绝密★考试结束前
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟返校联考
高三数学学科 试题
考生须知：
1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题卷．
参考公式：
如果事件 ， 互斥，那么
．
如果事件 ， 相互独立，那么
．
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，
那么 次独立重复试验中事件
恰好发生 次的概率
．
棱柱的体积公式
，
其中 表示棱柱的底面积， 表示棱柱的高．
棱锥的体积公式
其中 表示棱锥的底面积， 表示棱锥的高．
棱台的体积公式
，
其中 ， 分别表示棱台的上、下底面积， 表示
棱台的高．
球的表面积公式 ，
其中 表示球的半径．
球的体积公式 ，
其中 表示球的半径．
选择题部分
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知 ，若 （ 为虚数单位）为纯虚数，则 （ ）
A B
( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = +
A B
( ) ( ) ( )P A B P A P B⋅ = ⋅
A p
n A
k
( ) (1 ) ( 0,1,2, , )k k n k
n nP k C p p k n−= − = ⋅⋅⋅
V Sh=
S h
1
3V Sh=
S h
( )1 1 2 2
1
3V h S S S S= + +
1S 2S h
24S Rπ=
R
34
3V Rπ=
R
{ 1 3}A x x= − < 0b > 1a b+ =
b aa b≥ b aa b≤ 1
2
a ba b+ > 1a ba b+ <
( 1,3)A − (2, 1)B − l l
2
0 1 2(2 1)n n
nx a a x a x a x− = + + +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
3n = 1 2k≤ ≤ 1 1k k ka a a− ++ ≤
3n = 1 2k≤ ≤ 1 1k k ka a a− ++ ≤
4n = 1 3k≤ ≤ 1 1k k ka a a− ++ >
4n = 1 3k≤ ≤ 1 1k k ka a a− ++ >
3 2( ) ( 0)f x ax bx cx d a= + + + ≠
a c b d+ > + ac bd> 3 2a b> 2 2 29 4a c b+ >
10．设集合 ， 中至少有两个元素，且 ， 满足：①对任意 ，若 ，则 ②对任意
，若 ，则 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 有 2 个元素，则 有 4 个元素
B．若 有 2 个元素，则 有 3 个元素
C．存在 3 个元素的集合 ，满足 有 5 个元素
D．存在 3 个元素的集合 ，满足 有 4 个元素
非选择题部分
二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分）
11．已知 ．若 ，则 ________，若 ，则 ________．
12．已知 ，则 ________， ________．
13．已知某几何体的三视图如图所示（正视图为等腰三角形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形），则
该几何体的最短棱长为________，最长棱长为________．
14．若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是________， 的最小值是
________．
15．已知点 ，直线 与圆 交于 ， 两点，若 的垂心恰为原点 ，则直线
的方程是________．
16．盒中有 4 个质地，形状完全相同的小球，其中 1 个红球，1 个绿球，2 个黄球；现从盒中随机取球，每
次取 1 个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中黄球在第 次被首次取到（ 表示黄球未被取
到），则 ________．
17．已知边长为 2 的等边 ，点 、 分别为边 、 所在直线上的点，且满足 ，则
的取值范围是________．
S T S T ,x y S∈ x y≠ x y T+ ∈
,x y T∈ x y≠ x y S− ∈
S S T
S S T
S S T
