2021届高三上学期开学考试数学试题 含答案详解

2020 学年第一学期“山水联盟”开学考试 高三年级数学学科试题 命题：仙居中学 审校：桐庐中学 审核：武义一中 参考公式： 台体的体积公式 其中 ， 分别表示台体的上、下底面积， 表示台体的高 柱体的体积公式 其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高 锥体的体积公式 其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高 球的表面积公式： ，球的体积公式： 其中 表示球的半径 选择题部分 一、选择题 1．集合 ，集合 ，则集合 （ ） A． B． C． D． 2．欧拉恒等式 被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例．欧拉公式： （ 为虚数单位， 为自然对数的底数，自变量 时， ，得 ．根据欧拉公式，复数 在复平面上所对应的点在第象限______象限． A．一 B．二 C．三 D．四 3．若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A．1 B．1 C． D．2 4．函数 在区间 的图像大致为（ ） ( )1 1 2 2 1 3V S S S S h= + + 1S 2S h V Sh= S h 1 3V Sh= S h 24S Rπ= 34 3V Rπ= R { 2, 1, 0,1, 2,3}A = − − { }2 2 3 0B x x x= − − 0b > 2 1a b+ = 1 8 2b a b + + | | 2a = | | 1b = a c | |a b c+ −  17．若 对 恒成立，则实数 的取值范围为______． 三、解答题 18．已知函数 ． （Ⅰ）求函数 的最小正周期． （Ⅱ）求函数 在 上的单调增区间． 19．如图，在四棱锥 中， ， ， ， 是 的中点，平面 平面 ． （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成的角的正弦值． 20．已知数列 满足： ， ；数列 是等比数列，并满足 ，且 ， ， 成等差数列． （Ⅰ）求数列 ， 的通项公式； （Ⅱ）若数列 的前 项和是 ，数列 满足 ，求证： ． 21．已知抛物线 ： ， 为其焦点，点 在抛物线 上，且 ，过点 作抛物线 的切线 ， 为 上异于点 的一个动点，过点 作直线 交抛物线 于 ， 两 点． （Ⅰ）求抛物线 的方程； （Ⅱ）若 ，求直线 的斜率，并求 的取值范围． 2 2 2x x a x x a+ + + − − ≥ x R∈ a ( ) sin (sin 3cos )f x x x x= + ( )f x ( )f x [0, ]x π∈ P ABCD− 1 22PA PB AD CD BC= = = = = //AD BC AD CD⊥ E PA PAB ⊥ ABCD PB CE⊥ CE PBC { }na 1 1a = 1 1 n n a n a n + = + { }nb 1 2b = 1 1b − 4b 5 1b − { }na { }nb { }nb n nS { }nc ( )1 2 2 n n n n n a ac a S + + ⋅= ⋅ + 1 2 1 2nc c c+ +… + < C 2 2y px= F (1, )( 0)Q y y > C | | 2FQ = Q C 1l ( )0 0,P x y 1l Q P 2l C A B C 2| | | | | |PQ PA PB= ⋅ 2l 0x 22．已知 ，函数 ，其中 为自然对数的底数． （Ⅰ）证明：函数 在 上有唯一零点． （Ⅱ）记 为函数 在 上的零点，证明： （参考数值： ） 2020 学年第一学期“山水联盟”开学考试 高三年级数学学科试题 命题：仙居中学 审校：桐庐中学 审核：武义第一中学 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B A D D B C C 二、填空题 11． ； 12．40；242 13．3；6 14． ； 15． 16． 17． 三、解答题 18．【解析】 （Ⅰ） 1a > 21( ) 12 xf x e x ax= − − − e 2.71828=  ( )y f x= (0, )+∞ 0x ( )y f x= (0, )+∞ 0x a< ln4.6 1.53≈ 1 2 − 2 3 3 3 1− 25 2 3 1− 2a ≥ 2 3 1 1( ) sin 3sin cos sin2 cos22 2 2f x x x x x= + = − + 1sin 2 6 2x π = − +   所以 的最小正周期为 （Ⅱ）由 得 ， 又 ，得 或 所以 的单调增区间为： ， 19．【解析】 （Ⅰ）由已知可得在直角梯形 中， ， ， 所以 ，所以 又因为平面 平面 ，平面 平面 所以 平面 ，所以 又 ， ，所以 ，所以 故 平面 ，又 平面 ，所以 （Ⅱ）法一：由（1）得 平面 ，所以平面 平面 所以直线 在平面 中的射影为直线 ， 故 即为直线 与平面 所成的角 中， ， ， ， 所以 ，故 即直线 与平面 所成的角的正弦值为 法二：如图所示建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ( )f x 2 2T π π= = 2 2 22 6 2k x k π π ππ π− ≤ − ≤ + 6 3k x k π ππ π− ≤ ≤ + k Z∈ [0, ]x π∈ 0 3x π≤ ≤ 5 6 x π π≤ ≤ ( )f x 0, 3 π     5 ,6 π π     ABCD 2 2AB AC= = 4BC = 2 2 2AB AC BC+ = AC AB⊥ PAB ⊥ ABCD PAB∩ ABCD AB= AC ⊥ PAB AC PB⊥ 2PA PB= = 2 2AB = 2 2 2PA PB AB+ = PB PA⊥ PB⊥ PAC CE ⊂ PAC PB CE⊥ PB⊥ PAC PBC ⊥ PAC CE PBC PC PCE∠ CE PBC PCE△ 2 3PC= 1PE = 3CE = 2 2 2 5 3cos 2 9 PC CE PEPCE PC CE + −∠ = =⋅ 6sin 9PCE∠ = CE PBC 6 9 (0,0,0)A (2 2,0,0)B (0,2 2,0)C ( 2,0, 2)P 2 2,0,2 2E       设平面 的一个法向量为 ， ， 由 ， 故取 又 所以 即直线 与平面 所成的角的正弦值为 20．