“皖南八校”2021 届高三摸底联考
数学（文科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑；第Ⅱ卷请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的
答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：必修全册+选修 2-1，2-2.
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2.已知命题 ， .则 为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.执行如图所示的程序框图，若输入的 a，b，c 值分别为 3，4，5，则输出的 a 值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
U R= { }2 1A x x= ≥ { }0B x x= ≤ A B =
( ], 1−∞ − [ ]0,1
( ] [ ),0 1,−∞ +∞ ( ] [ ), 1 1,−∞ − +∞
: 0p x∀ > 33x x> p¬
0x∀ > 33x x≤ 0x∀ ≤ 33x x≤
0 0x∃ > 0 3
03x x≤ 0 0x∃ ≤ 0 3
03x x≤
4.将函数 的图象向左平移 个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A.10 B.2 C. D.
6.函数 的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，且焦距为 ，则抛物线 的准线
方程为（ ）
A. B. C. D.
8.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走 378 里路，第一天健步行走，
从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地.”那么，此人第 3 天和第 4 天共
走路程是（ ）
A.72 里 B.60 里 C.48 里 D.36 里
9.某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的表面积是（ ）
( ) 2sin 2 3f x x
π = −
1
4
( ) 2sin 2 12g x x
π = −
( ) 2sin 2 6g x x
π = +
( ) 72sin 2 12g x x
π = −
( ) 22sin 2 3g x x
π = +
( )2,2a = ( )1,b x= ( )// 2a a b+ b =
10 2
2 sin 2xy x=
( )2 2
2 2 1 0, 0y x a ba b
− = > > 2 6 2 2y bx=
3x = − 3
2x = − 3y = − 3
2y = −
A. B. C. D.
10.若正实数 x，y 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C.12 D.4
11.若曲线 在点 处的切线与 垂直，则 a 的值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
12. 已 知 函 数 满 足 ， 若 函 数 与 图 象 的 交 点 为
，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）
A.1010 B.-2020 C.2020 D.4040
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知点 是平面区域 ，内的任意一点，则 的最小值为_____________.
14.已知复数 z 满足： ，则 _________________.
15. 已 知 各 项 都 为 正 数 的 等 比 数 列 的 前 n 项 和 为 ， 若 ， ， 则 的 值 为
___________.
16.已知偶函数 满足 ，且当 时， ，若在区间 内，函
数 有且仅有 3 个零点，则实数 k 的取值范围是______________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写岀必要的文字说眀、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分 10 分）
在三角形 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 .
( )5 1
22
π−
+
( )5 1
22
π+
+ 32
π + 5 22
π +
2 6 0x y xy+ + − = 2x y+
( )4 5 1+ ( )4 5 1−
( ) ( ) 21 xf x ax e −= + ( )( )2, 2f 4 0x y+ =
( )( )f x x R∈ ( ) ( )2f x f x− = − 1xy x
+= ( )y f x=
( ) ( ) ( )1 1 2 2 2020 2020, , , , , ,x y x y x y
( ),a b
2 0
0
1
x y
x
y
+ − ≤
≥
≥ −
3a b−
( )2 71 4 2i z i+ = − z =
{ }na nS 1 1a = 3 5 64a a = 10S
( )f x ( ) ( )2 0f x f x− + = [ ]0,1x∈ ( ) xf x x e= ⋅ [ ]1,3−
( ) ( ) 2 1g x f x kx k= − − +
ABC sin csin sin sina A C a C b B+ − =
（1）求角 B 的大小；
（2）若 ，求三角形 面积的最大值.
18.（本小题满分 12 分）
已知等差数列 的公差为 ，等差数列 的公差为 ，设 ， 分别是数列 ，
的前 n 项和，且 ， ， .
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 n 项和为 ，证明： .
19.（本小题满分 12 分）
如 图 所 示 ， 该 几 何 体 是 由 一 个 直 三 棱 柱 和 一 个 四 棱 锥 组 合 而 成 的 ， 其 中
， ， ，平面 平面 .
（1）证明：平面 平面 .
（2）若直三棱柱 的体积为 ，四棱锥 的体积为 ，求 .
