2020—2021学年高三上学期第一次质量考评数学（理科） 含答案详解

河南省中原名校联盟 2020-2021 学年高三上学期第一次质量考评 数学（理）试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无 效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知复数 ，则 的共轭复数 （ ） A． B． C． D． 3．已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 4． 的展开式中 的系数为（ ） A． B．32 C．64 D． 5．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 6．已知实数 ， 满足不等式组 ，则 的最大值为（ ） A．20 B．18 C．12 D．4 { }lg(1 )A x y x= = −∣ { }2 0B x x= + >∣ A B = ( 1,2)− ( 2,1)− ( 2, 1)− − (1,2) 32 1 iz i = − z z = 1 i− − 1 i− 1 i+ 1 i− + 3sin 3 θ = sin cos4 4 π πθ θ   + + =       1 3 1 6 1 8 1 12 3 4(2 ) ( 2 )x y x y− + 6xy 32− 64− 2log 3a = ( ) 0.2 0.40log ,2b −= 1 lg3c = a b c a c b< < c a b< < b a c< < b c a< < x y 1 2 2 1 y x y x x ≤ +  ≥ −  ≥ 4 2z x y= + 7．已知双曲线 C 的方程为 ，其离心率 ，则双曲线 C 的上焦点 F 到其渐近线的距 离为（ ） A． B． C． D． 8．函数 在 内的极小值为（ ） A． B． C． D． 9．已知函数 ，若 为偶函数，且 时， ，若 在 上的值域为 ，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10．在古代，正四棱台也叫“方亭”，竖着切去“方亭”两个边角块，把它们合在一起是“刍甍”（如图 1 中的几何体 为一个“刍甍”），图 1 是上底为 ，下底为 的一个“方亭”，图 2 是由 图 1 中的“方亭”得到的“刍甍”，已知“方亭”的体积为 ，“刍甍”的体积为 ，若 （约等于 0．618，被称为黄金分割比例，且 恰好是方程 的一个实根，台体的体积 公式为 ），则 （ ） A． B． C． D． 11．已知抛物线 的焦点为 F，过 F 的直线 与 C 交于 A，B 两点（设点 A 在第一象限），分别 过 A，B 作准线的垂线，垂足分别为 ， ，若 为等边三角形， 的面积为 ，四边 2 2 2 1( 0)xy bb − = > 3e = 3 2 2 3 2 2 ( ) 2 sin 14f x x x π = − + +   ( )0,2π 3 2 π 3 12 π − 1π + 2π + 2 ,0 2( ) 2 2 2 , 2 x xf x x x − ≤ ≤=   − > ( )g x 0x ≥ ( ) ( )g x f x= ( )g x [ ,3]m ( 3)m < [ ]4,0− m [ 3,3)− [ 3,0]− [0,3) [ 2,2]− 1 1 1 1ABCD A B C D− a b 1V 2V 5 1 2 a b −= 5 1 2 − 2 1 0x x+ − = ( )1 3V h S SS S′= + + 2 1 V V = 5 2 1− 5 1 4 + 1 2 1 4 2: 2C y px= l 1A 1B 1AFA△ 1BFB△ 1S 形 的面积为 ，则 （ ） A． B． C． D． 12．已知函数 （ 为常数）满足 ， ，若 在 上的最大值和最小值分别为 ， ，则 的值为（ ） A． 或 15 B． 或 11 C． 或 9 D．5 或 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．函数 的图象在 处的切线方程为__________． 14．已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则向量 与 的夹角为__________． 15．已知 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，且 的面积为 ，则 的最小值为__________． 16．