2021届高三上学期8月联考数学试题 含答案详解

2020 学年高三上学期 8 月执信、广雅、六中三校联考试卷 数学 命题学校：广州市第六中学 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 注意事项： 1.答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答 题卡指定区域内. 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如 需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.其中第 1~第 10 题为单项选择题，在给出的四个选项 中，只有一项符合要求；第 11 题和第 12 题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部 选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分） 1.已知 是虚数单位，若复数 ，则复数 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 3.命题“ ， ”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4.2020 年初，全国各大医院抽调精兵强将前往武汉参加新型冠状病毒肺炎阻击战，各地医护人员分别乘坐 6 架我国自主生产的“运 20”大型运输机，编号为 1，2，3，4，5，6 号，要求到达武汉天河飞机场时，每五 分钟降落一架，其中 1 号与 6 号相邻降落，则不同的安排方法有（ ） A.60 B.120 C.144 D.240 5.已知抛物线 的准线与圆 相交所得的弦长为 ，则 的值为（ ） A. B.1 C.2 D.4 i 2 1z i = + z 1 i+ 1 i− 1 i− − 1 i− + { }1 3A x x= − ≤‖ ∣ { }3 ,xB y y e x R= = − ∈∣ A B = [ 2,4]− [ 2,3)− [ 2,3]− (3,4] 1x∀ > 1 lnx x− ≥ 1x∀ ≤ 1 lnx x− < 1x∀ > 1 lnx x− < 0 1x∃ > 0 01 lnx x− < 0 1x∃ ≤ 0 01 lnx x− < 2 2 ( 0)y px p= > 2 2 4 0x y y+ − = 2 3 P 1 2 6.已知 为锐角，若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 7.过双曲线 的左焦点 作直线交双曲线的两条渐近线于 ， 两点，若 为线段 的中点，且 （ 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. C.2 D. 8.函数 （其中 ， ）的图象如下图所示，为了得到 的图象，则 需将 的图象（ ） A.横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位 B.横坐标缩短到原来的 ，再向左平移 个单位 C.横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平移 个单位 D.横坐标伸长到原来的 2 倍，再向左平移 个单位 9.在正项等比数列 中， ， .数列 的前 项和记为 ，前 项积记为 ，则满足 的最大正整数 的值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 10.如图 1，圆形纸片的圆心为 ，半径为 ，该纸片上的正方形 的中心为 .点 ， ， ， 为圆 上的点， ， ， ， 分别是以 ， ， ， 为底边的 等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 ， ， ， 为折痕折起 ， ， ， ，使得 ， ， ， 重合得到一个四棱锥 （如图 2）.当四棱锥 的侧面 积是底面积的 2 倍时，异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） α 4cos 6 5 πα + =   sin 2 6 πα −   7 25 5 7 2 − 9 25 9 25 − 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > F A B B FA OB FA⊥ O 2 3 5 ( ) sin( )f x xω ϕ= + 0ω > 0 2 πϕ< ≤ siny x= ( )y f x= 1 2 4 π 1 2 8 π 4 π 8 π { }na 2 1a = 3 5 16a a⋅ = { }na n nS n nT n nS T> n O 6cm ABCD O E F G H O ABE△ BCF△ CDG△ ADH△ AB BC CD DA AB BC CD DA ABE△ BCF△ CDG△ ADH△ E F G H P ABCD− P ABCD− PB CD A. B. C. D. 11.