新教材 2020-2021 学年上学期高三第一次月考备考金
卷
数 学（A）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． 或 B．
C． D．
2．设复数 （其中 ， 为实数），若 ， 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．可知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（ 称为黄金分割比例），已知一位美女身高 ，穿上高跟鞋后肚脐至鞋底的长
度约 ，若她穿上高跟鞋后达到黄金比例身材，则她穿的高跟鞋约是（ ）（结果保留一
位小数）
A． B． C． D．
5．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．回文数是指从左往右读与从右往左读都是一样的正整数，如 ， 等，在所有小于 的
三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知非零向量 ， 满足 且 ，则 与 夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 为等差数列 的前 项和， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．已知直线 和直线 平行，则 （ ）
A． B． C． D．
10．已知 ， ， 成递增等比数列，则在 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
2{ 2 0}A x x x= − − > 2{ 4 3 0}B x x x= − + < A B =
{ 1x x < − 1}x > { 2 3}x x< <
{ 1 3}x x< < { 1 2}x x< <
iz x y= + x y x y 2 2( 2) 4x y+ − = 2iz − =
4 2i− 2 2i− 2 4
1
55a
−= 4
1log 5b = 1
4
1log 5c =
a c b> > a b c> > c a b> > c b a> >
5 1
2
−
5 1 0.6182
− ≈ 160 cm
103.8 cm
8.1cm 8.0 cm 7.9 cm 7.8 cm
cos2( ) | |
xf x x
=
323 5445 200
5
2
5
1
3
2
9
4
15
a b | | 3 | |=a b ( 3 ) ( )+ ⊥ −a b a b a b
π
3
π
6
π
2 0
nS }{ na n 7 14S = 6 8a =
3 10na n= − 2 4na n= − 23 19nS n n= − 23 13
4 4nS n n= −
2
1 :(2 3) 3 2 0l m x y− − + = 2 : 3 5 0l mx y− − = m =
1− 1 2
3
3
2
4 n 9 2(4 )nx
x
−
此 卷 只 装 订 不 密 封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A．二项式系数之和为 B．各项系数之和为
C．展开式中二项式系数最大的项是第 项 D．展开式中第 项为常数项
11．若椭圆 上的一点 到椭圆焦点的距离之积为 ，当 取得最大值时，点 的坐标可
能为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 有唯一零点，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．曲线 在 处的切线方程为 ．
14．已知 ，则 ， ．
15．兵乓球单打比赛在甲、乙两名运动员进行，比赛采取五局三胜制（即先胜 3 局者获胜，比赛结
束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，且各局比赛结果相互独立，那么甲以 获胜的
概率为 ．
16．已知双曲线 的两条渐近线分别为直线 ， ，经过右焦点 且垂直于
的直线 分别交 ， 于 ， 两点，且 ，则该双曲线的离心率为 ．
四 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．（10 分）若数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
① ，② ，③ ．
（从这三个条件中任选一个填入第（2）问的横线中，并回答问题）
18 ．（ 12 分 ） 在 锐 角 三 角 形 中 ， 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 已 知
．
（1）求角 的大小；
（2）求 且 ，求 ．
64 1
4 5
2 2
116 9
x y+ = P a a P
( 4,0)− (4,0) (0,3) (0, 3)−
2 2 2 2( ) 4 ( )( )x xf x x x m m e e− − += − + − + m
1 1− 2 2−
2( ) 1xf x xe x= + − 0x =
π 1sin( )4 8
α+ = πcos( )4
α− = 3πsin( )4
α+ =
3: 2
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1l 2l F
1l l 1l 2l A B 3FB AF=
{ }na
1 2 3
1 1 1 1
2 3 1n
n
a a a na n
+ + + + = +
{ }na
{ }nb n nT
2 n
n
n a
ab =
1
1
n
n n
b a a +
= ( 1)n
n nb a= − ⋅
ABC A B C a b c
C
2 2 2cos cos 5A B+ = b a> sin 2A
( )(sin sin )c a A C− +
(sin 2 sin )b B A= −19．（12 分）如图，在直三棱柱 中，底面 是直角三角形，且 ，
，其中 ， 分别是 ， 上的点且 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值．