已知正三棱锥 的底面边长为 3，其外接球的球心在三棱锥 的内部，且外接球的表面 积为 ，若 D 为 BC 中点，则异面直线 PD 与 AB 所成角的余弦值为__________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分） 已知数列 是等比数列，若 ，且 ， ， 成等差数列． （1）求 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 ． 18．（本小题满分 12 分） 如图，S 为圆锥的顶点，O 为底面圆心，点 A，B 在底面圆周上，且 ，点 C，D 分别为 SB，OB 的中点． 1 1A B BF 2S 1 2 S S = 1 3 1 4 1 6 1 7 2( )f x x x t= − + t ( )2( ) 4f f x x x− + = ( ) 2sin 2 6g x x π = −   ( )( )f g x 0, 2 π     m n 24m n t+ + 5− 9− 11− 15− 5( ) lnf x x x= + 1x = a b 2 2 3b a=  (3 2 )a a b⊥ +   a b ABC△ 2 cos 2c B a b= + ABC△ 4 3 2 23a c+ P ABC− P ABC− 16π { }na 1 3 10a a+ = 3a 215a 5a { }na 9 1 9 2 2 log logn n n b a a+ + = ⋅ { }nb n nS 60AOB∠ = ° （1）求证： ； （2）若圆锥的底面半径为 2，高为 4，求直线 AC 与平面 SOA 所成的角的正弦值． 19．（本小题满分 12 分） 在 5 月 31 日世界无烟日来临前夕，甲、乙两个单位随机抽取部分烟民进行调查，得到他们每月吸烟数 量（单位：盒）的茎叶图如下所示． （1）若规定每月吸烟不超过 10 盒称为“初级烟民”’，否则称为“非初级烟民”．试根据所给的茎叶图， 填写下列 2×2 列联表．并分析是否有 95%的把握认为两个单位的烟民中的“初级烟民”所占比例 有差别： 初级烟民 非初级烟民 合计 甲单位烟民数（单位：个） 乙单位烟民数（单位：个） 合计 （2）设吸烟盒数的平均数为 ，方差为 ，若出现吸烟盒数不在 内的烟民，则需要对 该烟民进行跟踪观察，根据所给数据分析在乙单位调査的烟民中，是否有需要跟踪观察的烟 民．（参考数据： ） 附： ，其中 ． 0.1 0.05 0.010 0.005 0.001 AC OB⊥ x 2s ( 2 , 2 )x s x s− + 59.6 7.72≈ 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ( )2 0P K k≥ 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20．（本小题满分 12 分） 如图，直线 与椭圆 交于 M，N 两点，与直线 交 于点 P，且椭圆 E 的离心率为 ． （1）若点 M 在第二象限，且 的最小值为 （其中 O 为坐标原点），求椭圆 E 的方程； （2）若椭圆 E 的方程为（1）中所求方程，且 ，求 的取值范围． 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 ． （1）若 的极小值为 ，求实数 的值； （2）若 ，求证： ． 【选考题】 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个 题目计分． 22．（本小题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ． （1）求直线 被曲线 C 截得的弦长； （2）设点 P 的直角坐标为 ，直线与曲线 C 交于 A，B 两点，求 ． 0k 1 :l y kx= 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > 2 : 2 0l x y a− + = 3 2 | | | |PM ON+ 2 2 3 8k ≥ | | | | OP MN 2 2( ) 3 ln ( 0)f x x ax a x a= + − > ( )f x 22a a 2a = ( ) ( 6)ln 8f x x x> − − xOy 22cos 2sin cos x y ϕ ϕ ϕ  =  = ϕ l ( )6 πθ ρ= ∈R l ( 3, 1)− − 1 1 | | | |PA PB + 23．（本小题满分 10 分）【选修 4-5:不等式选讲】 已知函数 的最小值为 ． （1）求 的值； （2）若 ， ，且 ，求证： ． 