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2021 年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）
专题 07 立体几何
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、选择题
1．（2020·浙江海宁·高三一模）已知 ， 是两条不同的直线， 是平面，且 ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【解析】A 选项 有可能线在面内的情形，错误；
B 选项中 l 与 m 还可以相交或异面，错误；
C 选项中不满足线面垂直的判定定理，错误，
D 选项中由线面垂直的性质定理可知正确.
2．（2017·高三月考（理））若直线 l 的一个方向向量 ，平面 α 的一个法
向量为 ，则（）
A． B． C． D．A、C 都有可能
【答案】B
【解析】解: 直线的一个方向向量为 ，平面 α 的一个法向量为
则 ， ，故选 B．
3．（2020·渝中·高一期末）已知 ， ，则直线 与直线 的位置关系是（ ）
l m α / /m α
//l m / /l α / /l α //l m
l m⊥ l α⊥ l α⊥ l m⊥
( )a 2 2 2= − ，，
( )b 11 1= − ，，
l α l α⊥ l α⊂
( )2 2 2a = − ，， ( )11 1b = − ，，
2a b= ∴ l α⊥
//a α b α⊂ a b 2 / 23
A．平行 B．相交或异面 C．异面 D．平行或异面
【答案】D
【解析】解： 直线 平面 ，直线 在平面 内，
，或 与 异面，
4．（2020·安徽马鞍山·高三三模（文））已知正方体 的棱长为 ，直线 平面 ，
平面 截此正方体所得截面中，正确的说法是（ ）
A．截面形状可能为四边形 B．截面形状可能为五边形
C．截面面积最大值为 D．截面面积最大值为
【答案】D
【解析】如图
在正方体中 平面 ，所以平面 与平面 平行
平面 与正方体的截面可以是三角形、六边形但不会是五边形和四边形
当截面为正六边形 时，截面面积有最大，
//a α b α
//a b∴ a b
1 1 1 1ABCD A B C D− 2 1AC ⊥ α
α
2 3 3 3
2
1AC ⊥ 1A BD α 1A BD
α
EFNMGH 3 / 23
由题可知： ，则
5．（2020·广东东莞·高三其他（文））在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点
是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为( )
A． B． C．3π D．4π
【答案】A
【解析】圆锥的侧面展开图是半径为 ，弧长为 的扇形，其面积 ，所
以圆锥的侧面展开图面积为 .
6．（2020·浙江西湖·学军中学高三其他）设 ， 是条不同的直线， 是一个平面，以下命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】D
【解析】由 l，m 是条不同的直线，α 是一个平面，知：
在 A 中，若 l∥α，m∥α，则 l 与 m 相交、平行或异面，故 A 错误；
在 B 中，若 l∥α，m⊥l，则 m 与 α 相交、平行或 m⊂α，故 B 错误；
在 C 中，若 l⊥α，m⊥l，则 m∥α 或 m⊂α，故 C 错误；
在 D 中，若 l⊥α，m⊥α，则由线面垂直的性质定理得 l∥m，故 D 正确．
7．（2020·全国高二课时练习）在空间直角坐标系中，已知 ， ， ，
，则直线 与 的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直
【答案】B
2
2 1sin 45
= =
NM
1 3 36 1 1 sin 602 2
= × × × × =
EFNMGHS
5π 6π
5 2π 1 1 (2 1) 5 52 2S l r π π= ⋅ = ⋅ =
5π
l m α
/ /l α / /m α //l m / /l α m l⊥ m α⊥
l α⊥ m l⊥ / /m α l α⊥ m α⊥ //l m
(1,2,3)A (3,2,1)C
(4,3,0)D AB CD 4 / 23
【解析】因为 ， ， ， ，所以, ,可
得 ，所以 ，线 与 的位置关系是平行，故选 B．
8．（2018·闽侯县第八中学高三期末（理））在正三棱柱 中，若 ，则 与
所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得 ， 平面 ；设 ，则 ，
又 ， ，
所以
.
故 .
即 ，
即 与 所成角的大小为 .
