2021 届高考数学一轮复习 专题 11 三角函数 教案
一、知识归纳
1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边 α 相同的角，都可以表示成 k·360 0+α 的
形式。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定
大小。
理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；
⑴角度制与弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度
⑵弧长公式： ；扇形面积公式： 。
2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角
三角函数的关系式、诱导公式：
（1）三角函数定义：角 中边上任意一点 为 ，设 则：
（2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；
（3）特殊角的三角函数值
α 0 2
sinα 0 1 0 -1 0
cosα 1 0 -1 0 1
tanα 0 1 不存在 0 不存在 0
（3）同角三角函数的基本关系：
（4）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）:
例题 1（2020·上海黄浦高三二模）如果 ， 为第三象限角，则
________．
180=
1801
π= 1 )180( π=
'1857≈
Rl θ= RlRS 2
1
2
1 2 == θ
α P ),( yx rOP =||
,cos,sin r
x
r
y == αα
x
y=αtan
6
π
4
π
3
π
2
π π
2
3π π
2
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
3
3 3
xx
xxx tancos
sin;1cossin 22 ==+
2 2sin 3
α = − α
3sin 2
π α + = 【答案】
【解析】
由 ， 为第三象限角,有 .
由诱导公式可得
所以
故答案为：
3、两角和与差的三角函数
（1）和（差）角公式
①
② ③
（2）二倍角公式
① ；
② ；③
（3）经常使用的公式
①升（降）幂公式： 、 、 ；
②辅助角公式： （ 由 具体的值确定）；
③正切公式的变形： .
例题 2（2016·上海长宁高三一模） ，则 ___________．
【答案】
【解析】
由 两边平方，得 ，所以 ．
例题 3（2018·长宁上海市延安中学高三期中）若 ，则 ______.
【答案】
;sincoscossin)sin( βαβαβα ±=±
;sinsincoscos)cos( βαβαβα =± βα
βαβα
tantan1
tantan)tan(
±=±
ααα cossin22sin =
ααααα 2222 sin211cos2sincos2cos −=−=−=
α
αα
2tan1
tan22tan −=
2 1 cos2sin 2
αα −= 2 1 cos2cos 2
αα += 1sin cos sin 22
α α α=
2 2sin cos sin( )a b a bα α α ϕ+ = + + ϕ ,a b
tan tan tan( )(1 tan tan )α β α β α β+ = + − ⋅
1
3
2 2sin 3
α = − α 2 1cos 1 sin 3
α α= − − = −
3sin cos2
π α α + = −
3 1sin 2 3
π α + =
1
3
1sin cos 3
θ θ+ = sin 2θ =
8
9
−
1sin cos 3
θ θ+ = 11 2sin cos 1 sin 2 9
θ θ θ+ = + = 8sin 2 9
θ = −
tan 2θ = − sin 2θ =
4
5
−【解析】
．
故答案为： ．
例题 4（2017·上海市宜川中学高三其他）若 ，则 等于
________．
【答案】
【解析】
∵ ，
∴2（sinα+cosα）=sinα﹣cosα
∴sinα=﹣3cosα
∴tanα=﹣3
∴tan2α= = =
故答案为
4、三角函数的图象与性质
（一）列表综合三个三角函数 ， ， 的图象与性质，并挖掘：
⑴最值的情况；⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求 的周期，
或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，；
⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；
的对称轴是 ，对称中心是 ；
的对称轴是 ，对称中心是
的对称中心是
注意加了绝对值后的情况变化.
⑷写单调区间注意 .
（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函
数 的简图，并能由图象写出解析式．
⑴“五点法”作图的列表方式；
siny x= cosy x= tany x=
sin( )y A xω ϕ= +
siny x=
2x k
ππ= + ( )k Z∈ ( ,0)kπ ( )k Z∈
cosy x= x kπ= ( )k Z∈ ( ,0)2k
ππ + ( )k Z∈
tany x= ( ,0)( )2
k k Z
π ∈
0ω >
sin( )y A xω ϕ= +
( )
( )22 2 2
2 22sin cos 2tan 4sin 2 sin cos 1 tan 51 2
θ θ θθ θ θ θ
× −= = = = −+ + + −
4
5
−
sin cos 1
sin cos 2
α α
α α
+ =− tan2α
3
4
1
2
sin cos
sin cos
α α
α α
+ =−
2
2
1
tan
tan
α
α−
6
1 9
−
−
3
4
3
4⑵求解析式 时处相 的确定方法：代（最高、低）点法、公式
.
