2020-2021 学年度第一学期高三阶段检测
数学试卷
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
3.考试时间 120 分钟,满分 150 分
一、单项选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设集合퐴 = {푥| -
1
2 < 푥 < 2},퐵 = {푥|푥2 ≤ 1},则 A∪B= ( )
A. B.{푥| -
1
2 < 푥 ≤ 1}
C. D.{푥|1 ≤ 푥 < 2}
2.设函数푦 = 푓(푥)的图像与푦 = 2푥+푎的图像关于直线푦 = - 푥对称,且푓( - 2) + 푓( -
4) = 1,则푎 = ( )
A. - 1 B.1 C.2 D.4
3.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说,书中有这样一个情节:一座阁楼
到处挂满了五彩缤纷的大小灯球,灯球有两种,一种是大灯下缀 2 个小灯,另一种是大
灯下缀 4 个小灯,大灯共 360 个,小灯共 1200 个。若在这座楼阁的灯球中,随机选取
两个灯球,则至少有一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知 y=f(x)为 R 上的可导函数,当 x≠0 时, >0,若 F(x)=f(x)
+ ,则函数 F(x)的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.0 或 2
5.函数푓(푥) = 푥2 +푥푠푖푛푥的图象大致为( )
A. B. C. D.
6.函数 f(x)=sin(ωx+φ)(|φ|<휋
2)的图象如图所示,为了得到 g(x)=
sin3x 的图象,只需将 f(x)的图象( )
A.向右平移휋
4个单位长度
B.向左平移휋
4个单位长度
C.向右平移 휋
12个单位长度
D.向左平移 휋
12个单位长度
{ | 1 2}x x− ≤ <
{ | 2}x x <
119
1077
160
359
958
1077
289
359
( ) ( )f xf ' x x
+
1
x7.已知 a=1
3
1
2,b=ln1
3,,c=푒
1
3则( )
A.a>b>c B.c>a>b
C.b>a>c D.b>c>a
8.南京某学校为了解 1 000 名学生的身体素质,将这些学生编号为 1,2,…,1
000,从这些学生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验,若 46 号学生被
抽到,则以下 4 名学生中被抽到的是( )
A.8 号学生 B.200 号学生 C.616 号学生 D.815 号学生
二、多项选择题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,在每小题给出的四个
选项中,有多项符合题目要求,全部选对得 5 分,部分选对得 3 分,有选错的得 0 分)
9.已知 f(x)=sin2x,g(x)=cos2x,下列四个结论正确的是( )
A.f(x)的图象向左平移 个单位长度,即可得到 g(x)的图象
B.当 x= 时,函数 f(x)-g(x)取得最大值
C.y=f(x)+g(x)图象的对称中心是( ,0),k∈Z
D.y=f(x)·g(x)在区间( , )上单调递增
10.已知函数 f(x)= ,则下列结论正确的是( )
A.函数 f(x)不存在两个不同的零点
B.函数 f(x)既存在极大值又存在极小值
C.当-e >
S
CD
A B
E19.已知函数 f(x)=m + lnx
x ,m∈R,x>1.
(Ⅰ)讨论 f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若 f(x) 0,且푎 ≠ 1),且푓(3) = 1.
(1)求푎的值,并写出函数푓(푥)的定义域;
(2)设函数푔(푥) = 푓(1 + 푥) - 푓(1 - 푥),试判断푔(푥)的奇偶性,并说明理由;
(3)若不等式푓(푡 ⋅ 4푥) ≥ 푓(2푥 - 푡)对任意푥 ∈ [1,2]恒成立,求实数푡的取值范围.2020/2021 学年度第一学期阶段检测试卷答案
数学
1.A 2.C 3.C 4.A 5.A 6.C 7.B 8. C 9.CD 10.BCD 11.CD
12.BC
13. m=o 或-1
2或1
3 14(1,0) 15. 16.
17.解答:
f(x)=1+cos(2x+π
6 )+sin2x
=1+cos2xcosπ
6 −sin2xsinπ
6 +sin2x
=1+ 3
2 cos2x+1
2sin2x
=sin(2x+π
3 )+1
(1)f(α)=sin(2α+π
3 )+1
=1,
∴sin(2α+π
3 )=0;2α+π
3 =kπ,α=kπ
2 −π
6 (k∈z),
又∵α∈(0,π)∴α=π
3 或5π
6
(2)f(x)单调增,故 2x+π
3 ∈[2kπ−π
2 ,2kπ+π
2 ],
即 x∈[kπ−5π
12 ,kπ+π
12](k∈Z),
从而 f(x)的单调增区间为[kπ−5π
12 ,kπ+π
12](k∈Z).
18.证明:如图 1,连接 BE、BD,由底面 ABCD 是正方形可得 AC⊥BD。
∵ SD ⊥ 平 面 ABCD , ∴ BD 是 BE 在 平 面 ABCD 上 的 射 影 , ∴ AC ⊥
BE·········4 分
(Ⅱ)如图 1,由 SD⊥平面 ABCD 知,∠DBE= 휙,
∵ SD⊥平面 ABCD,CD ⊂ 平面 ABCD, ∴ SD⊥CD。
又底面 ABCD 是正方形, ∴ CD⊥AD,而 SD ∩ AD=D,CD⊥平面 SAD.