S S T
log lg100a b = 10b = a = 2b a= + a =
2sin cos 1θ θ= − sinθ = sin 2
θ =
x y 3 1 0
3 0
x y
x y
+ − ≤
− − ≥ 3z y x= − 2 2x y+
( 3,1)A l 2 2 4x y+ = M N AMN△ O l
ξ 0ξ =
( )E ξ =
ABC△ M N AB AC 1MN =
BN CM⋅
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）
18．（本题满分 14 分）
在锐角 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ．已知 ， ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）求 的取值范围．
19．（本题满分 15 分）
如图，在三棱台 中，平面 平面 ， ， ，
．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
20．（本题满分 15 分）
已知数列 、 、 满足 ， ， ．
（Ⅰ）若 、 为等比数列，求数列 、 的通项公式；
（Ⅱ）若 为等差数列，公差 ，证明： ， ，
．
21．（本题满分 15 分）
如图，已知椭圆 ，且满足 ，抛物线 ，点 是椭
圆 与抛物线 的交点，过点 的直线 交椭圆 于点 ，交 轴于点 ．
（Ⅰ）若点 ，求椭圆 及抛物线 的方程；
（Ⅱ）若椭圆 的离心率为 ，点 的纵坐标记为 ，若存在直线 ，使 为线段 的中点，求
ABC△ A B C a b c cos 3a B = sin 3b A =
B
2 2sin cosA C+
ABC DEF− ACFD ⊥ DBC 60ACB∠ = ° 45ACD∠ = °
2AC = AD
AD BC⊥
2AD BC= DE DBC
{ }na { }nb { }nc 1 1 1 1a b c= = = 1n n nc a a+= − ( )*1
2
n
n n
n
bc c n Nb
+
+ = ⋅ ∈
{ }na { }nb { }na { }nb
{ }nc 0d >
2 3 3
1 1 1 1 1
3n nb b b a a n
+ +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ < +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+− −
*n N∈
3n ≥
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 4ab = 2
2 : 2 ( 0)C y px p= > A
1C 2C A l 1C B x M
(2,1)A 1C 2C
1C 3
2 A t l A BM t
的最大值．
22．（本题满分 15 分）
若函数 ， 既有极大值点 ，又有极小值点 ．
（Ⅰ）求实数 的取值范围；
（Ⅱ）求证： ．
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高三数学学科参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A A C C C B B
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．
11． ，2； 12．0，0； 13．2， ；
14． ， ； 15． ；
16． 17． ．
试题详解
1．解析：选 B．
2．解析：选 C．
3．解析：由题意得： ，
由 ，得 ，故 ，选 D．
4．解析：由已知得： ，故 ，∴ ，选 A．
21( ) (1 ) ln2F x x a x x x b= + − − + ( , )a b R∈ 1x 2x
a
( ) ( ) 2
1 2
1 ( 1) 2 14F x F x a b+ < − − + +
10 2 3
4− 9
2 3 2 0x y+ + =
5
6
3 13,2 2
−
( ) ( ) ( )2
3 1 51 1 1 4a a a+ = + ⋅ + =
( ) 2
3 11 1 0a a q+ = + ⋅ > 3 1 2a + = 3 1a =
3a
b
= 3
3
b
a
=
2 2 31 3
be a
= + =
5．解析：若空间中的三条不同直线 ， ， 两两垂直，
则平移后一定出现其中一条线垂直于另外两条线所在平面的情况，