（多选）设 ， ，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 12.（多选）对于定义城为 的函数 ，若满足：① ；②当 且 时，都有 ；③当 且 时，都有 ，则称 为偏对称函数下列函数是 “偏对称函数”的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知向量 ， ，若 ，则 __________. 14.函数 的图象在点 处的切线与直线 平行，则实数 的值为 __________. 15.如果 的展开式中各项系数之和为 32，则展开式中 的系数__________. 16.已知函数 为偶函数，当 时， .若直线 与曲线 至少有两个交 点，则实数 的取值范围是__________. 三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分） 17.（本小题 10 分）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 5 5 2 2 2 5 5 2 3 3 0a > 0b > 1 1( ) 4a b a b  + + ≥   2 2 1a a> − 2 2a b a bb a + ≥ + 2 2a b aba b + ≥+ R ( )f x (0) 0f = x R∈ 0x ≠ ( ) 0xf x′ > 1 20x x< < 1 2x x< ( ) ( )1 2f x f x< ( )f x 3 2 1( )f x x x= − + 2 ( ) 1xf x e x= − − 3 ( ) sinf x x x= 4 ln( 1), 0( ) 2 , 0 x xf x x x − + ≤=  > ( ,2)a m= (1, 3)b = − a b⊥  | |a = 1 cos( ) sin xf x x −= ,12 π     1 0ax y+ + = a 13 n x x  −   2 1 x ( )f x 0x < ( ) ln( )f x x ax= − − y x= ( )y f x= a ABC△ A B C a b c . （Ⅰ）求角 的大； （Ⅱ）若 ， ，求 的面积 18.（本小题 12 分）设数列 的前 项和为 ，且满足： . （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）设数列 ，求数列 的前 项和 . 19.（本小题 12 分）如图，在梯形 中， ， ， ，矩形 中， ，又有 . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值. 20.（本小题 12 分）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测 120 个零件的度 （单位：分米），按数据分成 ， ， ， ， ， 这 6 组，得 到如图所示的频率分布直方图，其中长度大于或等于 1.59 分米的零件有 20 个，其长度分别为 1.59，1.59， 1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72， 1.74，以这 120 个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率. 3 costan tan cos cos AB C B C + = A 4a = 5b c+ = ABC△ { }na n ( )* nS n N∈ 1 23 (2 1) 2 2n na a n a n S+ +⋅⋅⋅+ − = + { }na 12n n n b a + = { }nb n nT ABCD AB CD∥ 2AD CD CB= = = 60ABC∠ = ° ACEF 2AE = 2 2BF = BC ⊥ ACFE BD BEF [1.2,1.3] (1.3,1.4] (1.4,1.5] (1.5,1.6] (1.6,1.7] (1.7,1.8] （Ⅰ）求这批零件的长度大于 1.60 分米的频率，并求频率分布直方图中 ， ， 的值； （Ⅱ）若从这批零件中随机选取 3 个，记 为抽取的零件长度在 的个数，求 的分布列和数学期 望. （Ⅲ）若变量 满足 .且 ， 则称变量 满足近似于正态分布 的概率分布如果这批零件的长度 （单位：分米）满足近似于 正态分布 的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收；否则，公司将拒绝签收试问， 该批零件能否被签收？ 21.（本小题 12 分）如图，已知椭圆 的上顶点为 ，右焦点为 ，直线 与圆 相切，其中 . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）不过点 的动直线 与椭圆 相交于 ， 两点，且 ，证明：动直线 过定点，并且求出 该定点坐标. 22.