专题04 平面向量-2021年高考数学尖子生培优题典(新高考专版)(解析版)
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专题04 平面向量-2021年高考数学尖子生培优题典(新高考专版)(解析版)

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资料简介
1 / 16 2021 年高考数学尖子生培优题典(新高考专版) 专题 04 平面向量 姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________ 一、选择题 1.(2019·四川绵阳·高三一模(文))向量 =(  ) A.2 B. C.1 D. 【答案】A 【解析】解:∵ ; ∴ ; ∴x=2. 2.(2019·凤阳县第二中学高三期中(理))已知向量 , ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得 ,故选 B. 3.(2020·贵州高三其他(理))已知平面向量 , ,且 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A ( ) ( )1 2 1a b x a b x= − = ⊥  , , ,,若 ,则 2− 1− a b⊥  2 0a b x⋅ = − + = ( )1,2a = ( )3,1b = b a− =  ( )2,1− ( )2, 1− ( )2,0 ( )4,3 ( ) ( ) ( )3,1 1,2 2, 1b a− = − = −  ( )1,a m= ( )1, 3b = − a b a b− = +    a = 2 3 3 3 3 3 3 3 2 / 16 【解析】解:由 ,得 ,所以 , 则 . . 4.(2019·校高三开学考试(理))已知向量 , ,且 , 则 的值为( ) A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】根据题意,得 ,由 ,得 .解得 或 故 选 C. 5.(2020·全国高三其他(理))已知向量 , , ,若 ,则实数 的值为( ) A. B. C.1 D.2 【答案】A 【解析】因为 , , 所以 , 因为 , 所以 ,解得 , a b a b− = +    0a b⋅ =  1 3 0m− + = 3 3m = ∴ ( )2 2 2 31 3 3 3a   = − +   =    ( )2,1a = ( ), 1b m= − ( )2b a b⊥ −  m 1 3 1 3 4 ( )2 4 ,3a b m− = − ( )2b a b⊥ −   ( )4 3 0m m− − = 1m = 3.m = ( )1,a m= ( )2,1b = ( )4, 1c = − ( )// 3c a b−   m 1 4 1 2 ( )1,a m= ( )2,1b = ( )3 1,3 1a b m− = −  ( )// 3c a b−   ( )3 1 4 1m − × = − 1 4m = 3 / 16 6.(2019·四川仁寿一中高三其他(文))若向量 = ,| |=2 ,若 ·( - )=2,则向量 与 的夹角( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由已知可得: ,得 , 设向量 与 的夹角为 ,则 所以向量 与 的夹角为 7.(2020·西夏·宁夏大学附属中学高一期末)向量 ,则 ( ) A.1 B. C. D.6 【答案】D 【解析】因为 所以 8.(2020·宜宾市叙州区第二中学校高三二模(理))在 中, 是 上一点,且 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C a 1 3,2 2  −    b 3 a b a a b 6 π 4 π 3 π 2 π 2 2a b a− =    3a b =   a b θ 3cos .2 a b a b θ = = ×     a b 6 π ( ) ( )2 1 1 2a b= − = − , , , ( )2a b a+ ⋅ =  1− 6− ( ) ( )2 1 1 2a b= − = − , , , ( ) ( )2 3,0 (2, 1) 3 2 0 6a b a+ ⋅ = ⋅ − = × + =  ABC∆ D BC 1 3BD BC= AD = 1 3AB AC+  1 3AB AC−  2 1 3 3AB AC+  1 2 3 3AB AC+  4 / 16 【解析】因为 是 上一点,且 , 则 . 9.