连接 AE、CE,过点 D 在平面 SAD 内作 DE⊥AE 于 F,连接 CF,则 CF⊥AE,
故∠CFD 是二面角 C-AE-D 的平面角,即∠CFD=휃。
在 Rt△BDE 中, ∵ BD=2a,DE=휆푎,퐵퐸 = 4푎2 + 휆2푎2 ,
푠푖푛휙 = 퐷퐸
퐵퐸 = 휆
휆2 + 4
在 Rt△ADE 中, ∵ 퐴퐷 = 2푎,퐷퐸 = 휆푎, ∴ 퐴퐸 = 푎 휆2 + 2
从而퐷퐹 = 퐴퐷 ⋅ 퐷퐸
퐴퐸 =
2휆푎
휆2 + 2
在RtΔCDF中,퐶퐹 = 퐷퐹2 + 퐶퐷2 = 2 휆2 + 1
휆2 + 2 푎.
4
3 3y x= ±∴ 푐표푠휃 =
퐷퐹
퐶퐹 =
휆
2휆2 + 2
푠푖푛휙 = 푐표푠휃 即
휆
휆2 + 4
=
휆
2휆2 + 2
⇔휆2 = 2
由휆 ∈ (0,2],解得휆 = 2,即为所求.
19.
(Ⅰ)f′(x)=1 - m - lnx
x2 ,x>1
当 1−m⩽0 时,即 m⩾1 时,1−m−lnx⩽0 在[1,+∞)上恒成立,
所以 f(x)的单调减区间是[1,+∞),无单调增区间.
当 1−m>0 时,即 m0 得 x∈(1,e1-m).
由 f′(x)1,gmax(x)1
①m⩽0 时,g′(x)>0,(x>1),g(x)在(1,+∞)递增,
∴x>1,g(x)>g(1)=0,舍去
②m⩾1
2时,g′(x)1),g(x)在(1,+∞)递减,
∴x>1,g(x)g(1)=0,(舍去),
综上,m⩾1
2
20.(1)由已知得出联列表:
所以 ,
(必须保留小数点后三位,否则不给分)
有 99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关;
(2)有数据可知,女性中“手机支付族”的概率为 ,
2
2 60 (10 8 12 30) 7.033 6.63522 38 40 20K
× × − ×= ≈ >× × ×
∴
12 3
20 5P = = ,
(3)若选方案一,则需付款 元
若选方案二,设实际付款 元,,则 的取值为 1200,1080,1020,
,
, ,
选择第二种优惠方案更划算
21.解:(1)由题意知,f(x)=a•푏=msin2x+ncos2x,
根据 y=f(x)=的图象过点( 휋
12 , 3)和(2휋
3 ,﹣2),
得到{ 3 = 푚푠푖푛휋
6 + 푛푐표푠휋
6
―2 = 푚푠푖푛4휋
3 + 푛푐표푠4휋
3
解得 m= 3,n=1;
f(x)=a•푏•= 3sin2x+cos2x=2sin(2x+휋
6),
当﹣휋
6≤x≤휋
3时,﹣휋
6≤2x+휋
6≤5휋
6 ,
∴﹣1≤2sin(2x+휋
6)≤2;
∴函数 y=f(x)的最大值为 2,此时 x=휋
6,
最小值为﹣1,此时 x=﹣휋
6;
(2)将函数 y=f(x)的图象向右平移휋
4个单位后,得函数 y=2sin[2(x﹣휋
4)
+휋
6]=2sin(2x﹣휋
3)的图象;
再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍,纵坐标不变,得函数 y=g
(x)=2sin(푥
2﹣휋
3)的图象,
令 t=푥
2﹣휋
3,t∈[﹣휋
3,2휋
3 ],如图所示,
当 3
2 ≤sint<1 时,g(x)=m 在[0,2π]有两个不同的解,
∴ 3≤2sin(푥
2 - 휋
3)<2,
则实数 m 的取值范围是 3≤m<2.
3( )5Bξ∴ 3,
=×=
5
33)(ξE 5
9
1200 100 1100− =
X X
( ) 0 2
0
2
1 1 11200 =2 2 4P X C ∴ = =
( ) 1 1
1
2
1 1 11080 = =2 2 2P X C = =
( ) 2 0
2
2
1 1 11020 =2 2 4P X C = =
( ) 1 1 11200 1080 1020 10954 2 4E X∴ = × + × + × =
1100 1095> ∴ ,22.【详解】(1)푓(3) = 푙표푔푎 3 = 1,푎 = 3;푓(푥) = 푙표푔3 푥(푥 > 0)
(2)푔(푥) = 푓(1 + 푥) - 푓(1 - 푥) ∴ {1 + 푥 > 0
1 - 푥 > 0∴
푔( -푥) = 푓(1 - 푥) - 푓(1 + 푥) = - 푔(푥) ∴푔(푥)为奇函数;
(3)푓(푥) = 푙표푔3 푥 ∴ 푓(푥)是单调递增函数
푓(푡 ⋅ 4푥) ≥ 푓(2푥 - 푡) ∴푡 ⋅ 4푥 ≥ 2푥
- 푡 > 0 ∴푡(4푥 + 1) ≥ 2푥 ∴푡 ≥ 2푥
4푥 + 1 =
1
2푥 + 1
2푥
令푦 = 2푥 + 1
2푥 푥 ∈ [1,2]时上式为增函数 ∴푦1
2
5
2푚푖푛 ∴푡 ≥
1
5
2
= 2
5
又∵2푥
- 푡 > 0 ∴푡 < (2푥)푚푖푛 综上푡 ∈ 2
5,2).
1 1x− <