2020年高考数学试题分类汇编-三角函数 含答案与解析

12020 年高考试题分类汇编  2  三角函数 1.（2020·全国卷Ⅱ理 2）若 α 为第四象限角，则（ ） A. cos2α>0 B. cos2α0 D. sin2α 0 ，选项 B 错误； =− 6  3    当α 时， cos 2α = cos  − 2π  < 0 ，选项 A 错误； =− 3  3    由α 在第四象限可得： sinα < 0, cosα > 0 ，则sin 2α = 2sinα cosα < 0 ，选项 C 错误，选项 D 正确； 故选：D. 2.【答案】B 【解析】由题意可得： sinθ + 1 sinθ + 3 cosθ = 1， 2 2 则： 3 sinθ + 3 cosθ = 1， 3 sinθ + 1 cosθ = 3 ， 2 2 2 2 3 从而有： sinθ cos π + cosθ sin π = 3 ， 6 6 3  π  即sin θ +  = .   3 故选：B. 3.【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点  − 4π ,0  ，  9    将它代入函数 f (x)可得： cos  − 4π ⋅ω + π  = 0  9 6   72020 年高考试题分类汇编 π 1+ t 又  − 4π ,0  是函数 f (x)图象与 x 轴负半轴的第一个交点，  9    4π π π 3 所以 − ⋅ω + = − ，解得： ω = 9 6 2 2 T = 2π = 2π = 4π 所以函数 f (x)的最小正周期为 故选：C ω 3 3 2 4.【答案】B 【解析】因为 f (x) = sin(x + π 2π 3 ) ，所以周期T = ω = 2 ，故①正确； π π π 5π 1 f ( ) = sin( + ) = sin = ≠ 1，故②不正确； 2 2 3 6 2 将函数 y = sin x 的图象上所有点向左平移 π 个单位长度，得到 y = sin(x + π ) 的图象， 3 3 故③正确. 故选：B. 5.【答案】A 【解析】3cos 2α − 8cosα = 5 ，得6cos2 α − 8cosα − 8 = 0 ， 即 3cos2 α − 4 cosα − 4 = 0 ，解得cosα = − 2 或 cosα = 2 （舍去）， 3 又 α ∈ (0,π ),∴sinα = = 5 . 3 故选：A. 6.【答案】D 【解析】 2 tanθ − tan θ + π  = 7 ，∴2 tanθ − tanθ +1 = 7 ，  4  1− tanθ   令t = tanθ , t ≠ 1，则2t − = 7 ，整理得t2 − 4t + 4 = 0 ，解得t = 2 ，即 tanθ = 2 . 1− t 故选：D. 7.【答案】A 2 【解析】 在 ABC 中 ， cos C = ， AC = 4 ， BC = 3 3 1 − cos2 α三角函数 潍坊高中数学 1− (1)2 9 4 5 1 2020 年高考试题分类汇编 根据余弦定理： AB2 = AC2 + BC2 − 2AC ⋅ BC ⋅ cos C AB2 = 42 + 32 − 2× 4× 3× 2 3 可得 AB2 = 9 ，即 AB = 3 AB2 + BC2 − AC2 9 + 9 −16 1由 cos B = = = ? ? 2AB ⋅ BC 2× 3× 3 9 故 cos B = . 9 故选：A. 8.【答案】C 【解析】设 AB = c, BC = a, CA = b c2 = a2 + b2 − 2ab cos C = 9 +16 − 2× 3× 4× 2 = 9∴c = 3 3 a2 + c2 − b2 1 cos B = = ∴sin B = = ∴ tan B = 4 2ac 9 9 故选：C 9.【答案】BC T 2 π π 2π 2π 【解析】由函数图像可知： = π − = ，则ω = = = 2 ，所以不选 A, 2 π + π 2 3 6 2 T π 5π 3π 当 x = 3 6 = 5π 时， y = −1∴ 2× 12 + ϕ = + 2kπ (k ∈ Z ) ， 2 2 122 解得：ϕ = 2kπ + π (k ∈ Z)， 3 即函数的解析式为： y = sin  2x + 2 π + 2kπ  = sin  2x π π  = cos  2x + π  = sin  π − 2x  .  