2020-2021年高中物理模型分类解析模型10 斜面上的平抛运动（解析版）

1 模型 10 斜面上的平抛运动（解析版） 平抛运动与斜面模型组合是一种常见的题型,也是高考考查的热点题型,具体有以下两种情况。 模型 解题方法 方法应用 分解速度, 构 建 速 度 矢 量 三 角 形 水平方向:vx=v0 竖直方向:vy=gt 合速度:v= 方向:tan θ= 分解位移, 构 建 位 移 矢 量 三 角 形 水平方向:x=v0t 竖直方向:y= gt2 合位移:s= 方向:tan θ= 【最新高考真题解析】 1.（2020 年山东卷）单板滑雪U 型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型： U 形 滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为 17.2°。某次 练习过程中，运动员以 vM=10 m/s 的速度从轨道边缘上的 M 点沿轨道的竖直切面 ABCD 滑出轨道，速度方 向与轨道边缘线 AD 的夹角 α=72.8°，腾空后沿轨道边缘的 N 点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运 动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小 g=10 m/s2， sin72.8°=0.96，cos72.8°=0.30。求： (1)运动员腾空过程中离开 AD 的距离的最大值 d； (2)M、N 之间的距离 L。2 【答案】(1)4.8 m；(2)12 m 【解析】 【详解】(1)在 M 点，设运动员在 ABCD 面内垂直 AD 方向的分速度为 v1，由运动的合成与分解规律得 ① 设运动员在 ABCD 面内垂直 AD 方向的分加速度为 a1，由牛顿第二定律得 mgcos17.2°=ma1 ② 由运动学公式得 ③ 联立①②③式，代入数据得 d=4.8 m ④ (2)在 M 点，设运动员在 ABCD 面内平行 AD 方向的分速度为 v2，由运动的合成与分解规得 v2=vMcos72.8° ⑤ 设运动员在 ABCD 面内平行 AD 方向的分加速度为 a2，由牛顿第二定律得 mgsin17.2°=ma2 ⑥ 设腾空时间为 t，由运动学公式得 ⑦ ⑧ 联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得 L=12 m ⑨ 1 sin 72.8Mv v= ° 2 1 12 vd a = 1 1 2vt a = 2 2 2 1= 2L v t a t+3 【典例 1】如图所示,倾角为 θ 的斜面上有 A、B、C 三点,现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球, 三个小球均落在斜面上的 D 点,今测得 AB∶BC∶CD=5∶3∶1,由此可判断 (　　) A.A、B、C 处三个小球运动时间之比为 1∶2∶3 B.A、B、C 处三个小球的运动轨迹可能在空中相交 C.A、B、C 处三个小球的初速度大小之比为 1∶2∶3 D.A、B、C 处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为 1∶1∶1 【答案】D 【解析】选 D。A、B、C 处三个小球下降的高度之比为 9∶4∶1,根据平抛运动的时间 t= 知,A、B、C 处三 个小球运动时间之比为 3∶2∶1,故 A 项错误;因最后三个小球落到同一点,抛出点不同,轨迹不同,故三个小 球的运动不可能在空中相交,故 B 项错误;三个小球的水平位移之比为 9∶4∶1,根据 x=v0t 知,初速度之比 为 3∶2∶1,故 C 项错误;对于任意一球,因为平抛运动某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水 平方向夹角正切值的 2 倍,三个小球落在斜面上,位移与水平方向夹角相等,即位移与水平方向夹角正切值 相等,则三个小球在 D 点速度与水平方向上的夹角的正切值相等,也就是三个小球在 D 点的速度与水平方向 的夹角相等,故 D 项正确。 【变式训练 1】第十六届中国崇礼国际滑雪节在张家口市崇礼区的长城岭滑雪场隆重举行．如图 1 所示，跳 台滑雪运动员经过一段加速滑行后从 A 点水平飞出，落到斜坡上的 B 点．A、B 两点间的竖直高度 h＝45 m， 斜坡与水平面的夹角 α＝37°，不计空气阻力(取 sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g 取 10 m/s2)．求： (1)运动员水平飞出时初速度 v0 的大小； (2)设运动员从 A 点以不同的水平速度 v0 飞出，落到斜坡上时速度大小为 v，请通过计算确定 v 与 v0 的 关系式，并在图 2 中画出 v­v0 的关系图象．4 【答案】(1)20 m/s　(2)v＝ 13 2 v0　图见解析 【解析】(1)运动员离开 A 点后做平抛运动，竖直方向上，h＝ 1 2gt2 根据几何关系可知，水平位移 x＝ h tanα＝60 m 水平方向上，v0＝ x t＝20 m/s. (2)竖直方向上的位移 y＝ 1 2gt2 水平方向上位移 x＝v0t 根据平抛运动规律可知 tanα＝ y x＝ gt 2v0 竖直分速度 vy＝gt 根据平行四边形定则可知，合速度 v＝ v＋v 联立解得 v＝ 13 2 v0，作图如下． 【典例 2】如图所示，在斜面顶端 a 处以速度 va 水平抛出一小球，经过时间 ta 恰好落在斜面底端 P 处；今 在 P 点正上方与 a 等高的 b 处以速度 vb 水平抛出另一小球，经过时间 tb 恰好落在斜面的中点处。若不计空 气阻力，下列关系式正确的是（　　） A. va＝vb B. va＝ 2vb C. ta＝tb D. ta＝ 2tb 【答案】BD 【解析】做平抛运动的物体运动时间由竖直方向的高度决定，即 t＝ ，小球从 a 处下落的高度是 b 处的 2 倍，有 ta＝ ，D 正确；水平方向的距离由高度和初速度决定，即 x＝v0 ，由题意得 a 处的 2h g 2 bt 2h g5 水平位移是 b 处的 2 倍，可知 va＝ ，B 正确。 　【变式训练 2】如图所示,在倾角为 37°的固定斜坡上有一人,前方有一物块沿斜坡匀速下滑,且速度 v=15 m/s,在二者相距 l=30 m 时,此人以速度 v0 水平抛出一石块打击物块,人和物块都可看成质点。(已知 sin 37°=0.6,g=10 m/s2) (1)若物块在斜坡上被石块击中,求 v0 的大小。 (2)当物块在斜坡末端时,物块离人的高度 h=80 m,此刻此人以速度 v1 水平抛出一石块打击物块,同时物块开 始沿水平面运动,物块速度 v=15 m/s,若物块在水平面上能被石块击中,求速度 v1 的大小。 【答案】(1)20m/s　(2)41.7m/s 【解析】(1)设石块击中物块的过程中,石块运动的时间为 t 对物块,运动的位移 s=vt 对石块,竖直方向有(l+s)sin37°= gt2 水平方向有(l+s)cos37°=v0t 解得 v0=20m/s。 (2)对物块有 x1=vt 对石块,竖直方向有 h= gt2 解得 t= =4s 水平方向有 +x1=v1t 联立可得 v1=41.7m/s。 【典例 3】(多选)如图所示,从倾角为 θ 的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出,小球均落 在斜面上,当抛出的速度为 v1 时,小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为 α1;当抛出速度为 v2 时,小球到 达斜面时速度方向与斜面的夹角为 α2,则(　　)。 2 bv6 A.当 v1>v2 时,α1>α2 B.当 v1>v2 时,α1