人教a版数学【选修1-1】作业:2.2.2双曲线的简单几何性质(含答案).doc
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人教a版数学【选修1-1】作业:2.2.2双曲线的简单几何性质(含答案).doc

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资料简介
2.2.2 双曲线的简单几何性质 课时目标  1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌 握直线与双曲线的位置关系. 1.双曲线的几何性质 标准方程 x2 a2-y2 b2=1 (a>0,b>0) y2 a2-x2 b2=1 (a>0,b>0) 图形 焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴长 实轴长=______,虚轴长=______ 离心率 性 质 渐近线 2.直线与双曲线 一般地,设直线 l:y=kx+m (m≠0) ① 双曲线 C:x2 a2-y2 b2=1 (a>0,b>0) ② 把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. (1)当 b2-a2k2=0,即 k=±b a时,直线 l 与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线 C 相交于 ________. (2)当 b2-a2k2≠0,即 k≠±b a时, Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2). Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点,此时称直线与双曲线相交; Δ=0⇒直线与双曲线有________公共点,此时称直线与双曲线相切; Δ0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方程为 (  ) A.y=± 2x B.y=±2x C.y=± 2 2 x D.y=±1 2x 5.直线 l 过点( 2,0)且与双曲线 x2-y2=2 仅有一个公共点,则这样的直线有(  ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 6.已知双曲线x2 a2-y2 b2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线的右支 上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为(  ) A.4 3 B.5 3 C.2 D.7 3 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7.两个正数 a、b 的等差中项是5 2,一个等比中项是 6,且 a>b,则双曲线x2 a2-y2 b2=1 的 离心率 e=______. 8.在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边,且 a=10,c-b=6,则顶点 A 运动的轨迹方程是________________. 9.与双曲线 x2 9- y2 16=1 有共同的渐近线,并且经过点(-3,2 3)的双曲线方程为 __________. 三、解答题 10.根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)经过点(15 4 ,3),且一条渐近线为 4x+3y=0; (2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直,与两个顶点连线的夹角为π 3. 11.设双曲线 x2-y2 2=1 上两点 A、B,AB 中点 M(1,2),求直线 AB 的方程. 能力提升 12.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条 渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为(  ) A. 2 B. 3 C. 3+1 2 D. 5+1 2 13.设双曲线 C:x2 a2-y2=1 (a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同的点 A、B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; (2)若设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且PA→ = 5 12PB → ,求 a 的值. 1.双曲线x2 a2-y2 b2=1 (a>0,b>0)既关于坐标轴对称,又关于坐标原点对称;其顶点为 (±a,0),实轴长为 2a,虚轴长为 2b;其上任一点 P(x,y)的横坐标均满足|x|≥a. 2.双曲线的离心率 e=c a的取值范围是(1,+∞),其中 c2=a2+b2,且b a= e2-1,离心 率 e 越大,双曲线的开口越大.可以通过 a、b、c 的关系,列方程或不等式求离心率的值或 范围. 3.双曲线x2 a2-y2 b2=1 (a>0,b>0)的渐近线方程为 y=±b ax,也可记为x2 a2-y2 b2=0;与双曲 线x2 a2-y2 b2=1 具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为x2 a2-y2 b2=λ (λ≠0). 2.2.2 双曲线的简单几何性质 答案 知识梳理 1. 标准方程 x2 a2-y2 b2=1(a>0,b>0) y2 a2-x2 b2=1(a>0,b>0) 图形 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 焦距 |F1F2|=2c 范围 x≥a 或 x≤-a,y∈R y≥a 或 y≤-a,x∈R 对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称 顶点 (-a,0),(a,0) (0,-a),(0,a) 轴长 实轴长=2a,虚轴长=2b 离心率 e=c a(e>1) 性 质 渐近线 y=±b ax y=±a bx 2.(1)一点 (2)两个 一个 没有 作业设计 1.B [∵e= 6 2 ,∴e2=c2 a2=3 2,∴b2 a2=1 2.] 2.A 3.C [由于椭圆 4x2+y2=1 的焦点坐标为(0, ± 3 2 ), 则双曲线的焦点坐标为(0, ± 3 2 ),又由渐近线方程为 y= 2x,得a b= 2,即 a2=2b2, 又由 ( 3 2 )2=a2+b2,得 a2=1 2,b2=1 4,又由于焦点在 y 轴上,因此双曲线的方程为 2y2- 4x2=1.故选 C.] 4.C [由题意知,2b=2,2c=2 3,则 b=1,c= 3,a= 2;双曲线的渐近线方程为 y =± 2 2 x.] 5.C [点( 2,0)即为双曲线的右顶点,过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双 曲线仅有一个公共点,另过该点且与 x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点.] 6.B [||PF1|-|PF2||=2a,即 3|PF2|=2a, 所以|PF2|=2a 3 ≥c-a,即 2a≥3c-3a,即 5a≥3c, 则c a≤5 3.] 7. 13 3 解析 a+b=5,ab=6,解得 a,b 的值为 2 或 3. 又 a>b,∴a=3,b=2.∴c= 13,从而 e=c a= 13 3 . 8.x2 9-y2 16=1(x>3) 解析 以 BC 所在直线为 x 轴,BC 的中点为原点建立直角坐标系,则 B(-5,0),C(5,0), 而|AB|-|AC|=63). 9.x2 9 4 -y2 4=1 解析 ∵所求双曲线与双曲线x2 9-y2 16=1 有相同的渐近线,∴可设所求双曲线的方程为 x2 9-y2 16=λ (λ≠0).∵点(-3,2 3)在双曲线上, ∴λ= (-3)2 9 - (2 3)2 16 =1 4. ∴所求双曲线的方程为x2 9 4 -y2 4=1. 10.解 (1)因直线 x=15 4 与渐近线 4x+3y=0 的交点坐标为(15 4 ,-5),而 30 时,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 1=x1+x2 2 =k(2-k) 2-k2 , ∴k=1,满足 Δ>0,∴直线 AB 的方程为 y=x+1. 方法二 (用点差法解决) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则Error!, 两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=1 2(y1-y2)(y1+y2). ∵x1≠x2,∴y1-y2 x1-x2=2(x1+x2) y1+y2 , ∴kAB=2 × 1 × 2 2 × 2 =1, ∴直线 AB 的方程为 y=x+1, 代入 x2-y2 2=1 满足 Δ>0. ∴直线 AB 的方程为 y=x+1. 12. D  [设双曲线方程为x2 a2-y2 b2=1(a>0,b>0),如图所示,双曲线的一条渐近线方程为 y=b ax, 而 kBF=-b c, ∴b a·(-b c)=-1, 整理得 b2=ac. ∴c2-a2-ac=0,两边同除以 a2,得 e2-e-1=0, 解得 e=1+ 5 2 或 e=1- 5 2 (舍去).] 13.解 (1)由双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点得Error!有两个不同的解, 消去 y 并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,① ∴Error! 解得- 20,∴00,∴a=17 13.

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