专题05 数列-2021年高考数学尖子生培优题典(新高考专版)(解析版)
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专题05 数列-2021年高考数学尖子生培优题典(新高考专版)(解析版)

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资料简介
2021 年高考数学尖子生培优题典(新高考专版) 专题 05 数列 姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________ 一、选择题 1.(2019·山东任城·济宁一中高三月考)在等差数列{an}中,若 a3=5,S4=24,则 a9=( ) A.﹣5 B.﹣7 C.﹣9 D.﹣11 【答案】B 【解析】数列{an}为等差数列,设首项为 a1,公差为 d, ∵a3=5,S4=24, ∴a1+2d=5,4a1+ d=24, 联立解得 a1=9,d=﹣2, 则 a9=9﹣2×8=﹣7. 2.(2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模(理))等比数列 的前 项和为 ,且 , , 成等 差数列,若 ,则 ( ) A.7 B.8 C.15 D.16 【答案】C 【解析】由数列 为等比数列,且 成等差数列,所以 ,即 , 因为 ,所以 ,解得: ,根据等比数列前 n 项和公式 . 4 3 2 × { }na n nS 14a 22a 3a 1 1a = 4s =3.(2020·宁夏惠农·高三其他(文))我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足” 章中有一道“两鼠穿墙”问题:有厚墙 5 尺,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,大老鼠第一天进一 尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半,问两鼠在第几天相遇?( ) A.第 2 天 B.第 3 天 C.第 4 天 D.第 5 天 【答案】B 【解析】第一天共挖 ,前二天共挖 ,故前 天挖通,故两鼠相遇在第 天. 4.(2020·广西七星·高三月考(理))已知等差数列 的前 n 项和为 ,若 ,则 ( ) A.7 B.10 C.63 D.18 【答案】C 【解析】等差数列 的首项为 ,公差为 所以 , , 所以 , 所以 ,即 , 所以 .. 5.(2019·安徽省太和中学高三月考(理))已知等差数列 中, ,公差 ,则 与 的等 差中项是( ) A. B. C. D. 【答案】A 1 1 2+ = 2 2 0.5 4.5+ + = 3 3 { }na nS 3 1 62 14S a a− + = 9S = { }na 1a d 3 1 1 3 23 3 32S a d a d ×= + = + 6 1 5a a d= + 1 1 1 13 3 2 5 2 8 14a d a a d a d+ − + + = + = 1 4 7a d+ = 5 7a = 1 9 9 5 ( ) 9 9 632 a aS a + ×= = = { }na 1 2a = − 3 2d = 2a 6a 5 2 7 2 11 2 6【解析】 与 的等差中项是 . 6.(2020·黑龙江让胡路·高一期末)已知 是等比数列, ,则公比 =( ) A. B. C.2 D. 【答案】D 【解析】由等比数列的性质可得: ,即: ,解得: . 7.(2019·全国高三专题练习)已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,则满足 的正整 数 的最大值为( ) A.16 B.17 C.18 D.19 【答案】C 【解析】由 得, , , ,所以公差大于零. 又 , , , 8.(2020·勃利县高级中学高一期末)设 是等差数列 的前 项和,若 ,则 ( ) A. B. C.2 D. 【答案】A 【解析】 ,故选 A. 2a 6a 4 3 52 3 2 2a = − + × = { }na 2 5 12, 4a a= = q 1 2 − 2− 1 2 3 5 2a a q= 31 24 q= × 1 2q = { }na n nS 8 10 9S S S< < 0nS > n 8 10 9S S S< < 9 0a > 10 0a < 9 10 0a a+ > ( )1 17 17 9 17 17 02 a aS a += = > ( )1 19 19 10 19 19 02 a aS a += = < ( ) ( )1 18 18 9 10 18 9 02 a aS a a += = + > nS { }na n 5 3 5 9 a a = 9 5 S S = 1 1− 1 2 ( ) ( ) 1 9 9 1 55 9 5 92 19 552 a a S a aS + ⋅ = = ⋅ =+ ⋅9.(2019·吉林长春·东高三月考(理))已知正项等比数列 的前 项和为 ,且 ,则 的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 是等比数列, ,即 , 也是等比数列,且 , , 可得: ,当且仅当 时取等号, 的最小值为 . 