2021届高三学科素养提升数学试卷（PDF版含答案）

高三年级数学试题 ★绝密 启用前 2021 届新高考高三年级学科素养提升试卷（一） 数 学 本试卷适用于基于旧课标的新高考模式省份（河北、重庆、广东、福建、湖南） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．单项选择题（共 8 题，共计 40 分） 1. 设 i 为虚数单位， ，“复数 是纯虚数“是“ ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状 态时，若两只胳膊的夹角为 60°，每只胳膊的拉力大小均为 400N，则该学生的体重（单位：kg）约为（ ） （参考数据：取重力加速度大小为 ） A. 63 B. 69 C. 75 D. 81 3. 某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度 d（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气 层厚度 l 对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量 q 满足关系式 ，其中玻璃的热传 导系数 焦耳/（厘米·度），不流通、干燥空气的热传导系数 焦耳/（厘米·度）， 为 室内外温度差，q 值越小，保温效果越好，现有 4 种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表： 型号 每层玻璃厚度 d（单位：厘米） 玻璃间夹空气层厚度 l（单位：厘 米） A 型 0.4 3 B 型 0.3 4 C 型 0.5 3 D 型 0.4 4 则保温效果最好的双层玻璃的型号是（ ） A. A 型 B. B 型 C. C 型 D. D 型 4. 在正方形 ABCD - A1B1C1D1 中，棱 AB，A1D1 的中点分别为 E，F，则直线 EF 与平面 AA1D1D 所成角的余弦值 为（ ） A. B. C. D. 5. 宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、 兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的 六根线中恰有四根阴线的概率为（ ） 高三年级数学试题 A. B. C. D. 6. 执行如图所示的程序框图，输出 n 的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 设 a、b 为正实数，且 ，则 有（ ） A. 最小值 9 B. 最大值 9 C. 最小值 10 D. 最大值 10 8. 已知点 ， 分别是双曲线 C： ( ， )的左､右焦点，M 是 C 右支上的 一点， 与 y 轴交于点 P， 的内切圆在边 上的切点为 Q，若 ，则 C 的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 二．多项选择题（共 4 题，共计 20 分） 9. （多选题）已知奇函数 f(x)是定义在 R 上的减函数，且 ，若 ，则下列结论一定成 立的是( ) A. B. C. D. 10. （多选题）下列命题正确的是（ ） A. 若随机变量 ，且 ，则 B. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递减 ，则不等式 的解集为 C. 已知 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件 D. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为 ， 若样本中心点为 ，则 11．（多选题）若直线过点 ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线 l 方程可能为（ ） A. B. C. D. 12. （多选题）若存在实常数 k 和 b，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足： 和 恒成立，则称此直线 为 和 的“隔离直线”，已知函数 高三年级数学试题 ， ， （ 为自然对数的底数），则（ ） A. 在 内单调递增； B. 和 之间存在“隔离直线”，且 b 的最小值为－4； C. 和 之间存在“隔离直线”，且 k 的取值范围是[－4,1]； D. 和 之间存在唯一的“隔离直线” . 三．填空题（共 4 题，共计 20 分） 13. 北京大兴国际机场为 4F 级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源，于 2019 年 9 月 25 日正式 通航.目前建有“三纵一横”4 条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示；若有 2 架 飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，则共有______ 种不同的安排方法.(用数字作答). 14. 已知数列{an}满足 ， ，设{an}的前 n 项和为 Sn，则 __________， __________． 15. 如图，正六边形 ABCDEF 中，有下列四个命题： ① + =2 ；② =2 +2 ； ③ • = ；④（ • ） = （ • ）． 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 16.为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为 2400m2 的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共 80 间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为 28 m2，月租费为 x 万元；每间肉食水产店面的建造面积为 20 m2，月租费为 0.8 万元．全部店面的建造面积不低于 总面积的 80%，又不能超过总面积的 85%．①两类店面间数的建造方案为_________种．②市场建成后所有店 面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的 90%，则 x 的最大值为_________万元． 四．