中原名校 2020—2021 学年上期质量考评一 高三理科数学·全解全析 1．【答案】B 【解析】由题意得 ， ，故 ．故选 B． 2．【答案】C 【解析】由题意， ，故 ．故选 C． 3．【答案】B 【解析】 ，故选 B． 4．【答案】C 【解析】由题意，展开式中含 的项为： ，故所求系数为 64．故选 C． 5．【答案】C 【解析】由对数函数的质可得 ， 即 ；又 ， 故 ，即 ； ，即 ，故 ．故选 C． 6．【答案】A ( ) | 1| | 2 4 |f x x x= − + + m m 0a < 0b > 2a b m+ = 2 2 9 5a b+ ≥ { }1 0 ( ,1)A x x= − > = −∞∣ ( 2, )B = − +∞ ( 2,1)A B = − 32 2 2 (1 ) 2 2 11 1 (1 )(1 ) 2 i i i i iz ii i i i − − + −= = = = = −− − − + 1z i= + 1 1sin cos sin 2 cos24 4 2 2 2 π π πθ θ θ θ     + + = + =           ( )21 1 1 11 2sin 1 22 2 3 6 θ  = − = × − × =   6xy 2 2 4 0 4 3 0 3 3 3 6 3 4 3 4(2 )( ) (2 ) (2 ) ( ) (2 ) 64C x y C x y C x y C x y xy− ⋅ + − ⋅ = 2 2 2log 2 log 3 log 4< < 1 2a< < 0.4 0.4log 0.2 log 0.4 1> = ( ) 0.2 0.40 log 0.2 1−< < 0 1b< < 3 33 1 log 10 log 9 2lg = > = 2c > b a c< 2sin 4 2x π + > −   (0,2 )x π∈ 0 x π< < 3 22 x π π< < ( ) 0f x′ < 2sin 4 2x π + < −   (0,2 )x π∈ 3 2x ππ < < 3 2x π= ( )f x 3 2 32 12 2 2f π π   = × − + + =        3 31 12 2 π π− + + = ( )g x (0) 0g = ( 3) (3) 4g g− = = − 3 0m− ≤ ≤ h ( )2 2 1 1 3V h a ab b= + + ( )2 2 2 2 1 1 12 22 2 6 b aV V a h h a h b a ab − = − − × × × = − −   ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 21 1 22 16 1 2 13 a ah b a abV b b V a ah a ab b b b  − −− −   = = ×  + + + +   5 1 2m −= 2 1 0m m+ − = 2 1m m+ = ∴ ．故选 D． 11．【答案】D 【解析】由条件可得 ， ， 直线 AB 的方程为 ，与 联立， 消去 ，整理得 ，解得 或 ， 故 ， ，则 ， 则 的面积为 ， 四边形 的面积为 ， 故 ．故选 D． 12．【答案】A 【解析】对于函数 ，由 可得 ， 故 的最大值为 ，最小值为 ， 即 的值域为 ． 因为 ，所以 ， 故 ，即 ． ①当 时， ， 故 在 上单调递减，在 上单调递增， ( )2 2 2 1 21 1 2 1 1 2 1 2 2 1 4 m mV V m m − + −= × = × =+ + + 1 1 60AFx AFA A FO∠ = ∠ = ∠ = ° 1 1 30BFB OFB∠ = ∠ = ° 3 2 py x = −   2 2y px= y 2 2 33 5 04 px px− + = 6 px = 3 2 px = 3 , 32 pA p     3,6 3 p pB  −    1 2| | | 6 2 3 p p pBF BB= = + =∣ 1BFB△ 2 1 1 3 3 2 6 2 3 9 p p p pS  = × + × − =   1 1A B BF 2 2 2 3 1 3 7 339 2 3 9 p pS p p p  = + ⋅ − − ⋅ =    2 1 2 2 3 19 77 3 9 p S S p = = ( )g x 0, 2x π ∈   52 ,6 6 6x π π π − ∈ −   ( )g x 2sin 22 π = 2sin 16 π − = −   ( )g x [ ]1,2− 2( )f x x x t− + = 2( ) ( ) 4 f x x x t f t  = − +  = 2 4t t t− + = 2t = ± 2t = 2( ) 2f x x x= − + ( )f x 1, 2  −∞   1 ,2  +∞   故 的最大值为 ，最小值为 ， 即 ； ②当 时， ， 同理可得 ． 