【解析】 （Ⅰ）由已知 ， ，所以 是常数列， 所以 ，故 设 的公比是 ，由已知得 ，所以 所以 ，故 （Ⅱ） 累加得： 所以 ，得证． 21．【解析】 （Ⅰ） ，所以 ，所以抛物线 方程为： （Ⅱ） 设切线 的方程为： 代入 ，得 PBC ( , , )n x y z= (2 2, 2 2,0)CB= − ( 2, 2 2, 2)CP = − 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 n CB x y x y z n CP x y z  ⋅ = − = ⇒ ⇒ = = ⋅ = − + =    (1,1,1)n = 2 2, 2 2,2 2CE  = −     2 6cos , 9| | | | 3 3 n CEn CE n CE ⋅ −< >== = = − ⋅ ×   CE PBC 6 9 1 1a = 1( 1)n nna n a += + { }nna 11 1nna a= ⋅ = 1 na n = { }nb q ( ) ( )4 1 52 1 1b b b= − + − 3 44 2q q= 2q = 2n nb = ( ) 12 2 2 2 22 n n nS + − = = − ( )1 1 2 2 1 1 2 ( 1) 2 2 ( 1) 2 n n n n n n n n a a nc a S n n n n + + + += = = −+ + ⋅ ⋅ + ⋅ 1 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 2 2 ( 1) 2n n nc c c n n ++ +…+ = − + − +…+ −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ 1 2 1 1 1 1 2 ( 1) 2 2n nc c c n ++ +…+ = − 2 0 0 0m my x− + > ( )( )( )2 2 2 1 0 2 0 1 0 2 0| | | | 1 1 1PA PB m y y m y y m y y y y⋅ = + − ⋅ + − = + − − ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 1 2 0 1 2 0 0 0 0 01 1 4 4 4m y y y y y y m my x my y = + − + + = + − − +  ( ) ( ) ( )( )22 2 2 0 0 01 4 1 1 2m y y m y = + − − = + −  ( )22 0| | 2 2PQ y= − 21 2m+ = 1m = ± 2l 1− 0∆ > 0 01 0y x+ + > ( )02 1 0x + > 0 1x >− 0 1x ≠ 0x 0 1x >− 0 1x ≠ ( ) xf x e x a′ = − − ( ) 1 0xf x e′′ = − > (0, )x ∈ +∞ ( )f x′ (0, )+∞ (0) 1 0f a′ = − < ( ) 2 ( 2) 0af a e a e a′ = − > − > 1 (0, )x a∈ ( )1 0f x′ = ( )1( ) 0 0,f x x x′ < ⇒ ∈ ( )f x ( )10,x ( )1( ) 0 ,f x x x′ > ⇒ ∈ +∞ ( )f x ( )1,x +∞ (0) 0f = ( )1 0f x < x→+∞ ( )f x → +∞ ( )f x ( )1,x +∞ ( )10,x ( )f x (0, )+∞ ( )f x ( )1,x +∞ 1a x> 0 1x x> 故要证： ，只要证 即证： 在 时恒成立 设 ，故 ， 由 ，所以 在 递减，在 递增 ， ， 所以存在 ， ，使得 所以 在 递增， 递减， 递增，所以 因为 ，故只需证明 由 ，所以 ， 由二次函数的单调性，得 综上，得证． 0x a< ( )0 ( )f x f a< 23 1 02 ae a− − > 1a > 23( ) 12 ag a e a= − − ( ) 3ag a e a′ = − ( ) 3ag a e′′ = − ( ) 0 ln 3g a a′′ = ⇒ = ( )g a′ (1, ln 3) (ln 3, )+∞ 5(1) 02g e′ = − > (ln 3) 3 3 ln 3 0g′ = − < (ln 4.6) 4.6 3 ln 4.6 4.6 3 1.53 0g′ = − × > − × > 2 (1,ln3)x ∈ 3 (ln3,ln4.6)x ∈ ( ) ( )2 3 0g x g x′ ′= = ( )g a ( )21,x ( )2 3,x x ( )3,x +∞ ( ){ }min 3( ) min (1),g a g g x= 5(1) 02g e= − > ( ) 3 2 3 3 3 1 02 xg x e x= − − > ( ) 3 3 30 3xg x e x′ = ⇒ = ( ) 2 3 3 3 3 3 12g x x x= − + − 3 (ln3,ln4.6)x ∈ ( ) 2 2 3 3 3(ln 4.6) 3ln 4.6 1 (1.53) 3 1.53 1 02 2g x > − + − > − × + × − >