴=−− 421 =+ xx 0 0( , )M x y 2 0 0 / 4y x= 1 2y x= 0 0 0 1 1, 2, 12k x x y= = ∴ = = 1 1( 2, 1)MA x y= − − 2 2( 2, 1)MB x y= − − AM BM⊥ 0AM BM = 05)()(2 21212121 =++−++− yyyyxxxx y x b= + , 4/2   = += xy bxy 0442 =−− bxx 2 212121 ,24,4 byybyybxx =+=+−= 0772 =−− bb xOy : ( 0)l y t t= ≠ y M 2: 2 ( 0)C y px p= > P M P N ON C H OH ON H MH C 15.【2015，20】已知过点 A(0, 1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. (Ⅰ)求 k 的取值范围； (Ⅱ) =12，其中 O 为坐标原点，求|MN|. 解析 （1）如图，由题意不妨设 ，可知点 的坐标分别为 ， ， ， 从而可得直线 的方程为 ，联立方程 ，解得 ， ． 即点 的坐标为 ，从而由三角形相似可知 ． （2）由于 ， ，可得直线 的方程为 ， 整理得 ，联立方程 ，整理得 ， 0t > , ,M P N ( )0,M t 2 ,2 tP tp      2 ,N t tp      ON y xp t = 2 2 p xt y px y = =   22x t p = 2y t= H 22 ,2t tp      2 2H N OH y t ON y t = = = ( )0,M t 22 ,2tH tp      MH 22 ty t xt p − = 22 2 0ty px t− − = 2 2 2 2 0 2 ty y px t px − − = =  2 24 4 0tyy t− + = 则 ，从而可知 和 只有一个公共点 ．2 216 16 0t t∆ = − = MH C H  OM ON⋅ 16.【2013，21】已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2＋y2＝9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程； *(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|. 17.【2018，20】设抛物线 ，点 ， ，过点 的直线 与 交于 ， 两点． 解：(Ⅰ)依题可设直线 l 的方程为 y=kx+1，则圆心 C(2,3)到的 l 距离 . 解得 .所以 k 的取值范围是 . (Ⅱ)将 y=kx+1 代入圆 C 的方程整理得 (k2+1)x2-4(k+1)x+7=0. 设 M(x1, y1),N(x2, y2)，则 所以 =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+k (x1+x2)+1 =12，解得 k=1 ，所以 l 的方程为 y=x+1. 故圆心在直线 l 上，所以|MN|=2. 2 | 2 3 1| 1 1 kd k − += < + 4 7 4 7 3 3k- +< < 4 7 4 7( , )3 3 − + 1 2 1 22 2 4( 1) 7, .1 1 kx x x xk k ++ = =+ +  OM ON⋅ 2 4 ( +1) 8+1 k k k = + =1k 解：由已知得圆 M 的圆心为 M(－1,0)，半径 r1＝1；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r2＝3.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除 外)，其方程为 (x≠－2)． (2)对于曲线 C 上任意一点 P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2， 所以 R≤2，当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时，R＝2. 所以当圆 P 的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4. 若 l 的倾斜角为 90°，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|＝ . 若 l 的倾斜角不为 90°，由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则 ， 可求得 Q(－4,0)，所以可设 l：y＝k(x＋4)． 由 l 与圆 M 相切得 ＝1，解得 k＝ . 当 k＝ 时，将 代入 ，并整理得 7x2＋8x－8＝0，解得 x1,2＝ ， 所以|AB|＝ |x2－x1|＝ .当 k＝ 时，由图形的对称性可知|AB|＝ . 综上，|AB|＝ 或|AB|＝ . 3 2 2 =14 3 x y+ 2 3 1 | | | | QP R QM r = 2 | 3 | 1 k k+ 2 4 ± 2 4 2 24y x= + 2 2 =14 3 x y+ 4 6 2 7 − ± 21 k+ 18 7 2 4 − 18 7 2 3 18 7 2 2C y x=： ( )2 0A ， ( )2 0B − ， A l C M N （1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；（2）证明： ． 18、【2020.21】已知 A、B 分别为椭圆 E： （a>1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点， ，P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D． （1）求 E 的方程；（2）证明：直线 CD 过定点 l x BM ABM ABN=∠ ∠ 17．解：（1）当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x=2，可得 M 的坐标为（2，2）或（2，–2）． 所以直线 BM 的方程为 y= 或 ． （2）当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN． 