1.1.2 四种命题
课时目标 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构,会对命题进行转换.
1.四种命题的概念:
(1)对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________,
那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题,其中的一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原
命题的逆命题.
(2) 对 于 两 个 命 题 , 如 果 一 个 命 题 的 条 件 和 结 论 恰 好 是 另 一 个 命 题 的
______________________________,我们把这样的两个命题叫做互否命题,把其中的一个命
题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的否命题.
(3) 对 于 两 个 命 题 , 如 果 一 个 命 题 的 条 件 和 结 论 恰 好 是 另 一 个 命 题 的
______________________________,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题,把其中的一
个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的逆否命题.
2.四种命题的结构:
用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论,用綈 p,綈 q 分别表示 p 和 q 的否定,四种形
式就是:
原命题:若 p 成立,则 q 成立.即“若 p,则 q”.
逆命题:________________________.即“若 q,则 p”.
否命题:______________________.即“若綈 p,则綈 q”.
逆否命题:________________________.即“若綈 q,则綈 p”.
一、选择题
1.命题“若 a>-3,则 a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个
数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.命题“若 A∩B=A,则 A⊆B”的逆否命题是( )
A.若 A∪B≠A,则 A⊇B
B.若 A∩B≠A,则 A B
C.若 A B,则 A∩B≠A
D.若 A⊇B,则 A∩B≠A
3.对于命题“若数列{an}是等比数列,则 an≠0”,下列说法正确的是( )
A.它的逆命题是真命题
B.它的否命题是真命题
C.它的逆否命题是假命题
D.它的否命题是假命题
4.有下列四个命题:
①“若 xy=1,则 x、y 互为倒数”的逆命题;
②“相似三角形的周长相等”的否命题;
③“若 b≤-1,则方程 x2-2bx+b2+b=0 有实根”的逆否命题;
④若“A∪B=B,则 A⊇B”的逆否命题.
其中的真命题是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
5.命题“当 AB=AC 时,△ABC 为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,
真命题的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.0
⊆
⊆
6.命题“若函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则 loga20,a≠1)在其定义域内不是减函数
B.若 loga20,a≠1)在其定义域内不是减函数
C.若 loga2≥0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数
D.若 loga20,a≠1)在其定义域内是减函数
题号 1 2 3 4 5 6
答案
二、填空题
7.命题“若 x>y,则 x3>y3-1”的否命题是________________________.
8.命题“各位数字之和是 3 的倍数的正整数,可以被 3 整除”的逆否命题是
________________________;逆命题是______________________;否命题是
________________________.
9.有下列四个命题:
①“全等三角形的面积相等”的否命题;
②若 a2+b2=0,则 a,b 全为 0;
③命题“若 m≤1,则 x2-2x+m=0 有实根”的逆否命题;
④命题“若 A∩B=B,则 A⊆B”的逆命题.
其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号).
三、解答题
10.把下列命题写成“若 p,则 q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命
题.
(1)正数的平方根不等于 0;
(2)当 x=2 时,x2+x-6=0;
(3)对顶角相等.
11.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.
(1)实数的平方是非负数;
(2)等高的两个三角形是全等三角形;
(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧.
能力提升
12.命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是( )
A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数
B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数
C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数
D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数
13.命题:已知 a、b 为实数,若关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 有非空解集,则 a2-
4b≥0,写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假.
1.对条件、结论不明显的命题,可以先将命题改写成“若 p 则 q”的形式后再进行转
换.
2.分清命题的条件和结论,然后进行互换和否定,即可得到原命题的逆命题,否命题
和逆否命题.
1.1.2 四种命题 答案
知识梳理
1.(1)结论和条件 (2)条件的否定和结论的否定 (3)结论的否定和条件的否定
2.若 q 成立,则 p 成立 若綈 p 成立,则綈 q 成立
若綈 q 成立,则綈 p 成立
作业设计
1.B [由 a>-3⇒a>-6,但由 a>-6 a>-3,
故真命题为原命题及原命题的逆否命题,故选 B.]
2.C [先明确命题的条件和结论,然后对命题进行转换.]
3.D 4.C
5.C [原命题和它的逆否命题为真命题.]
6.A [由互为逆否命题的关系可知,原命题的逆否命题为:若 loga2≥0,则函数
f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数.]
7.若 x≤y,则 x3≤y3-1
8.不能被 3 整除的正整数,其各位数字之和不是 3 的倍数
能被 3 整除的正整数,它的各位数字之和是 3 的倍数
各位数字之和不是 3 的倍数的正整数,不能被 3 整除
9.②③
10.解 (1)原命题:“若 a 是正数,则 a 的平方根不等于 0”.
逆命题:“若 a 的平方根不等于 0,则 a 是正数”.
否命题:“若 a 不是正数,则 a 的平方根等于 0”.
逆否命题:“若 a 的平方根等于 0,则 a 不是正数”.
(2)原命题:“若 x=2,则 x2+x-6=0”.
逆命题:“若 x2+x-6=0,则 x=2”.
否命题:“若 x≠2,则 x2+x-6≠0”.
逆否命题:“若 x2+x-6≠0,则 x≠2”.
(3)原命题:“若两个角是对顶角,则它们相等”.
逆命题:“若两个角相等,则它们是对顶角”.
否命题:“若两个角不是对顶角,则它们不相等”.
逆否命题:“若两个角不相等,则它们不是对顶角”.
11.解 (1)逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数.
否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负数.
逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数.
(2)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等高.
否命题:若两个三角形不等高,则这两个三角形不全等.
逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等高.
(3)逆命题:若一条直线平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线.
否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不平分弦所对的弧.
逆否命题:若一条直线不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线.
12.B [命题“若 p,则 q”的否命题为“若綈 p,则綈 q”,而“是”的否定是“不是”,故选
B.]
13.解 逆命题:已知 a、b 为实数,若 a2-4b≥0,则关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0
有非空解集.
否命题:已知 a、b 为实数,若关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 没有非空解集,则 a2-
⇒
4b