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2021 年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）
专题 04 平面向量
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、选择题
1．（2019·四川绵阳·高三一模（文））向量 =（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】解：∵ ；
∴ ；
∴x=2．
2．（2019·凤阳县第二中学高三期中（理））已知向量 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得 ，故选 B.
3．（2020·贵州高三其他（理））已知平面向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
( ) ( )1 2 1a b x a b x= − = ⊥ ， ， ，，若 ，则
2− 1−
a b⊥
2 0a b x⋅ = − + =
( )1,2a = ( )3,1b = b a− =
( )2,1− ( )2, 1− ( )2,0 ( )4,3
( ) ( ) ( )3,1 1,2 2, 1b a− = − = −
( )1,a m= ( )1, 3b = − a b a b− = + a =
2 3
3
3
3 3 3 3 2 / 16
【解析】解：由 ，得 ，所以 ，
则 .
.
4．（2019·校高三开学考试（理））已知向量 ， ，且 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【解析】根据题意，得 ，由 ，得 .解得 或 故
选 C.
5．（2020·全国高三其他（理））已知向量 ， ， ，若 ，则实数
的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
a b a b− = + 0a b⋅ = 1 3 0m− + =
3
3m =
∴ ( )2
2
2 31 3 3
3a
= − + =
( )2,1a = ( ), 1b m= − ( )2b a b⊥ −
m
1 3 1 3 4
( )2 4 ,3a b m− = − ( )2b a b⊥ − ( )4 3 0m m− − = 1m = 3.m =
( )1,a m= ( )2,1b = ( )4, 1c = − ( )// 3c a b− m
1
4
1
2
( )1,a m= ( )2,1b =
( )3 1,3 1a b m− = −
( )// 3c a b−
( )3 1 4 1m − × = − 1
4m = 3 / 16
6．（2019·四川仁寿一中高三其他（文））若向量 ＝ ，| |＝2 ，若 ·( － )＝2，则向量
与 的夹角( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知可得： ，得 ，
设向量 与 的夹角为 ，则
所以向量 与 的夹角为
7．（2020·西夏·宁夏大学附属中学高一期末）向量 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．6
【答案】D
【解析】因为
所以
8．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三二模（理））在 中， 是 上一点，且 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
a 1 3,2 2
− b 3 a b a a
b
6
π
4
π
3
π
2
π
2
2a b a− =
3a b =
a b θ 3cos .2
a b
a b
θ = =
×
a b
6
π
( ) ( )2 1 1 2a b= − = − ， ， ， ( )2a b a+ ⋅ =
1− 6−
( ) ( )2 1 1 2a b= − = − ， ， ，
( ) ( )2 3,0 (2, 1) 3 2 0 6a b a+ ⋅ = ⋅ − = × + =
ABC∆ D BC 1
3BD BC=
AD =
1
3AB AC+ 1
3AB AC−
2 1
3 3AB AC+ 1 2
3 3AB AC+ 4 / 16
【解析】因为 是 上一点，且 ，
则 ．
9．（2018·江西省崇义中学高三月考（文））已知向量 ， 满足 ， ，且向量 ， 的夹角为
，若 与 垂直，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据 与 垂直得到（ ）· =0，
所以 .
10．（2019·山东即墨·高三期中）如图所示，在正方形 中， 为 的中点， 为 的中点，则
（ ）
A． B． C． D．
D BC 1
3BD BC=
( )1 1 2 1
3 3 3 3AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC= + = + = + + = +
a b | | 1a = | | 2b = a b
4
π
a bλ− b λ
1
2
− 1
2
2
4
− 2
4
a bλ− b a bλ− b
2 20, 1 2 cos 4 0,4 4a b b
πλ λ λ⋅ − = ∴ × × − = ∴ =
ABCD E AB F CE
BF =
3 1
4 4AB AD+ 1 1
4 2AB AD− + 1
2 AB AD+ 3 1
4 4AB AD− + 5 / 16
【答案】B
【解析】
11．（2020·吉林扶余市第一中学高一期中）如图，在 中， ， ， 分别是边 ， ，
上的中线，它们交于点 ，则下列各等式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ， 分别是边 ， ， 上的中线，它们交于点 ，
所以点 是 的重心.
