第 36 讲 空间向量的应用
一、 考情分析
1.理解直线的方向向量及平面的法向量；
2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；
3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理；
4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；
5.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题；
6.并能描述解决夹角和距离的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
二、 知识梳理
1.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：给定一个定点 A 和一个向量 a，再任给一个实数 t，以 A 为起点作向量AP→
＝
ta，则此向量方程叫做直线 l 的参数方程.向量 a 称为该直线的方向向量.
(2)平面的法向量：直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的法向量.
2.空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2直线 l1，l2 的方向向量分
别为 n1，n2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0
l∥α n⊥m⇔n·m＝0直线 l 的方向向量为 n，
平面 α 的法向量为 m l⊥α n∥m⇔n＝λm
α∥β n∥m⇔n＝λm平面 α，β 的法向量分别
为 n，m α⊥β n⊥m⇔n·m＝0
3.异面直线所成的角
设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2 的方向向量，则
a 与 b 的夹角 β l1 与 l2 所成的角 θ
范围 (0，π) (0，π
2]
求法 cos β＝ a·b
|a||b| cos θ＝|cos β|＝|a· b|
|a||b|
4.求直线与平面所成的角设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos
〈a，n〉|＝|a· n|
|a||n|.
5.求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD 是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝__〈AB→
，
CD→
〉.
(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满
足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角).
6.点到平面的距离
用向量方法求点 B 到平面距离基本思路：确定平面法向量， 在平面内取一点 A，求向量AB→
到法
向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面 α 的法向量为 n，点 B 到平面 α
的距离 d＝
|AB→
· n|
|n| .
[微点提醒]
1.平面的法向量是非零向量且不唯一.
2.建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系.
3.线面角 θ 的正弦值等于直线的方向向量 a 与平面的法向量 n 所成角的余弦值的绝对值，即 sin θ
＝|cos〈a，n〉|，不要误记为 cos θ＝|cos〈a，n〉|.
4.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面 α，β 的法向
量 n1，n2 时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量 n1，n2 的夹角
是相等，还是互补.
三、 经典例题考点一 利用空间向量证明平行问题
【例 1】 如图，在四面体 ABCD 中，AD⊥平面 BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2 2，M 是 AD
的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ＝3QC.
证明：PQ∥平面 BCD.
【解析】证明 法一 如图，取 BD 的中点 O，以 O 为原点，OD，OP 所在射线分别为 y，z 轴
的正半轴，建立空间直角坐标系 O－xyz.
由题意知，A(0，2，2)，B(0，－ 2，0)，D(0，2，0).
设点 C 的坐标为(x0，y0，0).
因为AQ→
＝3QC→
，
所以 Q(3
4x0， 2
4
＋3
4y0，1
2).
因为 M 为 AD 的中点，故 M(0，2，1).
又 P 为 BM 的中点，故 P(0，0，1
2)，
所以PQ→
＝(3
4x0， 2
4
＋3
4y0，0).
又平面 BCD 的一个法向量为 a＝(0，0，1)，故PQ→
·a＝0.
又 PQ⊄平面 BCD，
所以 PQ∥平面 BCD.
法二 在线段 CD 上取点 F，使得 DF＝3FC，连接 OF，同法一建立空间直角坐标系，写出点
A，B，C 的坐标，设点 C 坐标为(x0，y0，0).∵CF→
＝1
4CD→
，设点 F 坐标为(x，y，0)，则
(x－x0，y－y0，0)＝1
4(－x0， 2－y0，0)，
∴{x＝3
4x0，
y＝ 2
4
＋3
4y0，
∴OF→
＝(3
4x0， 2
4
＋3
4y0，0)
又由法一知PQ→
＝(3
4x0， 2
4
＋3
4y0，0)，
∴OF→
＝PQ→
，∴PQ∥OF.
又 PQ⊄平面 BCD，OF⊂平面 BCD，
∴PQ∥平面 BCD.
规律方法 (1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂
直的关键.
(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的
方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量
平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.
考点二 利用空间向量证明垂直问题
【例 2】 如图所示，已知四棱锥 P－ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC
＝PB＝PC＝2CD，侧面 PBC⊥底面 ABCD.证明：
(1)PA⊥BD；
(2)平面 PAD⊥平面 PAB.
【解析】证明 (1)取 BC 的中点 O，连接 PO，
∵平面 PBC⊥底面 ABCD，△PBC 为等边三角形，
∴PO⊥底面 ABCD.
以 BC 的中点 O 为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴，过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴，OP 所
在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设 CD＝1，则 AB＝BC＝2，PO＝ 3.
∴A(1，－2，0)，B(1，0，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0， 3).
∴BD→
＝(－2，－1，0)，PA→
＝(1，－2，－ 3).
∵BD→
·PA→
＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－ 3)＝0，
∴PA→
⊥BD→
，∴PA⊥BD.
(2)取 PA 的中点 M，连接 DM，则 M(1
2
，－1， 3
2 ).
∵DM→
＝(3
2
，0， 3
2 )，PB→
＝(1，0，－ 3)，
∴DM→
·PB→
＝3
2
×1＋0×0＋ 3
2
×(－ 3)＝0，
∴DM→
⊥PB→
，即 DM⊥PB.
