数学试题
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．“ ”是“ ”成立的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
2．函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
3．某医院拟派甲、乙、丙、丁四位专家到 3 所乡镇卫生院进行对口支援，若每所乡镇卫生
院至少派 1 位专家，每位专家对口支援一所医院，则选派方案有（ ）
A.18 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种
4．若 ，使得 成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取
30 名学生参加环保知识竞赛，得分（ 分制）的频
数分布表如下：
得分
{1,2}m∈ ln 1m < 1( ) lg 2xf x x= − (0,1) (1,2) (2,3) (3,4) Rx∃ ∈ (2 )a x x≤ − a 2 2 2 1 0 cos ( 0)( ) ( 1) 1 ( 0) x xf x f x x π ≤= − + >
4 4( ) ( )3 3f f+ −
1− 1
2
− 0 1
( )f x ( )f x
sin | |( ) 2 cos
xf x x
= +
sin ln | |( ) 2 cos
x xf x x
⋅= +
cos ln | |( ) 2 cos
x xf x x
⋅= +
cos( ) xf x x
=
10
3 4 5 6 7 8 9 10
O
y
x
频数 3
设得分的中位数 ，众数 ，平均数 ，下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 的定义域为 ，且 是偶函数， 是奇函数， 在
上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
9．设全集 ，集合 ，集合 ，则
（ ）
A．A∩B=(0,1) B．
C．A∩ B=(0,+∞) D． A∪ B=R
10 ． 已 知 函 数 的 图 象 的 一 个 最 高 点 为
，与之相邻的一个对称中心为 ，将 的图象向右平移 个单位长度得
到函数 的图象，则（ ）
A． 为偶函数 B． 的一个单调递增区间为
C． 为奇函数 D． 在 上只有一个零点
11．下列说法正确的是（ ）
A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 后，方差也变为原来的 倍；
B.若四条线段的长度分别是 1，3，5，7，从中任取 3 条，则这 3 条线段能够成三角形的概
率为 ；
2 10 6 3 2 2 2
em 0m x
0em m x= = 0em m x= < 0em m x< < 0 em m x< < ( )f x R ( 1)f x + ( 1)f x − ( )f x [ 1,1]− (0) (2020) (2019)f f f> > (0) (2019) (2020)f f f> >
(2020) (2019) (0)f f f> > (2020) (0) (2019)f f f> >
RU = 2{ | , R}A y y x x−= = ∈ 2{ | 2 0, R}B x x x x= + − < ∈ ( 2, )A B = − +∞ ( ) ( )( 0, 0,0 )f x Acos x Aω ϕ ω ϕ π= + > > < < ,312 π − ,06 π ( )f x 6 π ( )g x ( )g x ( )g x 5 ,12 12 π π − ( )g x ( )g x 0, 2 π a a 1 4
C.线性相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
D.设两个独立事件 和 都不发生的概率为 ， 发生且 不发生的概率与 发生且
不发生的概率相同，则事件 发生的概率为 .
12．定义：若函数 在区间 上的值域为 ，则称 是函数 的“完美
区间”．另外，定义 的“复区间长度”为 ，已知函数 ．则（ ）
A．[0，1]是 的一个“完美区间” B． 是 的一个“完美区间”
C． 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D． 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分
13 ． 已 知 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 ， 若 ， 则
______．
14． 的展开式中 的系数为__________.
15．若 是函数 的极值点，则 的极小值
为 ．
16．已知函数 ①若 ，则不等式 的解集为__________；
② 若 存 在 实 数 ， 使 函 数 有 两 个 零 点 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 是