故 ， ， 一定不共面．反之若 ， ， 不共面，可以两两成 60 度角，不一定两两垂直，
故选 A．
6．解法一：排除法：
易知 ， ，当 时， ，排除 A 选项；
当 时， ，排除 选项，
取 ，得 排除 D 选项．故选 C．
解法二：由已知得： ， ，
故： ， ，又 ，
∴ ，∴ ．
7．解析：分别以 ， 为圆心，半径分别是 2 和 3 画圆，两园位置关系是外切，公切线有三
条，故选 C．
8．解析：当 时， ， ，A 错；
，B 错；
当 时， ， ，C 对；
，D 错；
答案：选 C．
另解： ，系数必为正负交替，若记最小系数为 ，
若 ，则 ，且 ， ，
故 ．
故选：C．
9．解析：显然 ，又
，（1）正确；
，又 ，故（4）正确；
l m n
l m n l m n
0 1a< < 0 1b< < a b< b a aa a b< <
a b> b a aa a b> > B
1
4a b= = 2 1a ba b+ = >
0 1a< < 0 1b< <
aa a> bb b>
2
2 2
a b a b + +≤
1
2a b+ ≥ 1
2
a ba b a b+ > + ≥
( 1,3)A − (2, 1)B −
3n = 3 2 3(2 1) 1 6 12 8x x x x− = − + − + 1 2 3a a a+ <
0 1 2a a a+ >
4n = 4 2 3 4(2 1) 1 8 24 32 16x x x x x− = − + − + 1 2 3a a a+ >
0 1 2a a a+ >
2
0 1 2(2 1)n n
nx a a x a x a x− = + + +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
0ka
3n ≥ 0 3k ≥
0 0 2 0k ka a −< <
0 1 0ka − >
0 0 02 1k k ka a a− −+ >
0a < (0) 0 0f c′ > ⇒ >
( 1) 0 0f a b c d a c b d− < ⇒ − + − + < ⇒ + > +
2 2 2( 1) 0 3 2 9 6 4f a c b a c ac b′ − = ⇒ + = ⇒ + + = 0ac 21 03
b
a
− > 0a < 3 2a b<
S { },S a b=
S { },S a a= −
0 T∈ T
m T∈ T
m S− ∈ m a= ± { }0,T a= − { }0,T a=
T
{ }0, ,T m n= m n m− n− m n− n m S− ∈
m 0n ≠ m m n≠ − n n m≠ −
m n≠ S
{ }0, ,S T a a= −
S { }, ,S a b c= a b c< <
{ }, ,a b b c c a T+ + + ⊆
c a− c b− b a− a c− b c− a b S− ∈
S
S { }, ,S a b c=
lg100 2= 10b = 10a = 2b a= + 2a =
2sin cos 1 0 cos 1θ θ θ= − ≥ ⇒ ≤
cos 1θ = sin 0θ = 2kθ π= k Z∈ sin 02
θ =
2 3
14．解析： ， ．
15．解析： ；
，
∵ 的垂心恰为原点 ，∴直线 的斜率 ，
直线 与直线 的交点记为 ，结合圆的垂径定理知 为等边三角形，
故 ，得 ，
故直线 的方程为： ．
16．解析： 的可能取值为 0，1，2，
， ，
故 ；或直接法：
0 1 2
．
17．解析：设 ， ，则 ，
又 ，所以，
化简得： ，
另一方面， ，
因为， ，
令 ，则 ，
，
4− 9
2
3 2 0x y+ + =
1
3OAk =
AMN△ O l 3k = −
OA l H AMN△
3
2AH AO= 3 1,2 2H
− −
l 3 2 0x y+ + =
ξ
1 1 1 1( 0) 4 4 3 3P ξ = = + ⋅ = 1 1 1 2 1 1( 2) 4 3 4 3 2 6P ξ = = ⋅ + ⋅ ⋅ =
1( 1) 1 ( 0) ( 2) 2P P Pξ ξ ξ= = − = − = =
2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1( 1) 1 14 3 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 2P ξ = = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =
ξ
P 1
3
1
2
1
6
