专题06 不等式-2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）（解析版）

2021 年高考数学尖子生培优题典（新高考专版） 专题 06 不等式 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一、选择题 1．不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 等价于 即 ， 故不等式的解为 或 ，故解集为 ，选 D. 2．设 ，若 ，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用赋值法:令 排除 A,B,C,选 D. 3．若正实数 ，满足 ，则 的最小值为（ ） A．2 B． C．5 D． 【答案】C 【解析】根据题意，若正实数 ，满足 ， 则 ， 1 1 2x < ( ,2)−∞ (2, )+∞ (0,2) ( , 0) (2, )−∞ +∞ 1 1 2x < 2 02 x x − < ( )2 0x x − > 0x < 2x > ( ) ( ),0 2,−∞ +∞ ,a b∈R 0a b− > 0b a− > 3 3 0a b+ < 2 2 0a b− < 0b a+ > 1, 0a b= = ,a b 1a b+ = 3 3 b a b + 2 6 4 3 ,a b 1a b+ = 3 3 3 3 33 2 3 53 3 3 3 b b a b b a b a a b a b a b a b ++ = + = + + × × + = 当且仅当 时等号成立， 即 的最小值为 5； 4．已知 ,则 的最大值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】解：∵x＞0，y＞0，且 2x+y=2， ∴xy= （2x•y）≤ （ ）2= ，当且仅当 x= ，y=1 时取等号， 故则 xy 的最大值为 ，故选 A 5．若点 P(x, y)在以 A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则 的取值 范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据已知的条件可知，点 A,B，C 围成的三角形 ABC，其内动点 P（x,y），那么所求的为动点 P 与 定点 M（1,2）两点的斜率的取值范围，则根据已知中的三点 A，B,C 的坐标，分别求解 ,则利用倾斜角与斜率的关系，结合正切函数图象可得， 的取值范围是 ，选 D. 6．已知不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集为{x|－1 2 2a b> 2 2x xa b⋅ > ⋅ 2x 1 a 2 b 2 2 1 a 2 b 1 2 a b  +   ⋅ b a 2a b 2b a a b × 2 b a 2a b 2 2 1 a 2 b 2 x ( )9 4 3 4 0x xa+ + ⋅ + = a A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 ，得 （当且仅当 时 等号成立），解得 10．函数 的图像在点 处的切线斜率的最小值是（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】 ,当且仅当 时取等号，因此切线斜率 的最小值是 2，选 D. 11．已知 a，b R 且 ab≠0，对于任意 x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（ ） A．a0 C．b0 【答案】C 【解析】因为 ，所以 且 ，设 ，则 的零点 为 当 时，则 ， ，要使 ，必有 ，且 ， 即 ，且 ，所以 ； 当 时，则 ， ，要使 ，必有 . 综上一定有 . ( , 8] [0, )−∞ − +∞ ( ), 4−∞ − [ 8, 4)− − ( , 8]−∞ − 9 (4 ) 3 4 0x xa+ + ⋅ + = 4 43 (4 ) 0, (4 ) 3 43 3 x x x xa a+ + + = ∴− + = + ≥ 3 2x = 8a ≤ − ( ) 21f x nx x= + − ( 0, )bx a b a R+ > ∈ ( )( ),b f b 2 2 3 1 1 1( ) 2 ( ) 2 2f x x b k f b b bx b b ′ ′= + − ∴ = = + ≥ ⋅ = 1b = ∈ 0ab ≠ 0a ≠ 0b≠ ( ) ( )( )( 2 )f x x a x b x a b= − − − − ( )f x 1 2 3, , 2x a x b x a b= = = + 