(2018·江西省崇义中学高三月考(文))已知向量 , 满足 , ,且向量 , 的夹角为 ,若 与 垂直,则实数 的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据 与 垂直得到( )· =0, 所以 . 10.(2019·山东即墨·高三期中)如图所示,在正方形 中, 为 的中点, 为 的中点,则 ( ) A. B. C. D. D BC 1 3BD BC= ( )1 1 2 1 3 3 3 3AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC= + = + = + + = +          a b | | 1a = | | 2b = a b 4 π a bλ−  b λ 1 2 − 1 2 2 4 − 2 4 a bλ−  b a bλ−  b 2 20, 1 2 cos 4 0,4 4a b b πλ λ λ⋅ − = ∴ × × − = ∴ =  ABCD E AB F CE BF = 3 1 4 4AB AD+  1 1 4 2AB AD− +  1 2 AB AD+  3 1 4 4AB AD− +  5 / 16 【答案】B 【解析】 11.(2020·吉林扶余市第一中学高一期中)如图,在 中, , , 分别是边 , , 上的中线,它们交于点 ,则下列各等式中不正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为 , , 分别是边 , , 上的中线,它们交于点 , 所以点 是 的重心. 选项 A:因为点 是 的重心,所以 ,因此 ,所以本选项正确; 选项 B:因为 是边 上的中线,所以 ,又因为点 是 的重心,所以有 ,因此 ,所以本选项正确; 选项 C:因为点 是 的重心,所以 ,因此 ,所以本选项不正确; 选项 D:因为 是边 上的中线,点 是 的重心,所以有 ( )1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 4BF BC CF BC CE BC BE BC BC BE BC BA= + = + = + − = + = +            1 1 2 4AD AB= −  ABC AD BE CF BC CA AB G 2 3BG BE=  3AB AC AG+ =   1 2DG AG=  0GA GB GC+ + =    AD BE CF BC CA AB G G ABC G ABC 2 3BG BE= 2 3BG BE=  AD BC 2AB AC AD+ =   G ABC 2 3 3 2AG AD AD AG= ⇒ =    3AB AC AG+ =   G ABC 2AG DG= 1 1 2 2DG GA AG= = −   AD BC G ABC 6 / 16 ,因此本选项正确. 12.(2019·河南新乡·高三一模(理))在 中,角 的对边分別为 ,若 , ,点 是 的重心,且 ,则 的面积为( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】由题可知 , ,则 , 或 .又 ,延长 交 于点 ,所以 .因为 ,所以 ,即 ,当 时, ,所以 的面积为 ;当 时, ,所以 的面积为 . 13.(2020·高一期末)如图,在 中, , 是 上的一点,若 ,则实数 的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由 ,可得 , 2 0GA GB GF CG GA GB GC+ = = ⇒ + + =        ABC , ,A B C , ,a b c 1b = ( )2sin 3cos 3ccosa B C A− = G ABC 13 3AG = ABC 3 3 2 3 2 3 3 3 4 3 2sin sin 3sin cos 3sin cosA B A C C A− = 2sin sin 3sinA B B= 3sin 2A = 3A π= 2 3 π 13 3AG = AG BC D 13 2AD = ( )1 2AD AB AC= +   ( )22 1 4AD AB AC= +   ( )2 2 21| | 2 cos4AD b c bc A= + + 3A π= 3c = ABC∆ 1 3 3sin2 4bc A = 2 3A π= 4c = ABC∆ 1 sin 32 bc A = ABC∆ 1 3AN NC=  P BN 2 11AP mAB AC= +   m 9 11 5 11 3 11 2 11 1 3AN NC=  4AC AN=  7 / 16 所以 , 又 三点共线,由三点共线定理,可得: , , 14.