故选 D
( )1,2,3A ( )2, 1,6B − − ( )3,2,1C ( )4,3,0D ( 3, 3,3), (1,1, 1)AB CD= − − = −
3AB CD= − AB CD ∥ AB CD
1 1 1ABC A B C−
12AB BB= 1AB 1C B
60 75 105 90
60ABC∠ = 1BB ⊥ ABC 1 1BB = 2AB =
1 1AB BB BA= −
1 1BC BC BB= +
1 1 1 1
2
1 1 1( ) ( )AB BC BB BA BC BB BB BC BB BA BC BA BB⋅ = − ⋅ + = ⋅ + − ⋅ − ⋅
0 1 2 2 cos60 0 0= + − × × − =
1 1AB BC⊥
1 1AB BC⊥
1AB 1C B 90 5 / 23
9．（2020·东湖·江西师大附中高三一模（理））在平行六面体 中，M 为 与 的交
点，若 , ，则与 相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据空间向量的线性运算可知
因为 , ，
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1AC 1 1B D
,AB a AD b= =
1AA c= BM
1 1
2 2a b c+ + 1 1
2 2a b c− − + 1 1
2 2a b c− + 1 1
2 2
− + + a b c
1 1BM BB B M= +
1 1 1
1
2AA B D= +
( )1 1 1 1 1
1
2AA B A A D= + +
( )1
1
2AA AB AD= + − +
,AB a AD b= =
1AA c= 6 / 23
则
即 ，
10．（2019·云南高三一模（理））一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 ，则球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则 2 =2R，
R= ，S=4πR2=12π
故选 B
11．（2019·黑龙江校高三月考（文））如图所示，在正方体 中， ， 分别是 ，
的中点，则直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
( )1
1
2AA AB AD+ − +
1 1
2 2a b c= − + +
1 1
2 2BM a b c= − + +
2cm
28 cmπ 212 cmπ 216 cmπ 220 cmπ
1AC E F 1DD
BD 1AD EF
1
2
3
2
6
3
6
2 7 / 23
【解析】如图，取 AD 的中点 G，
连接 EG，GF，∠GEF 为直线 AD1 与 EF 所成的角
设棱长为 2，则 EG= ，GF=1，EF=
cos∠GEF= ，
故选 C．
12．（2020·四川省高三月考（理））如图，平面 ABCD⊥平面 ABEF，四边形 ABCD 是正方形，
四边形 ABEF 是矩形，且 AF＝ AD＝a，G 是 EF 的中点，则 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，
2 3
6
3
1
2
6
6
3
3
6
3
2
3 8 / 23
则 A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)， ＝(a，a,0)， ＝(0,2a,2a)， ＝(a，－a，
0)， ＝(0,0,2a)，
设平面 AGC 的法向量为 n1＝(x1，y1,1)，
由 ⇒ ⇒ ⇒n1＝(1，－1,1)．
sinθ＝ ＝ ＝ .
13．（2020·全国高三（理））在正方体 中，点 E 是棱 的中点，点 F 是线段 上的
一个动点．有以下三个命题：
AG AC BG
BC
1
1
0{
0
AG n
AC n
⋅ =
⋅ =
1
1
1{ 1
x
y
=
= −
1
1
BG n
BG n
⋅
⋅
2
2 3
a
a ×
6
3
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B C 1CD 9 / 23
①异面直线 与 所成的角是定值；
②三棱锥 的体积是定值；
③直线 与平面 所成的角是定值．
其中真命题的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】解:以 A 点为坐标原点，AB,AD, 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体
棱长为 1，可得 B(1,0,0),C(1,1,O),D(0,1,0), (0,0,1), (1,0,1), (1,1,1), (0,1,1),设 F(t，1，
1-t)，（0≤t≤1），
可得 =(1,1,1), =(t-1，1，-t)，可得 =0，故异面直线 与 所的角是定值，故①
正确；
三棱锥 的底面 面积为定值，且 ∥ ,点 F 是线段 上的一个动点，可得 F 点到底面
的距离为定值，故三棱锥 的体积是定值，故②正确；
可得 =(t，1，-t)， =(0,1,-1), =(-1,1,0),可得平面 的一个法向量为 =（1，1，1），
可得 不为定值，故③错误;
14．（2020·全国高二课时练习）正方体 中,动点 在线段 上, ， 分别为 ，
的中点.若异面直线 与 所成的角为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
1AC 1B F
1
−B A EF
1A F 1 1B CD
1AA
1A 1B 1C 1D
1AC
1B F
1 1AC B F×
1AC 1B F
1B A EF− 1A BE 1CD 1BA 1CD
1A BE 1B A EF−
1A F
1B C
1 1B D
1 1B CD n
1cos ,A F n
1 1 1 1ABCD A B C D− M 1AC E F 1DD
AD EF BM θ θ
[ , ]6 3
π π
[ , ]4 3
π π
[ , ]6 2
π π
[ , ]4 2
π π 10 / 23
【解析】以 点为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
如图
设 ，易得 ,
设 ，
则 ，
即 .