0a > 2 3x x< 1 > 0x ( ) 0f x ≥ 2a b a+ = 0b < = −b a 0b < 0b < 0a < 2 3x x> 1 0x < ( ) 0f x ≥ 0b < 0b 2 2a ab b> > A 1 1 12, 1, , 12a b a b = − = − = − = − A B 0c = 2 2 0ac bc= = B C 1 1 a b > 1, 2b a= − = − b a a b < C D 20,a b a ab< ∴ 2ab b> D x 2 ( 1) 0x a x a− + + < 2 a ( 3,5)− ( 2,4)− [ 3,5]− [ 2,4]− x 2 ( 1) 0x a x a− + + < ( 1)( ) 0x x a− − < 1a > 1 x a< < 1a < 1< 0y > 2 3x y+ = 2 3x y xy + 3 2 2− 2 2 1+ 2 1− 2 1+ 【解析】已知 ， ， ， 则 ， 当且仅当 时，即当 ，且 ，等号成立， 故 的最小值为 ， 15．已知函数 在 上为增函数，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数 在 上为增函数， 所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， 因为 ，当且仅当 时取“ ”号， 所以 的取值范围为 ， 16．函数 、 分别是定义在 上的偶函数、奇函数，且 ，若存在 ， 使不等式 成立，则实数 的最小值为（ ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【解析】∵ ，① 0x > 0y > 2 3x y+ = 2 2 2 23 ( 2 ) 2 2 21 2 1 2 2 1x y x x y y x xy y x y x y xy xy xy y x y x + + + + += = = + + + = + 2 22x y= 3 2 3x = − 6 3 2 2y −= 2 3x y xy + 1 2 2+ ( ) 2 1 2x xf x e e mx+ −= − − R m ( ,2 e−∞  )2 ,e +∞ ( ,4 e−∞  )4 ,e +∞ ( ) 2 1 2x xf x e e mx+ −= − − R ( ) 2 1 222 0x xf x e e m+ −+′ = − ≥ R 2 1 222 x xe e m+ − ≥+ R 2 1 2 2 1 22 2 2 2 2 4x x x xe e e e e+ − + −≥+ × = 1 4x = − = m ( ,4 e−∞  ( )f x ( )g x R ( ) ( )2 xf x g x e+ = 2( ]0,x∈ ( ) ( )2 0f x mg x− ≤ m 4 2 8 2 ( ) ( )2 xf x g x e+ = ∴ ，又函数 、 分别是定义在 上的偶函数、奇函数， ∴ ，② 由①②得 ， ， 不等式 为 ，（*）， 设 ，这是一个增函数，当 时， ， （*）变为 ， ， 若存在 ，使不等式 成立，则为： 存在 ，使 成立， 由于 ，当且仅当 ，即 时等号成立，∴ 的最小值是 ． ∴ ． 故选：B. 17．（多选题）下列命题为真命题的是（） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 且 ，则 【答案】BCD 【解析】选项 A：当 时，不等式不成立，故本命题是假命题； ( ) ( )2 xf x g x e−− + − = ( )f x ( )g x R ( ) 2 ( ) xf x g x e−− = 1( ) ( )2 x xf x e e−= + 1( ) ( )4 x xg x e e−= − ( ) ( )2 0f x mg x− ≤ 2 21 1( ) ( ) 02 4 x x x xe e m e e− −+ − − ≤ x xt e e−= − 0 2]x∈（ ， 2 2 1(0, ]t e e ∈ − 2 12 02t mt+ − ≤ 22( 2) 22( )tm tt t +≥ = + 2( ]0,x∈ ( ) ( )2 0f x mg x− ≤ 2 2 1(0, ]t e e ∈ − 22( )m t t ≥ + 2 22( ) 2 2 4 2t tt t + ≥ × × = 2t t = 2t = 22( )2t + 4 2 4 2m ≥ 0a b> > 2 2ac bc> 0a b< < 2 2a ab b> > 0 0a b c> > a b> 1 1 a b > 0ab < 0c = 选项 B: ，所以本命题是真命题； 选项 C: ，所以本命题是真命题； 选项 D: ，所以本命题是真命题，所以本题 选 BCD. 18．