当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 ，M（x1，y1），N（x2，y2），则 x1>0，x2>0． 由 得 ky2–2y–4k=0，可知 y1+y2= ，y1y2=–4．直线 BM，BN 的斜率之和为 ．① 将 ， 及 y1+y2，y1y2 的表达式代入①式分子，可得 ． 所以 kBM+kBN=0，可知 BM，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN． 综上，∠ABM=∠ABN． 1 12 x + 1 12y x= − − ( 2)( 0)y k x k= − ≠ 2 ( 2) 2 y k x y x = −  = ， 2 k 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2( ) 2 2 ( 2)( 2)BM BN y y x y x y y yk k x x x x + + ++ = + =+ + + + 1 1 2yx k = + 2 2 2yx k = + 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 4 ( ) 8 82( ) 0y y k y yx y x y y y k k + + − ++ + + = = = 2 2 2 1x ya + = 8AG GB⋅ =  【解析】（1）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程 可得： ， ， , ， , ， ， 椭圆方程为： （2）证明：设 ，则直线 的方程为： ，即： 联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得： ，解得： 或 将 代入直线 可得： 所以点 的坐标为 ，同理可得：点 的坐标为 直线 的方程为： ， 整理可得： 整理得： ，故直线 过定点 2 2 2: 1( 1)xE y aa + = > ( ),0A a− ( ),0B a ( )0,1G ∴ ( ),1AG a= ( ), 1GB a= − ∴ 2 1 8AG GB a⋅ = − =  ∴ 2 9a = ∴ 2 2 19 x y+ = ( )06,P y AP ( ) ( )0 0 36 3 yy x −= +− − ( )0 39 yy x= + AP ( ) 2 2 0 19 39 x y yy x  + =  = + ( )2 2 2 2 0 0 09 6 9 81 0y x y x y+ + + − = 3x = − 2 0 2 0 3 27 9 yx y − += + 2 0 2 0 3 27 9 yx y − += + ( )0 39 yy x= + 0 2 0 6 9 yy y = + C 2 0 0 2 2 0 0 3 27 6,9 9 y y y y  − +  + +  D 2 0 0 2 2 0 0 3 3 2,1 1 y y y y  − −  + +  ∴ CD 0 0 2 2 2 0 00 0 2 22 2 0 00 0 2 2 0 0 6 2 9 12 3 3 3 27 3 31 1 9 1 y y y yy yy xy yy y y y  −− + +   − − − = −   − + −+ +   −+ + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 00 0 0 0 2 2 24 2 0 0 00 0 8 32 3 3 8 3 3 1 1 16 9 6 3 y yy y y yy x xy y yy y +    − −+ = − = −   + + +− −    ( ) ( )0 0 0 22 2 00 0 4 2 4 3 3 23 3 3 3 y y yy x xyy y  = + = − −− −   CD 3 ,02      十二、坐标系与参数方程（解析版） 【2019.22】[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 1.【2017，22】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程为 （ 为参数）． 2 2 2 1 1 4 1 tx t ty t  −= +  = + ， 2 cos 3 sin 11 0ρ θ ρ θ+ + = 【解析】（1）由 得： ，又 ，整理可得 的直角坐标方程为： 又 ， ， 的直角坐标方程为： （2）设 上点的坐标为： 则 上的点到直线 的距离 当 时， 取最小值，则 2 2 1 1 tx t −= + 2 1 1 xt x −= + ( ) 2 2 22 16 1 ty t = + ( )( )2 2 2 116 1 4 1 1 4 4 11 1 x xy x x x x x −× +∴ = = + − = − − + +  C 2 2 14 yx + = cosx ρ θ= siny ρ θ= l∴ 2 3 11 0x y+ + = C ( )cos ,2sinθ θ C l 4sin 112cos 2 3sin 11 6 7 7 d πθθ θ  + + + +  = = sin 16 πθ + = −   d min 7d = xOy C 3cos , sin , x y θ θ =  = θ l 4 , 1 , x a t y t = +  = − t （1）若 ，求 与 的交点坐标；（2）若 上的点到 的距离的最大值为 ，求 ． 2.【2016，23】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数， ．在以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ． （Ⅰ）说明 是哪一种曲线，并将 的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线 的极坐标方程为 ，其中 满足 ，若曲线 与 的公共点都在 上，求 ． x 1a = − C l C l 17 a 【解析】（1） 时，直线 的方程为 ．曲线 的标准方程是 ， 联立方程 ，解得： 或 ，则 与 交点坐标是 和 （2）直线 一般式方程是 ．设曲线 上点 ． 则 到 距离 ，其中 ． 