安徽省六校教育研究会2021届高三第一次素质测试文科数学试题 含答案详解

安徽六校教育研究会 2021 届高三第一次素质测试 文科数学试题 命题： 注意事项： 1．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4 页，“答题卷”共6 页；请务必在“答 题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 2．请先将自己的姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置． 3．回答选择题时，请务必使用 2B 铅笔把你所选的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其它答案标号． 4．回答非选择题时，须在与题号对应的答题框内作答，否则答题无效，注意字迹清楚，卷面整洁． 一、选择题：本大拱 12 小题，每题 5 分，满分 60 分． 1．设 ，复数 的共轭复数 （ ） A． B． C． D． 2．设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A． B． C．0 D．6 3．已知集合 ，集合 满足： ，则集合 不可能为（ ） A． B． C． D． 4．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 5．一个几何体的三视图（如图），则该几何体的表面积为（ ） ( )21 1 iz i += − z z = 1 i+ 1 i− 1 i− + 1 i− − x y 3 6 0 3 0 3 0 x y x y y − + ≥  − ≤  − ≤ x y− 4− 3 2 − { }2 3A x x= − ≤ ≤ B A B B= B { }2 3x x− < ≤ { }2 3x x− ≤ ≤ { }3 3x x− < ≤ { }3 3x x− ≤ ≤ 2sin cos 0α α+ = tan 2α = 4 5 − 4 5 4 3 − 4 3A． B． C． D． 6．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 7．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ， 为双曲线上一个动点， ， 为其左．右焦点， ， 的最小值为 ，则此双曲线的焦距为（ ） A．2 B．4 C． D． 8． 纸是由国际标准化组织的 ISO 216 定义的，规格为 （ ），其边长之比 非常接近 ，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．我们称这种边长比例满足 的 矩 形 为 “ 优 美 矩 形 ”．现 有 一 长 方 体 ， 其 中 ， ， ，则从此长方体的表面六个矩形中任意选取一个矩形，则取到“优美矩形”的概率为（ ）． A． B． C． D． 9．函数 部分图像大致为（ ） A． B． C． D． 10．某地“防汛抗旱指挥部”在汛期对当地一条河流连续进行监测，下表（1）是最近几日该河流某段的水 位情况： 河流水位表（1） 第 日 第 1 日 第 2 日 第 3 日 第 4 日 第 5 日 第 6 日 第 7 日 水位 （米） 3.5 3.7 3.8 3.9 4.3 4.4 4.8 而根据河流的堤防情况规定：水位超过一定高度将分别启动相应预警措施（见下表（2））．当水位达到保证 116 16 2+ 112 16 2+ 112 8 2+ 96 32 2+ 1.53a = 2log 32b = 0.3log 2c = a b c 0a b> > a c b> > c a b> > b a c> > ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 3 2y x= P 1F 2F 1PF 2PF 3− 2 5 2 7 4A 21 29.7cm∗ 210mm 297mm× 1: 2 1: 2 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2 3AD = 2 2AC = 1 4AC = 1 3 1 2 2 3 5 6 ( ) 2 1sin 2 1 x xf x x −= ⋅ + x y水位时，防汛进入紧急状态，防汛部门要按照紧急防汛期的权限，采取各种必要措施，确保堤防等工程的 安全，并根据“有限保证、无限负责”的精神，对于可能出现超过保证水位的工程抢护和人员安全做好积 极准备． 水位预警分级表（2） 水位 水位分类 设防水位 警戒水位 保证水位 预警颜色 黄色 橙色 红色 现已根据上表得到水位 的回归直线方程为 ，据此可预测（ ） A．第 8 日将要启动洪水橙色预警 B．第 10 日将要启动洪水红色预警 C．第 11 日将要启动洪水红色预警 D．第 12 日将要启动洪水红色预警 11．已知函数 的最小值为 2，则 （ ） A．10 B．8 C．7 D．6 12 ． 已 知 直 线 与 抛 物 线 交 于 、 两 点 ， 直 线 与 抛 物 线 交于 、 两点，若对于任意 时， 为定值，则实数 的值为（ ） A．12 B．8 C．4 D．2 二、填空：本大题 4 小题，每题 5 分，满分 20 分． 13．设向量 ， ，若 与 垂直，则实数 ________． 14．已知直线 与曲线 在 处的切线平行，则实数 值为________． 15 ． 已 知 为 数 列 的 前 项 和 ， 且 满 足 ， ， ， 则 ________． 16．已知点 ， ， ， 在同一个球的球面上， ， ， ，当四面体 的体 积的最大值为 时，这个球的表面积为________． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程演算步骤． 17．