2020年浙江省浙北四校高考数学二模试卷（解析版）

1 2020 年浙江省浙北四校高考数学二模试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．已知 ， ， ，则    A． B． C． D． 或 2．双曲线 的离心率是   A． B． C． D． 3．已知函数 的定义域为 ， ，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为 ，则实数的 取值范围是   A． ， B． ， C． ， D． 4．若实数 ， 满足 ，则 的取值范围是   A． ， B． ， C． ， D． ， 5．点 在曲线 上，且点 处的切线与 垂直，则 的实根个数为   A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．不确定 6．已知随机变量 满足 ， ， ，若 ，则随 增大   A． 增大 增大 B． 减小 增大 C． 减小 减小 D． 增大 减小 7．若 的边 上存在一点 （异于 ， ，将 沿 翻折后使得 ，则必有   A． B． C． D． 8．已知函数 ， ，其中 ，若方程 恰 好有 3 个不同解 ， ， ，则 与 的大小关系为   A． B． C． D．不能确定 9．空间向量 ， ， 两两垂直， ， ， ，则 U R= { | 0 2}A x x= < < 2{ | 2 3 0}B x x x= + −  (UA B = ∅ { | 0 1}x x< < { | 0 2}x x< < { | 1x x 3}x − 2 2 19 4 y x− = 5 2 5 3 13 2 13 3 2 4 1y x x= − + [1 ]t 5− (1 3] [2 3] (1 2] (2,3) x y 1 | 2 1| x y y x − + ,( , ) , p p qmin p q q p q =  >  9( ) 4f x = 1x 2x 3 1 2 3( )x x x x< < 1 2x x+ 3x 1 2 3x x x+ > 1 2 3x x x+ = 1 2 3x x x+ < 1OB 2OB 3OB 1 2 3| | | | | | 1AB AB AB= = =   1 2 3OP OB OB OB= + +    1| | 2AP  2    A． ， B． ， C． ， D． ， 10．数列 满足： ， ，数列前 项和为 ，则以下说法正确个数是   ① ； ② ； ③ ； ④ ． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11．（6 分）已知 ， ，复数 且 为虚数单位），则   ，   ． 12．（6 分）已知多项式 满足 ， ，则   ，   ． 13．（6 分）给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用 4 种颜 色染色的方案有  种，用 5 种颜色染色的方案共有  种． 14．已知函数 ，若函数 与 有相同的值域，则的取值范围 是  ． 15．已知椭圆 ，圆 ，则椭圆 与圆 的公切线段 长的最大值 为  ． 16．在棱长为 6 的正三棱锥 中， 为棱 上一动点， 为 上一动点，且满足 ，则 线段 的中点 的运动轨迹的测度 为   为曲线、平面图形、几何体时， 分别对应长度、面积、 体积）． | | (OA ∈ 22[ 4 6 ]2 17[ 8 6 ]2 22[ 6 3 6 ]2 21[ 7 3 5]2 { }nx 11 2x< < 1 sin( 1)( *)n n nx x x n N+ = − − ∈ n nS 11 2n nx x+< < < 21 1 1 ( 1)1 6 n n n x xx + − < −− 6 5nS n< + nS n a b R∈ z a i= − 1 (1 z bi ii = ++ ab = | |z = 2 0 1 2( 2) ( 1)m n m n m nx x a a x a x a x + ++ + = + + +…+ 0 4a = 1 16a = m n+ = 0 1 2 m na a a a ++ + +…+ = ( ) ( 0, )xf x lnx x t x t R= − + > ∈ ( )y f x= ( ( ))y f f x= 2 2: 14 yE x + = 2 2 2: (1 2)C x y r r+ = < < E C PQ P ABC− D PA E BC 3 2AD BE= DE Q | |L (L | |L 3 17．（6 分）若不等式 对于 ， 上恒成立，则 的最大值是  ，若 对于 ， 上恒成立，则 的最大值是  ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18．（14 分） 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 ． （Ⅰ）求 的值： （Ⅱ）若 ，且 ，求 面积的最大值． 19．（15 分）如图，在斜三棱柱 中，侧面 是菱形， ， 与 交于点 ． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）已知 ， ，求二面角 的正切值． 20．（15 分）已知数列 ， ， ，若数列 ， 都是等比数列，公比分别是 ， ， 设 是数列 的前 项和，数列 是 的零点按从小到大的顺序排成的数列． （Ⅰ）求数列 的通项公式，并证明： ． （Ⅱ）证明： ，有 ． 