1 1 1 5( ) 0 1 23 2 6 6E ξ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
AN ACλ= AM ABµ= MN AC ABλ µ= −
1MN = 2 2( ) 1MN AC ABλ µ= − =
2 2 1
4
λ µ λ µ+ − ⋅ =
( ) ( ) 2 4( ) 2BN CM AC AB AB ACλ µ λµ λ µ⋅ = − ⋅ − = − + +
2 2 1
4
λ µ λ µ+ − ⋅ =
x y
x y
λ
µ
= +
= −
2 2 13 4x y+ =
( )2 22 4( ) 2 2 8 2BN CM x y xλµ λ µ⋅ = − + + = − − +
将 代入得： ，对称轴 ，
由 ，
进一步知： 在 上单调递减，
所以， 的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．解：（Ⅰ）由正弦定理知： ①
又由已知条件： ②
由①②知： ，∴ ．
（Ⅱ）
．
∵ 是锐角三角形，
∴ ，∴ ．
∴ 的取值范围是 ，
即 的取值范围是 ．
方法二：
2
2 1
12 3
xy = − 28 1183 6BN CM x x⋅ = − + 3
2x =
2
2 1 1 1012 3 2 2
xy x= − ≥ ⇒ − ≤ ≤
28 1183 6BN CM x x⋅ = − + 1 1
2 2x− ≤ ≤
BN CM⋅ 3 13,2 2
−
sin sin 3b A a B= =
cos 3a B =
tan 3B =
3B
π=
2 2 1 cos2 1 cos2sin cos 2 2
A CA C
− ++ = +
1 1cos2 cos2 12 2C A= − +
1 1cos2 cos 2 12 2 3C C
ππ = − − − +
1 1 2cos2 cos 2 12 2 3C C
π = − + +
3 3sin 2 cos2 14 4C C= + +
3 sin 2 12 3C
π = + +
ABC△
6 2C
π π< < 2 423 3 3C
π π π< + <
3 sin 2 12 3C
π + +
1 7,4 4
2 2sin cosA C+ 1 7,4 4
2 2 2 2 2sin cos sin cos 3A C A Aπ + = + −
．
∵ 是锐角三角形，∴ ，
得到 ．
∴ 的范围为 ，
即 的取值范围是 ．
19．（Ⅰ）证明：设 ，则 ，又 ，
由余弦定理知： ．
由勾股定理的逆定理知： ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ．
（Ⅱ）方法一：
解：直线 与平面 所成角即为直线 与平面 所成角，
由（Ⅰ）知∴ 平面 ，∴ 为所求角．
2
2 2 2sin cos cos sin sin3 3A A Aπ π = + +
2
2 1 3sin cos sin2 2A A A
= + − +
2 2 21 3 3sin cos sin sin cos4 4 2A A A A A= + + −
23 3 1sin sin cos2 2 4A A A= − +
3 (1 cos2 ) 3 1 1sin 22 2 2 2 4
A A
−= ⋅ − ⋅ +
3 3 1cos2 sin 2 12 2 2A A
= − + +
3 sin 2 12 3A
π = − + +
ABC△
6 2A
π π< <
2 423 3 3A
π π π< + <
3 sin 2 12 3A
π − + +
1 7,4 4
2 2sin cosA C+ 1 7,4 4
2AD a= 2AC a= 45ACD∠ = °
2DC a=
AD DC⊥
ACFD ⊥ DBC ACFD DBC DC=
AD ⊂ ACFD AD ⊥ DBC
BC ⊂ DBC AD BC⊥
DE DBC AB DBC
AD ⊥ DBC ABD∠
，则 ，
又 ， ，由余弦定理知： ，
∴在直角三角形 中， ，
（Ⅱ）方法二：
解：令 ，则 ，
又 ， ，由余弦定理知： ，
∴ ，∴ ，
∴ 平面 ，∴ ，
∴ ，
如图，以 点为原点，建立空间直角坐标系
， ， ，
设点 为 ，则
得到： ．
∴ ，∴ ，
设平面 的法向量为
2AD a= BC a=
2AC a= 60ACB∠ = ° 3AB a=
ADB 2 6sin 33
AD aABD AB a
∠ = = =
2AD a= BC a=
2AC a= 60ACB∠ = ° 3AB a=
2 2 2AB BC AC+ = AB BC⊥