选项 A：因为点 是 的重心，所以 ，因此 ，所以本选项正确；
选项 B：因为 是边 上的中线，所以 ，又因为点 是 的重心，所以有
，因此 ，所以本选项正确；
选项 C：因为点 是 的重心，所以 ，因此 ，所以本选项不正确；
选项 D：因为 是边 上的中线，点 是 的重心，所以有
( )1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 4BF BC CF BC CE BC BE BC BC BE BC BA= + = + = + − = + = +
1 1
2 4AD AB= −
ABC AD BE CF BC CA
AB G
2
3BG BE= 3AB AC AG+ =
1
2DG AG= 0GA GB GC+ + =
AD BE CF BC CA AB G
G ABC
G ABC
2
3BG BE= 2
3BG BE=
AD BC 2AB AC AD+ = G ABC
2 3
3 2AG AD AD AG= ⇒ = 3AB AC AG+ =
G ABC 2AG DG= 1 1
2 2DG GA AG= = −
AD BC G ABC 6 / 16
，因此本选项正确.
12．（2019·河南新乡·高三一模（理））在 中，角 的对边分別为 ，若 ，
，点 是 的重心，且 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】由题可知 ， ，则 ，
或 .又 ，延长 交 于点 ，所以 .因为 ，所以
，即 ，当 时， ，所以 的面积为
；当 时， ，所以 的面积为 .
13．（2020·高一期末）如图，在 中， ， 是 上的一点，若
，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，可得 ，
2 0GA GB GF CG GA GB GC+ = = ⇒ + + =
ABC , ,A B C , ,a b c 1b =
( )2sin 3cos 3ccosa B C A− = G ABC
13
3AG = ABC
3 3
2 3 2 3 3 3
4 3
2sin sin 3sin cos 3sin cosA B A C C A− = 2sin sin 3sinA B B= 3sin 2A =
3A
π= 2
3
π 13
3AG = AG BC D 13
2AD = ( )1
2AD AB AC= +
( )22 1
4AD AB AC= + ( )2 2 21| | 2 cos4AD b c bc A= + +
3A
π= 3c = ABC∆
1 3 3sin2 4bc A = 2
3A
π= 4c = ABC∆ 1 sin 32 bc A =
ABC∆ 1
3AN NC= P BN
2
11AP mAB AC= + m
9
11
5
11
3
11
2
11
1
3AN NC= 4AC AN= 7 / 16
所以 ，
又 三点共线，由三点共线定理，可得： ，
，
14．（2020·上海高三专题练习）若平面向量 与 的夹角是 180°，且 ，则 等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 （1）
又 （2）， 由（1）（2）可解得 x=-3,y=6 故选 A；
15．（2020·河北唐山·高三二模（文））已知向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹角的
最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 与 夹角为 ，
整理可得： ，即
2 8
11 11AP mAB AC mAB AN= + = +
, ,B P N 8 111m + =
3
11m∴ =
(1, 2)a = − b 3 5b = b
( 3,6)− (3, 6)− (6, 3)− ( 6,3)−
( , )b x y= cos180 2 ,a b x y= − 5 3 5 ( 1) 2x y∴ ⋅ ⋅ − = −
2 2 3 5x y+ =
a b 1a = ( ) ( )3a b a b− ⊥ − a b
30° 60°
120° 150°
a b θ [ ]0,θ π∈
( ) ( )3a b a b− ⊥ −
∴ ( ) ( )3 0a b a b− ⋅ − =
( ) ( )2 2
4 03 a a b b− ⋅ + = 2 2
4 03 a a b b− ⋅ + = 8 / 16
，代入
可得
可得： ，即
整理可得：
当且仅当 ，即 取等号
故 ，结合 ，
根据余弦函数图象可知 最大值：
16．（2020·赤峰二中高一月考（文））已知向量 ,且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知 ，
.