（本小题 10 分）已知正项数列 满足： ， ， ． （Ⅰ）判断数列 是否是等比数列，并说明理由； 4.7≥ 5.1≥ 5.6≥ y  0.21 3.217y x= + ( ) 21 ,2 2 , x x af x x x a −  ≤ =    > ( ) ( ) ( )0 1 2f f f+ + = : 1l y kx= + 2: 4C x y= A B : 2 2m y kx= + 2: 8D x y= M N k R∈ [ )AB MNλ − λ ( ), 1a m= − ( )2,1b m= − a b m = ( ): 2l y k x= − sin 1y x= − 0x = k nS { }na n 1 2a = ( )2 1 4 1n n na a a+− = − ( )*n∈N 20S = A B C D 3AB = 1BC = 2AC = ABCD 2 3 3 { }na 1a a= 2 2 1 14 2 0n n n na a a a+ +− + − = *n∈N { }na（Ⅱ）若 ，设 ， ，求数列 的前 项和 ． 18．（本小题 12 分）已知函数 ， ． 中角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 的面积为 ． （Ⅰ）求函数 的单调递减区间； （Ⅱ）若 ，求 的值． 19．（本小题 12 分）如图，在多面体 中， 和 都是等腰直角三角形， ， 且 ， ， ， ， 分 别 为 ， ， ， 的 中 点 ， ， ． （Ⅰ）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）若平面 平面 ，求多面体 体积． 20．（本小题 12 分）某物流公司承担从甲地到乙地的蔬菜运输业务，已知该公司统计了往年同期 200 天内 每天配送的蔬菜量 件（ ）（注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装）并分组统计得到频数分 布表（如下表））． 蔬菜量 频数 25 50 100 25 （Ⅰ）建立往年同期 200 天内每天配送的蔬菜量 的频率分布表； （Ⅱ）若将频率视作概率，该物流公司决定随机抽取出一天的数据来分析配送的蔬菜量，求这一天配送的 蔬菜量不小于 120 件的概率； （Ⅲ）该物流公司拟一次性租货一批货车专门运营从甲地到乙地的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营 一趟，每辆货车每趟最多可装载 40 件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利 2000 元；若不发车，则每辆货车每天平均亏损 400 元．以平均利润为依据，该物流公司拟一次性租赁 3 辆货车 2a = n na b n= − *n∈N { }nb n nS ( ) 22 3sin cos 2cos 1f x x x x= + − ( )0,x π∈ ABC△ A B C a b c ABC△ 22 3 5 a ( )f x ( ) 1f C = b c ABCDE ABD△ ABC△ AB BC⊥ AB AD⊥ 2AB = P M N F CE BD BE AB DE CF DE CF= PMN  ABC ABD ⊥ ABC ABCDE x 40 200x≤ < x [ )40,80 [ )80,120 [ )120,160 [ )160,200 x还是 4 辆货车？ 21．（本小题 12 分）已知椭圆 离心率为 ，长轴长为 ，又已知直线 和点 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）若直线 与椭圆 有两个不同的交点，求实数 的取值范围； （Ⅲ）若直线 不经过 ，且与椭圆 相交于 ， ，直线 ， 的斜率分别为 ， ．求证： 是定值． 22．（本小题 12 分）已知函数 ． （Ⅰ）讨论函数 的单调性； （Ⅱ）讨论函数 的零点个数． 安徽六校教育研究会 2021 届高三第一次素质测试 文科数学试题答案 命题： 一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，满分 60 分 1-5：DDACB 6-10：ADCBD 11-12：AB 二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分 13． 14．3 15．74 解析：依题由 ， ，故 ． 16． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（Ⅰ）∵ ， ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 3 2 4 5 :l y x m= + ( )4,1M C l C m l ( )4,1M C A B MA MB 1k 2k 1 2k k+ ( ) ( )21e 2 xf x x kx kx k R= − − ∈ ( )f x ( )f x 1 3 ( )2 1 4 1n n na a a+− = − ( ) ( )2* 1 2n nn N a a+∈ ⇒ = − ( )1 2 3 42 0 4 4 4 3na a a a a n= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ = ≥ 20 74S = 289 16 π ( )( )2 2 1 1 1 14 2 0 2 2 1 0n n n n n n n na a a a a a a a+ + + +− + − = ⇒ − + + =又 是正项数列，可得 ，∴ ． ∴当 时，数列 不是等比数列； 当 时，易知 故 ， 所以数列 是等比数列，首项为 ，公比为 2； （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ， ∴ ． 18．解．（Ⅰ）依题 ，又 故函数 的单调递减区间为： （Ⅱ）由 ，又 ，故 依题 在 中，由余弦定理得： 故 19．解：（Ⅰ）在 中， ， 分别为 ， 的中点故 同理， ，又 面 与 于 ，故平面 平面 （Ⅱ）平面 平面 ，交线为 ， 平面 ， 面 ，三棱锥 和三棱锥 的高为均 2， 故 20．