20.（本小题满分 12 分）
某工厂生产了一批零件，从中随机抽取 100 个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成
， ， ， ， 5 组，得到如图所示的频率分布直方图.以这 100 个零件
的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率.
3b = ABC
{ }na ( )0d d ≠ { }nb 2d nA nB { }na { }nb
1 3b = 2 3A = 5 3A B=
{ }na { }nb
1
1
n n
n n
c b a a +
= + ⋅
{ }nc nS ( )21nS n< + ABE DCF− P ABCD− 2EF EA EB= = = AE EB⊥ 5PA PD= = //PAD EBCF //PBC AEFD ABE DCF− 1V P ABCD− 2V 1 2 V V [ ]10,15 ( ]15,20 ( ]20,25 ( ]25,30 ( ]30,35
（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；
（2）若用分层抽样的方式从第 1 组和第 5 组中抽取 5 个零件，再从这 5 个零件中随机抽取 2 个，求抽取的
零件中恰有 1 个是第 1 组的概率.
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 （e 为自然对数的底数）.
（1）若 ，讨论 的单调性；
（2）若 时， 恒成立，求 m 的取值范围.
22.（本小题满分 12 分）
已知椭圆 的左焦点 F 在直线 上，且 .
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆交于 A、C 两点，线段 的中点为 M，射线 与椭圆交于点 P，点 O 为 的
重心，探求 面积 S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求 S 的取值范围.
“皖南八校”2021 届高三摸底联考·数学（文科）
参考答案、解析及评分细则
1.C ∵ ，故选 C.
2.C 命题 是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，先改写量词，然后否定结论即可得到，该命题的
( ) 2 2xf x e mx x= − −
0m = ( )f x
[ )0,x∈ +∞ ( ) 12
ef x > −
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 3 3 2 0x y− + = 2 2a b+ = +
l AC MO PAC△
PAC△
( ] [ ), 1 1,A = −∞ − +∞
p
否定为“ ， ”.
3.D
4B 函数的周期为 ，将函数 的图象向左平移 个周期即 个单位，所得图象对应的函数为
.
5.D 因为向量 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
6.D 令 ，
因为 ， ，所以 为奇函数，排除选
项 A，B；
因为 时， ，所以排除选项 C，选 D.
7.B 由题意 ，∴ .
8.A 记每天走的路程里数为 ，可知 是公比 的等比数列 ，
由 ，得 ，解得
∴ .
所以此人第 3 天和第 4 天共走了 72 里.
9.B 由三视图可知该几何体为半个圆锥，所以该几何体的表面积为
.
10.D 因 为 ， 所 以 ， 因 为 x ， y 为 正 实 数 ， 所 以
0 0x∃ > 0 3
03x x≤
π ( )f x 1
4 4
π
( ) 2sin 2 6g x x
π = +
( )2,2a = ( )1,b x= ( )2 4,2 2a b x+ = +
( )// 2a a b+ 4 2 2
2 2
x+=
1x = 2b =
( ) 2 sin 2xf x x=
x R∈ ( ) ( ) ( )2 sin 2 2 sin 2x xf x x x f x−− = − − = − = − ( ) 2 sin 2xf x x=
,2x
π π ∈
( ) 0f x < 2 2 2 1 2 6 32 2a b = = = 3b = { }na { }na 1 2q = 6 378S = 1 6 6 11 2 37811 2 a S − = = − 1 192a = 2 3 3 4 1 1192 192 48 24 722 2a a + = × + × = + = ( )2 2 21 11 1 1 22 2S π π= × × + × × × + ( )5 11 2 2 22 2 π+ + × × = + 2 6 0x y xy+ + = = ( )6 2xy x y= − +
， 当 且 仅 当 时 等 号 成 立 ， 所 以 ， 解 得
.
11.B 由题意 ， ，直线 的斜率为 ，∴
，解得 .
12.C 函数 满足 ，即为 可得 的图像关于点
对称.函数 ，即 的图象关于点 对称，
即若点 为交点，则点 也为交点；同理若点 为交点，则点 也为交
点；
则交点的所有横坐标和纵坐标之和为
.