例题 5（2020·上海高三专题练习）函数 的最小值是
_________
【答案】1
【解析】
因为 ，所以 ，
因为 ，故 ，所以 ，
所以当 时， 的最小值为 ，
（三）正弦型函数 的图象变换方法如下：
先平移后伸缩
的图象
得 的图象
得 的图象
得 的图象
得 的图象．
先伸缩后平移
的图象
得 的图象
得 的图象
sin( )y A xω ϕ= + ϕ
1x
ϕ
ω= −
sin( )y A xω ϕ= +
siny x= ϕ ϕ
ϕ
0) 或向右( 0)
平移 个单位长度
sin( )y x ϕ= +
( )
ω ω
ω
→横坐标伸长( 0< 1)
1到原来的 纵坐标不变
sin( )y xω ϕ= + ( )
A A
A
>→纵坐标伸长( 1) 或缩短( 0< < →横坐标伸长 或缩短
到原来的 纵坐标不变
sin( )y A xω=
( 0) ( 0)ϕ ϕ
ϕ
ω
> 0,函数 y=sin( x+ )+2 的图象向右平移 个单
位后与原图象重合，则 的最小值是
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】
函数 的图象向右平移 个单位后
所以有
故选 C
例题 7（2016·宝山上海交大附中高三月考）已知函数 的
图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列,把函数 的图象沿 轴向左平
移 个单位,得到函数 的图象.关于函数 ,下列说法正确的是（ ）
A．在 上是增函数 B．其图象关于直线 对称
C．函数 是奇函数 D．当 时,函数 的值域是
【答案】D
【解析】
，
由题意知 ，则 ， ， ，
把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位，
sin ( )y A x xω ϕ= + ( 0) ( 0)k k
k
> ∴ ≥ ∴ = ≥
( ) 3sin cos ( 0)f x x xω ω ω= + >
x
2
π
( )f x x
6
π ( )g x ( )g x
,4 2
π π
4
πx = −
( )g x 2,6 3x
π π ∈ ( )g x
[ 2,1]−
3 1( ) 3sin cos 2( sin cos ) 2sin( )2 2 6f x x x x x x
πω ω ω ω ω= + = + = +
2 2
T π= T π= 2 2 2T
π πω π∴ = = = ∴ ( ) 2sin(2 )6f x x
π= +
( )f x x 6
π得 ．
作出函数的图象：
对 A，函数在 ， 上是减函数，故 A 错误；
对 B，其图象的对称中心为 ，故 B 错误；
对 C，函数为偶函数，故 C 错误；
对 D， ， ， 当 ， 时，函数 的值域
是 ， ，故 正确．
故选：D．
5、解三角形
Ⅰ．正、余弦定理⑴正弦定理 （ 是 外接圆直
径）
注：① ；② ；
③ 。
⑵余弦定理： 等三个；注： 等三个。
Ⅱ．几个公式:
⑴三角形面积公式：
；
⑵内切圆半径 r= ；外接圆直径 2R=
⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC 中，
例题 8（2018·上海市七宝中学高三开学考试）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西
行驶，到 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 的方向上，行驶 600m 后到达 处，测
得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为 ，则此山的高度 ________ m.
RC
c
B
b
A
a 2sinsinsin
=== R2 ABC∆
CBAcba sin:sin:sin:: = CRcBRbARa sin2,sin2,sin2 ===
CBA
cba
C
c
B
b
A
a
sinsinsinsinsinsin ++
++===
Abccba cos2222 −+=
bc
acbA 2cos
222 −+=
))(2
1(,))()((sin2
1
2
1 cbapcpbpappCabahS ABC ++=−−−===∆
cba
S ABC
++
∆2 ;sinsinsin C
c
B
b
A
a ==
sin sinA B A B> ⇔ >
( ) ( ) 2sin[2( ) ] 2sin(2 ) 2cos26 6 6 2g x f x x x x
π π π π= + = + + = + =
[ 4
π
]2
π
( ,0)4
π−
2cos(2 ) 16
π× = 22cos(2 ) 13
π× = − ∴ [ 6x
π∈ 2 ]3
π ( )g x
[ 2− 1] D
A 30 B
75 30 CD =【答案】
【解析】
由题设可知在 中, ,由此可得 ,由正弦定理
可得 ,解之得 ,又因为 ,所以
,应填 .
