邯郸市高三年级摸底考试
数 学
注意事项：
1.考试时间 120 分钟，总共 150 分.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考场填写在答题卡上，并把条形码贴在答题卡的指定位置.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A.2 B. C.2 D.4
4.已知函数 ，则 （ ）
A.2 B.3 C. D.
5.若命题 “ ， ”为真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知 ， 均为正数，且 ， ， 成等差数列，则 的最小值为（ ）
A.4 B.3 C. D.
7.如图是函数 的部分图象，则 （ ）
3 01
xA x x
+ = > − ∣ { }2 2B x x= − ≤ ≤∣ A B =
(1,2] [ 2,1)− ( 3,2]− ( 3, 2]− −
2020(1 2 )z i i= + ⋅ z =
1 2i− 1 2i+ 2 i− 1 2i− −
( 2, )a t= − (1, 1)b = − ( ) a b b− ∥ t =
4−
3 1, 3( )
( 1), 3
xe xf x
f x x
− + ≥= + > − < <
6f
π = A. B. C. D.
8.函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.
9.2019 年 4 月，八省市同时公布新高考改革“3+1+2”模式.“3”即语文、数学、外语为必考科目.“1”即
首选科目，考生须在物理、历史中二选一.“2”即再选科目，考生在化学、生物、思想政治、地理中四选二.
高校各专业根据本校培养实际，对考生的物理或历史科目提出要求.如图所示，“仅物理”表示首选科目为物
理的考生才可报考，且相关专业只在物理类别下安排招生计划；“仅历史”表示首选科目为历史的考生才
可报考，且相关专业只在历史类别下安排招生计划；“物理或历史”表示首选科目为物理或历史的考生均
可报考，且高校要统筹相关专业在物理历史类别下安排招生计划根据图中数据分析，下列说法正确的是
（ ）
1
2
− 1− 3
2
− 1
2
ln | |( ) 2
x xf x x
= +A.选物理的考生可报大学专业占 47.53%
B.选历史的考生大学录取率为 2.83%
C.选物理或历史的考生均可报的大学专业占 49.64%
D.选历史的考生可报大学专业占 52.47%
10.已知数列 满足： ，当 时， ，则关于数列 说法正确的是
（ ）
A. B.数列 为递增数列
C.数列 为周期数列 D.
11.如图已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点 是该椭圆在第一象限内的点，
的角平分线交 轴于 点，且满足 ，则椭圆的离心率 可能是（ ）
A. B. C. D.
12.已知定义在 上的函数 ，定义函数 （其中 为实
数），若对于任意的 ，都有 ，则整数 可以为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知随机变量 ，若 ，则 _________.
14.某市近几年大力改善城市环境，全面实现创建生态园林城市计划，现省专家组评审该市是否达到“省园
林城市”的标准，从包含甲、乙两位专家在内的 8 人中选出 4 人组成评审委员会，若甲、乙两位专家至少
{ }na 1 3a = 2n ≥ ( )2
1 1 1 1n na a −= + + − { }na
2 8a = { }na
{ }na 2 2na n n= +
1F 2F
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > P
1 2F PF∠ x Q 2 4OF OQ= e
1
8
1
4
1
2
3
4
(1, )+∞ ln 3 2( ) 1
x x xf x x
+ −= −
( ), ( )
, )( ) (
f x f x m
m mg fx x
= ≥
= ( 2)P ξ > =一人被邀请，则组成该评审委员会的不同方式共有__________种.
15.已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，设点 是该双曲线与以 为直径
的圆在第一象限的交点，若 ，则双曲线的离心率为_________.
16.已知三棱锥 的三条侧棱 ， ， 两两垂直，且有 ， ，
则该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为_________.
四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分 10 分）
在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）给出三个条件① ，② 外接圆半径 ，③ ，试从中选择两个可以确定
的条件，并求 的面积.
18.（本小题满分 12 分）
已知数列 满足 ， .
（1）求证数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）设 为数列 的前 项和，证明： .