20．（12 分）某厂加工的零件按箱出厂，每箱有 个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，
人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取 个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则
停止检验；若抽取的零件至少有 1 个至多有 个次品，则对剩下的 个零件逐一检验．已知每个零
件检验合格的概率为 ，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为 元．
（1）设 1 箱零件人工检验总费用为 元，求 的分布列；
（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的
检验费为 元，现有 箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检
验中，应该选择哪一个？说明你的理由．
21．（12 分）过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点， 是抛物线的焦点．
（1）若直线 的斜率为 ，求 的值；
（2）若 ，求 ．
AED BFC− AED EA AD⊥
3AB AE AD= = = M N AF BC 1
3
FM CN
FA CB
= =
MN∥ CDEF
A CF B− −
12
5
4 7
0.9 3
X X
2 1000
(1,0)E l 2 2y x= A B F
l 3 | | | |AF BF+
1
2AE EB= | |AB22．（12 分）已知函数 ，当 时，证明：
（1） 有唯一极值点；
（2） 有 个零点．
2 2 2( ) (1 2 ) lnf x x a x a x= + − − 1 a e< <
( )f x
( )f x 2新教材 2020-2021 学年上学期高三第一次月考备考金
卷
数 学（A）答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】由题意可知， 或 ， ，
则 ，故选 B．
2．【答案】C
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，
故选 C．
3．【答案】C
【解析】∵ ， ， ，
∴ ，故选 C．
4．【答案】B
【解析】设该美女穿的高跟鞋为 ，则 ，解得 ，
故选 B．
5．【答案】C
【解析】∵易知函数 为偶函数，排除 A，B 选项；
∵ ，当 时， ，即 ，排除 D．
6．【答案】B
【解析】列出所有小于 的三位回文数如下： ， ， ， ， ， ， ， ，
， 共 个，从中任取两个数共有 种情况，
其中两个回文数的三位数字之和均大于 有 种情况，
故所求概率为 ，故选 B．
7．【答案】C
【解析】∵ ，则 ，得 ，
，
设 与 夹角为 ，则 ，即夹角为 ．
8．【答案】A
【解析】由题意得 ，解得 ，故 ．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．【答案】AD
【解析】∵直线 和直线 平行，
直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
则 ，即 ，解得 或 ．
10．【答案】ACD
【解析】由 ， ， 成递增等比数列可得 ，
故 的二项式系数之和为 ，A 正确；
令 ， ，则 的各项系数之和为 ，B 错误；
的展开式共有 项，则二项式系数最大的项是第 项，C 正确；
{ 1A x x= < − 2}x > { 1 3}B x x= < <
{ 2 3}A B x x= < =
c a b> >
cmx 103.8 5 1 0.618160 2x
−=+ ≈ 8.0x ≈
cos2( ) | |
xf x x
=
πcosπ 2( ) 0π4
4
f = = π(0, )4x∈ cos2 0x > ( ) 0f x >
200 101 111 121 131 141 151 161 171
181 191 10 2
10C 45=
5 2
6C 15=
15 1
45 3P = =
( 3 ) ( )+ ⊥ −a b a b ( 3 ) ( ) 0+ ⋅ − =a b a b 2 2| | 2 3| | 0+ ⋅ − =a a b b
2 23| | | |
2
−⋅ = b aa b
a b θ
2 23| | | |cos 02 | | | |
θ −= =⋅
b a
a b
π
2
1
1
7 21 14
5 8
a d
a d
+ =
+ =
1 7
3
a
d
= −
=
23 17
2 2
3 10
n
n
S n n
a n
= −
= −
2
1 :(2 3) 3 2 0l m x y− − + = 2 : 3 5 0l mx y− − =
1l
2
1
2 3
3
mk
−= 2l 2 3
mk =
1 2k k=
22 3
3 3
m m− = 1m = − 3
2
4 n 9 6n =
62(4 )x
x
− 64
1x = 6 62(4 ) 2 64x
x
− = = 62(4 )x
x
− 64
62(4 )x
x
− 7 4的展开式中展开式中第 项 为常数项，D 正确，
故答案选 ACD．
11．【答案】CD
【解析】记椭圆 的两个焦点分别为 ， ，故 ，
可得 ，当且仅当 时取等号，
即点 位于椭圆的短轴的顶点处时， 取得最大值，
此时点 的坐标为点 或 ．
12．【答案】BC
【解析】∵ ，
令 ，则 ，定义域为 ，
，故函数 为偶函数，
所以函数 的图象关于 对称，
要使得函数 有唯一零点，则 ，
即 ，解得 或 ，
故答案选 BC．
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】
【解析】 ， ，
根据导数的几何意义可知曲线在点 处的切线斜率为 ，
∴切线方程为 ，即 ．
14．【答案】 ，
【解析】∵ ，则 ，
，
根据 ，得 ．
