2020-2021年高中物理模型分类解析模型9 杆绳速度分解（解析版）

1 模型 9 杆绳速度分解（解析版） 1.模型特点 沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。 2.思路与方法 合速度就是物体的实际运动速度 v 分速度 方法:v1 与 v2 的合成遵循平行四边形定则。 【典例 1】(湖北省“荆、襄、宜七校考试联盟”2017 2018 学年高一下学期期中)人用绳子通过定滑轮拉物 体 A，A 穿在光滑的竖直杆上，当以速度 v0 匀速地拉绳使物体 A 到达如图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为 θ，则物体 A 实际运动的速率是(　B　) A．v0cos θ B． v0 cosθ C．v0sinθ D． v0 sinθ 【答案】B 【解析】物体 A 的运动是由绳的运动和垂直绳子方向的转动合成的，如图，则 v＝ v0 cosθ，故选 B。 【变式训练 1】如图，人沿平直的河岸以速度 v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过 程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为 α 时，船的速率为 （　　）2 A. vsin α B. C. vcos α D. 【答案】 C 【解析】如图所示，把人的速度沿绳和垂直绳的方向分解，由几何知识有 v 船＝vcos α，所以 C 正确，A、B、D 错误。 【典例 2】A、B 两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体 A 以 v1 的速度向右匀速运 动，当绳被拉成与水平面夹角分别为 α、β 时，如图所示。物体 B 的运动速度 vB 为（绳始终有拉力）（　　） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 A、B 两物体的速度分解如图 由图可知：v 绳 A＝v1cos α v 绳 B＝vBcos β 由于 v 绳 A＝v 绳 B αsin v αcos v β α sin sin1v β α sin cos1v β α cos sin1v 1cos cos vβ α3 所以 vB＝ ，故 D 对 【变式训练 2】(多选)如图甲所示,将质量为 2m 的重物悬挂在轻绳的一端,轻绳的另一端系一质量为 m 的小 环,小环套在竖直固定的光滑直杆上,光滑定滑轮与直杆的距离为 d。现将小环从与定滑轮等高的 A 处由静止 释放,当小环沿直杆下滑距离也为 d 时(图中 B 处),下列说法正确的是(重力加速度为 g)(　　)。 甲 A.小环刚释放时轻绳中的张力一定大于 2mg B.小环到达 B 处时,重物上升的高度为( -1)d C.小环在 B 处的速度与重物上升的速度大小之比为 D.小环在 B 处的速度与重物上升的速度大小之比为 【答案】ABD 【解析】由题意可知小环刚释放时重物具有向上的加速度,故绳中张力一定大于 2mg,A 项正确;小环到达 B 处时,绳与直杆间的夹角为 45°,重物上升的高度 h=( -1)d,B 项正确;如图乙所示,将小环速度 v 进行正 交分解,其分速度 v1 与重物上升的速度大小相等,v1=vcos45°= v,所以小环在 B 处的速度与重物上升的速 度大小之比等于 ,C 项错误,D 项正确。 1cos cos vβ α4 乙 【典例 3】如图甲所示,顶角 θ=60°的光滑 V 字形轨道 AOB 固定在竖直平面内,且 AO 竖直。一水平杆与轨 道交于 M、N 两点,已知杆自由下落且始终保持水平,经时间 t,速度由 6 m/s 增大到 14 m/s(杆未触地),则在 0.5t 时,触点 N 沿倾斜轨道运动的速度大小为(重力加速度 g 取 10 m/s2)(　　)。 