专题05 数列-2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）（解析版）

2021 年高考数学尖子生培优题典（新高考专版） 专题 05 数列 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一、选择题 1．（2019·山东任城·济宁一中高三月考）在等差数列{an}中，若 a3＝5，S4＝24，则 a9＝（ ） A．﹣5 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣11 【答案】B 【解析】数列{an}为等差数列，设首项为 a1，公差为 d， ∵a3＝5，S4＝24， ∴a1+2d＝5，4a1+ d＝24， 联立解得 a1＝9，d＝﹣2， 则 a9＝9﹣2×8＝﹣7． 2．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模（理））等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等 差数列，若 ，则 （ ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】C 【解析】由数列 为等比数列，且 成等差数列，所以 ，即 ， 因为 ，所以 ，解得： ，根据等比数列前 n 项和公式 ． 4 3 2 × { }na n nS 14a 22a 3a 1 1a = 4s =3．（2020·宁夏惠农·高三其他（文））我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足” 章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙 5 尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一 尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（ ） A．第 2 天 B．第 3 天 C．第 4 天 D．第 5 天 【答案】B 【解析】第一天共挖 ，前二天共挖 ，故前 天挖通，故两鼠相遇在第 天. 4．（2020·广西七星·高三月考（理））已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 （ ） A．7 B．10 C．63 D．18 【答案】C 【解析】等差数列 的首项为 ，公差为 所以 ， ， 所以 ， 所以 ，即 ， 所以 .. 5．（2019·安徽省太和中学高三月考（理））已知等差数列 中， ，公差 ，则 与 的等 差中项是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 1 1 2+ = 2 2 0.5 4.5+ + = 3 3 { }na nS 3 1 62 14S a a− + = 9S = { }na 1a d 3 1 1 3 23 3 32S a d a d ×= + = + 6 1 5a a d= + 1 1 1 13 3 2 5 2 8 14a d a a d a d+ − + + = + = 1 4 7a d+ = 5 7a = 1 9 9 5 ( ) 9 9 632 a aS a + ×= = = { }na 1 2a = − 3 2d = 2a 6a 5 2 7 2 11 2 6【解析】 与 的等差中项是 . 6．（2020·黑龙江让胡路·高一期末）已知 是等比数列， ，则公比 =（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由等比数列的性质可得： ，即： ，解得： . 7．（2019·全国高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则满足 的正整 数 的最大值为（ ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【解析】由 得， ， ， ，所以公差大于零. 又 ， ， ， 8．（2020·勃利县高级中学高一期末）设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】 ，故选 A. 2a 6a 4 3 52 3 2 2a = − + × = { }na 2 5 12, 4a a= = q 1 2 − 2− 1 2 3 5 2a a q= 31 24 q= × 1 2q = { }na n nS 8 10 9S S S< < 0nS > n 8 10 9S S S< < 9 0a > 10 0a < 9 10 0a a+ > ( )1 17 17 9 17 17 02 a aS a += = > ( )1 19 19 10 19 19 02 a aS a += = < ( ) ( )1 18 18 9 10 18 9 02 a aS a a += = + > nS { }na n 5 3 5 9 a a = 9 5 S S = 1 1− 1 2 ( ) ( ) 1 9 9 1 55 9 5 92 19 552 a a S a aS + ⋅ = = ⋅ =+ ⋅9．