依题意得： ，解得 或 ． 1a = − l 4 3 0x y+ − = C 2 2 19 x y+ = 2 2 4 3 0 19 x y x y + − = + = 3 0 x y =  = 21 25 24 25 x y  = −  = C l ( )3 0， 21 24 25 25  −  ， l 4 4 0x y a+ − − = C ( )3cos sinp θ θ， P l ( )5sin 43cos 4sin 4 17 17 aad θ ϕθ θ + − −+ − −= = 3tan 4 ϕ = 17maxd = 16a = − 8a = xOy 1C    += = ,sin1 ,cos tay tax t( )0>a θρ cos4:2 =C 1C 1C 3C 0αθ = 0α 2tan 0 =α 1C 2C 3C a 3.【2015，23】在直角坐标系 中，直线 ： = 2，圆 ： ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （I）求 ， 的极坐标方程； （II）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 , ，求 的面积. xOy 1C x − 2C ( ) ( )2 21 2 1x y− + − = x 1C 2C 3C ( ) 4 R πθ ρ= ∈ 2C 3C M N 2C MN∆ 【解析】：⑴ （ 均为参数）,∴ ① ∴ 为以 为圆心， 为半径的圆．方程为 ∵ ,∴ 即为 的极坐标方程 ⑵ ,两边同乘 得 ,即 ②, ：化为普通方程为 由题意： 和 的公共方程所在直线即为 ,①—②得： ，即为 ∴ ,∴ 1a = cos 1 sin x a t y a t =  = + t ( )22 21x y a+ − = 1C ( )0 1， a 2 2 22 1 0x y y a+ − + − = 2 2 2 sinx y yρ ρ θ+ = =， 2 22 sin 1 0aρ ρ θ− + − = 1C 2 4cosC ρ θ=： ρ 2 2 2 24 cos cosx y xρ ρ θ ρ ρ θ= = + = ， 2 2 4x y x∴ + = ( )2 22 4x y− + = 3C 2y x= 1C 2C 3C 24 2 1 0x y a− + − = 3C 21 0a− = 解析：（I）因为 ，所以 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 . （Ⅱ ）将 代入 ，得 ，解得 = ， = ，|MN|= － = ，因为 的半径为 1，则 的面积 = . cos , sinx yρ θ ρ θ= = 1C cos 2ρ θ = − 2C 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = = 4 πθ 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2 3 2 4 0ρ ρ− + = 1 ρ 2 2 2 ρ 2 1 ρ 2 ρ 2 2C 2C MN∆ o1 2 1 sin 452 × × × 1 2 4.【2014，23】已知曲线 ： ，直线 ： （ 为参数）. (Ⅰ)写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程； （Ⅱ）过曲线 上任一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ，求 的最大值与最小值. 5.【2013，23】已知曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． C 2 2 14 9 x y+ = l 2 2 2 x t y t = +  = − t C l C P l o30 l A | |PA 4 5cos , 5 5sin x t y t = +  = + 【解析】：.(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为： （ 为参数）， 直线 l 的普通方程为： （Ⅱ）（2）在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ,3sin )到 l 的距离为 ， 则 ，其中 为锐角．且 . 当 时， 取得最大值，最大值为 ； 当 时， 取得最小值，最小值为 . 2cos 3sin x y θ θ =  = θ 2 6 0x y+ − = θ θ 5 4cos 3sin 65d θ θ= + − ( )0 2 5| | 5sin 6sin30 5 dPA θ α= = + − α 4tan 3 α = ( )sin 1θ α+ = − | |PA 22 5 5 ( )sin 1θ α+ = | |PA 2 5 5 6.【2018，22】在直角坐标系 中，曲线 的方程为 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求 的直角坐标方程； （2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程． 解：(1)将 消去参数 t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25， 即 C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0. 将 代入 x2＋y2－8x－10y＋16＝0 得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2 的普通方程为 x2＋y2－2y＝0.由 解得 或 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ， . 4 5cos , 5 5sin x t y t = +  = + cos , sin x y ρ θ ρ θ =  = 2 2 2 2 8 10 16 0, 2 0 x y x y x y y  + − − + =  + − = 1, 1 x y =  = 0, 2. x y =  = π2, 4      π2, 2      xOy 1C 2y k x= + x 2C 2 2 cos 3 0ρ ρ θ+ − = 2C 1C 2C 1C 7、【2020.22】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ．以坐标原点为极点， 轴 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）当 时， 是什么曲线？ （2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标． 2018.22．解：（1）由 ， 得 的直角坐标方程为 ． （2）由（1）知 是圆心为 ，半径为 的圆． 由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线．记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射线为 ．由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与 有两 个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点． 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ． 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两个公共 点． 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ． 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点． 综上，所求 的方程为 ． cosx ρ θ= siny ρ θ= 2C 2 2( 1) 4x y+ + = 2C ( 1,0)A − 2 1C (0,2)B y y 1l y 2l B 2C 1C 2C 1l 2C 2l 2C 2l 2C 1l 2C 1l 2C A 1l 2 2 | 2 | 2 1 k k − + = + 4 3k = − 0k = 0k = 1l 2C 4 3k = − 1l 2C 2l 2C 2l 2C A 2l 2 2 | 2 | 2 1 k k + = + 0k = 4 3k = 0k = 1l 2C 4 3k = 2l 2C 1C 4 | | 23y x= − + xOy 1C cos , sin k k x t y t  =  = (t ) x 2C 4 cos 16 sin 3 0ρ θ ρ θ− + = 1k = 1C 4k = 1C 2C （1）当 时，曲线 的参数方程为 为参数）， 两式平方相加得 ， 所以曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆； （2）当 时，曲线 的参数方程为 为参数）， 所以 ，曲线 的参数方程化为 为参数）， 两式相加得曲线 方程为 ， 得 ，平方得 ， 1k = 1C cos (sin x t ty t =  = 2 2 1x y+ = 1C 4k = 1C 4 4 cos ( sin x t t y t  =  = 0, 0x y≥ ≥ 1C 2 2 cos ( sin x t t y t  = = 1C 1x y+ = 1y x= − 2 1,0 1,0 1y x x x y= − + ≤ ≤ ≤ ≤ 曲线 的极坐标方程为 ， 曲线 直角坐标方程为 ， 联立 方程 ， 整理得 ，解得 或 （舍去）， ， 公共点的直角坐标为 . 2C 4 cos 16 sin 3 0ρ θ ρ θ− + = 2C 4 16 3 0x y− + = 1 2,C C 2 1 4 16 3 0 y x x x y  = − + − + = 12 32 13 0x x− + = 1 2x = 13 6x = 1 1,4 4x y∴ = = 1 2,C C∴ 1 1( , )4 4 十三、统计与概率 【2019.6】某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽 样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验，若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是 A．8 号学生 B．200 号学生 C．616 号学生 D．815 号学生 1.【2017，2】为评估一种农作物的种植效果，选了 块地作试验田.这 块地的亩产量（单位： ）分别为 ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A. 的平均数 B. 的标准差 C. 的最大值 D. 的中位数 2.【2017，4】如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的 n n kg 1 2, , , nx x x 1 2, , , nx x x 1 2, , , nx x x 1 2, , , nx x x 1 2, , , nx x x 【答案】C 【解析】【由已知将1000 名学生分成 100 个组，每组 10 名学生，用系统抽样，46 号学生被抽到， 所以第一组抽到 6 号，且每组抽到的学生号构成等差数列 ，公差 ， 所以 ， 若 ，则 ，不合题意；若 ，则 ，不合题意； 若 ，则 ，符合题意；若 ，则 ，不合题意．故选 C． { }na 10d = 6 10na n= + ( )n ∗∈ N 8 6 10n= + 1 5n = 200 6 10n= + 19.4n = 616 6 10n= + 60n = 815 6 10n= + 80.9n = 解：一组样本数据的方差与标准差反映了这组样本数据的稳定程度，故选 B 黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A. B. C. D. 3.【2016，3】为美化环境，从红、黄、白、紫 种颜色的花中任选 种花种在一个花坛中，余下的 种花种在另 一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）．A． B． C． D． 4.【2015，4】如果 3 个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从 1,2,3,4,5 中 任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ) A． B． C． D． 