19.（本小题满分 12 分）
某工厂为提高某手工制品的质量，决定引进新技术，现从改进技术前后生产的大批手工制品中各随机抽取
200 件进行质量指标检测，规定指标值在 的为合格品，其余的视为次品.改进技术前手工制品的频率
分布直方图和改进技术后手工制品的顿率分布表如下：
改进技术后手工制品的频率分布表
1F 2F
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > P 1 2F F
2 1
3 10sin 10PF F∠ =
P ABC− PA PB PC 2 3PB PA= + 2 3PC PA= −
ABC△ A B C a b c sin 2 sina B b A=
B
2b = ABC△ 2 3
3r = 2 3a c+ =
ABC△ ABC△
{ }na 1
2
3a = ( )*
1 1
3
2n n n na a a a n+ +− = ∈N
1
na
{ }na
nS { }1n na a + n 4
9nS <
[20,40)质量指标值 频数 频率
4 0.02
0.18
96 0.48
28 0.14
32
4 0.02
合计 200 1
（1）（i）求表中数据 和 ；
（ii）完成 2×2 列联表，并判断能否有 95%的把握认为该手工制品的合格数量与改进技术有关；
改进技术前 改进技术后 合计
合格品
次品
合计
（2）根据（1）的数据，从产品合格率的角度分析改进技术前后手工制品的质量优劣.
参考公式： ，其中 .
参考临界值
0.100 0.050 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
20.（本小题满分 12 分）
如图在三棱柱 中，侧面 为边长为 2 的菱形， ， ，
.
（1）求证： 平面 ；
[15,20)
[20,25) m
[25,30)
[30,35)
[35,40) n
[40,45)
m n
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k≥
0k
1 1 1ABC A B C− 1 1ABB A 1 1 3AA B
π∠ = 1 1 1 2AC B C= =
1 1 6AC =
1A B 1 1AB C（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 .
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 时， ，求实数 的取值范围.
22.（本小题满分 12 分）
已知点 为抛物线 的焦点，横坐标为 1 的点 在抛物线上，且以 为圆心， 为
半径的圆与 的准线相切.
（1）求抛物线 的方程；
（2）设不经过原点 的直线 与抛物线交于 、 两点，设直线 、 的倾斜角分别为 和 ，证明：
当 时，直线 恒过定点.
高三数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A C B B D B C CD ABD CD AB
一、选择题
1.A 解析：由题知 ，所以 .
2.A 解析：∵ ， ， ， ，∴ ，
∴ ， .
3.C 解析：向量 ，因为 ，所以 ，解得 .
4.B 解析： .
5.B 解析：由题意，当 时，命题成立，当 时， ，解得 ，综上可得，
实数 的取值范围是 .
6.D 解析：由题 ，∴ （当且仅当 时等号
成立）.
1A B 1 1 1A B C
( 1)( ) ln1
a xf x xx
−= −+
2a = ( )f x
1x > ( ) 0f x < a
F 2: 2 ( 0)C y px p= > P F | |PF
C
C
O l A B OA OB α β
4
πα β+ = l
( , 3) (1, )A = −∞ − +∞ ( ]1,2A B =
1i i= 2 1i = − 3i i= − 4 1i = ( )5052020 4 5051 1i i= = =
2020(1 2 ) 1 2z i i i= + ⋅ = + 1 2z i= −
( 3, 1)a b t− = − + ( )a b b− ∥ 3 ( 1) 0t− + = 2t =
(ln 2) (1 ln 2) (2 ln 2) (3 ln 2) 3f f f f= + = + = + =
0a = 0a ≠ 2
0
8 0
a
a a
( )h x (1, )+∞
(3) ln3 1 0h = − + < (4) ln 4 2 0h = − + > 0 (3,4)x∃ ∈ ( )0 0h x =
0 0ln 2x x= − ( )f x ( )01, x ( )0 ,x +∞
( ) 0 0 0
min 0
0
ln 3 2( ) 1
x x xf x f x x
+ −= = −
( )0 0 0
0
0
2 3 2 2 (5,6)1
x x x xx
− + −= = + ∈− 5m ≤13.0.6 解析：∵ ，若 ，则 ， .