2| | 1ax bx c+ +  [x l∀ ∈ − 1] | | | | | |a b c+ + 2| | 1ax bx c+ +  [0x∀ ∈ 1] 2 | | 3| | 4 | |a b c+ + ABC∆ A B C a b c 2 3 cos 2 3 3b C a c= − tan 2 B∠ 2CA CB CM+ =   | | 2 6CM = ABC∆ 1 1 1ABC A B C− 1 1AAC C 1 1 1AC B C⊥ 1AC 1AC O 1AO A B⊥ 1 30BAC∠ = ° 1 12 3AC AC= 1A A B C− − { }na 1 3 2a = 2 15 4a = 1{ 2 }n na a+ − 1{2 }n na a+ − 1q 2 1 2( )q q q≠ nS 1{ } na n { }nb ( ) cos 1xf x e x= − { }na 4 3nS < *k N∀ ∈ 2 3 32 22 2 2kk b kk ππ π π π− − < < − 4 21．（15 分）已知椭圆 ， ， 为其左、右焦点，椭圆上有相异两点 ， ， 为 坐标原点． （Ⅰ）若 ， ，直线 ，直线 ，直线 的斜率满足 ，当 取得最大 值时，试求直线 的方程． （Ⅱ）若 为椭圆 上除长轴端点外的任一点，△ 的内心为Ⅰ，试求线段 的取值范围． 22．（15 分）已知函数 ， ，其中 ． 若函数 的图象与直线 在第一象限有交点，求 的取值范围． （Ⅱ）当 时，若 有两个零点 ， ，求证： ． 2020 年浙江省浙北四校高考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．已知 ， ， ，则    A． B． C． D． 或 【分析】可以求出集合 ，然后进行补集和交集的运算即可． 【解答】解： ， ， 或 ， ， ． 故选： ． 【点评】本题考查了描述法的定义，以及交集和补集的运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础 题． 2．双曲线 的离心率是   A． B． C． D． 【分析】求得双曲线的 ， ， ，由离心率公式 ，计算可得所求值． 【解答】解：双曲线 的 ， ， ， 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1F 2F A B O 2a = 1b = AB OA OB 2 ( 0)AB OA OB ABk k k k= > AOBS∆ AB P C 1 2F PF OI ( ) ( 1)axf x e ln x= + 2( )g x lnx ax = + − a R∈ ( )I ( )y f x= y x= a 2a < ( )y g x= 1x 2x 1 24 3 2x x e< + < − U R= { | 0 2}A x x= < < 2{ | 2 3 0}B x x x= + −  (UA B = ∅ { | 0 1}x x< < { | 0 2}x x< < { | 1x x 3}x − B U R= { | 0 2}A x x= < < { | 3B x x= − 1}x { | 3 1}U B x x∴ = − < +   a 2 2 2 2 2 , 2 1( ) 2 ,2 2 16 8 4, 2 x ax x a f x x ax a x a a x ax a x a a  − + = − < +   − + + > +   f 2a= (2 ) 0f a = 2 1 1(2 ) 2f a a a + = + 2(3 ) 4f a a= − 9( ) 4f x = 9( ) 4 9(3 ) 4 f a f a  >  > 2 2 9 4 94 4 a a  >  − > 3 2 7 2 a a  >  − 3 sin 6 xx x> − 3 1 ( 1)1 1 sin( 1) 1 [( 1) ]6 n n n n n n xx x x x x+ −− = − − − < − − − − ∴ 21 1 1 ( 1)1 6 n n n x xx + − < −− 3 1 1 11 ( 1) ( 1)6 6n n nx x x+ − < − < − ∴ 1 1 11 ( ) ( 1)6 n nx x−− − ∴ 1 1 1 1 11 ( ) ( 1) ( )6 6 n n nx x− −− − ∈ ( )y f x= ( ( ))y f f x= (1 2] ( )f x ( ) xf x lnx x t xlnx x t= − + = − + ( )f x lnx′ = ( )f x (0,1) (1, )+∞ 1x = f 1t= − [ 1t − )+∞ (0, )+∞ 1 0t − > 1t > ( )y f x= ( ( ))y f f x= 1 1t −  2t 1 2t<  (1 2] 2 2: 14 yE x + = 2 2 2: (1 2)C x y r r+ = < < E C PQ PQ y kx m= + 1(P x 1)y 2(Q x 2 )y P Q E C PQ PQ y kx m= + 1(P x 1)y 2(Q x 2 )y 2 2 14 y kx m yx = + + = 2 2 2(4 ) 2 4 0k x kmx m+ + + − = 2 2 2 24 4(4 ) ( 4) 0k m k m= − + − = 2 24m k= + 14 ． 