人教a版数学【选修1-1】作业:2.3.2抛物线的简单几何性质(含答案).doc
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人教a版数学【选修1-1】作业:2.3.2抛物线的简单几何性质(含答案).doc

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资料简介
2.3.2 抛物线的简单几何性质 课时目标  1.了解抛物线的几何图形,知道抛物线的简单几何性质,学会利用抛物线 方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用. 1.抛物线的简单几何性质 设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0) (1)范围:抛物线上的点(x,y)的横坐标 x 的取值范围是__________,抛物线在 y 轴的 ______侧,当 x 的值增大时,|y|也________,抛物线向右上方和右下方无限延伸. (2)对称性:抛物线关于________对称,抛物线的对称轴叫做________________. (3)顶点:抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________.抛物线的顶点为____________. (4)离心率:抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的 __________,用 e 表示,其值为______. (5)抛物线的焦点到其准线的距离为______,这就是 p 的几何意义,顶点到准线的距离 为p 2,焦点到顶点的距离为______. 2.直线与抛物线的位置关系 直线 y=kx+b 与抛物线 y2=2px(p>0)的交点个数决定于关于 x 的方程 ____________________的解的个数.当 k≠0 时,若 Δ>0,则直线与抛物线有______个 不同的公共点;当 Δ=0 时,直线与抛物线有______个公共点;当 Δ0),AB 为过焦点的一条弦,A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 M(x0, y0),则有以下结论. (1)以 AB 为直径的圆与准线相切. (2)|AB|=2(x0+p 2)(焦点弦长与中点坐标的关系). (3)|AB|=x1+x2+p. (4)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即 x1x2=p2 4 ,y1y2=-p2. 一、选择题 1.顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线过点(-2,3),它的方程是(  ) A.x2=-9 2y 或 y2=4 3x B.y2=-9 2x 或 x2=4 3y C.y2=-9 2x D.x2=4 3y 2.若抛物线 y2=2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列,那么这三个点到抛物 线焦点 F 的距离的关系是(  ) A.成等差数列 B.既成等差数列又成等比数列 C.成等比数列 D.既不成等比数列也不成等差数列 3.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线 准线的距离之和的最小值为(  ) A. 17 2 B.3 C. 5 D.9 2 4.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为(  ) A.y2=±4x B.y2=±8x C.y2=4x D.y2=8x 5.设直线 l1:y=2x,直线 l2 经过点 P(2,1),抛物线 C:y2=4x,已知 l1、l2 与 C 共有三 个交点,则满足条件的直线 l2 的条数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.过抛物线 y2=ax (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若 PF 与 FQ 的长 分别为 p、q,则1 p+1 q等于(  ) A.2a B. 1 2a C.4a D.4 a 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7.已知抛物线 C 的顶点为坐标原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 P(2,2)为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为________. 8.已知 F 是抛物线 C:y2=4x 的焦点,A、B 是抛物线 C 上的两个点,线段 AB 的中点 为 M(2,2),则△ABF 的面积等于________. 9.过抛物线 x2=2py (p>0)的焦点 F 作倾斜角为 30°的直线,与抛物线分别交于 A、B 两 点(点 A 在 y 轴的左侧),则|AF| |FB|=________. 三、解答题 10.设抛物线 y=mx2 (m≠0)的准线与直线 y=1 的距离为 3,求抛物线的标准方程. 11.过点 Q(4,1)作抛物线 y2=8x 的弦 AB,恰被 Q 所平分,求 AB 所在的直线方程. 能力提升 12.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足,如 果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|等于(  ) A.4 3 B.8 C.8 3 D.16 13.已知直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A、B 两点. (1)若|AF|=4,求点 A 的坐标; (2)求线段 AB 的长的最小值. 1.抛物线上一点与焦点的距离问题,可转化为该点到准线的距离. 2.直线与抛物线的位置关系,可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来 判定;“中点弦”问题也可使用“点差法”. 2.3.2 抛物线的简单几何性质 答案 知识梳理 1.