专题训练
1、（2020·宝山上海交大附中高三其他）函数 最小正周期为
______________.
【答案】
【解析】
由 知，周期 ，
故填 .
2、（2016·上海高三月考）如图，为测量出高 ，选择 和另一座山的山顶 为测量观
测点，从 点测得 点的仰角 ， 点的仰角 以及
；从 点测得 ．已知山高 ，则山高
__________ ．
100 6
100 6
3sin 2 cos2y x x= +
π
3 13sin 2 cos2 2( sin 2 cos2 )2 2y x x x x= + = + 2sin(2 )6x
π= + 2
2T
π π= =
π
MN A C
A M 060MAN∠ = C 045CAB∠ =
075MAC∠ = C 060MCA∠ = 100BC m= MN =
m【答案】150
【解析】
在 中， , ，在
中， 由正弦定理可得
即 解得 ,在 中，
．
故答案为 150．
3、（2020·上海高三专题练习）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知
的面积为 ， ，则 的值为___________．
【答案】
【解析】
试题分析：因 ,故 ,由题设可得 ,即 ,所
以 ,所以 ,
应填 .
4、（2018·嘉定分校高三其他）若直线 与直线
垂直，则 ________.
【答案】
【解析】
ABC 45 , 90 , 100BAC ABC BC∠ = ° ∠ = ° =
100 100 2sin 45AC∴ = =°
AMC 75 , 60 ,MAC MCA∠ = ° ∠ = ° 45 ,AMC∴∠ = °
,sin sin
AM AC
ACM AMC
=∠ ∠
100 2 ,sin 60 sin 45
AM =° ° 100 3AM = Rt AMN
sinMN AM MAN= ⋅ ∠ 100 3 sin 60= × °
150( )m=
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
ABC∆ 3 15
12,cos 4b c A− = = − a
8
1 : cos 2 0l x yθ + =
2 :3 sin 3 0l x y θ+ + = sin 2θ =
12
13
−由于直线 与直线 垂直，则 ，
可得 ，
.
故答案为： .
5、（2020·上海高三其他）函数 的定义域是______.
【答案】
【解析】
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
解得 或 或 .
故答案为：
6、（2020·上海高三专题练习）已知 、 、 分别为△ 三个内角 、 、 的对边，
，且 ，则△ 面积的最大值为_____.
【答案】
【解析】
因为
1 : cos 2 0l x yθ + = 2 :3 sin 3 0l x y θ+ + = 3cos 2sin 0θ θ+ =
3tan 2
θ = −
22 2 2
322sin cos 2tan 122sin 2 2sin cos sin cos tan 1 133 12
θ θ θθ θ θ θ θ θ
× − ∴ = = = = = −+ + − +
12
13
−
( )29 lg 2cos2 1y x x= − + −
5 53, , ,36 6 6 6
π π π π − − −
( )29 lg 2cos2 1y x x= − + −
29 0
2cos2 1 0
x
x
− ≥
− >
3 3
1cos2 2
x
x
− ≤ ≤ >
3 3
,6 6
x
k x k k Z
π ππ π
− ≤ ≤ − < < + ∈
53 6x
π− ≤ < −
6 6x
π π− < < 5 36 x
π < ≤
5 53, , ,36 6 6 6
π π π π − − −
a b c ABC A B C
2a = (2 )(sin sin )b A B+ − = ( )sinc b C− ABC
3
(2 )(sin sin ) ( )sinb A B c b C+ − = −，
又因为 ，
所以 ，
面积 ，
而
所以 ，即 面积的最大值为 ．
故答案为： ．
7、（2020·上海高三专题练习）已知函数 , ,若函数
在区间 内单调递增,且函数 的图像关于直线 对称,则 的值
为 ．
【答案】
【解析】
由 在区间 内单调递增,且 的图像关于直线 对称,可得 ,且
,所以
8、（2019·浦东新区上海市浦东复旦附中分校高三二模）在平面内,定点 满足
， 动点 满足
则 的最大值为________.