故选：B．
17．（多选题）（2019·全国高一单元测试）下列命题中不正确的是（ ）
A．两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同
1a = 2 2
4 03 a a b b− ⋅ + =
2
3 4 0a b b− ⋅ + =
2
4 cos3 0a b bθ− + = 2
4 cos 03 b bθ− + =
3cos 24 4 24
3
4
3b b
b b
θ = + ≥ × =
3
44
b
b
=
3b =
3cos 2
θ ≥ [ ]0,θ π∈
θ
6
π
( ) ( )2, 3 , ,6= − = p q x //p q p q+
5 13 5 13
3 2 6// 0,, 4p q x x∴− − × = ∴ = −
( 2,3),| | 13p q p q+ = − + = 9 / 16
B．若非零向量 与 共线，则 A、B、C、D 四点共线
C．若非零向量 与 共线，则
D．四边形 ABCD 是平行四边形，则必有
【答案】ABC
【解析】A 中，相等向量的始点相同，则终点一定也相同，所以 A 中命题不正确；
B 中，向量 与 共线，只能说明 、 所在直线平行或在同一条直线上，所以 B 中命题不正确；
C 中，向量 与 共线，说明 与 方向相同或相反， 与 不一定相等，所以 C 中命题不正确；
D 中，因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 与 是相反向量，所以 ，所以 D 中命题正
确.
18．（多选题）（2020·全国高三其他）已知 ，如下四个结论正确的是（ ）
A． ； B．四边形 为平行四边形；
C． 与 夹角的余弦值为 ； D．
【答案】BD
【解析】由 ，
所以 ， ， ， ,
对于 A， ，故 A 错误；
对于 B，由 ， ，则 ，
AB CD
a b a b=
AB CD=
AB CD AB CD
a b a b a b
AB CD | | | |AB CD=
(2,4), (4,1), (9,5), (7,8)A B C D
AB AC ⊥ ABCD
AC BD 7 29
145
85AB AC+ =
(2,4), (4,1), (9,5), (7,8)A B C D
( )2, 3AB = − ( )7,1AC = ( )2, 3DC = − ( )3,7BD =
14 3 11 0AB AC⋅ = − = ≠
( )2, 3AB = − ( )2, 3DC = − AB DC= 10 / 16
即 与 平行且相等，故 B 正确；
对于 C， ，故 C 错误；
对于 D， ，故 D 正确；
19．（多选题）（2020·全国高三其他）已知向量 ， ，则（ ）
A．若 与 垂直，则 B．若 ，则 的值为
C．若 ，则 D．若 ，则 与 的夹角为
【答案】BC
【解析】对于选项 A：由 ，可得 ，解得 ，故 A 错误，
对于选项 B：由 ，可得 ，解得 ，∴ ，
∴ ，故 B 正确；
对于选项 C：若 ，则 ，则 ，故 C 正确：
若 ，对于选项 D： ：设 与 的夹角为 ，
则 ，故 D 错误．
20．（多选题）（2020·嘉祥县第一中学高三其他）在 中，D，E，F 分别是边 ， ， 中点，
下列说法正确的是（ ）
A．
AB DC
21 7 14 29cos , 14550 9 49
AC BDAC BD
AC BD
⋅ += = =
× +
( )| | 9, 2 85AB AC+ = − =
( )1, 2a
→
= − ( )1,b m
→
= −
a
→
b
→ 1m = − //a b
→ →
a b
→ →
⋅ 5−
1m = 13a b
→ →
− = 2m = − a
→
b
→ 60°
a b⊥ ( ) ( )1 1 2 0m× − + − ⋅ = 1
2m = −
//a b
→ → ( ) ( )1 2 1 0m× − − × − = 2m = ( )1,2b = −
( ) ( )1 1 2 2 5a b⋅ = × − + − × = −
1m = ( )2, 3a b− = − 13a b
→ →
− =
2m = − ( )1, 2b = − − a b θ
1 4 3cos 55 5
a b
a b
θ ⋅ − += = =
×
ABC BC AC AB
0AB AC AD+ − = 11 / 16
B．
C．若 ，则 是 在 的投影向量
D．若点 P 是线段 上的动点，且满足 ，则 的最大值为
【答案】BCD
【解析】如图所示：
对选项 A， ，故 A 错误.