__________.
（本题第一个空 分，第二个空 分）
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(10 分)已知 sin(α＋π
2)＝－ 5
5 ，α∈(0，π)．
(1)求
sin(α－π
2
)－cos(3π
2 ＋α)
sin(π－α)＋cos(3π＋α)的值；
(2)求 cos(2α－3π
4 )的值．
18．（本题 12 分）设函数 ，其中 ．
r
A B 1
9 A B B A
A 2
3
( )F x [ ],a b [ ],a b [ ],a b ( )F x
[ ],a b ( )2 b a− ( ) 2 1f x x= −
( )f x 1 5 1 5,2 2
− +
( )f x
( )f x 3 5+
( )f x 3 2 5+
ε ( )24,N σ ( )2 0.3P ε < = 6(2 )P ε< < = 72x x − x 2x = − 2 1( ) ( 1) xf x x ax e −= + − ( )f x 2 2 , ,( ) , . x x af x x x a ≤= > 1a = ( ) 1f x ≤
b ( ) ( )g x f x b= − a
2 3
( ) x xf x a mb= + , ,a m b∈R
（1）若 ， 且 为 R 上偶函数，求实数 m 的值；
（2）若 ， 且 在 R 上有最小值，求实数 m 的取值范围；
（3） ， ，解关于 x 的不等式 ．
19．（本题 12 分）“新高考方案： ”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外
语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历
史 2 门科目中选择一门；“2”指再从思想政治、地理、化学、生物 4 门科目中选择 2 门。
某校根据统计选物理的学生占整个学生的 ；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为
；在选历史的条件下，选地理的概率为 ．（1）求该校最终选地理的学生概率；
（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量 X．
①求随机变量 的概率； ②求 X 的概率分布表以及数学期
望．
20.已知函数 ．
（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）将函数 f（x）的图象向右平移 个单位，得到函数 g（x）的图象，求 g（x）在区间
上的值域．
21. 某种产品的质量按照其质量指标值 M 进行等级划分，具体如下表：
质量指标值 M
等级 三等品 二等品 一等品
现从某企业生产的这种产品中随机抽取了 100 件作为
样本，对其质量指标值 M 进行统计分析，得到如图所
示的频率分布直方图．
（1）记 A 表示事件“一件这种产品为二等品或一等
品”， 试估计事件A 的概率；
2a = 1
2b = ( )f x
4a = 2b = ( )f x
( )0,1a∈ 1b > ( ) 0f x >
3 1 2+ +
3
4
2
3
4
5
2X =
( ) 22 3 24f x sin x cos x
π = − +
6
π
4 4
π π − ，
80M < 80 110M≤ < 110M ≥
（2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为 10 元、6 元、2
元，试估计该企业销售 10000 件该产品的利润；
（3）根据该产品质量指标值 M 的频率分布直方图，求质量指标值 M 的中位数的
估计值（精确到 0．01）．
22．已知函数：
（I）当 时，求 的最小值；
（II）对于任意的 都存在唯一的 使得 ，求实数 a 的
取值范围．
( ) ( )21 ln , e 12
xf x x a x a g x x= − − = − −
[ ]1,ex∈ ( )f x
[ ]1 0,1x ∈ [ ]2 1,ex ∈ ( ) ( )1 2g x f x=
数学试题答案
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1-8: A B C C D B D B
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
9：AB； 10：BD ； 11：BD； 12：AC
三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 0.4 14. －280
15. ； 16. ①（－∞，0] ②（－∞，2）∪（4，＋∞）
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.解： (1)sin(α＋π
2 )＝－
5
5 ，α∈(0，π)
⇒cos α＝－
5
5 ，α∈(0，π)⇒sin α＝2 5
5 .
sin(α－π
2
)－cos(3π
2
＋α)
sin(π－α)＋cos(3π＋α)＝－cos α－sin α
sin α－cos α ＝－1
3.。。。。5 分
(2)∵cos α＝－
5
5 ，sin α＝2 5
5 ⇒sin 2α＝－4
5，cos 2α＝－3
5.
cos(2α－3π
4 )＝－
2
2 cos 2α＋
2
2 sin 2α＝－
2
10 .。。。。。。。10 分
18.解：（1） ，所以 ，
所以 ，检验，此时 ， ，
所以 ， 为偶函数；。。。。。。。4 分
（2） ，令 ，所以，
设 在 上有最小值，所以 ，m
( ) 2g t t mt= + ( )0,+∞ 02
m− >
( ) 0x xf x a mb= + > x xa mb> −
xx
x
a a mb b
= > −
因为 ， ，所以 ．
（1） 即 m≥0，解集为 R；
（2） 即 ，解集为 ．…….12 分.