AD ⊥ DBC AD BD⊥
2 2BD AB AD a= − =
A
(0,2 ,0)C a 3 3, ,02 2B a a
(0,0,0)A
D ( ), ,x y z
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
2
( 2 ) 2
3 3
2 2
AD x y z a
AC x y a z a
DB x a y a z a
= + + =
= + − + =
= − + − + =
3 6, ,3 3D a a a
3 1, ,02 2CB a a
= −
3 6, ,3 3CD a a a
= −
BCD ( )1 1 1, ,n x y z=
，
得到 ，又 ，
∴ ．
（Ⅱ）方法三：
令 ，则 ，
又 ， ，由余弦定理知： ，
∴ ，∴ ，
∵ 平面 ，∴ ， ，
∴ ，
∵ ， 且 ，
∴ 平面 ，故点 在平面 上的射影在直线 上．
如图以 点为原点，建立空间直角坐标系
， ， ， ，
∴ ，∴ ，
设平面 的法向量为 ，
，
得到 ，又 ，
∴ ．
1 1
1 1 1
3 1 02 2
3 6 03 3
CB ax ay
n CD ax az
n
ay
⋅ = − =
⋅ = − + =
(1, 3, 2)n = 3 3, ,02 2AB a a
=
| | 2 3 6sin 3| || | 3 2
AB n a
AB n a
θ ⋅= = =
2AD a= BC a=
2AC a= 60ACB∠ = ° 3AB a=
2 2 2AB BC AC+ = AB BC⊥
AD ⊥ DBC AD BD⊥ AD BC⊥
2 2BD AB AD a= − =
AB BC⊥ AD BC⊥ AB AD A=
BC ⊥ ABED D ABC AB
A
(0,2 ,0)C a 3 3, ,02 2B a a
(0,0,0)A 3 6, ,3 3D a a a
3 1, ,02 2CB a a
= −
3 6, ,3 3CD a a a
= −
BCD ( )1 1 1, ,n x y z=
1 1
1 1 1
3 1 02 2
3 6 03 3
CB ax ay
n CD ax az
n
ay
⋅ = − =
⋅ = − + =
(1, 3, 2)n = 3 3, ,02 2AB a a
=
| | 2 3 6sin 3| || | 3 2
AB n a
AB n a
θ ⋅= = =
20．解：（Ⅰ）∵ ，
令 ，∴ ，∴ ，
由 为等比数列，∴ ，
∴ ，
令 ，∴ ，
令 ，∴ ，
∵ ，令 ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
（Ⅱ）证明： ，∴ ，
令 ，∴ ；
令 ，∴ ；令 ，∴ ，
将以上各式相乘，得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ 公差 ，∴ ．
∴ ，
∵ ，且 ，
1n n nc a a+= −
1n = 1 2 1c a a= − 2 2a =
{ }na 2
1
1
2aq a
= =
1 1
1 1 2n n
na a q − −= =
2n = 2 3 2 4 2 2c a a= − = − =
3n = 3 4 3 8 4 4c a a= − = − =
1
2
n
n n
n
bc cb
+
+ = ⋅ 1n =
2
3 1
1
bc cb
= ⋅ 32
2
1 1
4cb qb c
= = =
1 1
1 2 4n n
nb b q − −= =
1
2
n
n n
n
bc cb
+
+ = ⋅ 1 2n n
n n
b c
b c
+ +=
1n = 32
1 1
cb
b c
=
2n = 3 4
2 2
b c
b c
= 1n n= − 1
1 1
n n
n n
b c
b c
+
− −
=
1
2
n n
n
c cb c
+=
2 2
1 1
1 1 1
n n n n n
c c
b c c d c c+ +
= = −
2
2 3 2 1
1 1 1 1 1
n n
c
b b b d c c +
+ +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ = −
1 1c = 0d > 1 0nc + >
2 2
2 3 2 1 2
1 1 1 1 1 1 1
n n
c c
b b b d c c d c d+
+ +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ = − < ⋅ =
1n n nc a a+= − 1 ( 1)nc n d= + −