（2019·吉林长春·东高三月考（理））已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 是等比数列， ，即 ， 也是等比数列，且 ， ， 可得： ，当且仅当 时取等号， 的最小值为 . 10．（2020·安徽高一期中）若数列 是等差数列，首项 ， ， ，则使前 项和 成立的最大自然数 是（ ） A．4040 B．4041 C．4042 D．4043 【答案】A 【解析】∵ ，∴ 和 异号， 又数列 是等差数列，首项 ，∴ 是递减的数列， ， ，∴ ， { }na n nS 6 32 2S S− = 7 8 9a a a+ + 9 8 6 4 { }na 6 32 2S S− = 6 3 3 2S S S− = + ∴ 3 6 3 9 6, ,S S S S S− − 9 6 7 8 9S S a a a− = + + ( ) ( )2 6 3 3 9 6S S S S S∴ − = ⋅ − ( )2 2 3 3 3 9 6 3 3 3 3 2 4 4 4 4S S SS S SS S S + + +− = = = + + 3 3 42 4 8S S ≥ ⋅ + = 3 2S = ∴ 7 8 9a a a+ + 8 { }na 1 0a > 2020 2021 0a a+ > 2020 2021 0a a⋅ < n 0nS > n 2020 2021 0a a⋅ < 2020a 2021a { }na 1 0a > { }na 2020 20210, 0a a> < 2020 2021 0a a+ > 1 4040 4040 2020 2021 4040( ) 2020( ) 02 a aS a a += = + >， ∴满足 的最大自然数 为 4040． 11．（2020·安徽高一期中）已知 ，（ ），则在数列｛ ｝的前 50 项中最小项 和最大项分别是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 在 上单调减，在 单调减， 所以当 时 ，此时 ，当 时 ，此时 ，因此数列｛ ｝的前 50 项中最小项和最大项分别为 ，选 C. 12．（2020·安徽蚌埠·高一期末）已知等差数列 的前 项和为 ，等差数列 的前 项和为 ．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵ 是等差数列 的前 项和，∴ ，即 ， ∵ 是等差数列 的前 项和，∴ ，即 ， ∴ ， 1 4041 4041 2021 4041( ) 4041 02 a aS a += = < 0nS > n 79 80n na n −= − n∈ +N na 1 50,a a 81,a a 8 9,a a 59 0,a a 79 80 79=1+ 80 80 xy x x − −= − − ( , 80−∞ ） ( 80, )+∞ ( , 80x∈ −∞ ） ( ,1)y∈ −∞ 8 1[ , ] ( ,1)na a a∈ ⊂ −∞ ( 80, )x∈ +∞ (1, )y∈ +∞ 50 9[ , ] (1, )na a a∈ ⊂ +∞ na 8 9,a a { }na n nS { }nb n nT 2 1 1 n n S n T n −= + 5 5 a b = 19 11 17 10 3 2 7 5 nS { }na n 1 9 5 9 5 9( ) 9 2 92 2 a a aS a + ×= = = 9 5 9 Sa = nT { }nb n 1 9 5 9 5 9( ) 9 2 92 2 b b bT b + ×= = = 9 5 9 Tb = 5 9 5 9 2 9 1 17 9 1 10 a S b T × −= =+=13．（2020·贵州铜仁伟才学校高二期末（理））设数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的前 10 项的和是（ ） A．290 B． C． D． 【答案】C 【解析】由 得 ， 当 时， ，整理得 ， 所以 是公差为 4 的等差数列，又 ， 所以 ，从而 ， 所以 ， 数列 的前 10 项的和 . 14．（2020·全国高三其他）已知数列 ， 均为等差数列，其前 项和分别为 ， ，且 ， 则使 恒成立的实数 的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B { }na n nS 1 1a = 2( 1)( )n n Sa n n Nn ∗= + − ∈ 1 3nS n    +  9 20 5 11 10 11 ( )2( 1)n n Sa n n Nn ∗= + − ∈ 2 ( 1)n nS na n n= − − 2n ≥ 1 1( 1) 4( 1)n n n n na S S na n a n− −= − = − − − − 1 4n na a −− = { }na 1 1a = ( )4 3na n n N ∗= − ∈ ( ) 213 3 2 2 2 ( 1)2 n n n a aS n n n n n n ++ = + = + = + 1 1 1 1 1 3 2 ( 1) 2 1nS n n n n n  = = − + + +  1 3nS n    +  1 1 512 11 11S  = − =   { }na { }nb n nA nB 2 1 n n A n B n = + n n a b λ≥ λ 1 2 1 3【解析】由题意可得 ． 