综上 或 11，所以 或 15，故选 A． 13．【答案】 【解析】由 ，得 ， 所以 ，又 ， 故所求的切线方程为 ，即 ． 故答案为： ． 14．【答案】 【解析】 因为 ，所以 ，所以 ． 又因为 ，所以 ， 设 与 的夹角为 ，则 ， ， 所以 ．故答案为 ． 15．【答案】80 【解析】由 及正弦定理可得 ， ∴ ，即 ， 又 ，故 ，故 ． 因为 的面积为 ，所以 ， ( ( ))f g x (2)m f= 1 2n f  =    14 (2) 4 2m n f f  + = + =   1 14 4 2 114 2  + × − + =   2t = − 2( ) 2f x x x= − − 14 (2) 4 2m n f f  + = + =   1 10 4 2 94 2  + × − − = −   4 9m n+ = − 24 5m n t+ + = − 6 5 0x y− − = 5( ) lnf x x x= + 4 1( ) 5f x x x ′ = + (1) 5 1 6f ′ = + = (1) 1 ln1 1f = + = 1 6( 1)y x− = − 6 5 0x y− − = 6 5 0x y− − = 5 6 π (3 2 )a a b⊥ +   2 (3 2 ) 3 2 0a a b a a b⋅ + = + ⋅ =      23 | |2a b a⋅ = −   2 2 3b a=  | | 3 | |b a=  a b θ [0, ]θ π∈ 2 2 3 | | 32cos 2| | | | 3 | | aa b a b a θ −⋅= = = − ⋅      5 6 πθ = 5 6 π 2 cos 2c B a b= + 2sin cos 2sin sinC B A B= + 2sin cos 2sin( ) sinC B B C B= + + 2sin cos sin 0B C B+ = sin 0B > 1cos 2C = − 2 3C π= ABC△ 4 3 1 sin 4 32 ab C = 即 ，故 ， 由余弦定理可得 ， 所以 ， 当且仅当 时等号成立，故 的最小值为 80． 故答案为：80． 16．【答案】 【解析】 由外接球的表面积为 ，可得其半径为 2， 设 的中心为 O，则外接球的球心一定在 上， 由正三棱锥 的底面边长为 3，得 ， 在 中，由勾股定理可得 ， 解得 （舍去）或 ， 又 ，故 ， 取 AC 中点 E，连接 PE，DE，则 ，故 即为异面直线 PD 与 AB 所成角， 在 中， ， ， 由余弦理可得 ． 故答案为 ． 17．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）由 ， ， 成等差数列，可得 ， 设数列 的公比为 ，则 ，则 ， 设 ，则 在 上单调递增， 1 3 4 32 2ab× = 16ab = 2 2 2 2 2 2 212 cos 2 16 162c a b ab C a b a b = + − = + − × × − = + +   2 2 2 2 23 3a c a a b+ = + + 2 216 4 16 4 16 80a b ab+ = + + ≥ + = 2 4 2a b= = 2 23a c+ 39 26 16π ABC△ 1PQ P ABC− 1 3AQ = 1Rt AOO△ ( )2 2 1 2 ( 3)PO − + 22= 1 1PO = 1 3PO = 2 2 2 1 1PA PO AO= + 9 3 2 3PA = + = DE AB∥ PDE∠ PDE△ 3 2DE = 23 3912 2 2PD PE  = = − =   2 2 2 39 9 39 394 4 4cos 2 2639 32 2 2 PD DE PEPDE PD DE + −+ −∠ = = =⋅ × × 39 26 3a 215a 5a 3 5 230a a a+ = { }na q 3 2 2 230a q a q a+ = 3 30q q+ = 3( )f q q q= + ( )f q R 而 ，故满足 的 的值为 3． 由 得 ，故 ， 故 的通项公式为 ． （2）由（1）可得 ， ∴ ． 18．