3   + 6 + 2   6   3          而cos  2x + π  = − cos(5π − 2x)  6  6  故选：BC. 1 10.【答案】 3 8 5三角函数 潍坊高中数学 92020 年高考试题分类汇编 cos2 ϕ + (sin ϕ +1)2 3 【解析】 sin2 ( π + α ) = ( 2 cosα + 2 sinα )2 = 1 (1+ sin 2α ) 4 2 2 2 ∴ 1 (1+ sin 2α ) = 2 ∴sin 2α = 1 2 3 3 1 故答案为： 3 2 2 cos2 θ − sin2 θ 1− tan2 θ 1− 22 3 11.【解析】cos 2θ = cos θ − sin θ = cos2 θ + sin2 θ = 1+ tan2 θ = 1+ 22 = − 5 ， tan(θ − π ) = tanθ −1 = 2 −1 = 1 ， 4 1+ tanθ 3 1 1+ 2 3 故答案为： − , 5 3 1 12.【答案】 9 【解析】cos 2x = 1− 2sin 2 x = 1− 2 × (− 2)2 = 1− 8 = 1 . 3 9 9 1 故答案 ： . 9 5π 13.【答案】 x =− 24 π π π 【解析】 y = 3sin[2(x − ) + ] = 3sin(2x − ) 6 4 122x − π π 7π kπ = + kπ (k ∈ Z )∴ x = + 12 2 24 2 5π 当 k = −1时 x =− 24 5π 故答案为： x =− 24 (k ∈ Z ) π 14.【答案】 2 （ 2kπ + π 2 , k ∈ Z 均可） 【解析】因为 f (x) = cosϕ sin x + (sin ϕ +1)cos x = sin (x +θ )， 所以 π 故答案为： 2 （ 2kπ + π 21 = 2 ，解得sinϕ = 1 ，故可取ϕ = π . 2 , k ∈ Z 均可）. 15. 【答案】− 4 【解析】 AB ⊥ AC ， AB = ， AC = 1 ， 由勾股定理得 BC = = 2 ， cos2 ϕ + (sin ϕ +1)2 AB2 + AC2三角函数 潍坊高中数学 102020 年高考试题分类汇编 6 6 3 6 1 1 ( 2 同理得 BD = ，∴BF = BD = ， 在△ACE 中， AC = 1 ， AE = AD = ， ∠CAE = 30 由余弦定理得CE2 = AC2 + AE2 − 2AC ⋅ AE cos 30 ∴CF = CE = 1， 在 BCF 中， BC = 2 ， BF = ， CF = 1， ， 3 − 2×1× 3 × 3 = 1 ， 2 CF 2 + BC2 − BF 2 1+ 4 − 6 1由余弦定理得cos ∠FCB = = = − . 故答案为： − . 4 2CF ⋅ BC 2×1× 2 4 16.【解析】设OB = OA = r ，由题意 AM = AN = 7 ， EF =12 ，所以 NF = 5 ， 因为 AP = 5 ,所以∠AGP = 45° ， 因为 BH // DG ，所以∠AHO = 45° ， 因为 AG 与圆弧 AB 相切于 A 点，所以OA ⊥ AG ， 即△OAH 为等腰直角三角形； 在直角△OQD 中， OQ = 5 − 2 r ， DQ = 7 − 2 2 r ， 2 因为 tan ∠ODC = OQ = 3 ，所以21− 3 2 r = 25 − 5 2 r ， DQ 5 2 2 解得r = 2 2 ； 等腰直角△OAH 的面积为 S1 = 2 × 2 2 × 2 = 4 ； 1 3π 扇形 AOB 的面积 S = × × 2 2 2 4 = 3π ， 1 5π 所以阴影部分的面积为 S1 + S2 − 2 π = 4 + 2 . 5π 故答案为： 4 + . 2 = 1+ 2 2三角函数 潍坊高中数学 112020 年高考试题分类汇编 3 A + C = 13 2 × 2 2 × 5 2 π 4 π 4 13 1 17.