设 ， ， 因为函数 是增函数， 所以当 时，函数 取最小值， 所以 ． 故实数 的最大值为 ． 15．（2020·高一期中）已知 是等差数列，若 ，数列 满足 ， 则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知 是等差数列，且 ， 所以 ， 解得 ， 所以 ， 所以 ， ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 12 2 2 12 2 n n n n nn a a a a na b b b bb n − − − − + + ⋅ − = =+ + ⋅ − ( ) ( )2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 4 1 n n A n B n n − − −= = = −− + − ( ) ( ) 1 1 2 2 4 1f n n = − − n ∗∈N ( )f n 1n = ( )f n ( ) ( ) 11 3f n f≥ = λ 1 3 { }na 42 56, 5a a a+ = = { }nb 1n n nb a a += 1 2 1 1 1 nb b b + + + 1 n n − 1n n − 1n n + 1 n n + { }na 42 56, 5a a a+ = = 1 12 4 6, 4 5++ = =a a dd 1 1, 1a d= = 1 ( 1)na a n d n= + − = ( )1nb n n= +所以 ， 所以 ， ， 16．（多选题）（2020·山东文登·高二期末）设等差数列 的前 项和为 ．若 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 ， ， . 17．（多选题）（2019·山东薛城·高二期中）若数列 对任意 满足 ，下面选项中关于数列 的命题正确的是（ ） A． 可以是等差数列 B． 可以是等比数列 C． 可以既是等差又是等比数列 D． 可以既不是等差又不是等比数列 【答案】ABD 【解析】解：因为 , 所以 或 , ( ) 1 1 1 1 1 1nb n n n n = = −+ + 1 2 1 1 1 nb b b + + + 1 1 1 1 1 1 1 1...1 2 2 3 3 4 1n n = − + − + − + + − + 11 1 1 n n n = − =+ + { }na n nS 3 0S = 4 8a = 22 6nS n n= − 2 3nS n n= − 4 8na n= − 2na n= { }na d 3 1 4 1 3 3 0 3 8 S a d a a d = + =  = + = 1 4 4 a d = −  = ( ) ( )1 1 4 4 1 4 8na a n d n n∴ = + − = − + − = − ( ) ( ) 2 1 1 4 2 1 2 62n n n dS na n n n n n −= + = − + − = − { }na 2( )n n N≥ ∈ 1 1( 2)( 2 ) 0n n n na a a a− −− − − = { }na { }na { }na { }na { }na 1 1( 2)( 2 ) 0n n n na a a a− −− − − = 1 2 0n na a −− − = 12 0n na a −− =即： 或 ①当 时, 是等差数列或是等比数列. ② 或 时, 可以既不是等差又不是等比数列 18．（多选题）（2020·江苏盐城·高二期末）设 ， 分别为等差数列 的公差与前 项和，若 ，则下列论断中正确的有（ ） A．当 时， 取最大值 B．当 时， C．当 时， D．当 时， 【答案】BC 【解析】因为 ，所以 ，解得 . 对选项 A，因为无法确定 和 的正负性， 所以无法确定 是否有最大值，故 A 错误. 对选项 B， ， 故 B 正确. 对选项 C， ， 故 C 正确. 对选项 D， ， ， 1 2n na a −− = 12n na a −= 10, 0n na a −≠ ≠ { }na 0na = 1 0na − = { }na d nS { }na n 10 20S S= 15n = nS 30n = 0nS = 0d > 10 22 0a a+ > 0d < 10 22a a> 10 20S S= 1 1 10 9 20 1910 202 2a d a d × ×+ = + 1 29 2a d= − 1a d nS 130 30 29 2930 30 15 29 02 2a dS d d ×  = + = × − + × =   ( )10 22 16 1 292 15 2 15 02a a a a d d d d + = 2 = + = − + = >   10 1 29 18 119 2 2 2a a d d d d= + = − + = − 22 1 29 42 1321 2 2 2a a d d d d= + = − + =因为 ，所以 ， ， ，故 D 错误. 19．