联立 ，得 ． 由△ ， 得 ， ． ． ， ， 当 时， ， 当 时， ． 故答案为：1． 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆、直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档 题． 16．在棱长为 6 的正三棱锥 中， 为棱 上一动点， 为 上一动点，且满足 ，则 线段 的中点 的运动轨迹的测度 为    为曲线、平面图形、几何体时， 分别对应长度、 面积、体积）． 【分析】根据线面平行的性质，表示出 ， 及线段 的中点 的轨迹为线段．根据正三棱锥的性 质及勾股定理即可求得 【解答】解：取 ， ， ， 的中点， ， ， ， ，由题意可知， 在平面 内运动， 设 ， ， 在平面 内， ， ， ∴ 1 2 2 2(4 ) km kx k m −= = −+ 2 2 2 y kx m x y r = +  + = 2 2 2 2(1 ) 2 0k x kmx m r+ + + − = 2 2 2 2 24 4(1 )( ) 0k m k m r= − + − = 2 2 2(1 )m r k= + 2 2 2 2 2(1 ) km krx k m = − = −+ 2 2 2 2 2 1 2 ( 1)| | 1 | | 1 | | 1 | |k kr k rPQ k x x k km m m −∴ = + − = + − + = +  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 1 4 ( 1)(4 ) 4| | (1 ) ( 1) 5 ( )1 k r r r rPQ k r rm r r r r − − − −∴ = + = − = = − +−   1 2r< − − − 32 2 23(2 ) sin 1 02 2 2 k kf k ek k ππ ππ ππ π − −− − = − > xe ex 32 2 22 2 ( 1)(2 2 ) 2 2 22 k kk e k ee e e k k k kk ππ π π π π ππ π− − − −> − = × × >  1( ) sin (0 ), ( ) cos 1 02g t t t t g t t tπ π= − < ′ = −  1 10 2 2k < < 1sin 2 2k k π > 32 2 23 1(2 ) sin 1 2 1 02 2 2 2 k kf k e kk k k ππ ππ ππ π − −− − = − > × − = 3 3(2 ) (2 ) 02 2 2f k f kk ππ π π π− − × − < 2 3 32 2 , 22 2 2kk b k kk ππ π π π− − < < −  (*) * 2 3 3,2 22 2 2kk N k b kk ππ π π π∀ ∈ − − < < − * 2 7 32 2 ,4 2kk b k k Nπ π π π− < < − ∀ ∈ 2 2 32 2k kc k bπ π= − − 2 2kc k π< 2( 1) 2 2 2( 1) 2 2 3 , ( ) ( ),cos sin2k k k k k kb b f b f b b cπ+ +> + = = 2 2 ( 1) 2 2( 1)sin sin 1kb b k k ke c e c+ += = 2 2( 1) 3 2( 1) 2 2 sin 1 sin 2 k x b k b k c e ec e π + −+ = < < sin 1 1 (0 )sin 2 2cos 2 4 x xx x π= > <  2 2( 1) 2 2 sinsin 1 2 sin 2 sin k k k k c c c c + <  2 2( 1)sin sin 2 k k cc + < siny x= (0, ]4 π 2 2( 1) 2 k k cc + < 2 4c π< 2 2k kc π< 3k 1 2 ( 1)2 (1 1) 1 1 22 k k k k k kC C k += + + + = + > 1k = 2 2k k= 2 2k k *k N∀ ∈ 2 2 2k kc k π π<  2 2 3 32 22 2 2k kb k c k k ππ π π π= − − > − − 22 综上所述，命题得证． 【点评】本题考查了等比数列通项及其求和公式，考查了数列放缩及函数放缩，考查了利用导数判断函数 单调性，综合性比较大，属于难题． 21．（15 分）已知椭圆 ， ， 为其左、右焦点，椭圆上有相异两点 ， ， 为 坐标原点． （Ⅰ）若 ， ，直线 ，直线 ，直线 的斜率满足 ，当 取得最大 值时，试求直线 的方程． （Ⅱ）若 为椭圆 上除长轴端点外的任一点，△ 的内心为Ⅰ，试求线段 的取值范围． 【分析】（Ⅰ）将 ， 代入求得椭圆方程，设直线 ， ， ， ， ，与椭圆 联立，再由韦达定理得到 ， 间的关系，结合题意可得 ，由弦长公式可得 ，由点 到直线的距离公式可得 ，进而表示出面积，并利用基本不等式求得其最大值，利用取等条件可 得 ，由此求得直线方程； （ Ⅱ ） 由 焦 半 径 公 式 可 得 ， ， 由 三 角 形 内 心 性 质 可 得 ，根据平面向量的坐标运算可得 ，则 ， 进而求得 ，再利用二次函数的性质可求得其取值范围，进而得解． 