(1)x≥0 右 增大 (2)x 轴 抛物线的轴 (3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p p 2 2.k2x2+2(kb-p)x+b2=0 两 一 没有 平行或重合 一 作业设计 1.B [由题意知所求抛物线开口向上或开口向左,利用待定系数法可求得方程.] 2.A [设三点为 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3), 则 y21=2px1,y22=2px2,y23=2px3, 因为 2y22=y21+y23,所以 x1+x3=2x2, 即|P1F|-p 2+|P3F|-p 2=2(|P2F|-p 2), 所以|P1F|+|P3F|=2|P2F|.] 3.A [ 如图所示,由抛物线的定义知,点 P 到准线 x=-1 2的距离 d 等于点 P 到焦点的距离 |PF|.因此点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到准线的距离之和可转化为点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到点 F 的距离之和,其最小值为点 M(0,2)到点 F (1 2,0 )的距离,则距离之和的最小值为 4+1 4= 17 2 .] 4.B [y2=ax 的焦点坐标为(a 4,0 ),过焦点且斜率为 2 的直线方程为 y=2(x-a 4 ),令 x=0 得 y=-a 2. ∴1 2×|a| 4 ×|a| 2 =4,∴a2=64,∴a=±8.] 5.C [∵点 P(2,1)在抛物线内部,且直线 l1 与抛物线 C 相交于 A,B 两点,∴过点 P 的直线 l2 在过点 A 或点 B 或与 x 轴平行时符合题意.∴满足条件的直线 l2 共有 3 条.] 6.D [可采用特殊值法,设 PQ 过焦点 F(a 4,0 )且垂直于 x 轴,则|PF|=p=xP+a 4=a 4+ a 4=a 2, |QF|=q=a 2,∴1 p+1 q=2 a+2 a=4 a.] 7.y2=4x 解析 设抛物线方程为 y2=ax.将 y=x 代入 y2=ax,得 x=0 或 x=a,∴a 2=2.∴a=4. ∴抛物线方程为 y2=4x. 8.2 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y21=4x1,y22=4x2. ∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2). ∵x1≠x2,∴y1-y2 x1-x2= 4 y1+y2=1. ∴直线 AB 的方程为 y-2=x-2,即 y=x. 将其代入 y2=4x,得 A(0,0)、B(4,4). ∴|AB|=4 2.又 F(1,0)到 y=x 的距离为 2 2 , ∴S△ABF=1 2× 2 2 ×4 2=2. 9.1 3 解析 抛物线 x2=2py (p>0)的焦点为 F(0,p 2 ),则直线 AB 的方程为 y= 3 3 x+p 2, 由Error!消去 x,得 12y2-20py+3p2=0,解得 y1=p 6,y2=3p 2 . 由题意可设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义,可知|AF| |FB|= y1+p 2 y2+p 2 = p 6+p 2 3p 2 +p 2 =1 3. 10.解 由 y=mx2 (m≠0)可化为 x2=1 my, 其准线方程为 y=- 1 4m. 由题意知- 1 4m=-2 或- 1 4m=4, 解得 m=1 8或 m=- 1 16. 则所求抛物线的标准方程为 x2=8y 或 x2=-16y. 11.解 方法一 设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为 A(x1,y1)、B(x2,y2), 则有 y21=8x1, ① y22=8x2, ② ∵Q(4,1)是 AB 的中点, ∴x1+x2=8,y1+y2=2. ③ ①-②,得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2). ④ 将③代入④得 y1-y2=4(x1-x2), 即 4=y1-y2 x1-x2,∴k=4. ∴所求弦 AB 所在的直线方程为 y-1=4(x-4),即 4x-y-15=0. 方法二 设弦 AB 所在直线方程为 y=k(x-4)+1. 由Error!消去 x, 得 ky2-8y-32k+8=0, 此方程的两根就是线段端点 A、B 两点的纵坐标,由根与系数的关系和中点坐标公式, 得 y1+y2=8 k,又 y1+y2=2,∴k=4. ∴所求弦 AB 所在的直线方程为 4x-y-15=0. 12. B  [如图所示,直线 AF 的方程为 y=- 3(x-2),与准线方程 x=-2 联立得 A(-2, 4 3). 设 P(x0,4 3),代入抛物线 y2=8x,得 8x0=48,∴x0=6, ∴|PF|=x0+2=8,选 B.] 13.解 由 y2=4x,得 p=2,其准线方程为 x=-1,焦点 F(1,0).设 A(x1,y1), B(x2,y2). 分别过 A、B 作准线的垂线,垂足为 A′、B′. (1)由抛物线的定义可知,|AF|=x1+p 2, 从而 x1=4-1=3. 代入 y2=4x,解得 y1=±2 3. ∴点 A 的坐标为 (3,2 3)或(3,-2 3). (2)当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y=k(x-1). 与抛物线方程联立Error!, 消去 y,整理得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 因为直线与抛物线相交于 A、B 两点, 则 k≠0,并设其两根为 x1,x2,则 x1+x2=2+4 k2. 由抛物线的定义可知, |AB|=x1+x2+p=4+4 k2>4. 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=1,与抛物线相交于 A(1,2),B(1,-2), 此时|AB|=4, 所以,|AB|≥4,即线段 AB 的长的最小值为 4.

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