（本小题 12 分）已知函数 ，其中 . （Ⅰ）讨论 的单调性 （Ⅱ）当 时，证明： ； m n t X (1.4,1.6] X S ( ) 0.6826 0.05P Sµ σ µ σ− < ≤ + − ≤ | ( 2 2 ) 0.9544 | 0.05P Sµ σ µ σ− < ≤ + − ≤ S ( )2,N µ σ Y (1.5,0.01)N 2 2 2: 1xC ya + = A F AF 2 2: 6 2 7 0M x y x y+ − − + = 1a > A l C P Q AP AQ⊥ l 2( ) lnf x a x x= + a R∈ ( )f x 1a = 2( ) 1f x x x≤ + − （Ⅲ）试比较 与 （ 且 ）的大小，并证明你的 结论. 2020 学年高三上学期 8 月执信、广雅、六中三校联考试卷答案说明 数学 一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.其中第 1 题~第 10 题为单项选择题，在给出的四个选 项中，只有一项符合要求；第 11 题和第 12 题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全 部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D C B C C B A ACD BD 二、填空题（本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 14. 15. 16. 三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分） 17.解：（Ⅰ）由 得 ， ∴ ，∴ ， 又 显然不等于 0，∴ ， ∵ ，∴ ， （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，又 ， ，根据余弦定理得 ， ∴ ，∴ ， ∴ . 2 2 2 2 2 2 2 2 ln 2 ln3 ln 4 ln 2 3 4 n n + + +⋅⋅⋅+ ( 1)(2 1) 2( 1) n n n − + + *n N∈ 2n ≥ 2 10 1− 90− 1 11 , 1 1 ,e e    − − − − +∞      3 costan tan cos cos AB C B C + = sin sin 3 cos cos cos cos cos B C A B C B C + = sin cos cos sin 3 cosB C B C A+ = sin( ) 3 cosB C A+ = cos A tan 3A = (0, )A π∈ 3A π= 3A π= 4a = 5b c+ = 2 2 2 22 cos ( ) 3a b c bc A b c bc= + − = + − 16 25 3bc= − 3bc = 1 1 3 3 3sin 32 2 2 4S bc A= = × × = 18.解：（Ⅰ）由题意，数列 满足 ， 当 时， ， 两式相减，可得 ，即 ， 整理得 . 又由当 时， ，可得 ，即 （适合上式） 所以数列 的通项公式为 ， . （Ⅱ）由 ， 则 ， 所以 ， 两式相减，可得 所以 . 19.证明：（Ⅰ）在梯形 中， ， ， ， ∴四边形 是等腰梯形， ，∴ ， ， ∴ ，∴ ， （也可以利用余弦定理求出 ， 再证明） 又∵矩形 中， ，又有 ， ，∴ ， 又∵ ，∴ 平面 . （Ⅱ）以点 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立 空间直角坐标系. { }na 1 23 (2 1) 2 2n na a n a n S+ +⋅⋅⋅+ − = + 2n ≥ 1 2 1 13 (2 3) 2( 1) 2n na a n a n S− −+ +⋅⋅⋅+ − = − + ( )1(2 1) 2 2n n nn a S S −− = + − (2 1) 2 2n nn a a− = + 2 ( 2)2 3na nn = ≥− 1n = 1 12 2a S= + 1 12 2a a= + 1 2a = − { }na 2 2 3na n = − n N +∈ 12 (2 3) 2 n n n n b na + = = − ⋅ 2 3 11 2 1 2 3 2 (2 5) 2 (2 3) 2n n nT n n−= − ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ − ⋅ + − ⋅ 2 3 4 12 1 2 1 2 3 2 (2 5) 2 (2 3) 2n n nT n n += − ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ − ⋅ + − ⋅ ( )2 3 12 2 2 2 2 (2 3) 2n n nT n +− = − + + +⋅⋅⋅+ − − ⋅ ( )2 1 1 12 1 2 2 2 (2 3) 2 10 (5 2 ) 21 2 n n nn n − + + − = − + × − − ⋅ = − + − ⋅− 1(2 5) 2 10n nT n += − ⋅ + ABCD AB CD∥ 2AD CD CB= = = 60ABC∠ = ° ABCD 120ADC∠ = ° 30DCA DAC∠ = ∠ = ° 120DCB∠ = ° 90ACB DCB DCA∠ = ∠ − ∠ = ° AC BC⊥ AC BC ACFE 2CF AE= = 2 2BF = 2CB = CB CF⊥ AC CF C= BC ⊥ ACFE C CA x CB y CF z 可得 ， ， ， ， . ∴ ， ， ， 设平面 的法向量为 ，所以 ，∴ ， 令 ，则 ， ，∴ ， ∴ . ∴直线 与平面 所成角的正弦值是 . 