∴ ，
进一步得： ，
显然 时， ，
∴ ，
∴ ， 时， ．
21．解：（1）点 在抛物线 上，
代入得 ， ，故抛物线 ．
点 在椭圆 上，故 ，
又 ， ，故： ， ，
椭圆 的方程为： ．
（2）解法 1：椭圆 的离心率为 ，故 ，
又 ，故 ．
又 ， ，故： ， ，
椭圆 的方程为： ．
由题意知点 ，又 为线段 的中点，
设 ，则 ，
又点 、 在椭圆 上，故 （1）， （2），
（1）×4-（2）得： ，
( ) ( )1 2 1 1n n na a a a a a−= − +⋅⋅⋅+ − +
( 2)( 1)
2n
n na n d
− −= +
3n ≥ 0na n− >
3 3
1 1 1 1
3 3na a n a d
+⋅⋅⋅+ ≥ =− − −
3n ≥ n N ∗∈
2 3 3
1 1 1 1 1
3n nb b b a a n
+ +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ < +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+− −
(2,1)A 2
2 : 2 ( 0)C y px p= >
1 4p= 1
4p = 2
2 : 2
xC y =
(2,1)A 1C 2 2
4 1 1a b
+ =
4ab = 0a b> > 2 2a = 2b =
1C
2 2
18 2
x y+ =
1C 3
2
3
2
c
a
=
2
21c b
a a
= − 1
2
b
a
=
4ab = 0a b> > 2 2a = 2b =
1C
2 2
18 2
x y+ =
2
,2
tA tp
A BM
( ,0)M m
2
,2tB m tp
−
A B 1C
4 2
2 132 2
t t
p
+ =
( )22 2
2
4 18 2
t mp t
p
−
+ =
2 2 2
2
2 38
pt m m p
p
− =
即 ，
关于 得方程有解，故 ，解得： ，
故， ，进一步得： ．
的最大值为 ，当 ， 时取到．
（2）解法 2：椭圆 的离心率为 ，故 ，
又 ，故 ．
又 ， ，故： ， ，
椭圆 的方程为： ．
设 ，直线 的方程为： ，
联立椭圆 方程得： ，代入化简得：
，
， ，
，
由于 为线段 的中点，且点 的纵坐标为 ，
故 ，
进一步得： ， ，
消 得： ，代入 得： ，
2 2 2 22 24 0m p mpt p− + =
m 2 4 4Δ 4 96 0p t p= − ≥
4
2
24
tp ≤
4 2 2
2
24
32 2 32 2
t t t
p
+ ≥ + 2 1
2t ≤
t 2
2
6
24p = 2 6m =
1C 3
2
3
2
c
a
=
2
21c b
a a
= − 1
2
b
a
=
4ab = 0a b> > 2 2a = 2b =
1C
2 2
18 2
x y+ =
( ,0)M m l x y mλ= +
1C 2 2
18 2
x y m
x y
λ= + + =
( )2 2 24 2 8 0y m y mλ λ+ + + − =
2
2
4A B
my y
λ
λ+ = − +
2
2
8
4A B
my y λ
−⋅ = +
( )( )2 2 2 2 2 2Δ 4 4 4 8 64 32 16 0m m mλ λ λ= − + − = + − >
A BM A t
2 2B Ay y t= =
2
23 4
mt
λ
λ= − +
2
2
2
82 4
mt λ
−= +
t
( )2
2
2
72 4
36m
λ
λ
+
= +
2
2
2
82 4
mt λ
−= + ( )( )
2
2
2 2
642
36 4
t
λ
λ λ
=
+ +
又 ，
所以 的最大值为 ，
当 ， 时， 取到最大值．
（第二问如果直接默认椭圆方程为 扣 2 分）
22．解析：（1）
在 递减，在 递增，
且当 时， ，当 时， ，
∴ 时 有两个极值点，于是 ．
（2） ，
，
，
又
，
∴
( )( )
2
2 2 2
2
64 64 64 1144 40 2436 4 40
λ
λ λ λ λ
= ≤ =++ + + +
2 1
2t t≤ ⇒ 2
2
12λ = 2 6m = t
2 2
18 2
x y+ =
21( ) (1 ) ln ( ) ln2F x x a x x x b F x x x a= + − − + ⇒ = − −′
1 1( ) 1 xF x x x
−′′⇒ = − =
( )F x′⇒ (0,1) (1, )+∞