5. 【2013，3】从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是(  )． A． B． C． D． 6.【2012，3】3．在一组样本数据（ ， ），（ ， ），…，（ ， ）（ ， ， ，…， 不全 相等）的散点图中，若所有样本点（ ， ）（ =1，2，…， ）都在直线 上，则这组样本数据 的样本相关系数为（ ） A．－1 B．0 C.0.5 D．1 1 4 π 8 1 2 π 4 4 2 2 1 3 1 2 2 3 5 6 3 10 1 5 1 10 1 2 0 1 2 1 3 1 4 1 6 1x 1y 2x 2y nx ny 2n ≥ 1x 2x nx ix iy i n 1 12y x= + 解：设正方形的边长为 ，则黑色部分的面积为 ，而正方形的面积为 ，由几何概率模型可得， 所求概率为 ，选 B 2a 21 2 aπ 24a 2 2 1 2 4 8 a a π π= 解析：选 C. 只需考虑分组即可，分组（只考虑第一个花坛中的两种花）情况为（红，黄），（红，白），（红， 紫），（黄，白），（黄，紫），（白，紫），共 种情况，其中符合题意的情况有 种，因此红色和紫色的花不在 同一花坛的概率是 ．故选 C． 6 4 2 3 解：选 C，从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数共有 10 种不同的取法，其中的勾股数只有 3,4,5，1 种，故所求概 率为 ，故选 C1 10 解析：选 B. 由题意知总事件数为 6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数 是 2，所以所求的概率为 .1 3 7.【2011，6】有 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同， 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）.A. B. C. D. 8.【2014，13】将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 ________. 9.【2018，3】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农 村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 3 1 3 1 2 2 3 3 4 【解析】因为 中， ，所以样本相关系数 ， 又所有样本点（ ， ）（ =1， 2，…， ）都在直线 上， 所以样本相关系数 ，故选择 D。 1 12y x= + 1 02k = > 0r > ix iy i n 1 12y x= + 1r= 【解析】选 A.. 甲、乙两位同学参加 个小组的所有可能性有 （种），其中甲、乙两人参加同一个 小组的情况有 种.故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率 . 3 3 3 9× = 3 3 1 9 3P = = 解：设数学书为 1，2，语文书为 A，则所有的排法有(1,2,A)，(1,A,2)，(2,1, A)，(2, A,1)，(A,1,2)，(A,2,1) 共 6 种，其中 2 本数学书相邻的情况有 4 种情况，故所求概率为 .4 2 6 3P = = 10、【2020.4】设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 O，A，B，C，D 中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率为（ ） A. B. C. D. 11、【2020.5】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：°C）的关系，在 20 个不同 的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图： 【答案】A 【解析】：设新农村建设前的收入为 M，而新农村建设后的收入为 2M， 则新农村建设前种植收入为 0.6M，而新农村建设后的种植收入为 0.74M，所以种植收入增加了，所以 A 项不 正确； 新农村建设前其他收入我 0.04M，新农村建设后其他收入为 0.1M，故增加了一倍以上，所以 B 项正确； 新农村建设前，养殖收入为 0.3M，新农村建设后为 0.6M，所以增加了一倍，所以 C 项正确； 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的 ，所以超过了经济收入 的一半，所以 D 正确；故选 A. 1 5 2 5 1 2 4 5 【答案】A 【解析】如图，从 5 个点中任取 3 个有 ， ， 共 种不同取法， 3 点共线只有 与 共 2 种情况，由古典概型的概率计算公式知， 取到 3 点共线的概率为 . O A B C D, , , , { , , },{ , , },{ , , },{ , , }O A B O A C O A D O B C { , , },{ , , },{ , , },{ , , }O B D O C D A B C A B D { , , },{ , , }A C D B C D 10 { , , }A O C { , , }B O D 2 1 10 5 = ( , )( 1,2, ,20)i ix y i =  由此散点图，在 10°C 至 40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是 （ ） A. B. C. D. 解答题 【2019.17】某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满 意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附： ． P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 y a bx= + 2y a bx= + exy a b= + lny a b x= + 【答案】D 【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率 和温度 的回 归方程类型的是 .