江苏省南京大学附属中学2020-2021学年度第一学期高三数学阶段检1 含答案详解
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江苏省南京大学附属中学2020-2021学年度第一学期高三数学阶段检1 含答案详解

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资料简介
2020-2021 学年度第一学期高三阶段检测 数学试卷 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 3.考试时间 120 分钟,满分 150 分 一、单项选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设集合퐴 = {푥| - 1 2 < 푥 < 2},퐵 = {푥|푥2 ≤ 1},则 A∪B= ( ) A. B.{푥| - 1 2 < 푥 ≤ 1} C. D.{푥|1 ≤ 푥 < 2} 2.设函数푦 = 푓(푥)的图像与푦 = 2푥+푎的图像关于直线푦 = - 푥对称,且푓( - 2) + 푓( - 4) = 1,则푎 = ( ) A. - 1 B.1 C.2 D.4 3.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说,书中有这样一个情节:一座阁楼 到处挂满了五彩缤纷的大小灯球,灯球有两种,一种是大灯下缀 2 个小灯,另一种是大 灯下缀 4 个小灯,大灯共 360 个,小灯共 1200 个。若在这座楼阁的灯球中,随机选取 两个灯球,则至少有一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为( ) A. B. C. D. 4.已知 y=f(x)为 R 上的可导函数,当 x≠0 时, >0,若 F(x)=f(x) + ,则函数 F(x)的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.0 或 2 5.函数푓(푥) = 푥2 +푥푠푖푛푥的图象大致为( ) A. B. C. D. 6.函数 f(x)=sin(ωx+φ)(|φ|<휋 2)的图象如图所示,为了得到 g(x)= sin3x 的图象,只需将 f(x)的图象(  ) A.向右平移휋 4个单位长度 B.向左平移휋 4个单位长度 C.向右平移 휋 12个单位长度 D.向左平移 휋 12个单位长度 { | 1 2}x x− ≤ < { | 2}x x < 119 1077 160 359 958 1077 289 359 ( ) ( )f xf ' x x + 1 x7.已知 a=1 3 1 2,b=ln1 3,,c=푒 1 3则(  ) A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.b>c>a 8.南京某学校为了解 1 000 名学生的身体素质,将这些学生编号为 1,2,…,1 000,从这些学生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验,若 46 号学生被 抽到,则以下 4 名学生中被抽到的是( ) A.8 号学生 B.200 号学生 C.616 号学生 D.815 号学生 二、多项选择题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,在每小题给出的四个 选项中,有多项符合题目要求,全部选对得 5 分,部分选对得 3 分,有选错的得 0 分) 9.已知 f(x)=sin2x,g(x)=cos2x,下列四个结论正确的是( ) A.f(x)的图象向左平移 个单位长度,即可得到 g(x)的图象 B.当 x= 时,函数 f(x)-g(x)取得最大值 C.y=f(x)+g(x)图象的对称中心是( ,0),k∈Z D.y=f(x)·g(x)在区间( , )上单调递增 10.已知函数 f(x)= ,则下列结论正确的是( ) A.函数 f(x)不存在两个不同的零点 B.函数 f(x)既存在极大值又存在极小值 C.当-e > S CD A B E19.已知函数 f(x)=m + lnx x ,m∈R,x>1. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x) 0,且푎 ≠ 1),且푓(3) = 1. (1)求푎的值,并写出函数푓(푥)的定义域; (2)设函数푔(푥) = 푓(1 + 푥) - 푓(1 - 푥),试判断푔(푥)的奇偶性,并说明理由; (3)若不等式푓(푡 ⋅ 4푥) ≥ 푓(2푥 - 푡)对任意푥 ∈ [1,2]恒成立,求实数푡的取值范围.2020/2021 学年度第一学期阶段检测试卷答案 数学 1.A 2.C 3.C 4.A 5.A 6.C 7.B 8. C 9.CD 10.BCD 11.CD 12.BC 13. m=o 或-1 2或1 3 14(1,0) 15. 16. 17.解答: f(x)=1+cos(2x+π 6 )+sin2x =1+cos2xcosπ 6 −sin2xsinπ 6 +sin2x =1+ 3 2 cos2x+1 2sin2x =sin(2x+π 3 )+1 (1)f(α)=sin(2α+π 3 )+1 =1, ∴sin(2α+π 3 )=0;2α+π 3 =kπ,α=kπ 2 −π 6 (k∈z), 又∵α∈(0,π)∴α=π 3 或5π 6 (2)f(x)单调增,故 2x+π 3 ∈[2kπ−π 2 ,2kπ+π 2 ], 即 x∈[kπ−5π 12 ,kπ+π 12](k∈Z), 从而 f(x)的单调增区间为[kπ−5π 12 ,kπ+π 12](k∈Z). 