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）由题意，得 底面圆 O， 点 C，D 分别为 SB，OB 中点， ∴ ，∴ 底面圆 O， ∴OB 在底面圆 O 上，∴ ． ∵ ，∴ 为正角形， 又 D 为 OB 中点，∴ ， 又 ，且 AD， 平面 ACD， ∴ 平面 ACD， ∵ 平面 ACD，∴ ． （2）如图，以 D 为原点，DA，DB，DC 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， (3) 30f = 3 30q q+ = q 1 3 10a a+ = 2 1 1 1 19 10a a q a a+ = + = 1 1a = { }na 13n na −= 1 9 1 9 2 9 9 2 log log log 3 log 3 2 n n n n n b a a + + + = =⋅ ⋅ ( ) 8 1 181 1n n n n  = = − + +  1 1 1 1 1 1 18 1 2 2 3 3 4 1nS n n  = × − + − + − + ⋅⋅⋅+ − +  1 88 1 1 1 n n n  = × − = + +  SO ⊥ CD SO∥ CD ⊥ OB CD⊥ 60AOB∠ = ° AOB△ OB AD⊥ AD CD D= CD ⊂ OB ⊥ AC ⊂ AC OB⊥ ( 3,0,0)A (0,0,2)C (0, 1,0)O − (0, 1,4)S − 故 ， ， ， 设平面 SOA 的法向量为 ， 由 ，可得 ， 令 ，得 为平面 SOA 的一个法向量， 设直线 AC 与平面 SOA 所成的角为 ， 则 ， 即直线 AC 与平面 SOA 所成的角的正弦值为 ． 19．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）填写的 2×2 列联表如下： 初级烟民 非初级烟民 合计 甲单位烟民数（单位：个） 8 4 12 乙单位烟民数（单位：个） 3 7 10 合计 11 11 22 所以 ， ∴没有 95%的把握认为两个单位的烟民中的“初级烟民”所占比例有差别． （2）由所给数据可知，乙单位调查的烟民吸烟盒数的平均数为： ， 乙单位调查的烟民吸烟盒数的方差为： ∴ ，∴ ，而 ， ∴在乙单位抽取的烟民中，有需要跟踪观察的烟民． 20．（本小题满分 12 分） ( 3,0,2)AC = − ( 3, 1,4)AS = − − ( 3,1,0)OA = ( , , )n x y z= 0 0 n AS n OA  ⋅ = ⋅ =     3 4 0 3 0 x y z x y − − + = + = 1x = (1, 3,0)n = − θ 3 0 0sin |cos , | | | | | 1 3 3 4 n ACn AC n AC θ ⋅ − + += 〈 〉 = = ⋅ + × +     3 21 142 7 = = 21 14 2 2 2 ( ) 22 (8 7 4 3) 88 2.933 3.841( )( )( )( ) 11 11 12 10 30 n ad bcK a b c d a c b d − × × − ×= = = ≈ 【解析】（1）设椭圆 E 的焦距为 ，由题意 ， ∴ ，∴ ，∴ ， 由椭圆的对称性可得 ， 故 ， 的最小值为点 O 到直线 的距离， ∴ ，∴故 ， ，椭圆 E 的方程为 ． （2）由 ，消去 ，整理得 ， 即 ， ∴ ， 由（1）知 ，∴ ， 联立 ，解得 ，即 ， ∴ ， ∴ ， 令 ，得 ，由 ，得 ， 2c 3 2 c a = 2 2 2 23 4 4 4a c a b= = − 2 24b a= 2a b= | | | |OM ON= | | | | | | | | | |PM ON PM OM OP+ = + = | |OP 2 : 2 0l x y a− + = 2 2 2 2 a = 2a = 1b = 2 2 14 x y+ = 2 2 14 y kx x y = + = y ( )2 24 1 4k x+ = 2 2 4 1 x k = ± + 2 2 2 2 2 2 2 4 1| | 1 4 1 4 1 4 1 kMN k k k k   += + − − = + + +  2a = 2 : 4 0l x y− + = 4 0 y kx x y =  − + = 4 1 4 1 x k ky k  = −  = − 4 4,1 1 kP k k    − −  2 2 2 2 4 4 4 1| | 1 1 ( 1) k kOP k k k +   = + =   − −    − ( ) 2 22 2 2 22 2 4 1 4 2 1 8 3( 1)| | 4 1 | | 2 1 2 14 1 4 1 k k k kkOP k MN k k k kk k + − + + −− += = =− + − ++ + 2 8 34 ( 1) k k −= + − 8 3k t− = 3 8 tk += 3 8k ≥ 0t ≥ ∴ ， 当 时， ，此时， ； 当 时， ， ∵ ，当且仅当 时等号成立， ∴ ，此时 ． 