∵DM→
·PA→
＝3
2
×1＋0×(－2)＋ 3
2
×(－ 3)＝0，
∴DM→
⊥PA→
，即 DM⊥PA.
又∵PA∩PB＝P，∴DM⊥平面 PAB.
∵DM⊂平面 PAD，∴平面 PAD⊥平面 PAB.
规律方法 (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将
几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.
(2)用向量证明垂直的方法
①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.
②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.
③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.
考点三 用空间向量解决有关位置关系的探索性问题
角度 1 与平行有关的探索性问题【例 3－1】 如图，棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的所有棱长都等于 2，∠ABC 和∠A1AC 均为 60°，平
面 AA1C1C⊥平面 ABCD.
(1)求证：BD⊥AA1；
(2)在直线 CC1 上是否存在点 P，使 BP∥平面 DA1C1，若存在，求出点 P 的位置，若不存在，请
说明理由.
【解析】(1)证明 设 BD 与 AC 交于点 O，则 BD⊥AC，连接 A1O，在△AA1O 中，AA1＝2，AO＝
1，∠A1AO＝60°，
∴A1O2＝AA21＋AO2－2AA1·AOcos 60°＝3，
∴AO2＋A1O2＝AA21，
∴A1O⊥AO.
由于平面 AA1C1C⊥平面 ABCD，且平面 AA1C1C∩平面 ABCD＝AC，A1O⊂平面 AA1C1C，∴A1O⊥
平面 ABCD.
以 OB，OC，OA1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，－
1，0)，B( 3，0，0)，C(0，1，0)，D(－ 3，0，0)，A1(0，0， 3)，C1(0，2， 3).
由于BD→
＝(－2 3，0，0)，AA1→
＝(0，1， 3)，
AA1→
·BD→
＝0×(－2 3)＋1×0＋ 3×0＝0，
∴BD→
⊥AA1→
，即 BD⊥AA1.
(2)解 假设在直线 CC1 上存在点 P，使 BP∥平面 DA1C1，
设CP→
＝λCC1→
，P(x，y，z)，则(x，y－1，z)＝λ(0，1， 3).
从而有 P(0，1＋λ， 3λ)，BP→
＝(－ 3，1＋λ， 3λ).设 n3⊥平面 DA1C1，则{n3 ⊥ A1C1→
，
n3 ⊥ DA1→
，
又A1C1→
＝(0，2，0)，DA1→
＝( 3，0， 3)，
设 n3＝(x3，y3，z3)，则{2y3＝0，
3x3＋ 3z3＝0，
取 n3＝(1，0，－1)，因为 BP∥平面 DA1C1，
则 n3⊥BP→
，即 n3·BP→
＝－ 3－ 3λ＝0，得 λ＝－1，
即点 P 在 C1C 的延长线上，且 C1C＝CP.
角度 2 与垂直有关的探索性问题
【例 3－2】 如图，正方形 ADEF 所在平面和等腰梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，已知 BC＝
4，AB＝AD＝2.
(1)求证：AC⊥BF；
(2)在线段 BE 上是否存在一点 P，使得平面 PAC⊥平面 BCEF？若存在，求出BP
PE
的值；若不存在，
请说明理由.
【解析】(1)证明 ∵平面 ADEF⊥平面 ABCD，平面 ADEF∩平面 ABCD＝AD，AF⊥AD，AF⊂
平面 ADEF，
∴AF⊥平面 ABCD.
∵AC⊂平面 ABCD，∴AF⊥AC.
过 A 作 AH⊥BC 于 H，则 BH＝1，AH＝ 3，CH＝3，
∴AC＝2 3，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB，
∵AB∩AF＝A，∴AC⊥平面 FAB，
∵BF⊂平面 FAB，∴AC⊥BF.
(2)解 存在.由(1)知，AF，AB，AC 两两垂直.以 A 为坐标原点，AB→
，AC→
，AF→
的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角
坐标系 A－xyz，
则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2 3，0)，E(－1，3，2).
假设在线段 BE 上存在一点 P 满足题意，则易知点 P 不与点 B，E 重合，设BP
PE
＝λ，则 λ>0，P
(2－λ
1＋λ
， 3λ
1＋λ
， 2λ
1＋λ).
设平面 PAC 的法向量为 m＝(x，y，z).
由AP→
＝(2－λ
1＋λ
， 3λ
1＋λ
， 2λ
1＋λ)，AC→
＝(0，2 3，0)，
得{m·AP→
＝2－λ
1＋λx＋ 3λ
1＋λy＋ 2λ
1＋λz＝0，
m·AC→
＝2 3y＝0，
即{y＝0，
z＝λ－2
2λ x，令 x＝1，则 z＝λ－2
2λ
，
所以 m＝(1，0，λ－2
2λ )为平面 PAC 的一个法向量.
同理，可求得 n＝(1， 3
3
，1)为平面 BCEF 的一个法向量.