13.-2 作出不等式组 表示的可行域，
当 ， 时，目标函数 取得最小值-2.
14. ，故 .
15.1023 由 ，得 ，又数列 的各项都为正数，所以 .设等比数列 的公比为
q，则 .所以 .
16. 由题意，函数满足 ，即 ，即函数 的
周期为 2，
当 时， ，可得函数为单调递增函数，且 ， ，
当 时， ，
由图象可知当 时， ，当 时， ，即 ， ，
当直线 经过点 时，此时在区间 内两个函数有 2 个交点，此时 ，解
21 1 222 2 2
x yxy xy
+ = ≤ 2x y= ( ) 21 26 2 2 2
x yx y
+ − + ≤
2 4x y+ ≥
( ) ( ) 21 xax a ef x −+′ = + ( ) ( ) 02 3 1 3 1f a e a′ = + = + 4 0x y+ = 1
4
−
( ) 1 143 1a × − = −
+ 1a =
( )( )f x x R∈ ( ) ( )2f x f x− = − ( ) ( ) 2f x f x+ − = ( )f x ( )0,1
1xy x
+= 11y x
= + ( )0,1
( )1 1,x y ( )1 1,2x y− − ( )2 2,x y ( )2 2,2x y− −
( ) ( ) ( ) ( ) (1 1 2 2 2020 2020 1 1 1
1 22x y x y x y x y x+ + + + + + = + + − +
) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 2 2 2020 2020 2000 200002 2 2020y x y x y x y x y− + + + − + − + + + + − + − =
2 0
0
1
a b
a
b
+ − ≤
≥
≥ −
0a = 2b = 3z a b= −
5 4 2 1 22
iz ii
+= = − 1 2 5z i= − =
3 5 64a a = 2
4 64a = { }na 4 8a = { }na
4 33
1
8 21aq a == =
( )10
10
1 1 2
10231 2S
−
= =−
1 1 1,5 3 2
e e+ + ( ) ( )2 0f x f x− + = ( ) ( )2f x f x= + ( )f x
[ ]0,1x∈ ( ) xf x x e= ⋅ ( )0 0f = ( )1f e=
[ ]1,0x∈ − ( ) ( ) xf x f x x e−= − = − ⋅
1x = ( )1f e= 3x = ( ) ( )3 1f f e= = ( )1,B e ( )3,C e
( )2 1y k x= + − ( )1,B e [ ]1,3− 3 1e k= −
得 . 直线 经过点 时，此时在区间 内两个函数有 4 个交点，此时
，解得 .直线 经过点 时，此时在区间 内两个函数有 3 个
交点，此时 .
所以要使得函数 有且仅有 3 个零点，则直线的斜率满足 或 ，
即实数 k 的取值范围是 .
17.解：（1）设三角形 的外接圆的直径长为
由已知 及正弦定理
所以 ，
所以 ，
即 .…………………………………………………………3 分
由余弦定理得 ，.……………………………………4 分
因为 ，所以 .…………………………………………………………5 分
（2）因为 ，所以 ，
三角形 面积
，.……………………………………6 分
∵ ，∴ ，.………………………………………………8 分
当且仅当 时， ，此时 面积取得最大值 .……………………10 分
18.解：（1）因为数列 ， 是等差数列，且 ， ，所以 .……2 分
1
3
ek
+= ( )2 1y k x= + − ( )3,C e [ ]1,3−
5 1e k= − 1
5
ek
+= ( )2 1y k x= + − ( )0,0O [ ]1,3−
1
2k =
( ) ( ) 2g x f x kx k= − − 1 1
5 3
e ek
+ +< < 1 2k = 1 1 1,5 3 2 e e+ + ABC 2R sin sin sin sina A c C a C b B+ − = 2 2 2 2 2 2 2 a c ac b R R R R + − = 2 2 2a c ac b+ − = 2 2 2a c b ac+ − = 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac + −= = 0 B π< < 3B π= 3B π= 3 2sin sin sin 3 2 a c b A C B = = = = ABC 1 1 3 2 3sin 4sin sin 3sin sin 3sin cos2 2 2 3 2S ac B A C A A A A π = = × ⋅ = − = + 1 3 3 3 3 3sin sin 2 cos2 sin 22 4 4 4 2 6 4A A A A π = + − = − + 20, 3A π ∈ 72 ,6 6 6A π π π − ∈ − 3A π= 2 6 2A π π− = ABC△ 3 3 4 { }na { }nb 2 3A = 5 3A B= 1 1 2 3 5 10 9 6 a d a d d + = + = +
整理得 ，解得 ，.……………………………………………………4 分
所以 ，即 ，.……………………………………………………5 分
，即 .