19.解：（1）该校最终选地理的学生为事件 A，
；
答：该校最终选地理的学生为 ；.。。。。。。。6 分
（2）
①
②
， ，
， ，
X 0 1 2 3
P
．答：数学期望为 ．。。。。12
分
20. 解 ： （ Ⅰ ） 函 数 1﹣cos （ 2x ）
．
所以函数的最小正周期为 ，
令 （k∈Z），整理得 （k∈Z），
所以函数的单调递减区间为[ ]（k∈Z）．。。。。6 分
（Ⅱ）将函数 f（x）的图象向右平移 个单位，
( )0,1a∈ 1b > ( )0,1a
b
∈
0m− ≤
0m− > 0m < ( ),log a b m −∞ − ( ) 3 2 1 4 7 4 3 4 5 10P A = × + × = 7 10 ( ) 2 2 3 7 3 4412 10 10 1000P X C = = = ( ) 33 270 10 1000P X = = = ( ) 1 2 1 3 7 3 1891 10 10 1000P X C = = = ( ) 2 2 3 7 3 4412 10 10 1000P X C = = = ( ) 3 3 3 7 3433 10 1000P X C = = = 27 1000 189 1000 441 1000 343 1000 ( ) 189 441 343 211 +2 31000 1000 1000 10E X = × × + × = 21 10 ( ) 22 3 24f x sin x cos x π = − + = 2 π− 3 2 3 2 2 1 2 2 16cos x cos x sin x cos x π + = − + = + + 2 2T π π= = 2 2 26k x k ππ π π≤ + ≤ + 12 12k x k π 5ππ − ≤ ≤ π + 5 12 12k k π ππ π− +， 6 π
得到函数 g（x）＝2cos（2x ）+1
的图象，
由于 x∈ ，所以 ，故 ，
所以 0≤g（x）≤3，故函数 值域为[0，3]．。。。。。12 分
21.解：（1）记 B 表示事件“一件这种产品为二等品”，C 表示事件“一件这种
产品为一等品”，则事件 B，C 互斥，
且 由 频 率 分 布 直 方 图 估 计 ，
，
又 ，
所以事件 的概率估计为 ．。。。。。。。6 分
（2）由（1）知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为
， ，
故任取一件产品是三等品的概率估计值为 ，
从而 10000 件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为 1900，6500，1600
件，
故利润估计为 元．
（3）因为在产品质量指标值 M 的频率分布直方图中，
质量指标值 的频率为 ，
质量指标值 的频率为 ，
故质量指标值 M 的中位数估计值为 ．。。。。。12 分
22.解：（I）
(1) 时， 递增， ,
(2) 时， 递减， ，
的
3 6
π π− +
2 2 16cos x
π = − +
4 4
π π − ， 2 23 6 3x
π π π− ≤ − ≤ 1 2 12 6cos x
π − ≤ − ≤
( ) 0.2 0.3 0.15 0.65P B = + + =
( ) 0.1 0.09 0.19P C = + =
( ) ( ) ( ) ( ) 0.84P A P B C P B P C= + = + =
A 0.84
0.19 0.65
0.16
1900 10 6500 6 1600 2 61200× + × + × =
90M < 0.06 0.1 0.2 0.36 0.5+ + = < 100M < 0.06 0.1 02 0.3 0.66 0.5+ + + = >
0.5 0.3690 94.670.03
−+ ≈
( ) 2x af x x
−′ =
1a ≤ [ ] ( ) ( )1,e , 0,x f x f x′∈ ≥ ( ) ( )min
11 2f x f a= = −
2ea ≥ [ ] ( ) ( )1,e , 0,x f x f x′∈ ≤ ( ) ( ) 2
min
ee 22f x f a= = −
(3) 时， 时 递减， 时
递增，
所以
综上，当 ；
当
当 。。。。。。。。。。。6 分
（II）因为对于任意的 都存在唯一的 使得 成
立,
所以 的值域是 的值域的子集.
因为
递增， 的值域为
（i）当 时， 在 上单调递增，
又 ，
所以 在[1,e]上的值域为 ,
所以
即 ，
（ii）当 时，因为 时， 递减， 时，
递增，且 ，
所以只需
21 ea< < 1,x a ∈ ( ) ( )0,f x f x′ < ,ex a ∈ ( ) ( )0,f x f x′ >
( ) ( )min ln2 2
a af x f a a= = − −
( )min
11 2a f x a≤ = −，
( )2
min1 e ln2 2
a aa f x a< < = − −， ( ) 2 2 min ee 22a f x a≥ = −， [ ]1 0,1x ∈ [ ]2 1,ex ∈ ( ) ( )1 2g x f x= ( )g x ( [0,1]x ∈ ( )( [1,e])f x x∈ ( ) e 1,xg x′ = − [ ] ( ) ( )0,1 0,x g x g x′∈ ≥， ( )g x ( ) ( ) [ ]0 , 1 0,e 2g g = − 1a ≤ ( )f x [ ]1,e ( ) ( ) 21 e1 , e 22 2f a f a= − = − ( )f x 21 e[ , 2 ]2 2a a− − 2 1 02 e 2 e 22 a a − ≤ − ≥ − 1 12 a≤ ≤ 21 ea< < 1,x a ∈ ( )f x ,ex a ∈ ( )f x ( ) ( )1 0, 0f f a< < ( )e e 2f ≥ − ，
即 ，所以
（iii）当 时，因为 在 上单调递减，且
，
所以不合题意.
综合以上，实数 的取值范围是 .。。。。。12
2e 2 e 22 a− ≥ −
2e e1 14 2a< ≤ − + 2ea ≥ ( )f x [ ]1 e， ( ) ( ) 11 02f x f a≤ = − < a 21 e 2e 4,2 4 − +
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