【解析】（1）由余弦定理可得b2 = 28 = a2 + c2 − 2ac ⋅ cos150° = 7c2 ， ∴c = 2, a = 2 3,∴△ABC 的面积 S = 2 ac sin B = ； （2） 30° ， ∴sin A + 3 sin C = sin(30° − C) + 3 sin C = 1 cosC + 3 sin C = sin(C + 30°) = 2 ， 2 2 2 0° < C < 30°,∴30° < C + 30° < 60° ， ∴C + 30° = 45°,∴C = 15° . 18.【解析】（Ⅰ）在 ABC 中，由 a = 2 2,b = 5, c = 及余弦定理得 a2 + b2 − c2 8 + 25 −13 cos C = = = ， 2ab 2 又因为C ∈ (0,π ) ，所以C ； a sin C 2 2 × 2 （Ⅱ）在 ABC 中，由C ， a = 2 2, c = 及正弦定理，可得sin A = = ?2 = 2 13 ； 13 （Ⅲ）由a < c 知角 A 为锐角，由sin A = 2 13 ，可得cos A = 13 c 13 = 3 13 ， 13 进而sin 2 A = 2 sin Acos A = 12 , cos 2 A = 2 cos2 A −1 = 5 ， 13 13 1 − sin2 A三角函数 潍坊高中数学 122020 年高考试题分类汇编 1  所以sin(2 A + π ) = sin 2 Acos π + cos 2 Asin π = 12 × 2 + 5 × 2 = 17 2 . 4 4 4 13 2 13 2 26 19.【解析】（1）因为cos2  π + A + cos A = 5 ，所以sin2 A + cos A = 5 ， 2  4 4   即1− cos2 A + cos A = 5 ， 4 解得cos A = ，又0 < A < π ， 2π 所以 A = ； 3 π b2 + c2 − a2 1 （2）因为 A = ，所以cos A = = ， 3 即b2 + c2 − a2 = bc ①， 2bc 2 又b − c = 3 a ②， 将②代入①得， b2 + c2 − 3(b − c)2 = bc ， 3 即2b2 + 2c2 − 5bc = 0 ，而b > c ，解得b = 2c ， 所以a = 3c ， 故b2 = a2 + c2 ， 即 ABC 是直角三角形． 20.【解析】（1）由正弦定理可得： BC2 − AC2 − AB2 = AC ⋅ AB ， AC2 + AB2 − BC2 1∴cos A = = − ， 2AC ⋅ AB 2 A∈(0,π ) ，∴ A = 2π 3 （2）由余弦定理得： BC2 = AC2 + AB2 − 2AC ⋅ AB cos A = AC 2 + AB2 + AC ⋅ AB = 9 ， 即( AC + AB)2 − AC ⋅ AB = 9 . AC + AB 2  （当且仅当 AC = AB 时取等号），  2 2  AC + AB 2 3 2 ∴9 = ( AC + AB) − AC ⋅ AB ≥ ( AC + AB ) −  = ( AC + AB ) ， 2 4 解得： AC + AB ≤ 2   （当且仅当 AC = AB 时取等号）， AC ⋅ AB ≤   3 2三角函数 潍坊高中数学 132020 年高考试题分类汇编 3 3 +1 5 1− cos2 ∠ADC 1− sin2 C ∴ ABC 周长 L = AC + AB + BC ≤ 3 + 2 ，∴ ABC 周长的最大值为3 + 2 3 . 21.【解析】（I）由 2bsin A = 3a 结合正弦定理可得： 2sin B sin A = π 3 sin A,∴sin B = 3 2 △ABC 为锐角三角形，故 B = . 3 （II）结合(1)的结论有： cos A + cos B + cos C = cos A + 1 + cos  2π − A 2  3    = cos A − 1 cos A + 3 sin A + 1 = 3 sin A + 1 cos A + 1 2 2 2 = sin  A + π  + 1 . 2 2 2  6  2  0 < 2 π − A < π ? 3 2 由 0 < A <  2 π π π π 2π 可得： < A < ， < A + < ， 6 2 3 6 3 sin  A + π  ∈    π  1  3  则  3   2 ,1 ， sin  A + 3  + 2 ∈  2 , 2  .         