故选：D. y x lny a b x= + 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + k 3.841 6.635 10.828 10.【2017，19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽取一个零 件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 ， ， ， ，其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸，i=1,2,…,16． （1）求 (i=1,2,…,16)的相关系数 r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系 统地变大或变小（若|r|× × × 95% （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （ⅱ）在 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与 标 准 差 ．（ 精 确 到 0.01 ） 附 ： 样 本 (xi,yi)(i=1,2,…,n) 的 相 关 系 数 ， ． ( 3 , 3 )x s x s− + 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ 0.008 0.09≈ 【解析】（1） ， ， 故 . 所以可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小. (2)(i) , 第 13 个零件的尺寸为 ， ，所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查. (ii)剔除 ，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为 ， 方差为 ,故标准差为 16 1 1 8.516 i i y y = = =∑ 16 16 1 1 ( )( ) ( )( ) 2.78i i i i i x x y y x x i y = = − − = − − = −∑ ∑ 16 2 2 1 1 ( ) = ( ) =4 0.848 n i i i i x x x x s = = − − =∑ ∑ 16 2 2 1 1 ( ) = ( 8.5) 18.439 n i i i y y i = = − − ≈∑ ∑ 1 2 2 1 1 ( )( ) 2.78= 0.1780.848 18.439( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y = = = − − −= ≈ −×− − ∑ ∑ ∑ 0.178 ( )19 200 19 500 500 5700y x x= × + − × = − 3800, , 19 500 5700, , 19 x xy x x x ∈=  − ∈ > N N  （2）由柱状图可知更换易损零件数的频率如表所示. 更换的易损零件数 16 17 18 19 20 21 频率 0.06 0.16 0.24 0.24 0.20 0.10 所以更换易损零件数不大于 18 的频率为： ， 更换易损零件数不大于 19 的频率为： ，故 最小值为 ． （3）若每台都购买 个易损零件，则这 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为： （元）； 若每台都够买 个易损零件，则这 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为： （元）. 因为 ，所以购买 台机器的同时应购买 个易损零件． 0.06 0.16 0.24 0.46 0.5+ + = < 0.06 0.16 0.24 0.24 0.70 0.5+ + + = > n 19 19 100 100 19 200 20 500 2 10 500 4000100 × × + × + × × = 20 100 100 20 200 10 500 4050100 × × + × = 4000 4050< 1 19 x y ω 2 1 ( ) n i i x x = −∑ 2 1 ( ) n i i ω ω = −∑ 1 ( )( ) n i i i x x y y = − −∑ 1 ( )( ) n i i i y yω ω = − −∑ (Ⅰ)根据散点图判断，y=a+bx 与 ，哪一个宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型 （给出判断即可，不必说明理由）； (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； (Ⅲ)已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z=0.2y-x，根据(Ⅱ)的结果回答下列问题： (1)当年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值时多少？ (2)当年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？ 13.【2013，18】为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药，B 药)的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药， y c d x= + 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 解析 （1）由散点图变化情况选择 较为适宜. （2）由题意知 . 又 一定过点 ，所以 ， 所以 关于 的回归方程为 . y c d x= + ( )( ) ( ) 8 1 8 2 1 108.8 681.6 i i i i i w w y y d w w = = − − = = = − ∑ ∑ y c d x= + ( ),w y 563 68 6.8 100.6c y dw= − = − × = y x 100.6 68y x= + （3）（ⅰ）由（2）可知当 时， ， . 