10.(2020·安徽高一期中)若数列 是等差数列,首项 , , ,则使前 项和 成立的最大自然数 是( ) A.4040 B.4041 C.4042 D.4043 【答案】A 【解析】∵ ,∴ 和 异号, 又数列 是等差数列,首项 ,∴ 是递减的数列, , ,∴ , { }na n nS 6 32 2S S− = 7 8 9a a a+ + 9 8 6 4 { }na 6 32 2S S− = 6 3 3 2S S S− = + ∴ 3 6 3 9 6, ,S S S S S− − 9 6 7 8 9S S a a a− = + + ( ) ( )2 6 3 3 9 6S S S S S∴ − = ⋅ − ( )2 2 3 3 3 9 6 3 3 3 3 2 4 4 4 4S S SS S SS S S + + +− = = = + + 3 3 42 4 8S S ≥ ⋅ + = 3 2S = ∴ 7 8 9a a a+ + 8 { }na 1 0a > 2020 2021 0a a+ > 2020 2021 0a a⋅ < n 0nS > n 2020 2021 0a a⋅ < 2020a 2021a { }na 1 0a > { }na 2020 20210, 0a a> < 2020 2021 0a a+ > 1 4040 4040 2020 2021 4040( ) 2020( ) 02 a aS a a += = + >, ∴满足 的最大自然数 为 4040. 11.(2020·安徽高一期中)已知 ,( ),则在数列{ }的前 50 项中最小项 和最大项分别是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为 在 上单调减,在 单调减, 所以当 时 ,此时 ,当 时 ,此时 ,因此数列{ }的前 50 项中最小项和最大项分别为 ,选 C. 12.(2020·安徽蚌埠·高一期末)已知等差数列 的前 项和为 ,等差数列 的前 项和为 .若 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解:∵ 是等差数列 的前 项和,∴ ,即 , ∵ 是等差数列 的前 项和,∴ ,即 , ∴ , 1 4041 4041 2021 4041( ) 4041 02 a aS a += = < 0nS > n 79 80n na n −= − n∈ +N na 1 50,a a 81,a a 8 9,a a 59 0,a a 79 80 79=1+ 80 80 xy x x − −= − − ( , 80−∞ ) ( 80, )+∞ ( , 80x∈ −∞ ) ( ,1)y∈ −∞ 8 1[ , ] ( ,1)na a a∈ ⊂ −∞ ( 80, )x∈ +∞ (1, )y∈ +∞ 50 9[ , ] (1, )na a a∈ ⊂ +∞ na 8 9,a a { }na n nS { }nb n nT 2 1 1 n n S n T n −= + 5 5 a b = 19 11 17 10 3 2 7 5 nS { }na n 1 9 5 9 5 9( ) 9 2 92 2 a a aS a + ×= = = 9 5 9 Sa = nT { }nb n 1 9 5 9 5 9( ) 9 2 92 2 b b bT b + ×= = = 9 5 9 Tb = 5 9 5 9 2 9 1 17 9 1 10 a S b T × −= =+=13.(2020·贵州铜仁伟才学校高二期末(理))设数列 的前 项和为 ,且 ,则数列 的前 10 项的和是( ) A.290 B. C. D. 【答案】C 【解析】由 得 , 当 时, ,整理得 , 所以 是公差为 4 的等差数列,又 , 所以 ,从而 , 所以 , 数列 的前 10 项的和 . 14.(2020·全国高三其他)已知数列 , 均为等差数列,其前 项和分别为 , ,且 , 则使 恒成立的实数 的最大值为( ) A. B. C.1 D.2 【答案】B { }na n nS 1 1a = 2( 1)( )n n Sa n n Nn ∗= + − ∈ 1 3nS n    +  9 20 5 11 10 11 ( )2( 1)n n Sa n n Nn ∗= + − ∈ 2 ( 1)n nS na n n= − − 2n ≥ 1 1( 1) 4( 1)n n n n na S S na n a n− −= − = − − − − 1 4n na a −− = { }na 1 1a = ( )4 3na n n N ∗= − ∈ ( ) 213 3 2 2 2 ( 1)2 n n n a aS n n n n n n ++ = + = + = + 1 1 1 1 1 3 2 ( 1) 2 1nS n n n n n  = = − + + +  1 3nS n    +  1 1 512 11 11S  = − =   { }na { }nb n nA nB 2 1 n n A n B n = + n n a b λ≥ λ 1 2 1 3【解析】由题意可得 . 