当 时， 取到最大值 ，当 时， 取到最小值 ，
所以 的取值范围为 .
故选：A.
15．（2018·山东崂山·青岛二中高三期末（理））在直三棱柱 中， ，且
D 1, ,DA DC DD x y z
DA 2= ( )1,0, 1EF = −
( )( ) ( )1 2 , 2 ,2 0 1 2 2, 2 ,2CM CA BMλ λ λ λ λ λ λ λ= = − ≤ ≤ = − − ，
cosθ cos , BM EF=
( )
( )
2 22 2
2 1 1 0 1
1 22 3 2 12 2 2 8 2 3( )3 3
cosθ λ
λ λλ λ λ
= = = ≤ ≤
− +− + − +
1
3
λ = cosθ 3
2
1λ = cosθ 1
2
θ ,6 3
π π
1 1 1ABC A B C− 1 1 1 1 12 2AA A B B C= = 11 / 23
，点 M 是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 在直三棱柱 中， ，且 ，点 是 ，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
设 ，
则 ， ， ， ，
， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 ,
异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选 B．
16．（多选题）（2020·山东潍坊·高三其他）已知 ， 是两条不重合的直线， ， ， 是三个两两不重
合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ，则
AB BC⊥ 1 1AC MB 1AA ( )
1
3
2 2
3
3 2
4
1
2
1 1 1ABC A B C− 1 1 1 1 12 2AA A B B C= = AB BC⊥ M 1 1AC
∴ B BA x BC y 1BB z
1 1 1 1 12 2 2AA A B B C= = =
1 1,1,2 2M
(0,0 0B ，） (1,0 0A ，） 1(1,0 2A ，）
1 1, 1,2 2MB = − − −
1 (0,0 2AA ，）=
MB 1AA θ
1
1
4 2 2cos 318 24
MB AA
MB AA
θ
⋅
= = =
⋅ ⋅
∴ MB 1AA 2 2
3
m n α β γ
m α⊥ n β⊥ //α β //m n α γ⊥ β γ⊥ //α β
//m β βn// ,m n α⊂ //α β n ⊂ α n β⊥ α β⊥ 12 / 23
【答案】AD
【解析】解：对 A：若 ， ，则 ，又 ，所以 ，故正确；
对 B：若 ， ，则 与 可能平行，也可能相交，故错误；
对 C：若 ， ， ，由于没有强调 与 相交，故不能推出 ，故错误；
对 D：若 ， ，根据面面垂直的判定定理，可得 ，故正确.
17．（多选题）（2020·安徽金安·高一期末（理））如图正方体 的棱长为 2，线段
上有两个动点 ､ ，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B． 平面
C．三棱锥 的体积为定值
D． 的面积与 的面积相等
【答案】ABC
【解析】解：连结 ，则 平面 ， ，
， 平面 ，三棱锥 的体积为定值，
从而 ， ， 正确．
m α⊥ //α β m β⊥ n β⊥ //m n
α γ⊥ β γ⊥ α β
//m β βn// ,m n α⊂ m n //α β
n ⊂ α n β⊥ α β⊥
1 1 1 1ABCD A B C D−
1 1B D E F 1
2EF =
AC BE⊥
/ /EF ABCD
A BEF−
AEF∆ BEF∆
BD AC ⊥ 1 1BB D D 1 1//BD B D
AC BE∴ ⊥ //EF ABCD A BEF−
A B C 13 / 23
点 ､ 到直线 的距离不相等，
的面积与 的面积不相等，
故 错误．
故选： ．
18．（多选题）（2020·山东济宁·高三月考）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，
，侧面 为正三角形，且平面 平面 ，则下列说法正确的是（ ）
A．在棱 上存在点 M，使 平面
B．异面直线 与 所成的角为 90°
C．二面角 的大小为 45°
D． 平面
【答案】ABC
【解析】解：如图，对于 ，取 的中点 ，连接 ，∵侧面 为正三角形，
A B 1 1B D
AEF∴∆ BEF∆
D
ABC
P ABCD− ABCD
60DAB °∠ = PAD PAD ⊥ ABCD
AD AD ⊥ PMB
AD PB
P BC A− −
BD ⊥ PAC
A AD M ,PM BM PAD 14 / 23
，又底面 是菱形， ， 是等边三角形，
，又 ， ， 平面 ，
平面 ，故 正确.
对于 ， 平面 ， ，即异面直线 与 所成的角为 90°，故 正确.
对于 ，∵平面 平面 ， ， 平面 ， ，
是二面角 的平面角，设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，故二面角 的大小为 45°，故 正
确.