15．【答案】
【解析】因为利用比赛规则，那么甲以 获胜表示甲在前 4 局中胜 2 局，最后一局甲赢，
则利用独立重复实验的概率公式可知 ．
16．【答案】
【解析】由题意得 ， ， ，
由题得 ，∴ ，
整理得 ，即 ，
∴ ， ，即 ．
四 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．【答案】（1） ；（2）见解析．
【解析】（1） ，
当 时， ，
两式相减得 ，∴ ，
当 时， 满足， ，
62(4 )x
x
− 5 4 2 4
6
2C (4 ) ( ) 15 16 16x
x
− = × ×
2 2
116 9
x y+ = 1F 2F 1 2| | | | 8PF PF+ =
21 2
1 2
| | | || || | ( ) 162
PF PFPF PF
+≤ = 1 2| | | | 4PF PF= =
P a
P (0,3) (0, 3)−
2 2 2 2 2 2 2 2( ) 4 ( )( ) ( 2) 4 ( )( )x x x xf x x x m m e e x m m e e− − + − − += − + − + = − − + − +
2t x= − 2 2( ) 4 ( )( )t tg t t m m e e−= − + − + R
2 2( ) ( ) 4 ( )( ) ( )t tg t t m m e e g t−− = − − + − + = ( )g t
( )f x 2x =
( )f x (2) 0f =
24 8 2( ) 0m m− + − = 1m = − 2
1 0x y− − =
( ) 2x xf x e x e x′ = + ⋅ + (0) 1f = −
(0, 1)− (0) 1k f ′= =
1y x+ = 1 0x y− − =
1
8
3 7
8
±
π 1sin( )4 8
α+ = π π π π 1cos( ) cos[ ( )] sin( )4 2 4 4 8
α α α− = − + = + =
3π π π πsin( ) sin( ) cos( )4 2 4 4
α α α+ = + + = +
2 2π πsin ( ) cos ( ) 14 4
α α+ + + = π 3 7cos( )4 8
α+ = ±
3
16
3: 2
2 2 2
4
1 1 1 3C ( ) ( )2 2 2 16P = × × × =
6
2
FA b= 3FB b= OA a=
tan tan bBOF AOF a
∠ = ∠ =
2
4tan tan 2
1 ( )
b b
b a aBOA BOF ba
a
+
∠ = = ∠ =
−
2 22a b= 2 2 22( )a c a= −
2 23 2a c= 2 3
2e = 6
2e =
1na n= +
1 2 3
1 1 1 1
2 3 1n
n
a a a na n
+ + + + = +
2n ≥
1 2 3
1 1 1 1 1
2 3 ( 1) n
n
a a a n a n
−+ + + + =−
1 1 1
1 ( 1)n
n n
na n n n n
−= − =+ + 1na n= +
1n = 1 2a = 1na n= +∴数列 的通项公式为 ．
（2）选条件①
∵ ，∴ ，∴ ，
两式相减得
，
∴ ．
选条件②：
∵ ，
∴ ．
选条件③：
∵ ，
∴当 为奇数时， ；
当 为偶数时， ，
∴ ．
18．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由正弦定理得 ，故 ，
即 ，∴ ，
∵ ，∴ ．
（2）∵ ，∴ ，
∴
，
∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，得 ，
又∵ 为锐角三角形，∴ ，∴ ．∴ ，
则 ，∴ ，
∴
．
19．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）证明：如下图，分别在 ， 上取点 ， ， ，
连接 ， 及 ，
{ }na 1na n= +
1
1
2 2n
n
n a n
a nb +
+= = 2 3 4 1
2 3 4 1
2 2 2 2n n
nT +
+= + + + + 3 4 5 2
1 2 3 4 1
2 2 2 2 2n n
nT +
+= + + + +
1
2 3 4 1 2 2
1 1(1 )1 2 1 1 1 1 1 18 2
12 2 2 2 2 2 2 21 2
n
n n n n
n nT
−
+ + +
−+ += + + + + − = + −
−
1 2 2
3 1 1 3 3
4 2 2 4 2n n n
n n
+ + +
+ += − − = −
1
3 3
2 2n n
nT +
+= −
1
1 1 1 1
( 1)( 2) 1 2n
n n
b a a n n n n+
= = = −+ + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 3 4 4 5 1 2 2 2 2 4n
nT n n n n
= − + − + − + + − = − =+ + + +
( 1)n
n nb a= −
n 1 32 3 4 5 ( 1) 1 12 2 2n
n nT n n
−= − + − + − − + = × − − = − −
n 2 3 4 ( 1) 12 2n
n nT n= − + − + + + = × =
3
2 2
2
n
n n
T n n
− −=
， 为奇数
， 为偶数
π
4C = 6 14
10
+
( )( ) ( 2 )c a a c b b a− + = − 2 2 22c a ab b− = − +
2 2 2 2a b c ab+ − =
2 2 2 2cos 2 2
a b cC ab
+ −= =
(0,π)C ∈ π
4C =
π
4C = 3π2 22B A= −
2 2 1 cos2 1 cos2cos cos 2 2
A BA B
+ ++ = +
1 1 2 π 2(cos2 cos2 ) 1 1 (cos2 sin 2 ) 1 sin(2 )2 2 2 4 5A B A A A= + + = + − = − − =