14.55 解析：若甲、乙两位专家至少一人被邀请，则组成该评审委员会的不同方式共有 种.
15. 解析：根据双曲线定义： ，因为圆是以 为直径，所以 是直角三角
形，又知 ，易得 ，∴ ， ，在 中，由勾股
定理得 ，解得 .
16. 解析：将该三棱锥补成长方体，设 ，则 ， ，三棱锥的体积
，
由 ，得 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.即 时， 取得最大值.
此时三棱锥外接球半径 ， .
四、解答题
17.解：（1）因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，∴ ，
（2）显然可知当选择条件①②时， 不唯一；
当选择条件①③时， 唯一，此时，
由余弦定理 ，
即 .
解得 .
所以 的面积 .
当选择条件②③时， 唯一，此时，
由正弦定理可知 .
由余弦定理 ，
即 .
( )2~ 4,Nξ σ ( 6) 0.4P ξ > = ( 2) 0.4P ξ < = ( 2) 1 0.4 0.6P ξ > = − =
4 4
8 6C C 55− =
10
2 1 2 2PF PF a− = 1 2F F 1 2PF F△
2 1
3 10sin 10PF F∠ = 1 23PF PF= 1 3PF a= 2PF a= 1 2Rt PF F△
2 2 2(3 ) (2 )a a c+ = 10
2e =
36π PA x= 2 3PB x= + 2 3PC x= −
( )31 1 1( 2 3)(2 3 ) 123 2 6V x x x x x= × × + − = − × −
( )21 3 12 06V x′ = − × − = 2x = ±
V (0,2) (2, )+∞ 2x = V
2 2 21 2 (2 2 3) (2 3 2) 32r = + + + − = 4 9 36S π π= × =表
sin 2 sina B b A= 2 sin cos sina B B b A=
2 cosab B ba= 1cos 2B =
ABC△
ABC△
2 2 2 2 cosb a c ac B= + −
2 2 24 ( ) 3 12 3a c ac a c ac ac= + − = + − = −
8
3ac =
ABC△ 1 1 8 3 2 3sin2 2 3 2 3S ac B= = × × =
ABC△
2 sin 2b r B= ⋅ =
2 2 2 2 cosb a c ac B= + −
2 2 24 ( ) 3 12 3a c ac a c ac ac= + − = + − = −解得 .
所以 的面积 .
18.解：（1）由题 ，两边同时除以 ，得 ，
又 ，∴ 是首项为 ，公差为 的等差数列，
∴ ，∴ .
（2）由（1） .
∴ .
∵ ，∴ ，即 .
19.解：（1）（i）易得表中数据 ， ；
（ii）2×2 列联表为：
改进技术前 改进技术后 合计
合格品 172 192 364
次品 28 8 36
合计 200 200 400
将 2×2 列联表中数据代入公式计算， ，
故有 95%的把握认为该手工制品的合格数量与改进技术有关.
（2）根据（1）中可知改进技术后的合格率为 ，
改进技术前的合格率为 ， ，
所以工人在改进技术后手工制品的合格率更高，产品质量更高.
20.解：（1）设 交 于点 ，连接 ，
因为四边形 为菱形， ，所以 ， ，
8
3ac =
ABC△ 1 1 8 3 2 3sin2 2 3 2 3S ac B= = × × =
1 1
3
2n n n na a a a+ +− = 1n na a +
1
1 1 3
2n na a+
− =
1
1 3
2a
= 1
na
3
2
3
2
1 3 3 3( 1)2 2 2n
n na
∴ = + − = 2
3na n
=
1
4 1 4 1 1
9 ( 1) 9 1n na a n n n n+
= × = × − + +
4 1 1 1 1 1 4 1 4 41 19 2 2 3 1 9 1 9 9( 1)nS n n n n
= × − + − +⋅⋅⋅+ − = × − = − + + +
*n∈N 4 4 4
9 9( 1) 9n
− × × ×
192 96%200
=
172 86%200
= 96% 86%>
1A B 1AB O 1C O
1 1ABB A 1 1 3AA B
π∠ = 1 1 1 2AB A B= = 1 3AO =所以 为等边三角形，即可得 .