当 m·n＝0，即 λ＝2
3
时，平面 PAC⊥平面 BCEF，
故存在满足题意的点 P，此时BP
PE
＝2
3.
规律方法 解决立体几何中探索性问题的基本方法
(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理.(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y，z)；②坐标平面内的点其中一个坐标
为 0，如 xOy 面上的点为(x，y，0)；③坐标轴上的点两个坐标为 0，如 z 轴上的点为(0，0，z)；④
直线(线段)AB 上的点 P，可设为AP→
＝λAB→
，表示出点 P 的坐标，或直接利用向量运算.
考点四 用空间向量求异面直线所成的角
【例 4】 (1)已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线
AB1 与 BC1 所成角的余弦值为( )
A. 3
2 B. 15
5 C. 10
5 D. 3
3
(2)在三棱锥 P－ABC 中，△ABC 和△PBC 均为等边三角形，且二面角 P－BC－A 的大小为
120°，则异面直线 PB 和 AC 所成角的余弦值为( )
A.5
8 B.3
4 C.7
8 D.1
4
【答案】 (1)C (2)A
【解析】 (1)法一 以 B 为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.
图(1)
则 B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).
又在△ABC 中，∠ABC＝120°，AB＝2，则 A(－1，3，0).
所以AB1→
＝(1，－ 3，1)，BC1→
＝(1，0，1)，
则 cos〈AB1→
，BC1→
〉＝
AB1→
·BC1→
|AB1→
|·|BC1→
|
＝（1，－ 3，1）·（1，0，1）
5· 2
＝ 2
5· 2
＝ 10
5
，
因此，异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 10
5 .法二 将直三棱柱 ABC－A1B1C1 补形成直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1(如图(2))，连接 AD1，B1D1，
则 AD1∥BC1.
图(2)
则∠B1AD1 为异面直线 AB1 与 BC1 所成的角(或其补角)，易求得 AB1＝ 5，BC1＝AD1＝ 2，B1D1
＝ 3.
由余弦定理得 cos∠B1AD1＝ 10
5 .
(2)法一 取 BC 的中点 O，连接 OP，OA，因为△ABC 和△PBC 均为等边三角形，所以
AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA 就是二面角 P－BC－A 的平面角，即∠POA＝120°，过点 B 作
AC 的平行线交 AO 的延长线于点 D，连接 PD，则∠PBD 或其补角就是异面直线 PB 和 AC 所成
的角.设 AB＝a，则 PB＝BD＝a，PO＝PD＝ 3
2 a，所以 cos ∠PBD＝
a2＋a2－( 3
2 a )2
2 × a × a
＝5
8.
法二 如图，取 BC 的中点 O，连接 OP，OA，因为△ABC 和△PBC 均为等边三角形，所以 AO⊥BC，
PO⊥BC，所以 BC⊥平面 PAO，即平面 PAO⊥平面 ABC.且∠POA 就是其二面角 P－BC－A 的
平面角，即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系如图所示.
设 AB＝2，则 A( 3，0，0)，C(0，－1，0)，B(0，1，0)，P(－ 3
2
，0，3
2)，
所以AC→
＝(－ 3，－1，0)，PB→
＝( 3
2
，1，－3
2)，cos 〈AC→
，PB→
〉＝－5
8
，所以异面直线 PB 与 AC 所成角的余弦值为5
8.
法三 如图所示，取 BC 的中点 O，连接 OP，OA，
因为△ABC 和△PBC 是全等的等边三角形，所以 AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA 就是二面角的
平面角，设 AB＝2，则AC→
＝OC→
－OA→
，PB→
＝OB→
－OP→
，
故AC→
·PB→
＝(OC→
－OA→
)·(OB→
－OP→
)＝－5
2
，
所以 cos 〈AC→
，PB→
〉＝
AC→
·PB→
|AC→
|·|PB→
|
＝－5
8.
即异面直线 PB 与 AC 所成角的余弦值为5
8.
规律方法 1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；
(2)求出两直线的方向向量 v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝|v1·v2|
|v1||v2|
求解.
2.两异面直线所成角的范围是 θ∈(0，π
2]，两向量的夹角 α 的范围是[0，π]，当异面直线的方向
向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，
其补角才是异面直线的夹角.
考点五 用空间向量求线面角
【例 5】如图，在三棱锥 P－ABC 中，AB＝BC＝2 2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O 为 AC 的中点.
(1)证明：PO⊥平面 ABC；
(2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M－PA－C 为 30°，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值.
【解析】(1)证明 因为 AP＝CP＝AC＝4，O 为 AC 的中点，所以 OP⊥AC，且 OP＝2 3.连接 OB，因为 AB＝BC＝ 2
2 AC，
所以 AB2＋BC2＝AC2，
所以△ABC 为等腰直角三角形，
且 OB⊥AC，OB＝1
2AC＝2.
由 OP2＋OB2＝PB2 知 PO⊥OB.
由 OP⊥OB，OP⊥AC 且 OB∩AC＝O，知 PO⊥平面 ABC.
(2)解 如图，以 O 为坐标原点，OB→
的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 O－xyz.