设 , , 因为函数 是增函数, 所以当 时,函数 取最小值, 所以 . 故实数 的最大值为 . 15.(2020·高一期中)已知 是等差数列,若 ,数列 满足 , 则 等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】已知 是等差数列,且 , 所以 , 解得 , 所以 , 所以 , ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 12 2 2 12 2 n n n n nn a a a a na b b b bb n − − − − + + ⋅ − = =+ + ⋅ − ( ) ( )2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 4 1 n n A n B n n − − −= = = −− + − ( ) ( ) 1 1 2 2 4 1f n n = − − n ∗∈N ( )f n 1n = ( )f n ( ) ( ) 11 3f n f≥ = λ 1 3 { }na 42 56, 5a a a+ = = { }nb 1n n nb a a += 1 2 1 1 1 nb b b + + + 1 n n − 1n n − 1n n + 1 n n + { }na 42 56, 5a a a+ = = 1 12 4 6, 4 5++ = =a a dd 1 1, 1a d= = 1 ( 1)na a n d n= + − = ( )1nb n n= +所以 , 所以 , , 16.(多选题)(2020·山东文登·高二期末)设等差数列 的前 项和为 .若 , ,则( ) A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】设等差数列 的公差为 ,则 ,解得 , , . 17.(多选题)(2019·山东薛城·高二期中)若数列 对任意 满足 ,下面选项中关于数列 的命题正确的是( ) A. 可以是等差数列 B. 可以是等比数列 C. 可以既是等差又是等比数列 D. 可以既不是等差又不是等比数列 【答案】ABD 【解析】解:因为 , 所以 或 , ( ) 1 1 1 1 1 1nb n n n n = = −+ + 1 2 1 1 1 nb b b + + + 1 1 1 1 1 1 1 1...1 2 2 3 3 4 1n n = − + − + − + + − + 11 1 1 n n n = − =+ + { }na n nS 3 0S = 4 8a = 22 6nS n n= − 2 3nS n n= − 4 8na n= − 2na n= { }na d 3 1 4 1 3 3 0 3 8 S a d a a d = + =  = + = 1 4 4 a d = −  = ( ) ( )1 1 4 4 1 4 8na a n d n n∴ = + − = − + − = − ( ) ( ) 2 1 1 4 2 1 2 62n n n dS na n n n n n −= + = − + − = − { }na 2( )n n N≥ ∈ 1 1( 2)( 2 ) 0n n n na a a a− −− − − = { }na { }na { }na { }na { }na 1 1( 2)( 2 ) 0n n n na a a a− −− − − = 1 2 0n na a −− − = 12 0n na a −− =即: 或 ①当 时, 是等差数列或是等比数列. ② 或 时, 可以既不是等差又不是等比数列 18.(多选题)(2020·江苏盐城·高二期末)设 , 分别为等差数列 的公差与前 项和,若 ,则下列论断中正确的有( ) A.当 时, 取最大值 B.当 时, C.当 时, D.当 时, 【答案】BC 【解析】因为 ,所以 ,解得 . 对选项 A,因为无法确定 和 的正负性, 所以无法确定 是否有最大值,故 A 错误. 对选项 B, , 故 B 正确. 对选项 C, , 故 C 正确. 对选项 D, , , 1 2n na a −− = 12n na a −= 10, 0n na a −≠ ≠ { }na 0na = 1 0na − = { }na d nS { }na n 10 20S S= 15n = nS 30n = 0nS = 0d > 10 22 0a a+ > 0d < 10 22a a> 10 20S S= 1 1 10 9 20 1910 202 2a d a d × ×+ = + 1 29 2a d= − 1a d nS 130 30 29 2930 30 15 29 02 2a dS d d ×  = + = × − + × =   ( )10 22 16 1 292 15 2 15 02a a a a d d d d + = 2 = + = − + = >   10 1 29 18 119 2 2 2a a d d d d= + = − + = − 22 1 29 42 1321 2 2 2a a d d d d= + = − + =因为 ,所以 , , ,故 D 错误. 19.