即 cos A + cos B + cosC 的取值范围是  3 +1 , 3  . 2 2    22.【解析】（1）由余弦定理得b2 = a2 + c2 − 2ac cos B = 9 + 2 − 2× 3× 2 × 2 = 5 ，所以b = . 2 由正弦定理得 c = b ⇒ sin C = c sin B = 5 . sin C sin B b 5 （2）由于cos ∠ADC = − 4 ， ∠ADC ∈ π ,π  ，所以sin ∠ADC = = 3 . 5  2  5  由于∠ADC ∈ π ,π  ，所以C ∈  0, π  ，所以cos C = = 2   2      5 所以sin ∠DAC = sin (π − ∠DAC ) = sin (∠ADC + ∠C ) 3 2 5 π三角函数 潍坊高中数学 142020 年高考试题分类汇编 5 2 5 1− sin2 ∠DAC 1 5 1− cos2 A 1− cos2 B = sin ∠ADC ⋅ cosC + cos ∠ADC ⋅sin C = 3 × 2 5 +  − 4  × = . 5 5  5  5 25 由于∠DAC ∈ 0, π  ，所以cos ∠DAC =   = 1 . 2    25 sin ∠DAC 2所以 tan ∠DAC = = . cos ∠DAC 11 23.【解析】选择条件①（Ⅰ） c = 7, cos A = − 1 ，a + b = 11 7 ∴a = 8 + c2 − 2bc cos A∴a2 = (11− a)2 + 72 − 2(11− a) ⋅ 7 ⋅ (− 1) 7 （Ⅱ） cos A = − 1 ，A∈ (0,π )∴sin A = = 4 3 7 7 a 由正弦定理得： sin A = c ∴ 8 sin C 4 3 7 = 7 sin C ∴sin C = 3 2 S = 1 ba sin C = 1 (11− 8) ×8× 3 = 6 2 2 2 9 选择条件②（Ⅰ） ∴sin A = , cos B = = 3 7 , sin B = ，A, B ∈ (0,π ) 16 = 5 7 8 16 a = b ∴ a = 11− a ∴a = 6 由正弦定理得： sin A sin B 3 7 5 7 8 16 （Ⅱ） sin C = sin( A + B) = sin Acos B + sin B cos A = 3 7 × 9 + 5 7 × 1 = 7 S = 1 ba sin C = 1 (11− 6) × 6× 7 = 15 7 8 16 16 8 4 2 2 4 4 24.【解析】解法一： a2 = b2 3 cos A = 1 8 1− cos2 A三角函数 潍坊高中数学 152020 年高考试题分类汇编 3 3 3 3 3 a ? 由sin A 不妨设a = 3 sin B 可得： b = ， 3m, b = m (m > 0) ， 则： c2 = a2 + b2 − 2ab cos C = 3m2 + m2 − 2× 3m × m × 3 = m2 ，即c = m . 2 选择条件①的解析： 据此可得： ac = 3m× m = 3m2 = ，∴m = 1，此时c = m = 1. 选择条件②的解析： b2 + c2 − a2 m2 + m2 − 3m2 1据此可得： cos A = = = − ， 则： sin A = 2bc = 2 2m2 2 ，此时： c sin A = m × 2 = 3 ，则： c = m = 2 3 . 选择条件③的解析： c m 可得 = = 1， c = b ， b m 与条件c = 3b 矛盾，则问题中的三角形不存在. π 解法二：∵ sinA = 3sinB, C = , B = π − ( A + C ), 6 ∴ sinA = 3 sin (A + C ) = 3 sin  A + π  ,  6  sinA = 3 sin ( A + C ) =   3sinA? 3 + 3cosA 1 ， 2 2 2π π ∴ sinA =− 3cosA ,∴ tanA = ,∴ A = ,∴ B = C = , 3 6 若选①， ac = ,∵ a = 3b = 3c ,∴ 3c2 = ,∴c=1; 若选②， csinA = 3,则 3c = 3 , c = 2 ; 2 若选③,与条件c = 3b 矛盾. 1−  − 2   1 2   3 3 − 3