由已知得 O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2 3)，AP→
＝(0，2，
2 3).取平面 PAC 的一个法向量OB→
＝(2，0，0).
设 M(a，2－a，0)(0= =
⋅
1BC 1 1BB DD 10
5
2
2
3
4
2
6
3
6A（1，0，0），M（0， ，1），B（1，1，0），D（0，0，0），
=（-1， ，1）， ，
= ，
所以异面直线 AM 与 BD 所成角的余弦值为 ，
5．平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，则下列命题正确的是（ ）
A． 、 平行 B． 、 垂直 C． 、 重合 D． 、 不垂直
【答案】B
【解析】解：平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，
因为 ，
所以两个平面垂直．
6．若平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为 ，直线 与平面 的夹角为 ，则下列关系式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于直线 与平面 的夹角为 ，
其中 ，
所以 ，
1
2
AM 1
2
( )11 0DB = ，，
cos AM BD ＜ ， ＞
11 22
3 622
− +
= −
⋅
2
6
α (2, 2,2)u = − β (1,2,1)v =
α β α β α β α β
α (2, 2,2)u = − β (1,2,1)v =
2 4 2 0u v = − + =
α n l a l α θ
cos n a
n a
θ ⋅=
⋅
cos
n a
n a
θ
⋅
=
⋅
sin n a
n a
θ ⋅=
⋅
sin
n a
n a
θ
⋅
=
⋅
l α θ
0 θ π≤ <
sin 0θ ≥所以 .
7．直三棱柱 ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E 为 BB′的中点，异面直线 CE 与 所成角的余弦
值是（ ）
A． B． C．- D．
【答案】D
【解析】直三棱柱 中， ， ， 为 的中点．
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，0， ，
，2， ， ，0， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 ．
异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选： ．
sin cos
n a
n a
n a
θ
⋅
= ⋅ =
⋅
C A′
5
5
5
5
− 10
10
10
10
ABC A B C− ′ ′ ′ AC BC AA= = ′ 90ACB∠ = ° E BB′
C CA x CB y CC′ z
2AC BC AA= = ′ = (0C 0) (0E 1) (0C′ 2) (2A 0)
(0CE = 1) (2C A′ = 2)−
CE C A′ θ
| | 2 10cos 10| | | | 5 8
CE C A
CE C A
θ ′= = =
′
∴ CE C A′ 10
10
D8．如图，长方体 中， ， ， 、 、 分别是 、 、 的
中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】如图
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 4AA AB= = 2AD = E F G 1DD AB 1CC
1A E GF
10
5
2
2
15
5
( ) ( ) ( ) ( )1 2,0,4 0,0,2 , 2,2,0 , 0,4,2A E F G，所以
所以异面直线 与 所成角的余弦值
故选：A
9．在正三棱柱 中，若 ，则 与 所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得 ， 平面 ；设 ，则 ，
又 ， ，
所以
.
故 .
即 ，
即 与 所成角的大小为 .
故选 D
10．在四棱锥 中， 平面 ， ， ，且四边形 是矩形， 是
的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
( ) ( )1 2,0, 2 , 2, 2, 2A E GF= − − = − −
1A E GF 1
1
0
⋅ =
A E GF
A E GF
1 1 1ABC A B C−
12AB BB= 1AB 1C B
60 75 105 90
60ABC∠ = 1BB ⊥ ABC 1 1BB = 2AB =
1 1AB BB BA= −
1 1BC BC BB= +
1 1 1 1
2
1 1 1( ) ( )AB BC BB BA BC BB BB BC BB BA BC BA BB⋅ = − ⋅ + = ⋅ + − ⋅ − ⋅
0 1 2 2 cos60 0 0= + − × × − =
1 1AB BC⊥
1 1AB BC⊥
1AB 1C B 90
P ABCD− PA ⊥ ABCD 2PA = 2 4BC AB= = ABCD E
PD BE PC
6
18
− 6
18
2
6
− 2
6【答案】B
【解析】根据题意建立如图空间直角坐标系
所以 ，
所以
则异面直线 与 所成角的余弦值为
11．如图，四棱锥 中，底面 是矩形， ， ， ， ，
是等腰三角形，点 是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ， 两两垂直，
( ) ( ) ( ) ( )0,0,2 , 2,0,0 , 2,4,0 , 0,2,1P B C E
( ) ( )2,2,1 , 2,4, 2= − = − BE PC
BE PC
6
18
⋅ =
BE PC
BE PC
P ABCD− ABCD PA AB⊥ PA AD⊥ 1AD = 2AB =
PAB△ E PB EC PD
3
3
6
3
6
4
2
2
AB AD AP以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系.
