2.2.2 双曲线的简单几何性质
课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌
握直线与双曲线的位置关系.
1.双曲线的几何性质
标准方程
x2
a2-y2
b2=1
(a>0,b>0)
y2
a2-x2
b2=1
(a>0,b>0)
图形
焦点
焦距
范围
对称性
顶点
轴长 实轴长=______,虚轴长=______
离心率
性
质
渐近线
2.直线与双曲线
一般地,设直线 l:y=kx+m (m≠0) ①
双曲线 C:x2
a2-y2
b2=1 (a>0,b>0) ②
把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
(1)当 b2-a2k2=0,即 k=±b
a时,直线 l 与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线 C 相交于
________.
(2)当 b2-a2k2≠0,即 k≠±b
a时,
Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).
Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点,此时称直线与双曲线相交;
Δ=0⇒直线与双曲线有________公共点,此时称直线与双曲线相切;
Δ0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方程为
( )
A.y=± 2x B.y=±2x
C.y=±
2
2 x D.y=±1
2x
5.直线 l 过点( 2,0)且与双曲线 x2-y2=2 仅有一个公共点,则这样的直线有( )
A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条
6.已知双曲线x2
a2-y2
b2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线的右支
上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为( )
A.4
3 B.5
3 C.2 D.7
3
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7.两个正数 a、b 的等差中项是5
2,一个等比中项是 6,且 a>b,则双曲线x2
a2-y2
b2=1 的
离心率 e=______.
8.在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边,且 a=10,c-b=6,则顶点
A 运动的轨迹方程是________________.
9.与双曲线 x2
9- y2
16=1 有共同的渐近线,并且经过点(-3,2 3)的双曲线方程为
__________.
三、解答题
10.根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)经过点(15
4 ,3),且一条渐近线为 4x+3y=0;
(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直,与两个顶点连线的夹角为π
3.
11.设双曲线 x2-y2
2=1 上两点 A、B,AB 中点 M(1,2),求直线 AB 的方程.
能力提升
12.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条
渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( )
A. 2 B. 3
C. 3+1
2 D. 5+1
2
13.设双曲线 C:x2
a2-y2=1 (a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同的点 A、B.
(1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围;
(2)若设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且PA→
= 5
12PB
→
,求 a 的值.
1.双曲线x2
a2-y2
b2=1 (a>0,b>0)既关于坐标轴对称,又关于坐标原点对称;其顶点为
(±a,0),实轴长为 2a,虚轴长为 2b;其上任一点 P(x,y)的横坐标均满足|x|≥a.
2.双曲线的离心率 e=c
a的取值范围是(1,+∞),其中 c2=a2+b2,且b
a= e2-1,离心
率 e 越大,双曲线的开口越大.可以通过 a、b、c 的关系,列方程或不等式求离心率的值或
范围.
3.双曲线x2
a2-y2
b2=1 (a>0,b>0)的渐近线方程为 y=±b
ax,也可记为x2
a2-y2
b2=0;与双曲
线x2
a2-y2
b2=1 具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为x2
a2-y2
b2=λ (λ≠0).
2.2.2 双曲线的简单几何性质
答案
知识梳理
1.
标准方程 x2
a2-y2
b2=1(a>0,b>0) y2
a2-x2
b2=1(a>0,b>0)
图形
焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c
范围 x≥a 或 x≤-a,y∈R y≥a 或 y≤-a,x∈R
对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称
顶点 (-a,0),(a,0) (0,-a),(0,a)
轴长 实轴长=2a,虚轴长=2b
离心率 e=c
a(e>1)
性
质
渐近线 y=±b
ax y=±a
bx
2.(1)一点 (2)两个 一个 没有
作业设计
1.B [∵e= 6
2 ,∴e2=c2
a2=3
2,∴b2
a2=1
2.]
2.A
3.C [由于椭圆 4x2+y2=1 的焦点坐标为(0, ±
3
2 ),
则双曲线的焦点坐标为(0, ±
3
2 ),又由渐近线方程为 y= 2x,得a
b= 2,即 a2=2b2,
又由 ( 3
2 )2=a2+b2,得 a2=1
2,b2=1
4,又由于焦点在 y 轴上,因此双曲线的方程为 2y2-
4x2=1.故选 C.]
4.C [由题意知,2b=2,2c=2 3,则 b=1,c= 3,a= 2;双曲线的渐近线方程为 y
=±
2
2 x.]
5.C [点( 2,0)即为双曲线的右顶点,过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双
曲线仅有一个公共点,另过该点且与 x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点.]
6.B [||PF1|-|PF2||=2a,即 3|PF2|=2a,
所以|PF2|=2a
3 ≥c-a,即 2a≥3c-3a,即 5a≥3c,
则c
a≤5
3.]
7.
13
3
解析 a+b=5,ab=6,解得 a,b 的值为 2 或 3.
又 a>b,∴a=3,b=2.∴c= 13,从而 e=c
a= 13
3 .
8.x2
9-y2
16=1(x>3)
解析 以 BC 所在直线为 x 轴,BC 的中点为原点建立直角坐标系,则 B(-5,0),C(5,0),
而|AB|-|AC|=63).
9.x2
9
4
-y2
4=1
解析 ∵所求双曲线与双曲线x2
9-y2
16=1 有相同的渐近线,∴可设所求双曲线的方程为
x2
9-y2
16=λ (λ≠0).∵点(-3,2 3)在双曲线上,
∴λ=
(-3)2
9 -
(2 3)2
16 =1
4.
∴所求双曲线的方程为x2
9
4
-y2
4=1.
10.解 (1)因直线 x=15
4 与渐近线 4x+3y=0 的交点坐标为(15
4 ,-5),而 30 时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),
则 1=x1+x2
2 =k(2-k)
2-k2 ,
∴k=1,满足 Δ>0,∴直线 AB 的方程为 y=x+1.
方法二 (用点差法解决)
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则Error!,
两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=1
2(y1-y2)(y1+y2).
∵x1≠x2,∴y1-y2
x1-x2=2(x1+x2)
y1+y2 ,
∴kAB=2 × 1 × 2
2 × 2 =1,
∴直线 AB 的方程为 y=x+1,
代入 x2-y2
2=1 满足 Δ>0.
∴直线 AB 的方程为 y=x+1.
12. D
[设双曲线方程为x2
a2-y2
b2=1(a>0,b>0),如图所示,双曲线的一条渐近线方程为
y=b
ax,
而 kBF=-b
c,
∴b
a·(-b
c)=-1,
整理得 b2=ac.
∴c2-a2-ac=0,两边同除以 a2,得 e2-e-1=0,
解得 e=1+ 5
2 或 e=1- 5
2 (舍去).]
13.解 (1)由双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点得Error!有两个不同的解,
消去 y 并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,①
∴Error!
解得- 20,∴00,∴a=17
13.