综上， ， .……………………………………………………………………6 分
（2）由（1）得 .………………………………9 分
所以 ，
即 .………………………………………………12 分
19. 解 ： （ 1 ） 取 的 中 点 H ， 连 接 ， ， . 由 题 知 ， ， 且 ， 又 因 为
，三棱柱 为直三棱柱，所以 ， ， 三条直线两两垂直，故 平面
， 平面 .因为平面 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，
所 以 ， 又 因 为 ， 所 以 平 面 ， 所 以 ， 又 因 为
，所以四边形 为平行四边形，所以 ，因为 平面 ， 平面
，所以 平面 ，同理可证 平面 ，又因为 ，所以平面
平面 .…………………6 分
（ 2 ） 由 题 知 ， 直 三 棱 柱 的 体 积 ， 四 棱 锥 的 体 积
，所以 .………………12 分
20.解：（1）由频率分布直方图可得 ，解得 ，.…3 分
各组频率依次为 0.08，0.18，0.4，0.22，0.12，
则这批零件长度的平均值为
.…………………………6 分
（2）由题意可知第 1 组和第 5 组的零件数分别是 8 和 12，
则应从第 1 组中抽取 2 个零件，记为 A，B；
应从第 5 组中抽取 3 个零件，记为 c，d，e.
这 5 个零件中随机抽取 2 个的情况有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 10
种，.………………………………………………………………………………………9 分
1
1
2 3
5 4 9
a d
a d
+ =
+ =
1 1
1
a
d
=
=
( )1 1na a n d n= + − ⋅ = na n=
( )1 1 2 2 1nb b n d n= + − ⋅ = + 2 1nb n= +
na n= 2 1nb n= +
( )
1 1 12 1 2 11 1nc n nn n n n
= + + = + + − ⋅ + +
( ) 1 1 1 1 13 5 2 1 1 2 2 3 1nS n n n
= + + + + + − + − + + − +
( ) ( )2 22 1 12 1 1 11 1nS n n n nn n
= + + − = + − < ++ + AD PH EH FH PH AD⊥ 2PH = AE EB⊥ ABE DCF− EF EA EB AE ⊥ EBCF BE ⊥ AEFD //PAD EBCF AE ⊥ PAD PH ⊂ PAD AE PH⊥ AE AD A= PH ⊥ AEFD //PH BE 2PH BE= = PHEB //PB HE HE ⊂ AEFD PB ⊄ AEFD //PB AEFD //PC AEFD PB PC P= //PBC AEFD ABE DCF− 1 1 42V EB EA EF= × × × = P ABCD− 2 1 1 82 2 2 3 2 3P ABD B PADV V V AD PH AE− −= = × × × × == × 1 2 4 3 8 2 3 V V = = 10.016 0.036 0.080 0.044 5a+ + + + = 0.024a = 12.5 0.08 17.5 0.18 22.5 0.4 27.5 0.22 32.5 0.12 23.1x = × + × + × + × + × = AB Ac Ad Ae Bc Bd Be cd ce de
其中符合条件的情况有 ， ， ， ， ， ，共 6 种.…………………………………11 分
所求概率 .…………………………………………………………………………12 分
21.解：（1）当 时， ， ，.…………………………………………1 分
令 ，得 ，令 ，得 .………………………….3 分
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.………………………………4 分
（2） 恒成立，即 恒成立.
当 时，对于任意的 ， 恒成立；.…………………………………………5 分
当 时，即 恒成立.……………………………………………………6 分
令 ，则 .