π 3 2sin(2 )4 5A− =
b a> B A> 3 π4 A A− > 3 π8A <
ABC△ π 3π π
4 4 2A< − < π π
4 2A< < π 3π
4 8A< <
π π π24 4 2A< − < π 7cos(2 )4 5A− =
π π π π π πsin 2 sin(2 ) sin(2 ) cos cos(2 ) sin4 4 4 4 4 4A A A A= − + = − ⋅ + − ⋅
3 2 2 7 2 6 14
5 2 5 2 10
+= × + × =
6
3
FC EF P Q 1
3
CP FQ
CF FE
= =
NP PQ MQ∵ ，∴ 及 ，
且 ，
∴ ， ，∴四边形 为平行四边形，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
（2）如下图所示，以 为坐标原点， 方向为 轴正方向， 方向为 轴正方向， 方向为
轴正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，∴ ， ，
由题易知平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
∵ ，则二面角 的正弦值为 ．
20．【答案】（1）分布列见解析；（2）人工检验，详见解析．
【解析】（1） 的可能取值为 ， ，
，
，
则 的分布列为
（2）由（1）知， ，
∴1000 箱零件的人工检验总费用的数学期望为 元．
∵1000 箱零件的机器检验总费用的数学期望为 元，
且 ，∴应该选择人工检验．
21．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】设 ， ，
（1）由题意可知直线 的方程为 ，
由 ，消去 ，得 ， ，
∴ ．
（2）由 ，可知 ①，
设直线 的方程为 ，
由 ，消去 ，得 ， 恒成立，
②， ③，
由①②③解得 或 ，∴ ，得 ，
∴ ．
22．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1） 的定义域为 ，
，
当 时， ， 单减；当 时， ， 单增，
∴ 有唯一极值点．
（2）由（1）知 在 单减，在 单增，
∴ 在 时取得极小值为 ，
∵ ，∴ ， ，∴ ，
1
3
FM CN
FA CB
= = 1
3
MF FQ MQ AEFA FE
= = ⇒ ∥ 1
3MQ AE=
1
3
CN CP NP BFCB CF
= = ⇒ ∥ 1
3NP BF=
MQ NP∥ MQ NP= MNPQ MN QP∥
MN ⊄ CDEF QP ⊂ CDEF MN∥ CDEF
A AE x AD y AB
z
(0,0,0)A (3,0,3)F (0,3,3)C (0,0,3)B (3,0,3)AF = (0,3,3)AC =
BCF 1 (0,0,1)=n
ACF 2 ( , , )x y z=n
2
2
0 3 3 0
3 3 00
AF x z
y zAC
⋅ = + = ⇒ + =⋅ =
n
n
1x = 2 (1,1, 1)= −n
1 2
1 2
1 2
1 3cos , 33
⋅ −= = = −⋅
n nn n n n A CF B− − 6
3
X 15 36
5 5( 15) 0.9 0.1 0.59049 0.00001 0.5905P X = = + = + =
( 36) 1 0.5905 0.4095P X = = − =
X
( ) 15 0.5905 36 0.4095 23.5995E X = × + × =
( ) 1000 23.5995 23599.5E X = × =
2 12 1000 24000× × =
24000 23599.5>
29
9
3 5
2
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
l 3 3y x= −
2 2
3 3
y x
y x
=
= −
y 29 20 9 0x x− + = 1 2
20
9x x+ =
1 2
20 29| | | | 19 9AF BF x x p+ = + + = + =
1
2AE EB=
2 12y y= −
l y kx k= −
2 2y x
y kx k
=
= −
x 2 2 2 0ky y k− − = 24 8 0Δ k= + >
1 2
2y y k
+ = 1 2 2y y = −
1
2
1
2
y
y
=
= −
1
2
1
2
y
y
= −
= 1 2
2| | | | 1y y k
+ = = 2
1 1
4k
=
1 3 5| | 1 1 84 2AB = + × + =
( )f x (0, )+∞
2 2 2 2
2 2 (1 2 )( ) 2 (1 2 ) a x a x af x x a x x
+ − −′ = + − − = =
2(2 1)( )x x a
x
+ −
2(0, )x a∈ ( ) 0f x′ < ( )f x 2( , )x a∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x
( )f x 2(0, )a 2( , )a +∞
( )f x 2x a= 2 2 2 2( ) (1 ln )f a a a a= − −
1 a e< < 21 a e< < 2ln 0a > 2( ) 0f a
( )f x 2(0, )a
lnx x> 2 2 2( ) (1 2 ) lnf x x a x a x= + − − 2 2 2(1 2 )x a x a x> + − −
2 2 2(1 3 ) ( 1 3 )x a x x x a= + − = + −
1 a e< < 2 2 23 1 2 1 0a a a− − = − > 2 23 1a a− >
23 1x a> − ( ) 0f x >
( )f x 2( , )a +∞
( )f x 2
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