又因为 ， ，
所以 ， ， ， ，
因为 是棱 的中点，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
12．如图，直四棱柱 的底面是菱形， ， ，M 是 的中点，则
异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
A AB AD AP x y z
2PA AB= = 1AD =
( )0,0,0A ( )2 ,0,0B ( )2,1,0C ( )0,1,0D ( )0,0, 2P
E PB 2 2,0,2 2E
2 2,1,2 2EC
= −
( )0,1, 2PD = −
1 1 6cos , 31 11 1 22 2
EC PD
+〈 〉 = =
+ + × +
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2AA AB= = 60BAD∠ = ° 1BB
1A M 1B C
10
5
− 1
5
− 1
5
10
5【解析】由题意可得
，
13．若直线 的方向向量为 ,平面 的法向量为 ,则( )
A． B． C． D． 与 相交
【答案】C
【解析】解：∵直线 l 的方向向量为 ，
平面 的法向量为 ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
14．若三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足 PA=PB=PC=1，则点 P 到平面 ABC 的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：分别以 PA，PB，PC 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1). .
设平面 ABC 的一个法向量为 ，由 得： .
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 , 5,2A M A B B M AB BB A M A B B M= + = − = + =
2 2
1 1 1 1, 2 2B C BC BB B C BC BB= − = + =
( ) 2
1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
2 2cos ,
2 10 2 10
AB BB BC BB AB BC BBA M B CA M B C
A M B C
− ⋅ − ⋅ + ⋅ 〈 〉 = = =
0 12 2 cos60 4 102 .52 10
× × + ×
= =
l (1, 2,3)a = − α ( 3,6, 9)n = − −
l α⊂ / /l α l α⊥ l α
( )1, 2,3a = −
α ( )3,6, 9n = − −
1
3a n= − a n
l α⊥
6
6
6
3
3
6
3
3
( ) ( )1,1,0 , 1,0,1AB AC= − = −
( ), ,n x y z= 0
0
n AB
n AC
⋅ = ⋅ =
0
0
x y
x z
− + =
− + =令 ，则 .则平面 ABC 的一个法向量为 .所以点 P 到平面 ABC 的距离 .
15．长方体 中 ， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的
余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】建立坐标系如图所示．
则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)， ＝(－1,0,2)， ＝(－1，2,1)．
cos〈 ， 〉＝ ＝ .
所以异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为 .
16．直三棱柱 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在直三棱柱 中， ，
1x = 1y z= = ( )1,1,1n = | | 3
3| |
nPAd
n
= ⋅ =
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2, 1AB AA AD= = = E 1CC 1BC AE
10
10
30
10
2 15
10
3 10
10
1BC AE
1BC AE 30
10
30
10
1 1 1ABC A B C− 120ABC∠ = ° 1 1AB BC CC= = = 1AB 1BC
3
2
1
2
3
3
3
4
1 1 1ABC A B C− 120ABC∠ = °取 中点 ， ，则 ，
所以 ，
以 的中点 坐标原点， 为 轴， 为 轴，
以过点 垂直平面 的垂线为 轴，建立空间直角坐标系，如图：
则 ， ， ， ，
所以 ， ,
设异面直线 与 所成角为 ，
则 .
17．在正方体 中， 分别为 ， 的中点， 为侧面 的中心，则异面
直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系． 设正方
体的棱长为 ，则 ， ∴ ． 则
AC O 1 1AB BC CC= = = OB AC⊥
2 sin60 3AC BC= ° =
AC O OB x OC y
O ABC z
30, ,02A
− 1
1 ,0,12B
1 ,0,02B
1
30, ,12C
1
1 3, ,12 2AB
=
1
1 3, ,12 2BC
= −
1AB 1BC θ
1 1
1 1
1 3 1 34 4cos 42 2
AB BC
AB BC
θ
− + +⋅= = =
×⋅
1 1 1 1ABCD A B C D− M N， AD 1 1C D O 1 1BCC B
MN 1OD ( )
1
6
1
4
1
6
− 1
4
−
D 1, ,DA DC DD , ,x y z
2 ( ) ( ) ( ) ( )11 0 0 , 01 2 , 1 21 , 0 0 2M N O D，， ，， ，， ，， ( ) ( )11,1,2 , 1, 2,1MN OD= − = − − ． ∴异面直线 与 所成角的余弦值为 ,故选 A．
18．在棱长为 3 的正方体 中， 为线段 中点， 为线段 上靠近 的三等分点，
则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图建立空间直角坐标系，则知 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 .
故选：B.
19．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径 BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D 为半圆
1
1
1
1 1cos , 66 6
MN ODMN OD
MN OD
⋅= = =
⋅
MN 1OD 1
6
1 1 1 1ABCD A B C D− E 1AA F 1 1C D 1D
1A B EF
1
14
2
14
3
14
1
7
1(3,0,0)A (3,3,3)B 33,0, 2E
(0,1,0)F
1 (0,3,3)A B = 33,1, 2EF = − −
1
1
1
93 22| cos , | 7 14| | 3 2 2
A B EFA B EF
A B EF
−⋅〈 〉 = = =
⋅ ×
弧的中点，若异面直线 BD 和 AB1 所成角的余弦值为 ，则该几何体的体积为（ ）
A．16+8π B．32+16π C．32+8π D．16+16π
【答案】A
【解析】设 在底面半圆上的射影为 ，连接 交 于 ，设 .
依题意半圆柱体底面直径 ， 为半圆弧的中点，
所以 且 分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接 ，
则 与上下底面垂直，所以 ，
以 为 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为 ，则
，
所以 ，
由于异面直线 和 所成的角的余弦值为 ，
所以 ，
即 .
