§1.4 全称量词与存在量词
课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.会判
定全称命题和特称命题的真假.3.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.4.知道全称命题
的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
1．全称量词和全称命题
(1) 短 语 “______________”“____________” 在 逻 辑 中 通 常 叫 做 全 称 量 词 ， 并 用 符 号
“______”表示，常见的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”“所有的”等．
(2)含有______________的命题，叫做全称命题．
(3)全称命题：“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”，可用符号简记为____________．
2．存在量词和特称命题
(1)短语“______________”“________________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号
“________”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．
(2)含有______________的命题，叫做特称命题．
(3) 特 称 命 题 ： “ 存 在 M 中 的 一 个 x0 ， 有 p(x0) 成 立 ”，可 用 符 号 简 记 为
____________．
3．含有一个量词的命题的否定
(1)全称命题 p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈 p：____________；
(2)特称命题 p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈 p：____________.
4．命题的否定与否命题
命题的否定只否定________，否命题既否定______，又否定________．
一、选择题
1．下列语句不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高二(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个向量都有大小
2．下列命题是特称命题的是( )
A．偶函数的图象关于 y 轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于 3
3．下列是全称命题且是真命题的是( )
A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈Q
C．∃x0∈Z，x20>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>0
4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( )
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数 x0，使 x20>0
C．任一无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数 x0，使1
x0>2
5．已知命题 p：∀x∈R，sin x≤1，则( )
A．綈 p：∃x0∈R，sin x0≥1
B．綈 p：∀x∈R，sin x≥1
C．綈 p：∃x0∈R，sin x0>1
D．綈 p：∀x∈R，sin x>1
6．“存在整数 m0，n0，使得 m20＝n20＋2 011”的否定是( )
A．任意整数 m，n，使得 m2＝n2＋2 011
B．存在整数 m0，n0，使得 m20≠n20＋2 011
C．任意整数 m，n，使得 m2≠n2＋2 011
D．以上都不对
题号 1 2 3 4 5 6
答案
二、填空题
7 ． 命 题 “ 有 些 负 数 满 足 不 等 式 (1 ＋ x)(1 － 9x)>0” 用 “ ∃ ” 或 “ ∀ ” 可 表 述 为
________________．
8．写出命题：“对任意实数 m，关于 x 的方程 x 2＋x＋m＝0 有实根”的否定为：
________________________________________________________________________.
9．下列四个命题：
①∀x∈R，x2＋2x＋3>0；
②若命题“p∧q”为真命题，则命题 p、q 都是真命题；
③若 p 是綈 q 的充分而不必要条件，则綈 p 是 q 的必要而不充分条件．
其中真命题的序号为________．(将符合条件的命题序号全填上)
三、解答题
10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．
(1)若 a>0，且 a≠1，则对任意实数 x，ax>0.
(2)对任意实数 x1，x2，若 x10，a≠1)恒成立，
∴命题(1)是真命题．
(2)存在 x1＝0，x2＝π，x10，
∴命题(4)是假命题．
11．解 (1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命
题．
(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象
不是开口向上”，真命题．
(3)“∃x0∈Q，x20＝5”是特称命题，其否定为“∀x∈Q，x2≠5”，真命题．
(4)“不论 m 取何实数，方程 x2＋2x－m＝0 都有实数根”是全称命题，其否定为“存在
实数 m，使得方程 x2＋2x－m＝0 没有实数根”，真命题．
12．存在 x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
解析 全称命题的否定是特称命题，全称量词“任何”改为存在量词“存在”，并把结
论否定．
13．解 甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a21
3或 a1，即 a>1 或 a
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