解答题（共 5 题，共计 60 分） 17. （12 分）已知 a、b、c 分别为△ABC 内角 A、B、C 的对边，若△ABC 是锐角三角形，需要同时满足下列 四个条件中的三个： ① ② ③ ④ （1）条件①④能否同时满足，请说明理由； （2）以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组，并求出对应的△ABC 的面积. 18. （12 分）如图①，在等腰梯形 ABCD 中， ， ， ， ， ，将 沿 BP 折起，使平面 平面 PBCD，得到如图②所示的四棱锥 A﹣BCDP，其中 M 为 AD 的中点． 高三年级数学试题 （1）试分别在 PB，CD 上确定点 E，F，使平面 平面 ABC； （2）求二面角 的余弦值． 19.（12 分） 已知椭圆 ： 的离心率为 ，其左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为坐标平 面内的一点，且 ， ，O 为坐标原点. （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 M为椭圆C的左顶点，A、B是椭圆C上两个不同的点，直线MA，MB的倾斜角分别为 ， ，且 . 证明：直线 AB 恒过定点，并求出该定点的坐标， 20. （12 分）已知函数 ． （1）讨论函数 f(x)的单调性； （2）当 时，求证： ． 21. （12 分）《山东省高考改革试点方案》规定：从 2020 年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考 生原始成绩从高到低划分为 A，B+，B，C+，C，D+，D，E 八个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占 比例分别为 3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将 A 至 E 等级 内的考生原始成绩，依照等比例转换法则分别转换到[91,100] ，[81,90] ，[71,80] ，[61,70] ，[51,60] ，[41,50] ， [31,40] ，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩. 高三年级数学试题 某校 2017 级学生共 1000 人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据， 其中物理成绩获得等级 A 的学生原始成绩统计如下 成绩 93 91 90 88 87 86 85 84 83 82 人数 1 1 4 2 4 3 3 3 2 7 （1）从物理成绩获得等级 A 的学生中任取 3 名，求恰好有 2 名同学的等级分数不小于 95 的概率; （2）待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到 1 名同学的物理高考成绩等 级为 B+或 A 结束(最多抽取 1000 人)，设抽取的学生个数为 ，求随机变量 的数学期望(注: ). 高三年级数学试题 ★绝密 启用前 2021 届新高考学科素养提升试卷（一） 数 学 答案 本试卷适用于基于旧课标的新高考模式省份（河北、重庆、广东、福建、湖南） 1.B 2.B 3.D 4.D 5.B 6.C 7.A 8.C 9.AC 10.BD 11.ABC 12.ABD 13. 10 14. -1 1010 15. ①②④ 16. 16； 1 17. （1）不能，理由见解析；（2）同时满足①②③， . 解：（1）△ABC 不能同时满足①，④. 理由如下： 若△ABC 同时满足①，④， 则在锐角△ABC 中， ，所以 又因为 ，所以 所以 ，这与△ABC 是锐角三角形矛盾 所以△ABC 不能同时满足①，④. （2）因为△ABC 需同时满足三个条件，由（1）知不能同时满足①④，故只能同时满足①②③或②③④ 若同时满足②③④，因为 ，所以 ，则 ， 则 这与△ABC 是锐角三角形矛盾. 故△ABC 不能同时满足②③④，只能同时满足①②③. 因为 ， 所以 ， 解得 或 . 当 时， ， 所以 为钝角，与题意不符合，所以 . 所以△ABC 的面积 . 18. （1） ， 分别为 ， 的中点，证明见解析；（2） . 解：（1） ， 分别为 ， 的中点，证明如下： 连接 ， ， ，∵ ， 分别为 ， 的中点， ∴ ．又 为 的中点，且四边形 为梯形，∴ ．∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ，同理 平面 , 又∵ ， , 平面 ， ∴平面 平面 ． （2）由题意知 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 高三年级数学试题 ∵在等腰梯形 中， ， ， ， ，∴ ， ， ， ∴ ， ， ， ， ， ． 设平面 的法向量为 ， 则 即 令 ，则 ， ，∴ 为平面 的一个法向量． 同理可得平面 的一个法向量为 ． 设二面角 的平面角为 ， 由图可知 ， 则 ． ∴二面角 的余弦值为 ． 19. （1） ；（2）证明见解析，定点 . 解（1）设 点坐标为 ， ， 则 ， 由题意得 解得 .∴ . 又 ，∴ ∴ ∴所求椭圆 的方程为： （2）由题可知直线 的斜率存在，则设直线 方程为 ， ， 坐标为 ， 解方程组 ∴ ∴ ， 又由 ，∴ ， 设直线 ， 斜率分别为 ， ，则 ∴ 即： ∴ ∴ 化简得： 得： ，或 当 时， ，过点（-2，0），不合题意（舍去） 高三年级数学试题 当 时， ，过点 ， ∴直线 恒过定点 . 20. （1）见解析;（2）见解析 （1）∵ ∴ ， ①当 时， ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 令 ，解得 ②当 时，则当 或 时， ，当 时， ， ∴函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增， ③当 时，则当 或 时， ，当 时， , ∴函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减， （2）证明：由 ，可得 ， 即 ， 设 ， ∴ ， 当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减， ∴ ，设 ∴ ， 令 ，解得 ， 当 时， ，函数 单调递增， 当 时， ，函数 单调递减， ∴ 综上所述 21. 解：（1）设物理成绩获得等级 的学生原始成绩为 ，其等级成绩为 . 由转换公式 ，得 . 由 ，得 . 显然原始成绩满足 的同学有 人，获得等级 的学生有 人， 恰好有 名同学 等级分数不小于 的概率为： . （2）由题意得，随机抽取 人，其等级成绩为 或 的概率为 . 学生个数 的可能取值为 ； 高三年级数学试题 ， ， ， ； 其数学期望是： 其中： ① ② 应用错位相减法“①式-②式”得： 故 .