【答案】
【解析】
(2 )( ) ( )b a b c b c∴ + − = −
2 22 2a b ab b c bc∴ − + − = −
2a =
2 2 2
2 2 2 2 2 2 1, , cos ,2 2 3
b c aa b c bc b c a bc A Abc
π+ −− = − ∴ + − = ∴ = = ∴ =
ABC∆ 1 3sin2 4S bc A bc= =
2 2 2b c a bc+ − =
2 2 2b c bc a∴ + − =
2 2 4 2b c bc bc bc∴ + − = ≥ −
4bc∴
1 3sin 32 4S bc A bc= = ABC∆ 3
3
( ) ( )sin cos 0f x x xω ω ω= + > x R∈
( )f x ( ),ω ω− ( )f x x ω= ω
π
2
( )f x ( ),ω ω− ( )f x x ω= π2ω ω≤
( ) 2 2 2 πsin cos 2 sin 14f ω ω ω ω = + = ⇒ + =
2 π π π .4 2 2
ω ω+ = ⇒ =
, ,A B C
DA DB DC= = 2DA DB DB DC DC DA⋅ = ⋅ = ⋅ = − ， ,P M
1AP PM MC= = ， 2
BM
49
4由 ，可得 为 的外心，
又
可得 ，即 ，
即有 ，可得 为 的垂心，
则 为 的中心，即 为正三角形，
由 即有 ，
解得 ， 的边长为 ，
以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立直角坐标系 ，
可得 ，
由 ，可设 ，
由 ，可得 为 中点，即有 ，
则
，
当 ，即 时，取得最大值，且为 ．
故答案为： ．
9、（2020·上海金山高三二模）已知函数 ，若 ，则
__________
【答案】
DA DB DC= = D ABC∆
DA DB DB DC DC DA⋅ = ⋅ = ⋅ ，
( ) 0, (DB DA DC DC DB⋅ − = ⋅ ) 0DA− = 0DB AC DC AB⋅ = ⋅ =
,DB AC DC AB⊥ ⊥ D ABC∆
D ABC∆ ABC∆
2DA DB⋅ = − ， | | | | cos120 2DA DB °⋅ = −
| | 2DA = ABC∆ 4cos30 2 3° =
A AD x xOy
B(3, 3),C(3, 3),D(2,0)−
| | 1AP = (cos ,sin ), (0 2 )P θ θ θ π≤ <
PM MC= M PC 3 cos 3 sin( , )2 2M
θ θ+ +
22
2 3 cos 3 sin| | 3= 32+2BM
θ θ + + − +
2 2(3 cos ) (3 3 sin ) 37 6cos 6 3sin
4 4 4
θ θ θ θ− + − += + =
37 12sin 6
4
πθ + − =
sin 16
πθ − =
2
3
πθ = 49
4
49
4
1( ) log sin 11
xf x xx
−= + ++ ( ) 4f m =
( )f m− =
2−【解析】
令 ，则 ，
，
为奇函数，
又 ， ， ，
.
故答案为： .
10、（2020·上海崇明高三二模）在 中， ，
则 面积的最大值是____________
【答案】
【解析】
，
当 时等号成立.此时 ，即 时，满足题意.
故答案为： .