对于 ，因为 与 不垂直，所以 与平面 不垂直，故 错误.
19．（多选题）（2020·全国高二课时练习）设 ， ， 是空间一个基底，则( )
A．若 ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
B．则 ， ， 两两共面，但 ， ， 不可能共面
C．对空间任一向量 ，总存在有序实数组(x，y，z)，使
D．则 ＋ ， ＋ ， ＋ 一定能构成空间的一个基底
PM AD∴ ⊥ ABCD 60DAB °∠ = ABD∴
AD BM∴ ⊥ PM BM M∩ = PM BM ⊂ PMB
AD∴ ⊥ PBM A
B AD ⊥ PBM AD PB∴ ⊥ AD PB B
C PBC ABCD BC= //BC AD BC∴ ⊥ PBM BC PB∴ ⊥ BC BM⊥
PBM∴∠ P BC A− − 1AB = 3
2BM = 3
2PM =
Rt PBM△ tan 1PMPBM BM
∠ = = 45PBM °∠ = P BC A− − C
D BD PA BD PAC D
a b c
a b b c a c
a b c a b c
p p xa yb zc= + +
a b b c c a 15 / 23
【答案】BCD
【解析】对于 A 选项， 与 都垂直， 夹角不一定是 ，所以 A 选项错误.
对于 B 选项，根据基底的概念可知 ， ， 两两共面，但 ， ， 不可能共面.
对于 C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确.
对于 D 选项，由于 ， ， 是空间一个基底，所以 ， ， 不共面.假设 ＋ ， ＋ ， ＋ 共面，
设 ，化简得 ，即 ，所以 ， ， 共
面，这与已知矛盾，所以 ＋ ， ＋ ， ＋ 不共面，可以作为基底.所以 D 选项正确.
20．（多选题）（2020·全国高三其他）如图，正方体 的棱长为 1，线段 上有两个动
点 、 ，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B． 平面
C． 的面积与 的面积相等
D．三棱锥 的体积为定值
【答案】ABD
b ,a c ,a c π
2
a b c a b c
a b c a b c a b b c c a
( ) ( )( )1a b x b c x c a+ = + + − + ( )1x a x b c⋅ = − + ( )1c x a x b= ⋅ + − a b c
a b b c c a
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B D
E F 1
2EF =
AC BE⊥
/ /EF ABCD
AEF BEF
A BEF− 16 / 23
【解析】
可证 平面 ，从而 ，故 A 正确；由 平面 ，可知 平面 ，B
也正确；连结 交 于 ，则 为三棱锥 的高， ，三棱锥
的体积为 为定值，D 正确；很显然，点 和点 到的 距离是不相等的，C 错误.
二、解答题
21．（2020·江苏南通·高三其他）如图，在三棱锥 中， 平面
，E，F 分别是 的中点，求证：
（1） 平面 ；
（2） 平面 ．
【解析】（1）在 中，E，F 分别是 的中点，
所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ，
AC ⊥ 1 1D DBB AC BE⊥ 1 1 / /B D ABCD / /EF ABCD
BD AC O AO A BEF− 1 1 112 2 4BEFS = × × =△ A BEF−
1 1 2 2
3 4 2 24
× × = A B EF
P ABC− PC ⊥
, 10, 6, 8ABC AB BC AC PC= = = = ,PA PC
/ /AC BEF
PA ⊥ BCE
PAC ,PA PC
//EF AC
EF ⊂ BEF AC ⊄ BEF 17 / 23
所以 平面 ．
（2）在 中， ，
所以 ，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ．
又因为 平面 平面 ．
所以 平面 ．
因为 平面 ，所以
在 中，因为 ，E 为 的中点，
所以 ．
又因为 平面 平面 ．
所以 平面 ．
22．（2020·全国高三（文））如图所示：在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三
角形， 且 ， 分别为 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
/ /AC BEF
ABC 10, 6, 8AB BC AC= = =
2 2 2AB AC BC= + BC AC⊥
PC ⊥ ABC BC ⊂ ABC
PC BC⊥
, ,BC PC AC PC C AC⊥ ∩ = ⊂ ,PAC PC ⊂ PAC
BC ⊥ PAC
PA ⊂ PAC BC PA⊥
PAC AC PC= PA
PA EC⊥
, ,PA BC CE BC C CE⊥ ∩ = ⊂ ,BCE BC ⊂ BCE
PA ⊥ BCE
V ABC− VAB ⊥ ABC VAB∆
AC BC⊥ 2AC BC= = ,O M ,AB VA
MOC ⊥ VAB
V ABC− 18 / 23
【解析】（1） 为 中点， ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， 平面 平面 ，
平面 平面 ；
（2） 且 ， 分别为 的中点，
，
平面 ， ，
.
