1.1.3 四种命题间的相互关系
课时目标
1．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．
2．会利用命题的等价性解决问题．
1．四种命题的相互关系
2．四种命题的真假性
(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 假
假 假 假 假
(2)四种命题的真假性之间的关系
①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．
一、选择题
1．命题“若 p 不正确，则 q 不正确”的逆命题的等价命题是( )
A．若 q 不正确，则 p 不正确
B．若 q 不正确，则 p 正确
C．若 p 正确，则 q 不正确
D．若 p 正确，则 q 正确
2．下列说法中正确的是( )
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“若 a2＋b2＝0，则 a，b 全为 0”的逆否命题是“若 a，b 全不为 0，则 a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
3．与命题“能被 6 整除的整数，一定能被 2 整除”等价的命题是( )
A．能被 2 整除的整数，一定能被 6 整除
B．不能被 6 整除的整数，一定不能被 2 整除
C．不能被 6 整除的整数，不一定能被 2 整除
D．不能被 2 整除的整数，一定不能被 6 整除
4．命题：“若 a2＋b2＝0 (a，b∈R)，则 a＝b＝0”的逆否命题是( )
A．若 a≠b≠0 (a，b∈R)，则 a2＋b2≠0
B．若 a＝b≠0 (a，b∈R)，则 a2＋b2≠0
C．若 a≠0，且 b≠0 (a，b∈R)，则 a2＋b2≠0
D．若 a≠0，或 b≠0 (a，b∈R)，则 a2＋b2≠0
5．在命题“若抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c0，则方程 x2＋2x＋k＝0 有实根”的否命题；②“若1
a>1
b，
则 a2，则方程 x2＋2x＋3m＝0 无实根，写出该命题的逆命题、否命题
和逆否命题，并判断真假．
11．已知奇函数 f(x)是定义域为 R 的增函数，a，b∈R，若 f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋
b≥0.
能力提升
12．给出下列三个命题：
①若 a≥b>－1，则 a
1＋a≥ b
1＋b；
②若正整数 m 和 n 满足 m≤n，则 m(n－m)≤n
2；
③设 P(x1，y1)是圆 O1：x2＋y2＝9 上的任意一点，圆 O2 以 Q(a，b)为圆心，且半径为 1.
当(a－x1)2＋(b－y1)2＝1 时，圆 O1 与圆 O2 相切．其中假命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
13．a、b、c 为三个人，命题 A：“如果 b 的年龄不是最大的，那么 a 的年龄最小”和
命题 B：“如果 c 的年龄不是最小的，那么 a 的年龄最大”都是真命题，则 a、b、c 的年龄
的大小顺序是否能确定？请说明理由．
1．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题
中真命题的个数只能是偶数个，即 0 个、2 个或 4 个．
2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆
否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．
1．1.3 四种命题间的相互关系 答案
知识梳理
1．若 q，则 p 若綈 p，则綈 q 若綈 q，则綈 p
2．(2)①相同 ②没有关系
作业设计
1．D [原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，只需写出原命题的否命题即可．]
2．D 3.D
4．D [a＝b＝0 的否定为 a，b 至少有一个不为 0.]
5．D [原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题．]
6．D
7．已知 a∈U(U 为全集)，若 a∈A，则 a∉∁UA 真
解析 “已知 a∈U(U 为全集)”是大前提，条件是“a∉∁UA”，结论是“a∈A”，所以原
命题的逆命题为“已知 a∈U(U 为全集)，若 a∈A，则 a∉∁UA”．它为真命题．
8．假 9.①②
10．解 逆命题：若方程 x2＋2x＋3m＝0 无实根，则 m>2，假命题．否命题：若 m≤2，
则方程 x2＋2x＋3m＝0 有实根，假命题．逆否命题：若方程 x 2＋2x＋3m＝0 有实根，则
m≤2，真命题．
11．证明 假设 a＋bb>a；而它的逆否命题也为真，即“a 不是最小，则 b 是最大”为真，所以 b>a>c.总之
由命题 A 为真可知：c>b>a 或 b>a>c.
②同理由命题 B 为真可知 a>c>b 或 b>a>c.
从而可知，b>a>c.所以三个人年龄的大小顺序为 b 最大，a 次之，c 最小．
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