(2020·上海高三专题练习)若平面向量 与 的夹角是 180°,且 ,则 等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设 ,则 (1) 又 (2), 由(1)(2)可解得 x=-3,y=6 故选 A; 15.(2020·河北唐山·高三二模(文))已知向量 , 满足 , ,则 与 的夹角的 最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设 与 夹角为 , 整理可得: ,即 2 8 11 11AP mAB AC mAB AN= + = +     , ,B P N 8 111m + = 3 11m∴ = (1, 2)a = − b 3 5b = b ( 3,6)− (3, 6)− (6, 3)− ( 6,3)− ( , )b x y= cos180 2 ,a b x y= − 5 3 5 ( 1) 2x y∴ ⋅ ⋅ − = − 2 2 3 5x y+ = a b 1a = ( ) ( )3a b a b− ⊥ −    a b 30° 60° 120° 150° a b θ [ ]0,θ π∈  ( ) ( )3a b a b− ⊥ −    ∴ ( ) ( )3 0a b a b− ⋅ − =    ( ) ( )2 2 4 03 a a b b− ⋅ + =    2 2 4 03 a a b b− ⋅ + =    8 / 16 ,代入 可得 可得: ,即 整理可得: 当且仅当 ,即 取等号 故 ,结合 , 根据余弦函数图象可知 最大值: 16.(2020·赤峰二中高一月考(文))已知向量 ,且 ,则 的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由已知 , . 故选:B. 17.(多选题)(2019·全国高一单元测试)下列命题中不正确的是( ) A.两个有共同始点且相等的向量,其终点可能不同  1a = 2 2 4 03 a a b b− ⋅ + =    2 3 4 0a b b− ⋅ + =   2 4 cos3 0a b bθ− + =   2 4 cos 03 b bθ− + =  3cos 24 4 24 3 4 3b b b b θ = + ≥ × =     3 44 b b =   3b = 3cos 2 θ ≥ [ ]0,θ π∈ θ 6 π ( ) ( )2, 3 , ,6= − = p q x //p q  p q+  5 13 5 13 3 2 6// 0,, 4p q x x∴− − × = ∴ = −  ( 2,3),| | 13p q p q+ = − + =    9 / 16 B.若非零向量 与 共线,则 A、B、C、D 四点共线 C.若非零向量 与 共线,则 D.四边形 ABCD 是平行四边形,则必有 【答案】ABC 【解析】A 中,相等向量的始点相同,则终点一定也相同,所以 A 中命题不正确; B 中,向量 与 共线,只能说明 、 所在直线平行或在同一条直线上,所以 B 中命题不正确; C 中,向量 与 共线,说明 与 方向相同或相反, 与 不一定相等,所以 C 中命题不正确; D 中,因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 与 是相反向量,所以 ,所以 D 中命题正 确. 18.(多选题)(2020·全国高三其他)已知 ,如下四个结论正确的是( ) A. ; B.四边形 为平行四边形; C. 与 夹角的余弦值为 ; D. 【答案】BD 【解析】由 , 所以 , , , , 对于 A, ,故 A 错误; 对于 B,由 , ,则 , AB CD a b a b=  AB CD=  AB CD AB CD a b a b a b AB CD | | | |AB CD=  (2,4), (4,1), (9,5), (7,8)A B C D AB AC ⊥ ABCD AC BD 7 29 145 85AB AC+ =  (2,4), (4,1), (9,5), (7,8)A B C D ( )2, 3AB = − ( )7,1AC = ( )2, 3DC = − ( )3,7BD = 14 3 11 0AB AC⋅ = − = ≠  ( )2, 3AB = − ( )2, 3DC = − AB DC=  10 / 16 即 与 平行且相等,故 B 正确; 对于 C, ,故 C 错误; 对于 D, ,故 D 正确; 19.(多选题)(2020·全国高三其他)已知向量 , ,则( ) A.若 与 垂直,则 B.若 ,则 的值为 C.若 ,则 D.若 ,则 与 的夹角为 【答案】BC 【解析】对于选项 A:由 ,可得 ,解得 ,故 A 错误, 对于选项 B:由 ,可得 ,解得 ,∴ , ∴ ,故 B 正确; 对于选项 C:若 ,则 ,则 ,故 C 正确: 若 ,对于选项 D: :设 与 的夹角为 , 则 ,故 D 错误. 20.