11、（2020·上海市七宝中学高三三模）用 表示函数 在闭区间 上的最大值，
若正数 满足 ，则 的最大值为________
【答案】
【解析】
1( ) log sin1
xg x xx
−= ++
( )( ) 1f x g x= +
( ) ( )1 1( ) log sin log sin1 1
x xg x x x g xx x
+ −− = + − = − − = −− +
∴ ( )g x
( ) 4f m = ∴ ( )( ) 1 3g m f m= − = ∴ ( )( ) 3g m g m− = − = −
∴ ( )( ) 1 2f m g m− = − + = −
2−
ABC ( ) ( )3 cos ,cos , cos ,sinAB x x AC x x= =
ABC
3
4
( )2 2 21 1sin , 1 cos ,2 2ABCS AB AC AB AC AB AC AB AC= ⋅ = ⋅ −
△
( ) ( )222 2 2 21 1 4cos 3 cos sin cos2 2AB AC AB AC x x x x= ⋅ − ⋅ = − +
21 1 1 33 cos sin cos sin 22 2 6 2 4x x x x
π = − = − − ≤
sin 2 16x
π − = − 2 6 2x
π π− = −
6x
π= −
3
4
IM siny x= I
a [0, ] [ ,2 ]2a a aM M≥ a
13
12
π①当 时， ， ， .
所以 ，舍去；
②当 时， ， ， ，
所以 ， ，即： ，得到 ；
③当 时， ， ， 或 ，
因为 ，所以 ，即： ， ，
所以 ；
④当 时， ， ，
不满足 ，舍去；
综上所述： .
故答案为：
12、（2020·上海普陀高三二模）在平面四边形 中， ，
， 若点 M 是边 上的任一动点，则 的最小值为
______.
【答案】
【解析】
连接 ，
，
，
，
，
0, 2a
π ∈ 2 [0, ]a π∈ [0, ] sinaM a= [ ,2 ] 1a aM =
sin 2a ≥
,2a
π π ∈ 2 [ ,2 ]a π π∈ [0, ] 1aM = [ ,2 ] sina aM a=
1 2sina≥ 1sin 2a ≤ 5
6a
π≥ 5
6 a
π π≤ ≤
3, 2a
ππ ∈ 2 [2 ,3 ]a π π∈ [ ]0, 1aM =
[ ,2 ] sin 2a aM a= 1
[0, ] [ ,2 ]2a a aM M≥ 1 2sin2a≥ 1sin2 2a ≤ 2 2 2 6a
ππ π≤ ≤ +
13
12 12a
π ππ π≤ ≤ + =
3 ,2a
π ∈ +∞ 2 [3 , )a π∈ +∞ [0, ] [ ,2 ] 1a a aM M= =
[0, ] [ ,2 ]2a a aM M≥
max
13
12a
π=
13
12
π
ABCD 0AB BC AD DC⋅ = ⋅ =
1AB AD= = 1
2AB AD⋅ = − BC AM DM⋅
21
16
BD
0AB BC AD DC= =
90ABC ADC∴∠ = ∠ = °
1| || | cos cos 2AB AD AB AD BAD BAD= ∠ = ∠ = −
120BAD∴∠ = °，
，
，
是等边三角形，
以 为原点，以 为 轴，以 为 轴建立平面直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
设 ， ，则 ， ， ，
，
当 时， 取得最小值 ．
故答案为： ．
13、（2018·高三期中）已知 为锐角， ，
．（1）求 的值；（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
解：（1）因为 ， ，所以 ．
因为 ，所以 ，
因此， ．
（2）因为 为锐角，所以 ．
2 2 2 cos 3BD AB AD AB AD BAD∴ = + − ∠ =
30ABD ADB∴∠ = ∠ = °
60DBC BDC∴∠ = ∠ = °
BCD∴∆
B BC x BA y
(0,1)A ( 3C 0) 3( 2D 3)2
(M x 0)(0 3)x ( , 1)AM x= − 3( 2DM x= − 3)2-
∴ 2 23 3 3 21( )2 2 4 16AM DM x x x= − + = − +
∴ 3
4x = AM DM
21
16
21
16
,α β 4tan 3
α =
5cos( ) 5
α β+ = − cos2α tan( )α β−
7
25
− 2
11
−
4tan 3
α = sintan cos
αα α= 4sin cos3
α α=
2 2sin cos 1α α+ = 2 9cos 25
α =
2 7cos2 2cos 1 25
α α= − = −
,α β ( )0,πα β+ ∈又因为 ，所以 ，
因此 ．
因为 ，所以 ，
因此， ．
14、（2019·上海普陀高三一模） 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．向
量 与 平行．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ， 求 的面积．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．
【解析】
（1）因为向量 与 平行，
所以 ，
由正弦定理得 ，
又 ，从而 tanA＝ ，由于 0
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