（多选题）（2020·海南海口·高三其他）已知正项等比数列 满足 ， ，若设其公比 为 q，前 n 项和为 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由题意 ，得 ，解得 （负值舍去），选项 A 正确； ，选项 B 正确； ，所以 ，选项 C 错误； ，而 ，选项 D 正确． 20．（多选题）（2020·山东泰安·高三其他）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主 要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪 数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前 10 项依次是 0，2，4，8，12，18， 24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ） A．此数列的第 20 项是 200 B．此数列的第 19 项是 182 C．此数列偶数项的通项公式为 D．此数列的前 项和为 【答案】AC 【解析】观察此数列，偶数项通项公式为 ，奇数项是后一项减去后一项的项数， ，由此可得 ，A 正确； ，B 错误；C 正确； 0d < 10 11 2a d= − 22 13 2a d= − 10 22a a< { }na 1 2a = 4 2 32a a a= + nS 2q = 2n na = 10 2047S = 1 2n n na a a+ ++ < 3 22 4 2q q q= + 2 2 0q q− − = 2q = 12 2 2n n na −= × = ( ) 12 2 1 2 22 1 n n nS + × − = = −− 10 2046S = 1 3n n na a a++ = 2 4 3n n na a a+ = > 2 2 2na n= n ( 1)nS n n= ⋅ − 2 2 2na n= 2 1 2 2n na a n− = − 2 20 2 10 200a = × = 19 20 20 180a a= − =是一个等差数列的前 项，而题中数列不是等差数列，不可能有 ，D 错． 二、 解答题 21．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期末）等比数列 中， ． （1）求 的通项公式； （2）记 为 的前 项和．若 ，求 ． 【解析】（1）设 的公比为 ，由题设得 ． 由已知得 ，解得 （舍去）， 或 ． 故 或 ． （2）若 ，则 ．由 得 ，此方程没有正整数解． 若 ，则 ．由 得 ，解得 ． 综上， ． 22．（2020·河北路北·开滦第一中学高一期末）已知等差数列 和正项等比数列 满足 ． （1）求 的通项公式； （2）求数列 的前 n 项和． 【解析】（1）设等差数列 公差为 ，正项等比数列 公比为 ， 2( 1)nS n n n n= − = − n ( 1)nS n n= ⋅ − { }na 1 5 31 4a a a= =， { }na nS { }na n 63mS = m { }na q 1n na q −= 4 24q q= 0q = 2q = − 2q = ( ) 12 n na −= − 12n na −= ( ) 12 n na −= − ( )1 2 3 n nS − −= 63mS = ( )2 188m− = − 12n na −= 2 1n nS = − 63mS = 2 64m = 6m = 6m = { }na { }nb 1 1 2 4 3 51, 10,a b a a b a= = + = = { }na { }nb { }na d { }nb q因为 ， 所以 因此 ； （2）数列 的前 n 项和 23．（2020·安徽高二期末（理））已知数列 的前 n 项和为 ，且 ， ． （1）求 的通项公式； （2）令 ，求数列 的前 n 项和 ． 【解析】解：（1）因为 ， 所以 ，两式作差可得 ， 整理得 ，则 ， 故 ， 当 时， 满足上式，故 ． （2）由（1）可知 ， 则 ． 1 1 2 4 3 51, 10,a b a a b a= = + = = 21 1 3 10, 1 4 2, 0 3d d q d d q q+ + + = = + ∴ = > ∴ = 1 11 ( 1) 2 2 1, 1 3 3n n nna n n b − −= + − × = − = × = { }nb 1 3 1 (3 1)1 3 2 n n nS −= = −− { }na nS 1 2a = ( ) ( )*2 1n nS n a n N= + ∈ { }na ( )( )1 4 2 2n n n b a a + = + + { }nb nT ( ) ( )*2 1n nS n a n N= + ∈ 1 12 n nS na− −= ( )2n ≥ ( ) ( )12 1 2n n na n a na n−= + − ≥ ( ) ( )11 2n nn a na n−=− ≥ ( ) 1 21 n n a n na n− = ≥− ( )32 1 1 2 1 2 32 2 21 2 1n n na aa na a n na a a n− = × × × × = × × × × = ≥−  1n = 1 2a = 2na n= ( )( ) ( )( ) ( )( )1 4 4 1 1 1 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2n n n b a a n n n n n n+ = = = = −+ + + + + + + + 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 1 2n nT b b b b n n        = + + + + = − + − + − + + −       + +        ． 