所以几何体的体积为 .
故选：A
2
3
D 1D 1AD BC O 1 1 1 1A D B C O∩ =
4, , 90BC AB AC BAC= = ∠ = ° D
1 1 1 1,AD BC A D B C⊥ ⊥ 1,O O 1OO
1OO 1 1, ,OO OB OO OA OA OB⊥ ⊥ ⊥
1, ,OB OA OO , ,x y z ( )0h h >
( ) ( ) ( ) ( )12,0,0 , 0, 2, , 0,2,0 , 2,0,B D h A B h−
( ) ( )12, 2, , 2, 2,BD h AB h= − − = −
BD 1AB 2
3
2
1
2 2
1
2
38 8
BD AB h
BD AB h h
⋅ = =
⋅ + ⋅ +
2
2
2
2 , 16, 48 3
h h hh
= = =+
21 12 4 4 2 4 16 82 2
π π× × × + × × × = +20．如图，三棱锥 的侧棱长都相等，底面 与侧面 都是以 为斜边的等腰直角三角形，
为线段 的中点， 为直线 上的动点，若平面 与平面 所成锐二面角的平面角为 ，则
的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】底面 与侧面 都是以 为斜边的等腰直角三角形，
则 ，所以
设 ，
由 为线段 的中点，
则 ，
由 ，
所以 ，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
V ABC− ABC VAC AC
E AC F AB VEF VBC θ
cosθ
3
3
2
3
5
3
6
3
ABC VAC AC
Rt ABC Rt VAC≅ VA VC BA BC= = =
2VA VC BA BC VB= = = = =
E AC
2VE BV= =
2 2 2VE BE VB+ =
VE EB⊥
E EB x E C y EV z
则 ， ，
，设 ，
， ， ， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，
所以 .
设平面 的一个法向量 ，
则 ，即 ，
解得 ，令 ，则 ，
所以 ，
平面 与平面 所成锐二面角的平面角为 ，
则 ，
( )0, 2,0C 2 , 0 , 0B
( )0,0, 2V , 2 , 0F x x −
( )0, 2, 2VC = − ( )2,0, 2VB = − ( )0,0, 2EV = ( ), 2, 2VF x x= −
VBC ( )1 1 1, ,m x y z=
0
0
m VC
m VB
⋅ =
⋅ =
1 1
1 1
2 2 0
2 2 0
y z
x z
− + =
− =
1 1x = 1 1y = 1 1z =
( )1,1,1m =
VEF ( )2 2 2, ,n x y z=
0
0
n EV
n VF
⋅ =
⋅ =
( )2
2 2 2
2 0
2 2 0
z
x x x y z
= ⋅ + − ⋅ + =
2 0z = 2 1y =
2
2 1x x
= −
2 1,1,0n x
= −
VEF VBC θ
2
2
cos
2 2 23 2
m n x
m n
x x
θ ⋅= =
− +
将分子、分母同除以 ，可得
令 ，
当 时， ，
则 的最大值为： .
21．（多选题）如图，棱长为的正方体 中， 为线段 上的动点（不含端点），则下列结
论正确的是（ ）
A．直线 与 所成的角可能是
B．平面 平面
C．三棱锥 的体积为定值
D．平面 截正方体所得的截面可能是直角三角形
【答案】BC
【解析】对于 A，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
1
x
2 2
2 2
3 2 2 2 2 6 6 2 6x x x x
=
− + − +
( )
2
2 26 6 2 6 6 32f x x x x
= − + = − +
2
2x = ( )min 3f x =
cosθ 2 6
33
=
1 1 1 1ABCD A B C D− P 1A B
1D P AC 6
π
1 1D A P ⊥ 1A AP
1D CDP−
1APD，设
∴直线 D1P 与 AC 所成的角为 ，故 A 错误；
对于 B，正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，A1D1 AA1，A1D1 AB，
∵AA1 AB＝A，∴A1D1 平面 A1AP，
∵A1D1 平面 D1A1P，∴平面 D1A1P 平面 A1AP，故 B 正确；
对于 C， ，P 到平面 CDD1 的距离 BC＝1，
∴三棱锥 D1﹣CDP 的体积：
为定值，故 C 正确；
对于 D，平面 APD1 截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故 D 错误；
故选：BC．
22．（多选题）正方体 的棱长为 1， 分别为 的中点．则（ ）
A．直线 与直线 垂直 B．直线 与平面 平行
( ) ( ) ( )1 0,0,1 , 1,0,0 , 0,1,0D A C ( )( )1, , 0 1,0 1P a b a b< < < <
( ) ( )1 1, , 1 , 1,1,0D P a b AC= − = −
( )
1
1 22
1
1cos , 0
1 1 2
D P AC aD P AC
D P AC a b
⋅ −= = <
+ + − ×
1
30 1,0 1, ,2 4a b D P AC
π π< < < < ∴ < = = =
×
AE FCC′ 11
11
1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD P ABCD−点 在平面 上的投影恰为四边形 对角线的交点 ，四棱锥 和四棱柱