【解答】解：（Ⅰ）由若 ， ，可得椭圆 ．设直线 ， ， ， ， ， ， 由 联立可得： ，则 ， ， ， ，点 到直线 的距离 ， 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1F 2F A B O 2a = 1b = AB OA OB 2 ( 0)AB OA OB ABk k k k= > AOBS∆ AB P C 1 2F PF OI 2a = 1b = :AB y kx t= + 1(A x 1)y 2(B x 2 )y 1x 2x | | 2t k= 2 2 4 1| | 1 4 kAB k += + 2 2 1 kd k = + 1 2k = 1 0| |PF a ex= + 2 0| |PF a ex= − 1 1 2 2 1 2| | | | | | 0PF IF PF IF F F IP+ + =    1 0 1 0,c cx x y ya a c = = + 0 0( , )c cI x ya a c+ 2| |OI 2a = 1b = 2 2: 14 xC y+ = :AB y kx t= + 0k > 1(A x 1)y 2(B x 2 )y 2 2 14 y kx t x y = + + = 2 2 2(1 4 ) 8 4( 1) 0k x ktx t+ + + − = 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 64 16(1 4 )( 1) 0 8 1 4 4( 1) 1 4 k t k t ktx x k tx x k   = − + − > − + = +  −= +  2 AB OA OBk k k=  2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ( ) 4 | | 24( 1) y y k x x kt x x t t kk t kx x x x t + + + −∴ = = = ⇒ =− 2 2 2 1 2 1 2 2 4 1| | 1 ( ) 4 1 4 kAB k x x x x k += + + − = + O AB 2 2 | | 2 1 1 t kd k k = = + + 23 ，当且仅当 ， 时取“ ”，则 ， 此时直线 ； （ Ⅱ ） 设 ， ， ， ， ， ， 由 焦 半 径 公 式 可 得 ， ，其中为椭圆的离心率， 又 为△ 的内心，则 ， ， ，即 ， ， ， ． 【点评】本题涉及了椭圆的标准方程及其性质，弦长公式，焦半径，点到直线的距离公式，基本不等式， 三角形内心的向量表示等知识点，考查函数与方程思想，转化与化归思想，考查化简求解能力，属于较难 题目． 22．（15 分）已知函数 ， ，其中 ． 若函数 的图象与直线 在第一象限有交点，求 的取值范围． （Ⅱ）当 时，若 有两个零点 ， ，求证： ． 【分析】（Ⅰ）根据题意设 ，问题转化为方程 ，在 有解，求导， 分类讨论①若 ，②若 ，③若 时，分析单调性，进而得出结论． （Ⅱ）运用分析法和构造函数法，结合函数的单调性，不等式的性质，即可得证． 【解答】解：（Ⅰ）设 ， 则由题设知，方程 ，在 有解， 而 ． 设 ，则 ． 2 1 4 4 4| | 112 1 4 14 2 4 AOB kS AB d k k kk k ∆∴ = = = =+ +   14k k = 0k > = 1 2k = ∴ 1: 12AB y x= ± 1( ,0)F c− 2 ( ,0)F c 0(P x 0 0)( 0)y y ≠ 1(I x 1)y 1 0| |PF a ex= + 2 0| |PF a ex= − I 1 2PF F 1 1 2 2 1 2| | | | | | 0PF IF PF IF F F IP+ + =    ∴ 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1( )( , ) ( )( , ) 2 ( , ) 0a ex c x y a ex c c y c x x y y+ − − + − − − − + − − =  ∴ 1 0 1 0,c cx x y ya a c = = + 0 0( , )c cI x ya a c+ ∴ 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 02 2 2 2| | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( , )( ) ( ) c c c c b c b cOI x y x b x x x a aa a c a a c a a a c a c = + = + − = + ∈ −+ + + + ∴ 2 2 2 2 2 2| | [ ,( ) )( ) b c c acOI a c a c +∈ + + ∴ 2 2 2| | [ , )( )bc c acOI c a ba c a c +∈ = −+ + ( ) ( 1)axf x e ln x= + 2( )g x lnx ax = + − a R∈ ( )I ( )y f x= y x= a 2a < ( )y g x= 1x 2x 1 24 3 2x x e< + < − ( ) ( ) ( 1)axg x f x x e ln x x= − = + − ( ) 0g x = (0, )+∞ 0a 10 2a< < 1 2a ( ) ( ) ( 1)axg x f x x e ln x x= − = + − ( ) 0g x = (0, )+∞ 1( ) ( ) 1 [ ( 1) ] 1 ( ) 11 ax axg x f x e aln x e F xx ′ = ′ − = + + − = −+ ( ) ( ) 1axh x e F x= − 2 2 2 2 1( ) [ ( ) ( )] [ ( 1) ]( 1) ax ax ax ah x e aF x F x e a ln x x + −′ = + ′ = + + + 24 ①若 ，由 可知 ，且 ， 从而 ，即 在 上单调递减，从而 恒成立， 因而方程 在 上无解． ②若 ，则 ，又 时， ， 因此 ，在 上必存在实根，设最小的正实根为 ， 由函数的连续性可知， 上恒有 ， 即 在 上单调递减， 也即 ，在 上单调递减，从而在 上恒有 ， 因而 在 上单调递减，故在 上恒有 ，即 ， 注意到 ，因此 ， 令 时，则有 ，由零点的存在性定理可知函数 在 ， 上有零点，符合题意． ③若 时，则由 可知， 恒成立，从而 在 上单调递增， 也即 在 上单调递增，从而 恒成立，故方程 在 上无解． 综上可知， 的取值范围是 ． （Ⅱ）因为 有两个零点，所以 （2） ， 即 ， 设 ，则要证 ， 因为 ， ， 又因为 在 上单调递增， 所以只要证明 ， 设 ， 则 ， 所以 在 上单调递减， （2） ，所以 ， 0a 0x > 0 1axe<  1 1( ) ( 1) 11 1F x aln x x x = + + + − = + − 1 ax e= ( ) 0g x > ( )y g x= 0(x 1 )ae 1 2a 0x > ( ) 0h x′ > ( )h x (0, )+∞ ( )g x′ (0, )+∞ ( ) (0) 0g x g> = ( ) 0g x = (0, )+∞ a 1(0, )2 ( )f x f 0< 2 1 0 1 2ln a a ln+ − < ⇒ > + 1 20 2x x< < < 1 2 1 24 4x x x x+ > ⇔ − < 12 4 4x< − < 2 2x > ( )f x (2, )+∞ 1 2 1(4 ) ( ) ( ) 0f x f x f x− < = = ( ) ( ) (4 )g x f x f x= − − (0 2)x< < 2 2 2 2 2 2 4 2 8( 2)( ) ( ) (4 ) 0(4 ) (4 ) x x xg x f x f x x x x x − − − −′ = ′ − ′ − = + = − 0= 1 2 4x x+ > 25 因为 有两个零点， ， ，所以 ， 方程 即 构造函数 ， 则 ， ， ， 记 ， 则 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ，且 ， 设 ， ， 所以 递增， 当 时， ， 当 时， ， 所以 ， 即 ， ， ， ， 所以 ， 同理 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 由 得： ， 综上： ． 【点评】本题考查导数的综合应用，不等式的证明，关键是运用分类讨论，构造函数的思想去解决问题， 属于难题． ( )f x 1x 2x 1 2( ) ( ) 0f x f x= = ( ) 0f x = 2 0ax xlnx− − = ( ) 2h x ax xlnx= − − 1 2( ) ( ) 0h x h x= = ( ) 1h x a lnx′ = − − 1( ) 0 ah x x e −′ = ⇒ = 1 2( 1 2)ap e a ln−= > > + ( )h x (0, )p ( , )p +∞ ( ) 0h p > 1 2x p x< < 2( )( ) x pR x lnx lnpx p −= − −+ 2 2 2 1 4 ( )( ) 0( ) ( ) p x pR x x x p x x p −′ = − = >+ + ( )R x x p> ( ) ( ) 0R x R p> = 0 x p< < ( ) ( ) 0R x R p< = 1 1 1 1 1 1 1 2 ( )2 x x pax x lnx x lnpx p −− = < ++ 2 2 1 1 1 1 1 1( 2)( ) 2 2ax x p x px x lnp x plnp− + < − + + 2 1 1(2 ) (2 2 ) 2 0lnp a x ap p plnp x p+ − + − − + + > 1( ap e −= 1)lnp a= − 2 1 1 1 1(2 3 ) 2 0a ax e x e− −+ − + > 2 1 1 2 2(2 3 ) 2 0a ax e x e− −+ − + < 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1(2 3 ) 2 (2 3 ) 2a a a ax e x e x e x e− − − −+ − + < + − + 1 2 1 2 1( )[ (2 3 )] 0ax x x x e −− + + − < 1 2 1 2 3 ax x e −+ < − + 2a < 1 1 2 2 3 3 2ax x e e−+ < − + < − 1 24 3 2x x e< + < − 26