(多选题)(2020·海南海口·高三其他)已知正项等比数列 满足 , ,若设其公比 为 q,前 n 项和为 ,则( ) A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】由题意 ,得 ,解得 (负值舍去),选项 A 正确; ,选项 B 正确; ,所以 ,选项 C 错误; ,而 ,选项 D 正确. 20.(多选题)(2020·山东泰安·高三其他)大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主 要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪 数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前 10 项依次是 0,2,4,8,12,18, 24,32,40,50,…,则下列说法正确的是( ) A.此数列的第 20 项是 200 B.此数列的第 19 项是 182 C.此数列偶数项的通项公式为 D.此数列的前 项和为 【答案】AC 【解析】观察此数列,偶数项通项公式为 ,奇数项是后一项减去后一项的项数, ,由此可得 ,A 正确; ,B 错误;C 正确; 0d < 10 11 2a d= − 22 13 2a d= − 10 22a a< { }na 1 2a = 4 2 32a a a= + nS 2q = 2n na = 10 2047S = 1 2n n na a a+ ++ < 3 22 4 2q q q= + 2 2 0q q− − = 2q = 12 2 2n n na −= × = ( ) 12 2 1 2 22 1 n n nS + × − = = −− 10 2046S = 1 3n n na a a++ = 2 4 3n n na a a+ = > 2 2 2na n= n ( 1)nS n n= ⋅ − 2 2 2na n= 2 1 2 2n na a n− = − 2 20 2 10 200a = × = 19 20 20 180a a= − =是一个等差数列的前 项,而题中数列不是等差数列,不可能有 ,D 错. 二、 解答题 21.(2020·贵州铜仁伟才学校高一期末)等比数列 中, . (1)求 的通项公式; (2)记 为 的前 项和.若 ,求 . 【解析】(1)设 的公比为 ,由题设得 . 由已知得 ,解得 (舍去), 或 . 故 或 . (2)若 ,则 .由 得 ,此方程没有正整数解. 若 ,则 .由 得 ,解得 . 综上, . 22.(2020·河北路北·开滦第一中学高一期末)已知等差数列 和正项等比数列 满足 . (1)求 的通项公式; (2)求数列 的前 n 项和. 【解析】(1)设等差数列 公差为 ,正项等比数列 公比为 , 2( 1)nS n n n n= − = − n ( 1)nS n n= ⋅ − { }na 1 5 31 4a a a= =, { }na nS { }na n 63mS = m { }na q 1n na q −= 4 24q q= 0q = 2q = − 2q = ( ) 12 n na −= − 12n na −= ( ) 12 n na −= − ( )1 2 3 n nS − −= 63mS = ( )2 188m− = − 12n na −= 2 1n nS = − 63mS = 2 64m = 6m = 6m = { }na { }nb 1 1 2 4 3 51, 10,a b a a b a= = + = = { }na { }nb { }na d { }nb q因为 , 所以 因此 ; (2)数列 的前 n 项和 23.(2020·安徽高二期末(理))已知数列 的前 n 项和为 ,且 , . (1)求 的通项公式; (2)令 ,求数列 的前 n 项和 . 【解析】解:(1)因为 , 所以 ,两式作差可得 , 整理得 ,则 , 故 , 当 时, 满足上式,故 . (2)由(1)可知 , 则 . 1 1 2 4 3 51, 10,a b a a b a= = + = = 21 1 3 10, 1 4 2, 0 3d d q d d q q+ + + = = + ∴ = > ∴ = 1 11 ( 1) 2 2 1, 1 3 3n n nna n n b − −= + − × = − = × = { }nb 1 3 1 (3 1)1 3 2 n n nS −= = −− { }na nS 1 2a = ( ) ( )*2 1n nS n a n N= + ∈ { }na ( )( )1 4 2 2n n n b a a + = + + { }nb nT ( ) ( )*2 1n nS n a n N= + ∈ 1 12 n nS na− −= ( )2n ≥ ( ) ( )12 1 2n n na n a na n−= + − ≥ ( ) ( )11 2n nn a na n−=− ≥ ( ) 1 21 n n a n na n− = ≥− ( )32 1 1 2 1 2 32 2 21 2 1n n na aa na a n na a a n− = × × × × = × × × × = ≥−  1n = 1 2a = 2na n= ( )( ) ( )( ) ( )( )1 4 4 1 1 1 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2n n n b a a n n n n n n+ = = = = −+ + + + + + + + 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 1 2n nT b b b b n n        = + + + + = − + − + − + + −       + +        . 