的高相等．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ，求平面 与平面 所成的二面角的余弦值．
【解析】（1）根据题意，建立如图所示空间直角坐标系：
设四棱柱 的侧棱长为 a，底面边长为 b， ，
则
，
所以 ，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
P 1111 DCBA 1111 DCBA 1O P ABCD−
1 1 1 1ABCD A B C D−
//PB 1ADO
3BAD
π∠ = 1 1 1AA A B= PBC 1ABO
1 1 1 1ABCD A B C D− 2BAD α∠ =
( ) ( ) ( ) ( )1 0,0,0 , 0, sin , , 0, sin , , 0,0,2α α−O D b a B b a P a
( ) ( )1 0, sin , , 0, sin ,α α= − = − O D b a BP b a
1
= O D BP
1/ /PB DO PB ⊄ 1ADO 1DO ⊄ 1ADO
//PB 1ADO（2）因为 ，设 ，
则
所以 ，
设平面 的一个法向量为： ，
则 ，所以 ，
令 ，则 ，所以
设平面 的一个法向量为： ，
则 ，所以 ，
令 ，则 ，所以
设平面 与平面 所成的二面角为 ，
所以 ，
，
．
28．如图，在四棱锥 P—ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AD//BC，AB＝BC＝PA＝1，AD＝2，∠PAD＝∠DAB
＝90°，点 E 在棱 PC 上，设 CE＝ CP．
3BAD
π∠ = 1 1 1 2AA A B= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0,0,0 , 3,0,2 , 0,1,2 , 3,0,2 , 0,0,4O A B C P−
( ) ( ) ( ) ( )1 10,1, 2 , 3,0, 2 , 3,0,2 , 0,1,2PB PC O A O B= − = − − = =
PBC ( ), ,n x y z=
0
0
n PB
n PC
⋅ =
⋅ =
2 0
3 2 0
y z
x z
− =− − =
1z = 2 32, 3y x= = − 2 3 ,2,13n
= −
1ABO ( ), ,m x y z=
1
1
0
0
m O A
m O B
⋅ = ⋅ =
3 2 0
2 0
x z
y z
+ = + =
1z = 2 32, 3y x= − = − 2 3 , 2,13m
= − −
PBC 1ABO α
cos cos , n mn m
n m
α ⋅= =
⋅
( )
2
2 2
2 2
2 3 4 13
2 3 2 32 1 2 13 3
− − +
=
− + − + ⋅ − + +
5
53
19 19
3
−
= = −
λ（1）求证：CD⊥AE；
（2）记二面角 C—AE—D 的平面角为 ，且 ，求实数 的值．
【解析】（1）因为∠PAD＝90°，所以 PA⊥AD．
因为平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，PA⊂平面 PAD，
所以 PA⊥平面 ABCD．
又 CD⊂平面 ABCD，所以 CD⊥PA．
在四边形 ABCD 中，AD//BC，∠DAB＝90°，所以∠ABC＝90°，
又 AB＝BC＝1，所以△ABC 是等腰直角三角形，即∠BAC＝∠CAD＝45°，AC＝ ．
在△CAD 中，∠CAD＝45°，AC＝ ，AD＝2，
所以 CD＝ ＝ ，
从而 AC2＋CD2＝4＝AD2．所以 CD⊥AC．
又 AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面 PAC，
所以 CD⊥平面 PAC．
又 AE⊂平面 PAC，所以 CD⊥AE．
（2）因为 PA⊥平面 ABCD，BA⊥AD，故以{ ， ， }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标
系．
因为 AB＝BC＝PA＝1，AD＝2，所以 A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，
则 ＝(－1，1，0)， ＝(0，2，0)．因为点 E 在棱 PC 上，且 CE＝λCP，所以 ＝λ ，
设 E(x，y，z)，则(x－1，y－1，z)＝λ(－1，－1，1)，故 E(1－λ，1－λ，λ)，所以 ＝(1－λ，1－λ，λ)．
由（1）知，CD⊥平面 PAC，所以平面 ACE 的一个法向量为 ＝ ＝(－1，1，0)．
θ 10cos 5
θ = λ
2
2
2 2 2 cosAC AD AC AD CAD+ − × × × ∠ 2
AB AD AP
CD AD CE CP
AE
n CD设平面 AED 的法向量为 ＝(x1，y1，z1)，由 得
令 z1＝1－λ，所以平面 AED 的一个法向量为 ＝(－λ，0，1－λ)．
因此 |cosθ|＝|cos< ， >|＝| |＝| |＝ ，
化简得 3λ2－8λ＋4＝0，解得 λ＝ 或 2．因为 E 在棱 PC 上，所以 λ∈[0，1]，所以 λ＝ ．
所以当|cosθ|＝ 时，实数 λ 的值为 ．
29．如图，在四棱锥 中， ，底面四边形 为直角梯形，
为线段 上一点．
(1)若 ，则在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ?若存在，请确定 点的位置；若不存
在，请说明理由．
(2)己知 ，若异面直线 与 成 角，二面角 的余弦值为 ，求 的
长．
【解析】解：（1）延长 ， 交于点 ，连接 ，则 平面 .