(多选题)(2020·嘉祥县第一中学高三其他)在 中,D,E,F 分别是边 , , 中点, 下列说法正确的是( ) A. AB DC 21 7 14 29cos , 14550 9 49 AC BDAC BD AC BD ⋅ += = = × +      ( )| | 9, 2 85AB AC+ = − =  ( )1, 2a → = − ( )1,b m → = − a → b → 1m = − //a b → → a b → → ⋅ 5− 1m = 13a b → → − = 2m = − a → b → 60° a b⊥  ( ) ( )1 1 2 0m× − + − ⋅ = 1 2m = − //a b → → ( ) ( )1 2 1 0m× − − × − = 2m = ( )1,2b = − ( ) ( )1 1 2 2 5a b⋅ = × − + − × = −  1m = ( )2, 3a b− = −  13a b → → − = 2m = − ( )1, 2b = − − a b θ 1 4 3cos 55 5 a b a b θ ⋅ − += = = ×     ABC BC AC AB 0AB AC AD+ − =    11 / 16 B. C.若 ,则 是 在 的投影向量 D.若点 P 是线段 上的动点,且满足 ,则 的最大值为 【答案】BCD 【解析】如图所示: 对选项 A, ,故 A 错误. 对选项 B, ,故 B 正确. 对选项 C, , , 分别表示平行于 , , 的单位向量, 由平面向量加法可知: 为 的平分线表示的向量. 因为 ,所以 为 的平分线, 0DA EB FC+ + =    3 | | | | | | AB AC AD AB AC AD + =       BD BA BC AD BP BA BCλ µ= +   λ µ 1 8 2 0AB AC AD AD AD AD+ − = − = ≠       1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2DA EB FC AB AC BA BC CA CB+ + = − + − + − +         1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2AB AC BA BC CA CB= − − − − − −      1 1 1 1 1 1 02 2 2 2 2 2AB AC AB BC AC BC= − − + − + + =       | | AB AB   | | AC AC   | | AD AD   AB AC AD | | | | AB AC AB AC +     BAC∠ 3 | | | | | | AB AC AD AB AC AD + =       AD BAC∠ 12 / 16 又因为 为 的中线,所以 ,如图所示: 在 的投影为 , 所以 是 在 的投影向量,故选项 C 正确. 对选项 D,如图所示: 因为 在 上,即 三点共线, 设 , . 又因为 ,所以 . 因为 ,则 , . 令 , AD BC AD BC⊥ BA BC cos BD BA B BA BD BA     = ´ = BD BA BC P AD , ,A P D (1 )BP tBA t BD  = + - 0 1t≤ ≤ 1 2BD BC=  (1 ) 2 tBP tBA BC  -= + BP BA BCλ µ= +   1 2 t t λ µ = −= 0 1t≤ ≤ 21 1 1 1( )2 2 2 8 ty t tl m -= = ´ = - - + 13 / 16 当 时, 取得最大值为 .故选项 D 正确. 二、解答题 21.(2020·上海高三专题练习)如图所示, 中,点 为 中点,点 是线段 上靠近点 的一 个三等分点, , 相交于点 ,设 , . (1)用 , 表示 , ; (2)若 ,求 . 【解析】解:(1)∵ , ∴ , . (2)∵ , 又由 在 上, 与 共线,∴存在实数 ,使 . 即 ,则 . 1 2t = λ µ 1 8 OBC A BC D OB B CD OA E OA a=  OB b=  a b OC DC OE OAλ=  λ 2OC OB OA+ =   2 2OC OA OB a b= − = −    2 52 23 3DC OC OD a b b a b= − = − − = −       (2 ) ( 2)CE OE OC a a b a bλ λ= − = − − = − +       E CD CE DC µ CE DCµ=  5( 2) 2 3a b a bλ µ  − + = −      2 2 51 3 λ µ µ − = = − 14 / 16 解方程组,得 . 