（多选题）设 ，且 ，那么（ ） A． 有最小值 B． 有最大值 C． 有最大值 D． 有最小值 【答案】AD 【解析】解：①由题已知得： , 故有 , 解得 或 （舍）, 即 （当且仅当 时取等号）,A 正确; ②因为 , 所以 , 又因为 , 2 2 2 2,0 0 a b a ba ab ab b a ab ba b < ⇒ > ∴ > > < > ⇒ > > ⇒ < < < ∴ > 21 1 1 1 0 0, 0 0b a a b b a aba b a b ab −> ⇒ − > ⇒ > > ∴ − < ∴ > ( ) 1ab a b− + = +a b ( )2 2 1+ +a b ( )2 2 1+ ab 3 2 2+ ab 3 2 2+ 2 2 a bab + ≤    2( ) 4( ) 4 0a b a b+ − + − ≥ 2 2 2a b+ ≥ + 2 2 2a b+ ≤ − + 2 2 2a b+ ≥ + 2 1a b= = + 2a b ab+ ≥ ( ) 2a b ab− + ≤ − ( ) 2ab a b ab ab− + ≤ − ( ) 1ab a b− + = 1 2ab ab≤ − 2 2 1ab ab⇒ ≤ − + 有最小值 ,D 正确. 故选 AD 19．（多选题）已知函数 有且只有一个零点，则( ) A． B． C．若不等式 的解集为 ，则 D．若不等式 的解集为 ，且 ，则 【答案】ABD 【解析】因为 有且只有一个零点， 故可得 ，即可 . 对 ： 等价于 ，显然 ，故 正确； 对 ： ，故 正确； 对 ：因为不等式 的解集为 ， 故可得 ，故 错误； 对 ：因为不等式 的解集为 ，且 ， ( )2 2 1ab≤ − 1 2ab⇒ − ≥ 2 1ab ≥ + 3 2 2ab⇒ ≥ + ab 3 2 2+ 2( ) ( 0)f x x ax b a= + + > 2 2 4a b− ≤ 2 1 4a b + ≥ 2 0x ax b+ − < ( )1 2,x x 1 2 0x x > 2x ax b c+ + < ( )1 2,x x 1 2 4x x− = 4c = 2( ) ( 0)f x x ax b a= + + > 2 4 0a b= − = 2 4 0a b= > A 2 2 4a b− ≤ 2 4 4 0b b− + ≥ ( )22 0b − ≥ A B 2 1 1 14 2 4 4a b bb b b + = + ≥ × = B C 2 0x ax b+ − < ( )1 2,x x 1 2 0x x b= − < C D 2x ax b c+ + < ( )1 2,x x 1 2 4x x− = 则方程 的两根为 ， 故可得 ， 故可得 ，故 正确. 20．（多选题）设 ， ， ，以下四个命题中正确的是（ ）． A．若 为定值 ，则 有最大值 B．若 ，则 有最大值 4 C．若 ，则 有最小值 4 D．若 总成立，则 的取值范围为 【答案】CD 【解析】 为定值 时， 应有最小值 ，∴A 不正确； 当 时， ，∴B 不正确； ， 当且仅当 ，等号成立，∴C 正确； 由 ，又 ， ∴ ，∴ ，∴D 正确． 二、解答题 2 0x ax b c+ + − = 1 2,x x ( ) ( )2 2 1 2 1 24 4 4 2 4x x x x a b c c c+ − = − − = = = 4c = D ,x y R+∈ S x y= + P xy= P m S 2 m S P= P S P= S 2S kP≥ k 4k ≤ P m S 2 m S P= 2x y xy xy xy+ = ⇒ ≥ min2 4 4xy xy P⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ = 2 min ( ) 4 44 x yS P x y xy x y S += ⇒ + = ≤ ⇒ + ≥ ⇒ = 2x y= = 2 2 SS kP k P ⇒ ≤≥ 2 2 2 2 2 2 4S x y xy xy xy P xy xy + + += ≥ = 2 min 4S P   =   4k ≤ 21．已知正数 ， ， 满足 ，求证： . 【解析】证明：由正数 ， ， 满足 ， 则 （当且仅当 时等号成立）, 22．已知不等式 （1）若对于所有的实数 不等式恒成立，求 的取值范围； （2）设不等式对于满足 的一切 的值都成立，求 的取值范围． 