2021年高考物理100考点模拟题千题精练（选修3-3、选修3-4）专题2.3 机械振动（能力篇）（解析版）

2021 年高考物理 100 考点最新模拟题千题精练（选修 3-4） 第二部分 机械振动和机械波 专题 2.3 机械振动（能力篇） 一．填空题 L． （2020 河北保定一模）某质点做简谐运动，从 A 点经历时间 1s 第一次运动到 B 点，路程为 8cm，A、 B 两位置质点的动能相同，再经相同的时间回到 A 点。该质点做简谐运动的周期 T=_ _s，振幅 A= m，以第一次经过最大位移时开始计时，再次回到 A 点时速度方向为正方向，质点位移 x 随时间 t 变化的函 数关系为 。 【参考答案】.2 4 x= 4cosπtcm。（或 ） 【命题意图】 本题考查简谐运动、位移 x 随时间 t 变化的函数关系及其相关知识点，考查的核心素养是 “运动和力”的观点。 【解题思路】根据题述，质点做简谐运动，从 A 点经历时间 1s 第一次运动到 B 点，AB 再经过相同的时间回 到 A 点，可知该质点是从最大位移处（A 点）出发，其 B 点为负的最大位移处，其振动周期为 T=2s，振幅 为 A=4cm。以第一次经过最大位移处开始计时，再次回到 A 点时速度方向为正方向，质点位移 x 随时间 t 变 化的函数关系为 x=Acos t=4cosπtcm。 2.（5 分）（2018 湖北华大新高考联盟测评）理论表明：弹簧振子的总机械能与振幅的平方成正比，即 E＝ ，k 为弹簧的劲度系数。如图，一劲度系数为 k 的轻弹簧一端固定，另一端连接着质量为 M 的物块， 物块在光滑水平面上往复运动。当物块运动到最大位移为 A 的时刻，把质量为 m 的物块轻放在其上．两个 物块始终一起振动。它们之间动摩擦因数至少为____；经过平衡位置的速度为___；振幅为____。（设最大 静摩擦力等于滑动摩擦力） 【参考答案】．（1）考査简谐运动的特点。 （2 分）， （2 分），A（1 分） 【名师解析】两个物块一起振动，即加速度相同。系统的最大加速度为 tAx πcos= 2 T π 2 2 1 kA gmM kA )( + Mm kA + 2而 m 的加速度由二者之间的最大静摩擦力提供 max＝g，所以 ； 它们经过平衡位置时，机械能全部转化为动能，故 ，所以 由于振动过程中系统机械能守恒，而弹簧振子的总机械能与振幅的平方成正比，所以振幅不变，仍为 A。 二．选择题 1. (2016·四川成都一模)如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在 光滑水平面上，已知甲的质量大于乙的质量。当细线突然断开后，两物块都开始做简谐运动，在运动过程 中(　　) A．甲的振幅大于乙的振幅 B．甲的振幅小于乙的振幅 C．甲的最大速度小于乙的最大速度 D．甲的最大速度大于乙的最大速度 【参考答案】　C 【名师解析】细线断开前，两根弹簧上的弹力大小相同，弹簧的伸长量相同，细线断开后，两物块都开始 做简谐运动，简谐运动的平衡位置都在弹簧原长位置，所以它们的振幅相等，选项 A、B 错误；两物块做简 谐运动时，动能和势能相互转化，总机械能保持不变，细线断开前，弹簧的弹性势能就是物块做简谐运动 时的机械能，所以振动过程中，它们的机械能相等，到达平衡位置时，它们的弹性势能为零，动能达到最 大，因为甲的质量大于乙的质量，所以甲的最大速度小于乙的最大速度，选项 C 正确、D 错误。 2.(多选)(2017·广东顺德一模)弹簧振子在光滑水平面上振动,其位移时间图象如图所示,则下列说法正确 的是　　　　。 A.10 秒内振子的路程为 2 m B.动能变化的周期为 2.0 s )( max max mM kA mM Fa +=+= gmM kA )( +=µ 22 )(2 1 2 1 vMmkA += Mm kAv += 2C.