20.解：（Ⅰ）由题意可知 120 件样本零件中长度大于 1.60 分米的共有 18 件， 则这批零件的长度大于 1.60 分米的频率为 ， 记 为零件的长度，则 ， ， ， 故 ， ， . （Ⅱ）由（Ⅰ）可知从这批零件中随机选取 1 件，长度在 的概率 . 则随机变量 服从二项分布， ， 则 ， ， ， ， 故随机变量 的分布列为 (0,0,0)C (0,2,0)B (0,0,2)F ( 3, 1,0)D − (2 3,0,2)E ( 2 3,0,0)EF = − (0, 2,2)BF = − ( 3, 3,0)BD = − BEF ( , , )n x y z= 0 0 n EF n BF  ⋅ = ⋅ =     2 3 0 2 2 0 n EF x n BF y z  ⋅ = − = ⋅ = − + =     1y = 0x = 1z = (0,1,1)n = 6| cos , | 4| | | | BD nBD n BD n ⋅< > = = ⋅      BD BEF 6 4 18 0.15120 = Y 3(1.2 1.3) (1.7 1.8) 0.025120P Y P Y≤ ≤ = < ≤ = = 15(1.3 1.4) (1.6 1.7) 0.125120P Y P Y< ≤ = < ≤ = = 1(1.4 1.5) (1.5 1.6) (1 2 0.025 2 0.125) 0.352P Y P Y< ≤ = < ≤ = × − × − × = 0.025 0.250.1m = = 0.125 1.250.1n = = 0.35 3.50.1t = = (1.4,1.6] 2 0.35 0.7P = × = X ~ (3,0.7)X B 0 3 3( 0) (1 0.7) 0.027P X C= = × − = 1 2 3( 1) (1 0.7) 0.7 0.189P X C= = × − × = 2 2 3( 2) (1 0.7) 0.7 0.441P X C= = × − × = 3 3 3( 3) 0.7 0.343P X C= = × = X 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 （或 ）. （或由随机变量 服从二项分布， ，得 ， ） （Ⅲ）由题意可知 ， ， 则 ， ， 因为 ， ， 所以这批零件的长度满足近似于正态分布 的概率分布. 故认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收. 21.解：（Ⅰ）由题可知， ， ，则直线 的方程为 ，即 ， 因为直线 与圆 相切，该圆的圆心为 ， ， 则 ，∴ ，∴ ，故椭圆的标准方程为 . （Ⅱ）解法一：依题得直线 的斜率必存在，设 ，设点 ， ， 联立 ，消去 并整理得 ， ，即 ， 且 ， ， ∴ ， X P 0 0.027 1 0.189 2 0.441 3 0.343 2.1EX = × + × + × + × = 3 0.7 2.1EX = × = X 7~ 3,10X B     3 3 7 3( ) ( 0,1,2,3)10 10 k k kP X k C k −   = = ⋅ ⋅ =       7 213 10 10EX = × = 1.5µ = 0.1σ = ( ) (1.4 1.6) 0.7P Y P Yµ σ µ σ− < ≤ + = < ≤ = ( 2 2 ) (1.3 1.7) 0.125 0.35 0.35 0.125 0.95P Y P Yµ σ µ σ− < ≤ + = < ≤ = + + + = | 0.7 0.6826 | 0.0174 0.05− = ≤ | 0.95 0.9544 | 0.0044 0.05− = ≤ (1.5,0.01)N (0,1)A ( ,0)F c AF 1x yc + = 0x cy c+ − = AF 2 2: 6 2 7 0M x y x y+ − − + = (3,1)M 3r = 2 33 1 c = + 2 2c = 2 3a = 2 2 13 x y+ = l :l y kx m= + ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 2 2 13 y kx m x y = + + = y ( )2 2 23 1 6 3 3 0k x kmx m+ + + − = ( ) ( )2 2 2 236 4 3 1 3 3 0k m k m∆ = − ⋅ + ⋅ − > 2 23 1m k< + 1 2 2 6 3 1 kmx x k + = − + 2 1 2 2 3 3 3 1 mx x k −= + ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , 1 ( 1) ( 1)AP AQ x y x y x x y y k x x k m x x m⋅ = ⋅ = + = + + − + + −  ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 3 6 4 2 21 ( 1) ( 1)3 1 3 1 3 1 m km m mk k m mk k k − − − = + ⋅ + − ⋅ − + − = + + +  ∵ ，∴ ，即 ，∴ 或 . 