24．（2020·黑龙江萨尔图·高一期末）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， . （1）证明：数列 为等比数列； （2）若 ，数列 的前项和为 ，求 . 【解析】（1） ，则当 时， ， 两式相减得： ， ∴ ，即： ， 又 时， ，解得： ，∴ ， ∴ ， ∴数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列. （2）由（1）得： ，∴ ， 又 ，∴ ， ∴ ， 设 ， 则 ， 1 1 2 2 2 4 n n n = − =+ + { }na n nS 2 2 6n nS a n= + − ( )*Nn∈ { }2na − ( )2log 2n n nb a a= ⋅ − { }nb nT nT 2 2 6n nS a n= + − 2n ≥ ( )1 12 2 1 6n nS a n− −= + − − 12 2 2n n na a a −= − + 12 2n na a −= − ( )12 2 2n na a −− = − 1n = 1 1 12 2 6S a a= = + − 1 4a = 1 2 2 0a − = ≠ 2 0na − ≠ 1 2 22 n n a a − − =− { }2na − 12 2 2 2n n na −− = × = 2 2n na = + ( )2log 2n n nb a a= ⋅ − ( )2 2n nb n= + ( ) ( )2 3 1 2 3 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 3n n nT b b b b n n= + + +⋅⋅⋅ = × + × + × +⋅⋅⋅+ × + + + +⋅⋅⋅+ ( )2 3 11 2 2 2 3 2 1 2 2n n nA n n−= × + × + × +⋅⋅⋅+ − ⋅ + ⋅ ( )2 3 12 1 2 2 2 1 2 2n n nA n n += × + × +⋅⋅⋅+ − × + ×两式相减可得： ， ∴ ，又 ， ∴ . 25．（2020·江苏南通·高三其他）已知数列 是公差不为零的等差数列，且 ， ， ， 成等比数 列，数列 满足 ． （1）求数列 的通项公式； （2）求证：数列 是等比数列； （3）若数列 满足 ，且 为整数，求 m 的值． 【解析】（1）因为 ， ， ， 成等比数列， 所以 即 , 解得： 或 （舍去） 所以 ， （2）因为 ， 所以 ，① ( )2 3 1 12 1 2 2 2 2 2 2 21 2 n n n n nA n n+ + − − = + + +⋅⋅⋅+ − × = − ×− ( ) 11 2 2n nA n += − ⋅ + ( )11 2 3 2 n nn ++ + +⋅⋅⋅+ = ( ) ( )11 2 2 1n nT n n n+= − ⋅ + + + { }na 1 1a = 4a 6a 9a { }nb ( ) 1 1 2 1 n n i i i a b n = = − +∑ { }na { }nb { }nc n n n ac b = ( )* mc m∈N 1 1a = 4a 6a 9a 2 6 4 9a a a= ⋅ ( )( )2(1 5 ) 1 3 1 8d d d+ = + + 1d = 0d = 1 1na n n= + − = ( ) 1 1 2 1 n n i i i a b n = = − +∑ ( )1 1 2 2 1 2 1n n na b a b a b n+ + + = − ⋅ +② ① ②得： , 又 ， 所以 ， 当 时， ，即 ，也适合 ， 所以 , 由 知数列 是公比为 2 的等比数列. （3） ， 当 时， ， 时， ， 当 时，由 知 ，不是整数， 所以 为整数则 或 . ( ) 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1n n na b a b a b n − − −+ + + = − ⋅ + ( 2)n ≥ − ( ) ( ) 1 11 2 2 2 2n n n n na b n n n− −= − ⋅ − − ⋅ = ⋅ ( 2)n ≥ na n= nb ( )12 2n n−=  1n = 1 1 1a b = 1 1b = 12n nb −= 12 ( )n nb n N− ∗= ∈ 1 1 2 22 n n n n b b + −= = { }nb 12 n n n n a nc b −= = 1n = 1 1c = 2n = 2 1c = 3n ≥ 12nn −< 1nc < ( )* mc m∈N 1m = 2m =