整理得 ，.……………………………………………………7 分
令 ，注意到 ， ，
再令 ，则 ，.…………………………………………8 分
所以 在 单调递增， ，即 .
所以 在 单调递增.……………………………………………………9 分
又 ，故知在 上 ，在 上 .
从而 在 上递减，在 上递增.………………………………………………10 分
故 ，.……………………………………………………11 分
因为 在 恒成立，
所以 .……………………………………………………………………12 分
22.解析：（1）∵直线 与 x 轴的交点为 ，∴ ，∴ ，
Ac Ad Ae Bc Bd Be
6 3
10 5P = =
0m = ( ) 2xf x e x= − ( ) 2xf x e′ = −
( ) 2 0xf x e′ = − ≤ ln 2x ≤ ( ) 2 0xf x e′ = − ≥ ln 2x ≥
( )f x ( ),ln 2−∞ [ )ln 2,+∞
( ) 12
ef x > − 22 12
x ee x mx− − + >
0x = m R∈ 2 02
e− >
0x >
2
2 12
x ee x
m x
− − +
< ( ) 2 2 12 x ee x g x x − − + = ( ) ( ) 2 4 2 2 2 12 x x ee x x e x g x x − − − − + ′ = ( ) ( ) 3 2 2 2xx e x eg x x − + + −′ = ( ) ( )2 2 2xh x x e x e= − + + − ( )1 0h = ( ) ( )1 2xh x x e′ = − + ( ) ( )1 2xx x eϕ = − + ( ) 0xx xeϕ′ = >
( )xϕ ( )0,+∞ ( ) ( )0 1 0xϕ ϕ> = > ( ) 0h x′ >
( )h x ( )0,+∞
( )1 0h = ( )0,1 ( ) 0h x < ( )1,+∞ ( ) 0h x >
( )g x ( )0,1 ( )1,+∞
( ) ( )min
2 121 11 2
ee eg x g
− − +
= = = −
2
2 12
x ee x
m x
− − +
< [ )0,+∞ 12 em < − 3 3 2 0x y− + = ( )2,0− 2c = 2 2 2 2 2 a b a b − = + = +
∴解得 ， ，∴椭圆的方程为 .……………………………………4 分
（2）若直线 的斜率不存在，则 .
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，代入椭圆方程可得
设 ， ，
则 ， ， .
由题意点 O 为 的重心，设 ，则 ， ，
所以 ， ，
代入椭圆 ，得 ，
设坐标原点 O 到直线 的距离为 d，
则 的面积
.
综上可得， 面积 S 为定值 .………………………………………………12 分
2a = 2b =
2 2
14 2
x y+ =
l 1 3 66 32 2S = ⋅ ⋅ =
l l y kx m= + ( )2 2 21 2 4 2 4 0k x kmx m+ + + − =
( )1 1,A x y ( )2 2,C x y
1 2 2
4
1 2
kmx x k
+ = − +
( )2
1 2 2
2 2
1 2
m
x x k
−
⋅ = + ( )1 2 1 2 2
22 1 2
my y k x x m k
+ = + + = +
PAC△ ( )0 0,P x y 1 2 0 03
x x x+ + = 1 2 0 03
y y y+ + =
( )0 1 2 2
4
1 2
kmx x x k
= − + = + ( )0 1 2 2
2
1 2
my y y k
= − + = − +
2 2
14 2
x y+ = ( ) ( )
2 2 2 2
2
2 22 2
4 2 1 21 21 2 1 2
k m m km
k k
++ = ⇒ =
+ +
l
PAC△ 1 32S AC d= ⋅
2
1 2 2
1 1 32 1
mk x x
k
= + − ⋅
+
1 2
3
2 x x m= − ⋅
( )22
2 2
2 23 4 42 1 2 1 2
mkm mk k
− = − − ⋅ ⋅ + +
( )2 2
2
2 2 2 1 23
2 1 2
k m
mk
+ −
= ⋅+
( ) 2
2
2
2
1 22 1 2 1 2 3 623 2 1 2 22
kk k
k
++ − += ⋅ ⋅ =+
PAC△ 3 6
2
微信/支付宝扫码支付