当 时，直线 ，恒过点 ，不满足题意，舍去； 当 时，直线 ，恒过点 ， 故直线恒过定点 . 解法二：因为不过点 的动直线 与椭圆 相交于 两点，且 ，即直线 与坐标轴不垂直也 不平行， 由 ，可设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ， 联立 ，消去 并整理得 ，解得 或 ， 因此点 的坐标为 ，即 ， 将上式中的 换成 ，得点 ， 所以直线 的斜率为 ，即直线 的方程 ， 化简并整理得 ， 故直线 恒过定点 . 22.解：（Ⅰ）函数 的定义域为： ， ， ①当 时， ，所以 在 上单调递增， ②当 时，令 ，解得 ， AP AQ⊥ 0AP AQ⋅ =  2 2 4 2 2 03 1 m m k − − =+ 1m = 1 2m = − 1m = : 1l y kx= + ( )0,1 1 2m = − 1: 2l y kx= − 10, 2      10, 2      A l C PQ AP AQ⊥ AP ( )0,1A AP 1y kx= + AQ 1 1y xk = − + 2 2 13 1 x y y kx  + =  = + y ( )2 21 3 6 0k x kx+ + = 0x = 2 6 1 3 k k − + P 2 2 2 6 6, 11 3 1 3 k k k k  − − + + +  2 2 2 6 1 3,1 3 1 3 k kP k k  −− + +  k 1 k − 2 2 2 6 3,3 3 k kQ k k  −  + +  l 2 2 22 2 2 2 3 1 3 13 1 3 6 6 4 3 1 3 k k kk k k k k k k − −− −+ + = ++ + l 2 2 2 2 1 6 3 4 3 3 k k ky xk k k − − = − + + +  2 1 1 4 2 ky xk −= − l 10, 2      ( )f x (0, )+∞ 22( ) 2a a xf x xx x +′ = + = 0a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,+∞ 0a < ( ) 0f x′ = 2 ax = − 当 时， ，所以 ，所以 在 上单调递减； 当 时， ，所以 ，所以 在 上单调递增； 综上，当 时，函数 在 上单调递增. 当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增. （Ⅱ）当 时， ，要证明 ， 即证 ，即证 ， 设 ，则 ，令 得， ， 当 时， ，当 时， . 所以 为极大值点，且 在 处取得最大值. 所以 ，即 ，故 . （Ⅲ）证明：由（Ⅲ）知 （当且仅当 时等号成立），即 ， 则有 ， 故 . 0 2 ax< < − 22 0a x+ < ( ) 0f x′ < ( )f x 0, 2 a −    2 ax > − 22 0a x+ > ( ) 0f x′ > ( )f x ,2 a − +∞    0a ≥ ( )f x ( )0,+∞ 0a < ( )f x 0, 2 a −    ,2 a − +∞    1a = 2( ) lnf x x x= + 2( ) 1f x x x≤ + − ln 1x x≤ − ln 1 0x x− + ≤ ( ) ln 1g x x x= − + 1( ) xg x x −′ = ( ) 0g x′ = 1x = (0,1)x∈ ( ) 0g x′ > (1, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ < 1x = ( )g x 1x = ( ) (1) 0g x g≤ = ln 1 0x x− + ≤ 2( ) 1f x x x≤ + − ln 1x x≤ − 1x = ln 11x x x ≤ − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln 2 ln3 ln 1 1 11 1 12 3 2 3 n n n + +⋅⋅⋅+ < − + − +⋅⋅⋅+ − 2 2 2 1 1 1 1 1 11 12 3 2 3 3 4 ( 1)n nn n n   = − − + +⋅⋅⋅+ < − − + +⋅⋅⋅+   × × +    1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1)(2 1)1 12 3 3 4 1 2 1 2( 1) n nn nn n n n − +   = − − − + − +⋅⋅⋅+ − = − − − =   + + +    2 2 2 2 2 2 ln 2 ln3 ln ( 1)(2 1) 2 3 2( 1) n n n n n − ++ +⋅⋅⋅+ < +