甲 A.10 m/s B.17 m/s C.20 m/s D.28 m/s 【答案】C 【解析】杆自由下落,由运动学公式有 v=v0+gt,则 t= = s=0.8s;则在 0.5t 时,杆的下落速度 v'=v0+g· =(6+10×0.4)m/s=10m/s;根据运动的分解,杆下落的速度可分解成如图乙所示的两分运动,则触点 N 沿倾斜 轨道运动的速度大小 v″= =20m/s,C 项正确。 乙 【变式训练 3】(多选)如图所示,物体 P、Q 经无摩擦的定滑轮用细绳连在一起,此时 Q 在竖直方向匀速上升,P 物体在水平力 F 的作用下沿水平粗糙地面向右运动,则下列说法正确的是(　　)。 A.P 做减速运动 B.细绳对 P 的作用力逐渐增大 C.P 所受摩擦力逐渐增大 D.细绳对滑轮的作用力大小不变5 【答案】AC 【解析】设细绳与水平方向的夹角为 θ,则 vPcosθ=vQ,因为 Q 在竖直方向匀速上升,则随着 θ 角的减小,vP 逐渐减小,即 P 做减速运动,A 项正确;由于物体 Q 做匀速运动,故细绳的拉力不变,即细绳对 P 的作用力大小 不变,B 项错误;P 所受摩擦力 Ff=μ(mPg-FTsinθ),则随着 θ 角的减小,P 所受摩擦力逐渐增大,C 项正确;两 边细绳对滑轮的拉力大小不变,但是两绳的夹角逐渐变大,故由力的合成知识可知,细绳对滑轮的作用力逐 渐减小,D 项错误。 【典例 4】如图所示,一个长直轻杆两端分别固定一个小球 A 和 B,两球质量均为 m,两球半径忽略不计,杆的 长度为 l。先将杆竖直靠放在竖直墙上,轻轻振动小球 B,使小球 B 在水平面上由静止开始向右滑动,不计一 切摩擦,当小球 A 沿墙下滑距离为 l 时,下列说法正确的是(　　)。 A.小球 A 和 B 的速度都为 B.小球 A 和 B 的速度都为 C.小球 A 的速度为 ,小球 B 的速度为 D.小球 A 的速度为 ,小球 B 的速度为 【答案】C 【解析】当小球 A 沿墙下滑距离为 l 时,设此时 A 球的速度为 vA,B 球的速度为 vB,根据系统机械能守恒得 mg· = m + m ,两球沿杆方向上的速度相等,则有 vAcos 60°=vBcos 30°,联立解得 vA= ,vB= , 故 C 项正确,A、B、D 三项错误。6 【变式训练 4】一半径为 R 的半圆形竖直圆柱面,用轻质不可伸长的细绳连接 A、B 两球,A 球悬挂在圆柱面 边缘,A 球质量为 B 球质量的 2 倍,现将 A 球从圆柱边缘处由静止释放,如图甲所示。已知 A 球始终不离开圆 柱内表面,且细绳足够长,若不计一切摩擦,求: (1)A 球沿圆柱内表面滑至最低点时的速度大小。 (2)A 球沿圆柱内表面运动的最大位移。 甲 【解析】(1)设 A 球沿圆柱内表面滑至最低点时的速度大小为 v,B 球的质量为 m,则根据机械能守恒定律有 2mgR- mgR= ×2mv2+ m 由图乙可知,A 球的速度 v 与 B 球速度 vB 的关系为 vB=v1=vcos 45° 联立解得 v=2 。 (2)当 A 球的速度为零时,A 球沿圆柱内表面运动的位移最大,设为 x,如图丙所示,由几何关系可知 A 球 下降的高度 h= 根据机械能守恒定律有 2mgh-mgx=0 解得 x= R。7 【答案】(1)2 　(2) R 【典例 5】(多选)如图,滑块a、b 的质量均为 m,a 套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距 h,b 放在地面上。 a、b 通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开始运动。不计摩擦,a、b 可视为质点,重力加速度大小为 g。则 (　　)。 A.a 落地前,轻杆对 b 一直做正功 B.a 落地时速度大小为 C.a 下落过程中,其加速度大小始终不大于 g D.a 落地前,当 a 的机械能最小时,b 对地面的压力大小为 mg 【答案】BD 【解析】首先,把 a、b 看成一个系统,运动中机械能守恒,b 先加速后减速,a 到达地面时 b 的速度为 0,故杆 对 b 先做正功后做负功,A 项错误;根据系统机械能守恒可知,a 的重力势能的减少量等于 a 动能的增加量, 即 mgh= mv2,得 v= ,B 项正确;a 下落过程,有一段受杆沿杆向下的拉力,故 a 的加速度有时大于 g,C 项 错误;a 刚开始的一段下落过程中杆对 a 做负功,a 的机械能减少,a 的机械能最小时杆对 a 的作用力为 0,此 时杆对 b 也没有力的作用,故此时 b 对地面的压力大小为 mg,D 项正确。 