23．（2020·河北唐山·高三月考（文））如图，四边形 为正方形， 平面 ，
，点 ， 分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求点 到平面 的距离．
【解析】（Ⅰ）证明：取点 是 的中点，连接 ， ，则 ，且 ，
,AC BC O= AB OC AB∴ ⊥
VAB ⊥ ABC VAB ABC AB=
OC ⊂ ABC OC∴ ⊥ ,VAB OC∴ ⊂ MOC
MOC ⊥ VAB
AC BC⊥ 2AC BC= = O AB
11, 2, 2 3 32VABOC AB S∆∴ = = = × × =
OC ⊥ VAB 1 3
3 3V ABC C VAB VABV V OC S− − ∆= = × × =
3
3V ABCV −∴ =
ABCD PD ⊥ ABCD
2PD DC= = E F AD PC
/ /DF PBE
F PBE
G PB EG FG / /FG BC 1
2FG BC= 19 / 23
∵ 且 ，
∴ 且 ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，∴ 平面 ．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 平面 ，所以点 到平面 的距离与 到平面 的距离是相等的，
故转化为求点 到平面 的距离，设为 ．
利用等体积法： ，即 ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ ．
24．（2020·海南高考真题）如图，四棱锥 P−ABCD 的底面为正方形，PD⊥底面 ABCD．设平面 PAD 与平面 PBC
的交线为 ．
/ /DE BC 1
2DE BC=
/ /DE FG DE FG=
DEGF
/ /DF EG / /DF PBE
/ /DF PBE D PBE F PBE
D PBE d
D PBE P BDEV V− −= 1 1
3 3PBE BDES d S PD∆ ∆⋅ = ⋅ 1 12BDES DE AB∆ = × × =
5PE BE= = 2 3PB = 6PBES∆ = 6
3d =
l 20 / 23
（1）证明： ⊥平面 PDC；
（2）已知 PD=AD=1，Q 为 上的点，QB= ，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：
在正方形 中， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
因为在四棱锥 中，底面 是正方形，所以
且 平面 ，所以
因为
所以 平面 ；
（2）如图建立空间直角坐标系 ，
因为 ，则有 ，
l
l 2
ABCD //AD BC
AD ⊄ PBC BC ⊂ PBC
//AD PBC
AD ⊂ PAD PAD PBC l=
//AD l
P ABCD− ABCD , ,AD DC l DC⊥ ∴ ⊥
PD ⊥ ABCD , ,AD PD l PD⊥ ∴ ⊥
CD PD D=
l ⊥ PDC
D xyz−
1PD AD= = (0,0,0), (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1), (1,1,0)D C A P B 21 / 23
设 ，则有 ，
因为 QB= ，所以有
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，则
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与
平面所成角的正弦值等于
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
25．（2020·江苏高三专题练习）如图，在直三棱柱中 -A BC 中，AB AC， AB=AC=2， =4，点
D 是 BC 的中点．
（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）求平面 与 所成二面角的正弦值．
( ,0,1)Q m (0,1,0), ( ,0,1), (1,1, 1)DC DQ m PB= = = −
2 2 2 2( 1) (0 1) (1 0) 2 1m m− + − + − = ⇒ =
QCD ( , , )n x y z=
0
0
DC n
DQ n
⋅ =
⋅ =
0
0
y
x z
=
+ =
1x = 1z = − QCD (1,0, 1)n = −
2 2 2 2 2 2
1 0 1 2 6cos , .32 31 0 ( 1) 1 1 1
n PBn PB
n PB
⋅ + +< >= = = =
×+ + − ⋅ + +
6| cos , | 3n PB< > =
PB QCD 6
3
1 1 1A B C ⊥ 1AA
1A B 1C D
1ADC 1ABA 22 / 23
【解析】
(1)以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ，
， ，
，
异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
（2）设平面 的法向量为 ，
，
，即 且 ，
令 ，则 ， 是平面 的一个法向量，
1 (2,0, 4)A B∴ = −uuur
1 (1, 1, 4)C D = − −uuuur
1 ( , , )n x y z=
1 1 10, 0n AD n AC∴ ⋅ = ⋅ = 23 / 23
取平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 夹角的大小为 ，由 ，
得 ，故平面 与平面 夹角的正弦值为 ．
2 (0,1,0)n =
1 2
1 2
2 2cos 39 1
n n
n n
θ ⋅= = =
×
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