18.证明:如图 1,连接 BE、BD,由底面 ABCD 是正方形可得 AC⊥BD。 ∵ SD ⊥ 平 面 ABCD , ∴ BD 是 BE 在 平 面 ABCD 上 的 射 影 , ∴ AC ⊥ BE·········4 分 (Ⅱ)如图 1,由 SD⊥平面 ABCD 知,∠DBE= 휙, ∵ SD⊥平面 ABCD,CD ⊂ 平面 ABCD, ∴ SD⊥CD。 又底面 ABCD 是正方形, ∴ CD⊥AD,而 SD ∩ AD=D,CD⊥平面 SAD. 连接 AE、CE,过点 D 在平面 SAD 内作 DE⊥AE 于 F,连接 CF,则 CF⊥AE, 故∠CFD 是二面角 C-AE-D 的平面角,即∠CFD=휃。 在 Rt△BDE 中, ∵ BD=2a,DE=휆푎,퐵퐸 = 4푎2 + 휆2푎2 , 푠푖푛휙 = 퐷퐸 퐵퐸 = 휆 휆2 + 4 在 Rt△ADE 中, ∵ 퐴퐷 = 2푎,퐷퐸 = 휆푎, ∴ 퐴퐸 = 푎 휆2 + 2 从而퐷퐹 = 퐴퐷 ⋅ 퐷퐸 퐴퐸 = 2휆푎 휆2 + 2 在RtΔCDF中,퐶퐹 = 퐷퐹2 + 퐶퐷2 = 2 휆2 + 1 휆2 + 2 푎. 4 3 3y x= ±∴ 푐표푠휃 = 퐷퐹 퐶퐹 = 휆 2휆2 + 2 푠푖푛휙 = 푐표푠휃 即 휆 휆2 + 4 = 휆 2휆2 + 2 ⇔휆2 = 2 由휆 ∈ (0,2],解得휆 = 2,即为所求. 19. (Ⅰ)f′(x)=1 - m - lnx x2 ,x>1 当 1−m⩽0 时,即 m⩾1 时,1−m−lnx⩽0 在[1,+∞)上恒成立, 所以 f(x)的单调减区间是[1,+∞),无单调增区间. 当 1−m>0 时,即 m0 得 x∈(1,e1-m). 由 f′(x)1,gmax(x)1 ①m⩽0 时,g′(x)>0,(x>1),g(x)在(1,+∞)递增, ∴x>1,g(x)>g(1)=0,舍去 ②m⩾1 2时,g′(x)1),g(x)在(1,+∞)递减, ∴x>1,g(x)g(1)=0,(舍去), 综上,m⩾1 2 20.(1)由已知得出联列表: 所以 , (必须保留小数点后三位,否则不给分) 有 99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关; (2)有数据可知,女性中“手机支付族”的概率为 , 2 2 60 (10 8 12 30) 7.033 6.63522 38 40 20K × × − ×= ≈ >× × × ∴ 12 3 20 5P = = , (3)若选方案一,则需付款 元 若选方案二,设实际付款 元,,则 的取值为 1200,1080,1020, , , , 选择第二种优惠方案更划算 21.解:(1)由题意知,f(x)=a•푏=msin2x+ncos2x, 根据 y=f(x)=的图象过点( 휋 12 , 3)和(2휋 3 ,﹣2), 得到{ 3 = 푚푠푖푛휋 6 + 푛푐표푠휋 6 ―2 = 푚푠푖푛4휋 3 + 푛푐표푠4휋 3 解得 m= 3,n=1; f(x)=a•푏•= 3sin2x+cos2x=2sin(2x+휋 6), 当﹣휋 6≤x≤휋 3时,﹣휋 6≤2x+휋 6≤5휋 6 , ∴﹣1≤2sin(2x+휋 6)≤2; ∴函数 y=f(x)的最大值为 2,此时 x=휋 6, 最小值为﹣1,此时 x=﹣휋 6; (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移휋 4个单位后,得函数 y=2sin[2(x﹣휋 4) +휋 6]=2sin(2x﹣휋 3)的图象; 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍,纵坐标不变,得函数 y=g (x)=2sin(푥 2﹣휋 3)的图象, 令 t=푥 2﹣휋 3,t∈[﹣휋 3,2휋 3 ],如图所示, 当 3 2 ≤sint<1 时,g(x)=m 在[0,2π]有两个不同的解, ∴ 3≤2sin(푥 2 - 휋 3)<2, 则实数 m 的取值范围是 3≤m<2. 3( )5Bξ∴  3, =×= 5 33)(ξE 5 9 1200 100 1100− = X X ( ) 0 2 0 2 1 1 11200 =2 2 4P X C    ∴ = =        ( ) 1 1 1 2 1 1 11080 = =2 2 2P X C    = =        ( ) 2 0 2 2 1 1 11020 =2 2 4P X C    = =        ( ) 1 1 11200 1080 1020 10954 2 4E X∴ = × + × + × = 1100 1095> ∴ ,22.【详解】(1)푓(3) = 푙표푔푎 3 = 1,푎 = 3;푓(푥) = 푙표푔3 푥(푥 > 0) (2)푔(푥) = 푓(1 + 푥) - 푓(1 - 푥) ∴ {1 + 푥 > 0 1 - 푥 > 0∴ 푔( -푥) = 푓(1 - 푥) - 푓(1 + 푥) = - 푔(푥) ∴푔(푥)为奇函数; (3)푓(푥) = 푙표푔3 푥 ∴ 푓(푥)是单调递增函数 푓(푡 ⋅ 4푥) ≥ 푓(2푥 - 푡) ∴푡 ⋅ 4푥 ≥ 2푥 - 푡 > 0 ∴푡(4푥 + 1) ≥ 2푥 ∴푡 ≥ 2푥 4푥 + 1 = 1 2푥 + 1 2푥 令푦 = 2푥 + 1 2푥 푥 ∈ [1,2]时上式为增函数 ∴푦1 2 5 2푚푖푛 ∴푡 ≥ 1 5 2 = 2 5 又∵2푥 - 푡 > 0 ∴푡 < (2푥)푚푖푛 综上푡 ∈ 2 5,2). 1 1x− <

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