所以年宣传费 时，年销售量为 ，年利润的预报值为 千元. （ⅱ） . 所以当 ，即 （千元）时，年利润的预报值最大， 49x = 100.6 68 49 576.6y = + = 0.2 576.6 49 66.32z = × − = 49x = 576.6t 66.32 ( )0.2 0.2 100.6 68 13.6 20.12z y x x x x x= − = + − = − + = ( )2 26.8 6.8 20.12x− − + + 6.8x = 26.8 46.24x = = 20 位患者服用 B 药，这 40 位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结 果如下： 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？ 14.【2018，19】某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头 50 天的日 用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 解：(1)设 A 药观测数据的平均数为 ，B 药观测数据的平均数为 .由观测结果可得 ＝ (0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋ 3.2＋3.5)＝2.3， ＝ (0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6 ＋2.7＋3.2)＝1.6. 由以上计算结果可得 ＞ ，因此可看出 A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图： x y x 1 2 0 y 1 2 0 x y 从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有 的叶集中在茎 2,3 上，而 B 药疗效的试验结果有 的叶集中在茎 0,1 上，由此可看出 A 药的疗效更好． 7 10 7 10 [ )0 0.1， [ )0.1 0.2， [ )0.2 0.3， [ )0.3 0.4， [ )0.4 0.5， [ )0.5 0.6， [ )0.6 0.7， 频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 频数 1 5 13 10 16 5 （1）在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图： （2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m3 的概率； （3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同一组中的数据以这组数据 所在区间中点的值作代表．） [ )0 0.1， [ )0.1 0.2， [ )0.2 0.3， [ )0.3 0.4， [ )0.4 0.5， [ )0.5 0.6， 15、【2020.17】某厂接受了一项加工业务，加工出来 产品(单位：件)按标准分为 A，B，C，D 四个等级.加工业 务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费 90 元，50 元，20 元；对于 D 级品，厂家每 件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为 25 元/件，乙分厂加工成 的 14．解：（1） （2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35m3 的频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48， 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35m3 的概率的估计值为 0.48． （3）该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为 ． 该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为 ． 估计使用节水龙头后，一年可节省水 ． 1 1 (0.05 1 0.15 3 0.25 2 0.35 4 0.45 9 0.55 26 0.65 5) 0.4850x = × + × + × + × + × + × + × = 2 1 (0.05 1 0.15 5 0.25 13 0.35 10 0.45 16 0.55 5) 0.3550x = × + × + × + × + × + × = 3(0.48 0.35) 365 47.45(m )− × = 本费为 20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了这些产 品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 （1）分别估计甲、乙两分厂加工出来 一件产品为 A 级品的概率； （2）分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工 业务? 的 【解析】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为 级品的概率为 ，乙厂加工出来的一件产品为 级品的概率为 ； （2）甲分厂加工 件产品的总利润为 元， 所以甲分厂加工 件产品的平均利润为 元每件； 乙分厂加工 件产品的总利润为 元， 所以乙分厂加工 件产品的平均利润为 元每件． 故厂家选择甲分厂承接加工任务． A 40 0.4100 = A 28 0.28100 = 100 ( ) ( ) ( ) ( )40 90 25 20 50 25 20 20 25 20 50 25 1500× − + × − + × − − × + = 100 15 100 ( ) ( ) ( ) ( )28 90 20 17 50 20 34 20 20 21 50 20 1000× − + × − + × − − × + = 100 10