22.(2020·福建省仙游县枫亭中学高三期中(理))已知向量 . (1)若 ,求 的值; (2)当 时,求 与 夹角的余弦值. 【解析】解 (1)由题意,得 .因为 , 所以 ,解得 . (2)当 时, . 设 与 的夹角为 θ,则 . 所以 与 夹角的余弦值为- . 23.(2020·武威第六中学高一期末)已知向量 (1)若 为锐角,求 的范围; (2)当 时,求 的值. 【解析】(1)若 为锐角,则 且 不同向 当 时, 同向 4 5 λ = 2,1( ), 1, ), 3 ,1(b m a b n ba a k− = = += − = −       m n   k =2k m n 1 2( ), )2 ,1(m k kn= = ,- - - + m n   ( )1 2 )1 2(k k× ×+ =- - - 3k = − 2k= , )3( 4n −= m n | || | m ncos m n θ ⋅=     2 2 2 2 1 ( 4) ( 2) 3 1 ( 2) ( 2 5 4) 3 5 × − + − × = + − ⋅ − + = m n 2 5 5 (1,2), ( ,1)a b x= = ,a b x ( 2 ) (2 )a b a b+ ⊥ −   x ,a b 0a b⋅ > ,a b 2 0, 2a b x x⋅ = + > ∴ > − 1 2x = ,a b 12 2x x∴ > − ≠且 15 / 16 ∴ , , 24.(2015·上海黄浦·格致中学高三月考(理)) 已知 的角 、 、 所对的边分别是 、 、 ,设向量 , , . (1)若 ,求证: 为等腰三角形; (2)若 ,边长 ,角 ,求 的面积. 【解析】⑴因为 ,所以 ,即 ,其中 是 的外接圆半径, 所以 , 所以 为等腰三角形. ⑵因为 ,所以 . 由余弦定理可知, ,即 解方程得: ( 舍去) 所以 . 25.(2020·小店·山西大附中高一月考)已知向量 ,向量 与向量 夹角为 ,且 . (1)求向量 ; (2)若向量 与向量 的夹角为 ,向量 ,其中 为 的内角, 且 .求 的取值范围. (2) 2 (1 2 ,4),(2 ) (2 ,3)a b x a b x+ = + − = −   2 1)(2 ) 3 4 0x x+ − + × =( 22 3 14 0x x− + + =即 7 22x x= = −解得: 或 ABC∆ A B C a b c ( , )m a b= (sin ,n B= sin )A ( 2, 2)p b a= − − //m n  ABC∆ m p⊥  2c = π 3C = ABC∆ sin sina A b B= · ·2 2 a ba bR R = R ABC∆ a b= ABC∆ m p⊥  ( ) ( )2 2 0a b b a− + − = ( )22 24 3a b ab a b ab= + − = + − ( )2 3 4 0ab ab− − = 4ab = 1ab = − 1 1sin 4 sin 32 2 3S ab C π= = × × = ( )1,1m = n m 3 4 π 1m n⋅ = −  n n ( )1,0q = 2 π 2cos ,2cos 2 Cp A =     , ,A B C ABC 2B A C= + n p+  16 / 16 【解析】(1)设 ,由 ,可得 ,① 与向量 夹角为 ,有 , ,则 ,② 由①②解得 或 ,即 或 ; (2)由 与 垂直知, ,由 , 知 , 若 ,则 则 由 ,则 ,则 , 则 ,故 ,得 . ( ),n x y= 1m n⋅ = −  1x y+ = − n m 3 4 π 3cos 4m m nn π⋅ = ⋅ ⋅   1n∴ = 2 2 1x y+ = 1 0 x y = −  = 0 1 x y =  = − ( )1,0n = − ( )0, 1n = − n q ( )0, 1n = − 2B A C= + 2 2, ,03 3 3B A C A π π π= + = < < ( )0, 1n = − 2cos ,2cos 1 (cos ,cos )2 Cn p A A C + = − =     2 2 2 2 1 cos2 1 cos2( ) cos cos 2 2n A Cn p A Cp + += + = + = ++     1 4 11 cos2 cos 2 1 cos 22 3 2 3A A A ππ    = + + − = + +         20 3A π< < 523 3 3A π π π< + < 11 cos 2 3 2A − ≤ +

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