在 中， ，∴ ，即 .
又知 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）由（1）易知 平面 ，所以 ， ， 两两垂直.
以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴正方向建立空间直角坐标系，则 ，
， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
∴ ，令 ，则 .
又知 .
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值 .
21.解：（1）当 时， ，定义域为 .
∴ .
∴函数 的单调递减区间为 ，无单调递增区间.
（2） ， ， ， ，
由 可得 .当 时， .
即 ，所以函数 在 上单调递减，所以 .满足题意;
当 时， ， ，
所以存在 ，使得 ，
1 1AB C△ 1 3C O =
1 1OAC△ 2 2 2
1 1 1 1OA OC AC+ = 1 1 2AOC
π∠ = 1 1C O A B⊥
1 1A B AB⊥ 1 1C O AB O= 1C O 1AB ⊂ 1 1AB C
1A B ⊥ 1 1AB C
1C O ⊥ 1 1ABB A OA 1OA 1OC
O OA
1OA
1OC x y z 1(0, 3,0)A
(0, 3,0)B − 1( 1,0,0)B − 1(0,0, 3)C 1 1 ( 1, 3,0)A B = − −
1 1 (1,0, 3)B C =
1 1 1A B C ( , , )n x y z=
1 1
1 1
3 0
3 0
n A B x y
n B C x z
⋅ = − − =
⋅ = + =
3x = ( 3, 1, 1)n = − −
1 (0, 2 3,0)A B = −
1A B 1 1 1A B C θ 1
1
2 3 5sin 55 2 3| |
n A B
n A B
θ
⋅
= = =
×⋅
1A B 1 1 1A B C 5
5
2a = 2( 1)( ) ln1
xf x xx
−= −+ (0, )+∞
2 2
2 2 2
4 1 2 1 ( 1)( ) 0( 1) ( 1) ( 1)
x x xf x x x x x x x
− + −′ = − = − = − ≤+ + +
( )f x (0, )+∞
( 1)( ) ln1
a xf x xx
−= −+
2
2 2
2 1 2(1 ) 1( ) ( 1) ( 1)
a x a xf x x x x x
+ − +′ = − = −+ + (1) 0f = (1) 12
af ′ = −
(1) 1 02
af ′ = − ≤ 2a ≤ 2a ≤ ( )2 2 22(1 ) 1 2 1 ( 1) 0x a x x x x − + − + − − + = − − (1) 0f ′ > 2
4 1(2 ) 02 (2 1)
af a a a
+′ = − =
a ( ,2]−∞
,02
pF
2x = −
F | |PF C
| | 1 2
pr PF p= = + = 2p =
C 2 4y x=
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y l k :l y kx m= + 2 4y x=
2 4 4 0ky y m− + =
1 2
4y y k
+ = 1 2
4my y k
⋅ =
( )2 2
21 2
1 2 1 2 1 2 2
1 4 224 4 4
y y mx x y y y y k k
+ = + = × + − = −
2 2 2
1 2
1 2 24 4
y y mx x k
⋅ = ⋅ =
1 2
1 2 1 2
16 4
OA OB
y y kk k x x y y m
⋅ = ⋅ = =⋅
( ) ( ) ( )2 1 1 2 1 2 1 21 2
1 2 1 2 1 2
2 4
QA OB
x kx m x kx m kx x m x xy yk k x x x x x x m
+ + + + ++ = + = = =
tanOAk α= tanOBk β=
4
4
tan tantan( ) tan 141 tan tan 1 41
OB
OA OB
k k m
kk k
m
αα β πα β α β
+++ = = = = =− ⋅ − ⋅ −
4 4m k= + : 4 4 ( 4) 4l y kx k k x= + + = + + ( )4,4−
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