m 0
0
m AE
m AD
⋅ =
⋅ =
1 1 1
1
(1 ) (1 ) 0
0
x y z
y
λ λ λ− + − + =
=
m
m n
| || |
m n
m n
⋅
2 22 (1 )
λ
λ λ⋅ + −
10
5
2
3
2
3
10
5
2
3
P ABCD− PA AD⊥ ABCD ,AD BCλ= / / ,AD BC
90 ,BCD∠ = M PB
1
3
λ = PB M / /AM PCD M
2, 1PA AD= = PA CD 90 B PC D− − 10
10
− CD
BA CD E PE PE ⊂ PCD若 平面 ，由平面 平面 ， 平面 ，则 .
由 ， ，则 ，
故点 是线段 上靠近点 的一个三等分点.
（2）∵ ， ， ， 平面 ， 平面 ，
则 平面
以点 为坐标原点，以 ， 所在的直线分别为 轴、 轴，过点 与平面 垂直的直线为 轴，建
立如图所示的直角坐标系，
则 ， ， ， ，则 ， ，
设平面 和平面 的法向量分别为 ， .
由 ， 得 即 ，
令 ，则 ，故 .
同理可求得 .
于是 ，则 ，解之得 （负值舍去），故 .
∴ .
30．如图，等腰梯形 ABCD 中， ， ， ，E 为 CD 中点，以 AE 为折痕把
折起，使点 D 到达点 P 的位置（ 平面 ABCE）
AM PCD PBE ∩ PCD PE= AM ⊂ PBE AM PE
1
3AD BC= AD BC
1
3
PM EA
PB EB
= =
M PB P
PA AD⊥ PA CD⊥ AD CD D∩ = AD ⊂ ABCD CD ⊂ ABCD
PA ⊥ ABCD
A AD AP y z A PAD x
( )0,0,2P ( )0,1,0D ( ),1,0C t 1, 1,0B t λ
−
10,2 ,0BC λ
−
( ),1, 2PC t − ( ),0,0CD t−
PBC PCD ( )1 1 1 1, ,n x y z= ( )2 2 2 2, ,n x y z =
1n BC ⊥ 1n PC⊥ 1
1
0
0
n BC
n PC
⋅ = ⋅ =
1
1 1 1
12 0
2 0
y
tx y z
λ
− =
+ − =
1 1x = 1 2
tz = 1 1,0, 2
tn =
( )2 0,2,1n =
1 2
1 2
cos n n
n n
θ ⋅= 2
102
10
1 52
t
t
=
+ ⋅
2t = ± 2t =
2CD =
//AB CD 1AD AB BC= = = 2CD = ADE
P∉（1）证明： ；
（2）若线段 PC 的长为 ，求二面角 的余弦值.
【解析】解：（1）在等腰梯形 ABCD 中，连接 BD，交 AE 于点 O，如图
∵ ， ，∴四边形 ABCE 为平行四边形，∴ ，
∴ 为等边三角形，∴在等腰梯形 ABCD 中， ，
，∴在等腰 中，
∴ ，即 ，∴ ，
翻折后可得： ， ，又∵ 平面 OB， 平面 POB， ，
∴ 平面 POB，∵ 平面 POB，∴ ；
（2）由（1）知 ，连接 OC 在 中，由余弦定理可得 .
在 中有 ，可知 ，又 ，
平面 ABCE，则以 O 为原点，OE 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为乙轴，建立空间直角坐标
系，由题意得，各点坐标为，
， ， ，∴ ， .
设平面 PCE 的一个法向量为 ，则
，∴ .
设 ，则 ， ，∴ ，
AE PB⊥
10
2
A PE C− −
AB CE AB CE= AE BC AD DE= = =
ADE 3C ADE
π∠ = ∠ =
2
3DAB ABC
π∠ = ∠ = ADB△
6ADB ABD
π∠ = ∠ =
2
3 6 2DBC
π π π∠ = − = BD BC⊥ BD AE⊥
OP AE⊥ OB AE⊥ OP ⊂ OB ⊂ OP OB O=
AE ⊥ PB ⊂ AE PB⊥
3
2DO PO= = OEC△ 7
2OC =
POC△ 2 2 2PC PO OC= + PO OC⊥ PO AE⊥
OC AE O PO= ⇒ ⊥
30,0, 2P
1 ,0,02E
31, ,02C
1 3,0,2 2PE
= −
1 3, ,02 2EC
=
1 ( , , )n x y z=
1
1
0
0
PE n
EC n
⋅ = ⋅ =
1 3 02 2
1 3 02 2
x z
x y
− =
+ =
3x = 1y = 1z = 1 ( 3, 1,1)n = −由题意得平面 PAE 的一个法向量 ，
设二面角 为 ， .
易知二面角 为钝角，所以 .（射影面积法也可）
2 (0,1,0)n =
A EP C− − α 1 2
1 2
1 5| cos | 55
n n
n n
α
⋅
= = =
A EP C− − 5cos 5
α = −
微信/支付宝扫码支付