24.(2020·黑龙江萨尔图·高一期末)已知数列 的前 项和为 ,且满足 , . (1)证明:数列 为等比数列; (2)若 ,数列 的前项和为 ,求 . 【解析】(1) ,则当 时, , 两式相减得: , ∴ ,即: , 又 时, ,解得: ,∴ , ∴ , ∴数列 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. (2)由(1)得: ,∴ , 又 ,∴ , ∴ , 设 , 则 , 1 1 2 2 2 4 n n n = − =+ + { }na n nS 2 2 6n nS a n= + − ( )*Nn∈ { }2na − ( )2log 2n n nb a a= ⋅ − { }nb nT nT 2 2 6n nS a n= + − 2n ≥ ( )1 12 2 1 6n nS a n− −= + − − 12 2 2n n na a a −= − + 12 2n na a −= − ( )12 2 2n na a −− = − 1n = 1 1 12 2 6S a a= = + − 1 4a = 1 2 2 0a − = ≠ 2 0na − ≠ 1 2 22 n n a a − − =− { }2na − 12 2 2 2n n na −− = × = 2 2n na = + ( )2log 2n n nb a a= ⋅ − ( )2 2n nb n= + ( ) ( )2 3 1 2 3 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 3n n nT b b b b n n= + + +⋅⋅⋅ = × + × + × +⋅⋅⋅+ × + + + +⋅⋅⋅+ ( )2 3 11 2 2 2 3 2 1 2 2n n nA n n−= × + × + × +⋅⋅⋅+ − ⋅ + ⋅ ( )2 3 12 1 2 2 2 1 2 2n n nA n n += × + × +⋅⋅⋅+ − × + ×两式相减可得: , ∴ ,又 , ∴ . 25.(2020·江苏南通·高三其他)已知数列 是公差不为零的等差数列,且 , , , 成等比数 列,数列 满足 . (1)求数列 的通项公式; (2)求证:数列 是等比数列; (3)若数列 满足 ,且 为整数,求 m 的值. 【解析】(1)因为 , , , 成等比数列, 所以 即 , 解得: 或 (舍去) 所以 , (2)因为 , 所以 ,① ( )2 3 1 12 1 2 2 2 2 2 2 21 2 n n n n nA n n+ + − − = + + +⋅⋅⋅+ − × = − ×− ( ) 11 2 2n nA n += − ⋅ + ( )11 2 3 2 n nn ++ + +⋅⋅⋅+ = ( ) ( )11 2 2 1n nT n n n+= − ⋅ + + + { }na 1 1a = 4a 6a 9a { }nb ( ) 1 1 2 1 n n i i i a b n = = − +∑ { }na { }nb { }nc n n n ac b = ( )* mc m∈N 1 1a = 4a 6a 9a 2 6 4 9a a a= ⋅ ( )( )2(1 5 ) 1 3 1 8d d d+ = + + 1d = 0d = 1 1na n n= + − = ( ) 1 1 2 1 n n i i i a b n = = − +∑ ( )1 1 2 2 1 2 1n n na b a b a b n+ + + = − ⋅ +② ① ②得: , 又 , 所以 , 当 时, ,即 ,也适合 , 所以 , 由 知数列 是公比为 2 的等比数列. (3) , 当 时, , 时, , 当 时,由 知 ,不是整数, 所以 为整数则 或 . ( ) 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1n n na b a b a b n − − −+ + + = − ⋅ + ( 2)n ≥ − ( ) ( ) 1 11 2 2 2 2n n n n na b n n n− −= − ⋅ − − ⋅ = ⋅ ( 2)n ≥ na n= nb ( )12 2n n−=  1n = 1 1 1a b = 1 1b = 12n nb −= 12 ( )n nb n N− ∗= ∈ 1 1 2 22 n n n n b b + −= = { }nb 12 n n n n a nc b −= = 1n = 1 1c = 2n = 2 1c = 3n ≥ 12nn −< 1nc < ( )* mc m∈N 1m = 2m =

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