0x → ( )F x ∞′ → + x ∞→ + ( )F x ∞′ → +
(1) 0F′ < ( )F x 1a >
( ) ( ) 2
1 2
1 ( 1) 2 14F x F x a b+ < − − + +
1 1ln 0x x a− − = 2 2ln 0x x a− − =
( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
1 (1 ) ln ln 22 x x a x x x x x x b⇐ + + − + − + +
21 ( 1) 2 14 a b< − − + +
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
1 1(1 ) ( 1) 12 4x x a x x x ax x ax a⇐ + + − + − − + − < − − +
( ) ( )2 2 2
1 2 1 2
1 1 ( 1) 12 4x x x x a⇐ − + + + < − − +
( ) ( )2 2 2
1 2 1 2( 1) 2 4 4a x x x x⇐ − < + − + +
( ) ( )2 22
1 2 1 2( 1) 2a x x x x⇐ − < + − + −
1 1 2 2 1 2 1 2ln 0, ln 0 2 ln ln 2 2x x a x x a x x x x a− − = − − = ⇒ + − = + + −
1 2 1 2ln lnx x x x− = −
( ) ( )2 22 2
1 2 1 2( 1) 2 ( 1)a x x x x a− < + − + − ⇔ −
[ ] ( )22
1 2 1 2ln ln 2( 1) ln lnx x a x x< + + − + −
∴
，
接下来证明： ，
由于 ，
又 ，∴ ，
∴ 恒成立，得证．
法二：
由（1）知： ， 在 递减， 递增，
， ，
故 ，
又 ， 递增，
故
，
令 ，接下来证明： ，
∵ ，∴ ，
∴ 在 上递减，
故 ，得证．
( ) ( )2 22
1 2 1 2( 1) 2a x x x x− + + −< −
2 2 2
1 2 1 23( 1) 4( 1)ln 2 0ln 2lna a x x x x⇐ − + − + >+
2 2 2
1 2 1 23( 1) 4( 1)ln 2ln 2ln 0a a x x x x− + − + + >
( ) ( )2 2 2
1 2 1 2Δ 16 ln ln 24 ln lnx x x x= + − +
1 20 1x x< < < ( )2 2
1 2 1 2Δ 32ln ln 8 ln ln 0x x x x= − + <
2 2 2
1 2 1 23( 1) 4( 1)ln 2ln 2ln 0a a x x x x− − − + + >
( ) ( )2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 ( 1) 1 ( 1)2 4x x x x a a⇐ − + + + < − − + ⇐ −
( ) ( )2 2
1 2 1 22 4 4x x x x< + − + +
( ) ( ) ( )2 22
1 2 1 2 1 2( 1) 4 4a x x x x x x⇐ − < + − + + + −
( ) ( )2 2
1 2 1 22x x x x= + − + −
1 2 1x x a⇐ + > +
1 20 1x x< < < ( )F x′ (0,1) (1, )+∞
1 1ln 0x x a− − = 2 2ln 0x x a− − =
1 2 1 2 2 11 ln 1 1 ln 1x x a a x x a x x+ > + ⇐ + + > + ⇐ > − >
( ) ( )1 2F x F x′ ′= ( )(1, )F x′ +∞
( ) ( ) ( )2 1 1 2 11 ln 1 lnx x F x F x F x′ ′ ′> − ⇐ = > −
( ) ( )1 1 1 1 1 1ln 1 ln ln 1 ln ln 1 ln 1x x a x x a x x⇐ − − > − − − − ⇐ − > −
( ) ( )1 1 1ln 1 ln 1g x x x= + − − ( )1 0g x >
( ) ( )1 1 1ln 1 ln 1g x x x= + − − ( ) 1 1
1
1
1 11 ln
01 ln
x xg x x
+ −
′ = =
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