对选项 B，
，故 B 正确.
对选项 C， ， ， 分别表示平行于 ， ， 的单位向量，
由平面向量加法可知： 为 的平分线表示的向量.
因为 ，所以 为 的平分线，
0DA EB FC+ + =
3
| | | | | |
AB AC AD
AB AC AD
+ =
BD BA BC
AD BP BA BCλ µ= + λ µ 1
8
2 0AB AC AD AD AD AD+ − = − = ≠
1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2DA EB FC AB AC BA BC CA CB+ + = − + − + − +
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2AB AC BA BC CA CB= − − − − − −
1 1 1 1 1 1 02 2 2 2 2 2AB AC AB BC AC BC= − − + − + + =
| |
AB
AB
| |
AC
AC
| |
AD
AD
AB AC AD
| | | |
AB AC
AB AC
+
BAC∠
3
| | | | | |
AB AC AD
AB AC AD
+ =
AD BAC∠ 12 / 16
又因为 为 的中线，所以 ，如图所示：
在 的投影为 ，
所以 是 在 的投影向量，故选项 C 正确.
对选项 D，如图所示：
因为 在 上，即 三点共线，
设 ， .
又因为 ，所以 .
因为 ，则 ， .
令 ，
AD BC AD BC⊥
BA BC cos
BD
BA B BA BD
BA
= ´ =
BD BA BC
P AD , ,A P D
(1 )BP tBA t BD = + - 0 1t≤ ≤
1
2BD BC= (1 )
2
tBP tBA BC -= +
BP BA BCλ µ= + 1
2
t
t
λ
µ
= −=
0 1t≤ ≤
21 1 1 1( )2 2 2 8
ty t tl m -= = ´ = - - + 13 / 16
当 时， 取得最大值为 .故选项 D 正确.
二、解答题
21．（2020·上海高三专题练习）如图所示， 中，点 为 中点，点 是线段 上靠近点 的一
个三等分点， ， 相交于点 ，设 ， ．
（1）用 ， 表示 ， ；
（2）若 ，求 ．
【解析】解：（1）∵ ，
∴ ，
．
（2）∵ ，
又由 在 上， 与 共线，∴存在实数 ，使 ．
即 ，则 ．
1
2t = λ µ 1
8
OBC A BC D OB B
CD OA E OA a= OB b=
a b OC DC
OE OAλ= λ
2OC OB OA+ =
2 2OC OA OB a b= − = −
2 52 23 3DC OC OD a b b a b= − = − − = −
(2 ) ( 2)CE OE OC a a b a bλ λ= − = − − = − +
E CD CE DC µ CE DCµ=
5( 2) 2 3a b a bλ µ − + = −
2 2
51 3
λ µ
µ
− = = − 14 / 16
解方程组，得 ．
22．（2020·福建省仙游县枫亭中学高三期中（理））已知向量 .
(1)若 ，求 的值；
(2)当 时，求 与 夹角的余弦值．
【解析】解 (1)由题意，得 ．因为 ，
所以 ，解得 .
(2)当 时， ．
设 与 的夹角为 θ，则
.
所以 与 夹角的余弦值为－ .
23．（2020·武威第六中学高一期末）已知向量
（1）若 为锐角，求 的范围；
（2）当 时，求 的值.