解：（Ⅰ）由条件知，每天配送的蔬菜量 的频率分布表如下表， 蔬菜量 { }na 1 2 1 0n na a+ + + > 1 2n na a+ = 0a = { }na 0a ≠ 0na ≠ 1 2n n a a + = { }na a 2n na = 2n nb n= + ( ) ( ) ( )2 1 11 2 3 2 2 2 2 2 12 n n nS n n n+= + + + + + + + + = − + +  ( ) 3sin 2 cos2 2sin 2 6f x x x x π = + = +   ( )0,x π∈ ( )f x 2,6 3 π π     ( ) 11 2sin 2 1 sin 26 6 2f C C C π π   = ⇒ + = ⇒ + =       ( )0,C π∈ 3C π= 21 3 2 3 8sin2 4 5 5ABCS ab C a b a b a= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⇒ =△ ABC△ 2 2 2 2 28 8 49 7 5 5 25 5c a a a a c a = + − = ⇒ =   8 7 b c = EBC△ P N CE BE PN BC MN DE DE CF MN CF MN⇒ ⇒   ABC PN MN N PMN  ABC ABD ⊥ ABC AB BC AB BC⊥ ⇒ ⊥ ABD AD AB AD⊥ ⇒ ⊥ ABC E ABC− E ABD− 4 4 8 3 3 3ABCDE E ABC E ABDV V V− −= + = + = x x [ )40,80 [ )80,120 [ )120,160 [ )160,200频率 （Ⅱ）∵一天中配送的蔬菜量小于 120 件的概率为 ， ∴这一天中配送的蔬菜量不小于 120 件的概率为 ； 另：一天中配送的蔬菜量不小于 120 件的概率为 ； （Ⅲ）令一次性租赁 辆货车时的利润为 ，则当 时，由条件知利润 的频率分布表： 利润 1200 3600 6000 频率 ； 当 时：由条件知，利润 的频率分布表： 利润 800 3200 5600 8000 频率 ； 综上，该公司一次性租赁 3 辆货车时，此项业务的营业利润最大． 21．解析：（Ⅰ）依题椭圆 离心率为 ，可得： 又长轴长 ，故 ∴所求椭圆 的方程为： （Ⅱ）由 消去 得： （1） 由 ， ，即 （Ⅲ）设直线 与椭圆 相交于 ， 由（Ⅱ）中（1）式 1 8 1 4 1 2 1 8 75 3 200 8p = = 3 51 8 8 − = 125 5 200 8p = = n ny 3n = 3y 3y p 1 8 2 8 5 8 3 1 2 51200 3600 6000 48008 8 8y = × + × + × = 4n = 4y 4y p 1 8 2 8 4 8 1 8 4 1 2 4 1800 3200 5600 8000 47008 8 8 8y = × + × + × + × = 2 2 2 2: 1x yC a b + = 3 2 2 2 1 1 4 2 b b a a = ⇒ = 2 4 5 2 5a a= ⇒ = 5b = C 2 2 120 5 x y+ = 2 2 120 5 y x m x y = + + = y 2 25 8 4 20 0x mx m+ + − = 0>△ 2 25 5 5m m< ⇒ − < < ( )5,5m∈ − l C ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y可得： 其中分子 故 为定值． 22．解：（Ⅰ） ， 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增， 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增， 上单调递减，在 上单调递增； （Ⅱ）由 得， 或 ， 由 得， 时， ；且 ， ∴方程 的解的个数即直线 与曲线 交点的个数，（图象略） 由过点 引 的切线的切点为 ，且切线的斜率为 ， ∴当 或 或 时， 有两个零点； 当 时， 有一个零点； 当 且 时， 有三个零点． 说明：本题的其它解法请参考给外． 1 2 1 2 1 22 1 2 1 2 8 1 15 4 44 20 5 mx x y yk k x xmx x  + = − − − ⇒ + = + − −− = ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 4 4 1 4 4 y x x y x x − − + − −= − − ( )( ) ( )( )1 2 1 21 4 4 1y x x y− − + − − ( )( ) ( )( )1 2 1 21 4 4 1x m x x x m= + − − + − + − ( )( ) ( )1 2 1 22 5 8 1x x m x x m+ − + − − ( ) ( ) ( ) 22 4 20 85 8 1 05 5 m mm m −  = + − − − − =   1 2 0k k+ = ( ) ( )( )( )1 exf x x k x R′ = + − ∈ 0k ≤ ( )f x ( ), 1−∞ − ( )1,− +∞ 10 k e < < ( )f x ( ),ln k−∞ ( )ln , 1k − ( )1,− +∞ 1k e = ( )f x ( ),−∞ +∞ 1k e > ( )f x ( ), 1−∞ − ( )1,ln k− ( )ln ,k +∞ ( ) 21e 02 xf x x kx kx= − − = 0x = 1e 02 x kx k− − = 1e 02 x kx k− − = 0x = 1k = ( )1e 22 x k x= + 1e 02 x kx k− − = ( )1 22y k x= + ( ) xg x e= ( )2,0− ( ) xg x e= 11, e  −   1 e 0k < 2k e = 1k = ( )f x 20 k e ≤ < ( )f x 2k e > 1k ≠ ( )f x