【变式训练 5】如图所示,B 是质量为 2m、半径为 R 的光滑半圆弧槽,放在光滑的水平桌面上。A 是质量为 3m 的细长直杆,在光滑导孔的限制下,A 只能上下运动。物块 C 的质量为 m,紧靠 B 放置。初始时,A 杆被夹住,使 其下端正好与半圆弧槽内侧的上边缘接触,然后从静止释放 A。求: (1)杆 A 的下端运动到槽 B 的最低点时 B、C 的速度。 (2)杆 A 的下端经过槽 B 的最低点后,A 能上升的最大高度。8 【答案】(1) 　 　(2) 【解析】(1)运动到最低点时,长直杆在竖直方向的速度为 0,B、C 具有共同速度 v,由(整个系统 ABC)机械能 守恒定律得 3mgR= ×3mv2 解得 vB=vC=v= 。 (2)B、C 分离后,杆上升到所能达到的最高点时,A、B 的速度均为 0,A、B 系统机械能守恒 ×2mv2=3mgh 解得 h= 。 【典例 6】(多选)如图所示，一段绳子跨过距地面高度为 H 的两个定滑轮，一端连接小车 P，另一端连接物 块 Q，小车最初在左边滑轮的下方 A 点，以速度 v 从 A 点匀速向左运动，运动了距离 H 到达 B 点(绳子足够 长)，下列说法正确的有(　　) A．物块匀加速上升 B．物块在上升过程中处于超重状态 C．车过 B 点时，物块的速度为 2v D．车过 B 点时，左边绳子绕定滑轮转动的角速度为 v 2H 【答案】BD 【 解 析 】 将 小 车 的 运 动 分 解 为 沿 绳 子 方 向 的 运 动 以 及 垂 直 绳 子 方 向 的 运 动 ， 如 图 所 示 ： 9 设小车运动到 B 点时绳子与水平方向的夹角为 θ，则：tanθ＝ H H＝1，所以 θ＝45°.设此时物块的速度为 v′，则 v′＝vcos 45°，v′＝ 2 2 v，故 C 错误；当小车运动到 B 点时 ，左侧的绳子的长度是 2H，由图 可知垂直于绳子方向的分速度为：v⊥＝vsin 45°＝ 2 2 v，所以左边绳子绕定滑轮转动的角速度为：ω＝ v ⊥ 2H ＝ v 2H，故 D 正确；由几何知识得，当小车运动到绳子与水平方向夹角为 α 时物块的速度为 v″，则 v″＝vcos α，随 α 的减小，v″增大，所以物块 Q 向上做加速运动，但不是匀加速运动，加速度的方向向上，所以 物块处于超重状态，故 A 错误，B 正确． 【变式训练 6】[多选]如图所示，有一个沿水平方向做匀速直线运动的半径为R 的半圆柱体，半圆柱面上搁 着一个只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未 达到半圆柱体的最高点之前(　　) A．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做匀减速直线运动 B．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做减速直线运动 C．半圆柱体以速度为 v 向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为 θ 时， 竖直杆向上的运动速度为 vtan θ D．半圆柱体以速度为 v 向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为 θ 时， 竖直杆向上的运动速度为 vsinθ 【答案】BC 【解析】O 点向右运动，O 点的运动使杆 AO 绕 A 点逆时针转动的同时，沿杆 OA 方向向上推动 A 点；竖直杆10 的实际运动(A 点的速度)方向竖直向上，使 A 点绕 O 点逆时针转动的同时，沿 OA 方向(弹力方向)与 OA杆具 有相同的速度。