【解析】（1）若 为锐角，则 且 不同向
当 时， 同向
4
5
λ =
2,1( ), 1, ), 3 ,1(b m a b n ba a k− = = += − = −
m n
k
=2k m n
1 2( ), )2 ,1(m k kn= = ，－ － － ＋ m n
( )1 2 )1 2(k k× ×＋ ＝－ － － 3k = −
2k＝ , )3( 4n −=
m n
| || |
m ncos
m n
θ ⋅=
2 2 2 2
1 ( 4) ( 2) 3
1 ( 2) (
2 5
4) 3 5
× − + − × =
+ − ⋅ − +
=
m n 2 5
5
(1,2), ( ,1)a b x= =
,a b x
( 2 ) (2 )a b a b+ ⊥ − x
,a b 0a b⋅ > ,a b
2 0, 2a b x x⋅ = + > ∴ > −
1
2x = ,a b 12 2x x∴ > − ≠且 15 / 16
∴ ， ，
24．（2015·上海黄浦·格致中学高三月考（理））
已知 的角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，设向量 ，
， .
（1）若 ，求证： 为等腰三角形；
（2）若 ，边长 ，角 ，求 的面积.
【解析】⑴因为 ，所以 ，即 ,其中 是 的外接圆半径， 所以 ，
所以 为等腰三角形.
⑵因为 ，所以 .
由余弦定理可知， ，即
解方程得： （ 舍去）
所以 .
25．（2020·小店·山西大附中高一月考）已知向量 ，向量 与向量 夹角为 ，且 .
（1）求向量 ；
（2）若向量 与向量 的夹角为 ，向量 ，其中 为 的内角，
且 .求 的取值范围.
(2) 2 (1 2 ,4),(2 ) (2 ,3)a b x a b x+ = + − = −
2 1)(2 ) 3 4 0x x+ − + × =（ 22 3 14 0x x− + + =即 7 22x x= = −解得： 或
ABC∆ A B C a b c ( , )m a b= (sin ,n B=
sin )A ( 2, 2)p b a= − −
//m n ABC∆
m p⊥ 2c = π
3C = ABC∆
sin sina A b B= · ·2 2
a ba bR R
= R ABC∆ a b=
ABC∆
m p⊥ ( ) ( )2 2 0a b b a− + − =
( )22 24 3a b ab a b ab= + − = + − ( )2 3 4 0ab ab− − =
4ab = 1ab = −
1 1sin 4 sin 32 2 3S ab C
π= = × × =
( )1,1m = n m 3
4
π
1m n⋅ = −
n
n ( )1,0q =
2
π 2cos ,2cos 2
Cp A =
, ,A B C ABC
2B A C= + n p+ 16 / 16
【解析】（1）设 ，由 ，可得 ，①
与向量 夹角为 ，有 ，
，则 ，②
由①②解得 或 ，即 或 ；
（2）由 与 垂直知， ，由 ，
知 ，
若 ，则
则
由 ，则 ，则 ，
则 ，故 ，得 .
( ),n x y= 1m n⋅ = − 1x y+ = −
n m 3
4
π 3cos 4m m nn
π⋅ = ⋅ ⋅
1n∴ = 2 2 1x y+ =
1
0
x
y
= −
=
0
1
x
y
=
= −
( )1,0n = − ( )0, 1n = −
n q ( )0, 1n = − 2B A C= +
2 2, ,03 3 3B A C A
π π π= + = < <
( )0, 1n = − 2cos ,2cos 1 (cos ,cos )2
Cn p A A C + = − =
2 2 2 2 1 cos2 1 cos2( ) cos cos 2 2n A Cn p A Cp
+ += + = + = ++
1 4 11 cos2 cos 2 1 cos 22 3 2 3A A A
ππ = + + − = + +
20 3A π< < 523 3 3A
π π π< + < 11 cos 2 3 2A − ≤ +
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