综上可知， 的取值范围是 ． 21．（本小题满分 12 分） 【答案】（1）由题意， 的定义域为 ， 且 ， 由 得 ，由 得 ， ∴ 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， ∴ 的极小值为 ， 令 ，得 ， ∵ ，∴ ，∴ ． （2）当 时， ， 设 ，则 ， 则 ， 设 ， 则 ， 22 2 8 3 64 ( 1) 10 253 18 k t t k t tt − = =− − ++ −   0t = 2 64 010 25 t t t =− + | | 4 0 2| | OP MN = + = 0t ≠ 2 64 64 2510 25 10 t t t t t =− + + − 25 10 2 25 10 0t t + − ≥ − = 5t = 64 (0, )25 10t t ∈ +∞ + − | | (2, )| | OP MN ∈ +∞ | | | | OP MN [2, )+∞ 2 2( ) 3 lnf x x ax a x= + − (0, )+∞ 2 2 2 1 3 2 3 ( )(2 3 )( ) 2 ( 0)a x ax a x a x af x x a xx x x + − − +′ = + − = = > ( ) 0f x′ < 0 x a< < ( ) 0f x′ > x a> ( )f x ( )0,a ( ),a +∞ ( )f x 2 2 2 2 2( ) 3 ln 2 3 lnf a a a a a a a a= + − = − 2 2 22 3 ln 2a a a a− = 23 ln 0a a = 0a > ln 0a = 1a = 2a = 2( ) 2 12lnf x x x x= + − ( ) ( ) ( 6)lng x f x x x= − − 2 2( ) 2 12ln ( 6)ln 2 6ln lng x x x x x x x x x x x= + − − − = + − − 26 2 ln 6( ) 2 2 ln 1 ( 0)x x x xg x x x xx x + − −′ = + − − − = > 2( ) 2 ln 6( 0)h x x x x x x= + − − > ( ) 4 1 (ln 1) 4 lnh x x x x x′ = + − + = − 设 ，则 ， 由 可得 ，由 可得 ， 即 在 上单调递减，在 上单调递增， ∴ ，即 ， ∴ 在 上单调递增． ∵ ， ， ∴ 存在唯一的零点 ，且 ． 由 ，得 ， 当 时， ，即 ， 当 时， ，即 ， ∴ ， 易得 在区间 上单调递减， 故 ， ∴ ，即 ． （解法二）当 时， ， 要证 只要证 ， 即证 ， ( ) 4 lnm x x x= − 1 4 1( ) 4 ( 0)xm x xx x −′ = − = > ( ) 0m x′ < 10 4x< < ( ) 0m x′ > 1 4x > ( )m x 10, 4      1 ,4  +∞   1 1( ) 1 ln 1 2ln 2 04 4m x m ≥ = − = + >   ( ) 0h x′ > ( )h x ( )0,+∞ (1) 3 0h = − < (2) 4 2ln 2 0h = − > ( )h x 0x 0 (1,2)x ∈ ( ) 2 0 0 0 0 02 ln 6 0h x x x x x= + − − = 0 0 0 6ln 2 1x x x = − + ( )00,x x∈ ( ) 0h x < ( ) 0g x′ < ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0h x > ( ) 0g x′ > ( ) 2 0 0 0 0 0 0( ) 2 6ln lng x g x x x x x x≥ = + − − ( )2 0 0 0 0 0 62 6 2 1x x x x x  = + − + − +   2 0 0 0 3611x x x = − − + ( )g x ( )1,2 ( ) 2 0 362 11 2 82g