速度分解如图所示，对 O 点，v1＝vsin θ，对于 A 点，vAcos θ＝v1，解得 vA＝vtan θ， O 点(半圆柱体)向右匀速运动时，杆向上运动，θ 角减小，tan θ 减小，vA 减小，但杆不做匀减速运动，A 错误，B 正确；由 vA＝vtan θ 可知 C 正确，D 错误。 【典例 7】如图所示，倾角为 α 的斜面 A 被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶 端的小滑轮与物块 B 相连，B 静止在斜面上．滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行．A、B 的质量 均为 m．撤去固定 A 的装置后，A、B 均做直线运动．不计一切摩擦，重力加速度为 g．求： （1）A 固定不动时，A 对 B 支持力的大小 N； （2）A 滑动的位移为 x 时，B 的位移大小 s； （3）A 滑动的位移为 x 时的速度大小 vA. 【答案】（1）mgcos α （2） （3） 【解析】 试题分析：（1）支持力的大小 N= mgcos α （2）根据几何关系 sx=x·(1-cosα), sy=x·sinα 且 s= 解得 s= （2）B 的下降高度 sy=x·sinα 根据机械能守恒定律 mgsy= mvA2+ mvB2 根据速度的定义得 vA= ，vB= x⋅α− )cos1(2 α− α cos23 sin2gx 22 yx ss + x⋅α− )cos1(2 2 1 2 1 t x ∆ ∆ t s ∆ ∆11 则 解得 vA= 。 【变式训练 7】质量为 m 的物体 P 置于倾角为 θ1 的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着 P 与小车，P 与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率 v 水平向右做匀速直线运动，重力加速度为 g.当小车与 滑轮间的细绳和水平方向成夹角 θ2 时(如图 8)，下列判断正确的是(　　) A．P 的速率为 v B．P 的速率为 vcosθ2 C．绳的拉力等于 mgsinθ1 D．绳的拉力小于 mgsinθ1 【答案】　B 【解析】将小车速度沿绳子和垂直绳子方向分解为 v1、v2，P 的速率 vP＝v1＝vcosθ2，A 错误，B 正确；小 车向右做匀速直线运动，θ2 减小，P 的速率增大，绳的拉力大于 mgsinθ1，C、D 错误． 【典例 8】(2019·山东济南市 3 月模拟)曲柄连杆结构是发动机实现工作循环，完成能量转换的主要运动零件， 如图所示，连杆下端连接活塞 Q，上端连接曲轴 P.在工作过程中，活塞 Q 在汽缸内上下做直线运动，带动 曲轴绕圆心 O 旋转，若 P 做线速度大小为 v0 的匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　) A．当 OP 与 OQ 垂直时，活塞运动的速度等于 v0 B．当 OP 与 OQ 垂直时，活塞运动的速度大于 v0 C．当 O、P、Q 在同一直线时，活塞运动的速度等于 v0 D．当 O、P、Q 在同一直线时，活塞运动的速度大于 v0 【答案】　A 【解析】当 OP 与 OQ 垂直时，设∠PQO＝θ，此时活塞的速度为 v，将 P 的速度分解为沿杆方向和垂直于杆 方向的速度；将活塞的速度 v 分解为沿杆方向和垂直于杆方向的速度，则此时 v0cosθ＝vcosθ，即 v＝v0， 选项 A 正确，B 错误；当 O、P、Q 在同一直线时，P 沿杆方向的速度为零，则活塞运动的速度等于 0，选项 C、D 错误． AB vv ⋅α−= )cos1(2 α− α cos23 sin2gx12 【变式训练 8】如图所示，长为 L 的直杆一端可绕固定轴 O 无摩擦转动，另一端靠在以水平速度 v 匀速向 左运动、表面光滑的竖直挡板上，当直杆与竖直方向夹角为 θ 时，直杆端点 A 的线速度为(　　) A. v sinθ B．vsinθ C. v cosθ D．vcosθ 【答案】　C 【解析】将直杆端点 A 的线速度进行分解，如图所示，由图中的几何关系可得：v0＝ v cosθ，选项 C 正确， 选项 A、B、D 错误．