【解析】（1）不存在这样的 使得不等式恒成立（2）{푥| ―1 + 7 2 < 푥 < 1 + 3 2 } （1）当푚 = 0时,1 ― 2푥 < 0，即当푥 > 1 2时不等式不恒成立，不满足条件 当푚 ≠ 0时，设푓(푥) = 푚푥2 ― 2푥 ― 푚 +1，由于푓(푥) < 0恒成立，则有{ 푚 < 0                                              4 ― 4푚(1 ― 푚) < 0 解得푚 ∈ 휑 综上所述，不存在这样的 使得不等式恒成立． （2）由题意 ― 2 ≤ 푚 ≤ 2，设푔(푥) = (푥2 ― 1)푚 +(1 ― 2푥)，则有{푔( ― 2) < 0 푔(2) < 0     即{ ―2푥2 ― 2푥 + 3 < 0 2푥2 ― 2푥 ― 1 < 0          ，解得 ―1 + 7 2 < 푥 < 1 + 3 2 所以 的取值范围为{푥| ―1 + 7 2 < 푥 < 1 + 3 2 } 23．已知函数 . （1）解不等式 ； a b c 1abc = ( 2)( 2)( 2) 27a b c+ + + ≥ a b c 1abc = ( 2)( 2)( 2)a b c+ + + ( 1 1)( 1 1)( 1 1)a b c= + + + + + + 3 3 33 3 3a b c⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅≥ 327 abc= ⋅ 27= 1a b c= = = ( ) 2 1f x x x= − − + ( ) 2f x −    ( )2 1 2 1 3x x x x− − + ≤ − − + ≤ ( ) ( )2 1 0x x− ⋅ + ≥ 1x ≤ − 2x ≥ = ( )3 3f x− ≤ ≤ ( )9 3 3 2 2 2f x− ≤ − ≤ 1 2 1 2 1 1 2 322 2 3 3 2 2 2 m n n m m n m n m n +   + = + ⋅ = + + + ≥       2 2 n m m n = 1m = 2n = ( )1 2 3 2 2f xm n + ≥ − ( ) 2 1 1f x x x= − + + ( ) 2f x x≤ + ( )y f x= m 0a > 0b > a b m+ = 1 2 1 2a b ++ + 【解析】解（1）因为 从图可知满足不等式 的解集为 . （2）由图可知函数 的最小值为 ，即 . 所以 ，从而 ， 从而 当且仅当 ，即 时，等号成立， ∴ 的最小值为 . 25．某工厂生产某种商品的年固定成本为 250 万元，每生产 千件需另投入成本为 （万元）. 当年产量不足 80 千件时， （万元）；当年产量不小于 80 千件时， ( ) 3 , 1, 12 1 1 2, 1 ,2 13 , .2 x x f x x x x x x x   − < − = − + + = − + − ≤ ≤   > ( ) 2f x x≤ + [ ]0,1 ( )y f x= 3 2 3 2m = 3 2a b+ = 91 2 2a b+ + + = ( ) ( )1 1 2 1 21 21 2 9 1 2a ba b a b  + = + + + +   + + + +  ( ) ( )2 1 2 12 2 2 2 6 4 23 3 29 1 2 9 1 2 9 a ab b a b a b   + − + + += + + ≥ + ⋅ =   + + + +       ( )2 12 1 2 ab a b ++ =+ + 9 2 11 14 9 2,2 2a b − −= = 1 2 1 2a b ++ + 6 4 2 9 + ( )x x N ∗∈ ( )C x 21( ) 103C x x x= + （万元）.通过市场分析，每件售价为 500 元最为合适. （1）写出年利润 （万元）关于年产量 （千件）的函数解析式； （2）该产品年产量为多少千件时，该厂所获利润最大？ 【解析】（1）依题意 ， ， （2）由（1）得 当 时， ， 当 时， 万元， 当 时， ， 当且仅当 时，等号成立，即 万元 所以利润的最大值为 万元. 答：该产品年产量为 100 千件时，该厂所获利润最大. 10000( ) 51 1450C x x x = + − L x 2 * * 1 10 0 80,3( ) 1000051 1450 80, x x x x N C x x x x Nx  + < < ∈=   + − ≥ ∈ 2 * * 1 40 250 0 80,350 ( ) 250 10000 1200 80, x x x x N L x C x x x x Nx − + − < < ∈= − − =  − − + ≥ ∈ *0 80,x x N< < ∈ 2 21 140 250 ( 60) 9503 3L x x x= − + − = − − + 60x = max 950L = *80,x x N≥ ∈ 10000( ) 1200 2 10000 1200 1000L x x = − + + ≤ − + = 10000 100x x = = max 1000L = 1000