x > − − × + = − ( ) ( ) ( 6)ln 8g x f x x x= − − > − ( ) ( 6)ln 8f x x x> − − 2a = 2( ) 2 12lnf x x x x= + − ( ) ( 6)ln 8f x x x> − − 2 2 12ln ( 6)ln 8x x x x x+ − > − − 2 2 8 ( 6)lnx x x x+ + > + ∵ ，∴只要证 ， 下面证明 ①，且 ②， ∵ ， ∴ ， 结合 ，得 ， 即当 时，①成立； 令 ，则 ， 当 时， ，当 时， ， ∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ∴函数 的最小值为 ， 又 ， ∴ ， ∴②成立． 综合①②可知 ， ∴ 成立． 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 【解析】（1）由 ，得 ， 故曲线 C 的普通方程为 因为直线 的极坐标方程为 ， 所以直线的直角坐标方程为 所以圆心 C 到直线 的距离为 ， 0x > 2 2 8 ln6 x x xx + + >+ 2 2 8 6 2 x x x x + + >+ ln2 x x> 2 22 16 ( 1) 15 15 0x x x− + = − + ≥ > 2 22 4 16 6x x x x+ + > + 0x > 2 2 8 6 2 x x x x + + >+ 0x > ( ) ln2 xh x = − 1 1 2( ) 2 2 xh x x x −′ = − = 0 2x< < ( ) 0h x′ < 2x > ( ) 0h x > ( )h x ( )0,2 ( )2,+∞ ( )h x 2(2) ln 2 1 ln 22h = − = − 1 ln 2 1 ln 0e− > − = ( ) 0h x > 2 2 8 ln6 2 x x x xx + + > >+ ( ) ( 6)ln 8f x x x> − − 22cos 2sin cos x y ϕ ϕ ϕ  =  = 1 cos2 sin 2 x y ϕ ϕ − =  = 2 2( 1) 1x y− + = l ( )6 πθ ρ= ∈R 3 0x y− = l |1 0 | 1 21 3 − = + 所以直线 被圆 C 截得的弦长为 ． （2）易知点 在直线 上，直线 的参数方程为 （ 为参数）， 代入曲线 C 可得 ， 即 ， 设 A，B 对应的参数分别为 ， ， 则 ， ， ∴ ． 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 【解析】（1）由题意，得 ， ∴ 在区间 上单调递减，在区间 单调递增， ∴ 的最小值 ． （2）（解法一）由柯西不等式可得 ， 由（1）得 ，∴ ， ∴ ， ∴ ，当且仅当 且 ，即 时等号成立． （解法二）由（1）得 ，∴ ， 两边平方，得 ， ∵ ， l 212 1 32  − =   ( )3, 1P − − l l 33 2 11 2 x t y t  = − +  = − + t 2 23 13 1 1 12 2t t    − + − + − + =        2 ( 3 4) 2 3 4 0t t− + + + = 1t 2t 1 2 3 4t t+ = + 1 2 2 3 4t t = + 1 1 | | | | 3 4 5 2 3 | | | | | | | | 22 3 4 PA PB PA PB PA PB + + −+ = = =⋅ + 3 3, 2 ( ) | 1| | 2 4 | 5, 2 1 3 3, 1 x x f x x x x x x x − − < − = − + + = + − ≤ ≤  + > ( )f x ( ), 2−∞ − [ )2,− +∞ ( )f x ( 2) 2 5 3m f= − = − + = ( )( )2 2 2 2 22 1 (2 )a b a b+ + ≥ + 3m = 2 3b+ = ( )2 25 9a b+ ≥ 2 2 9 5a b+ ≥ 2 a b= 2 3a b+ = 6 5 3 5 a b  =  = 3m = 2 3a b+ = 2 24 4 9a b ab+ + = 2 24 2 (2 ) 4ab a b a b= ⋅ ⋅ ≤ + ∴ ， ∴ ，当且仅当 且 ，即 时等号成立． ( ) ( )2 2 2 2 2 29 4 4 5a b a b a b≤ + + + = + 2 2 9 5a b+ ≥ 2 a b= 2 3a b+ = 6 5 3 5 a b  =  =