在 t=0.5 s 时,弹簧的弹力最大 D.在 t=1.0 s 时,振子的速度反向 E.振动方程是 x=0.10sin πt(m) 【参考答案】 ACE　 【名师解析】根据振动图象可知周期 T=2.0 s,振幅 A=10 cm,t=10 s=5T,一个周期通过的路程为 4A,则 10 s 内通过的路程 s=5×4A=20×10 cm=200 cm=2 m,故 A 正确;每次经过平衡位置动能最大,在最大位移处动能为 0,在振子完成一个周期的时间内,动能完成 2 个周期的变化,故动能变化的周期为 1 s,故 B 错误;t=0.5 s 时, 振子处于最大位移处,弹簧的弹力最大,故 C 正确;在 t=0.5 s 到 t=1.5 s 时间内振子沿 x 负方向运动,在 t=0.1 s 时,振子的速度未反向,故 D 错误;由振动图象知 T=2.0 s,角速度 ω= rad/s=π rad/s,振动 方程 x=0.10sin πt(m),故 E 正确。故选 ACE。 三．计算题 1. (8 分)（2020 山东青岛期末）如图，劲度系数为 k 的轻质弹簧的下端固定在水平面上，弹簧上端与质量 为 m 的物块相连，开始时物块在 O 处保持静止。现用竖直向下的外力压物块，弹簧始终在弹性限度内，然 后撤去外力，物块开始运动，试证明撤去外力后物块的运动是筒谐振动。 【名师解析】 取竖直向下方向为正方向，以 O 点为原点竖直向下建立 Ox 坐标系，如图示 设物块在平衡位置 O 点，弹簧的压缩量为 x0，有 （2 分） 当物块向下离开 O 点位移为 x 时，有 （3 分） 解得： （2 分） 满足简谐振动的回复力特征，所以物块的运动为简谐振动 （1 分） 2.（20 分）（2019 北京通州二模）如图所示，一劲度系数为 k 的轻弹簧的上端固定，下端与小球相连接， 小球的质量为 m，小球静止于 O 点。现将小球拉到 O 点下方距离为 A 的位置，由静止释放，此后运动过 0mg kx= 0( )F mg k x x= − +回 F kx= −回 O x程中始终未超过弹簧的弹性限度。规定平衡位置处为重力势能和弹簧弹性势能的零点。以平衡位置 O 为 坐标原点建立如图所示的竖直向下的一维坐标系 Ox．忽略空气阻力的影响。 （1）从运动与相互作用观点出发，解决以下问题： a．求小球处于平衡状态时弹簧相对原长的伸长量 s； b．证明小球做简谐运动； （2）从教科书中我们明白了由 v﹣t 图象求直线运动位移的思想和方法；从机械能的学习，我们理解了 重力做功的特点并进而引入重力势能，由此可以得到重力做功与重力势能变化量之间的关系。图象法和 比较法是研究物理问题的重要方法，请你借鉴此方法，从功与能量的观点出发，解决以下问题： a．小球运动过程中，小球相对平衡位置的位移为 x 时，证明系统具有的重力势能 EpG 和弹性势能 Ep 弹的 总和 Ep 的表达式为 Ep＝ ； b．求小球在振动过程中，运动到平衡位置 O 点下方距离为 时的动能 Ek．并根据小球运动过程中速度 v 与相对平衡位置的位移 x 的关系式，画出小球运动的全过程中速度随振动位移变化的 v﹣x 图象。 【名师解析】 （1）a．对小球，由平衡条件 mg＝ks。 b．设小球偏离平衡位置 x 时的回复力为 F 回＝mg﹣k（s+x）＝﹣kx，故小球做简谐运动。 （2）a．重力势能 EpG＝﹣mgx 以平衡位置处弹性势能为 0，从平衡位置（弹簧伸长量为 s）到坐标为 x 处（弹簧伸长量为 s+x），根据 弹簧弹力特点做出 F﹣x 图线如图，弹簧弹力做功为 ，设 x 坐标处的弹性势能为 Ep 弹，由弹力做功与弹性势能变化量的关系可知 W 弹＝﹣△Ep 弹，即 W 弹＝﹣（Ep 弹﹣0） 得 Ep 弹＝﹣W 弹＝ kx2+ksx＝ kx2+mgx 重力势能 Ep 电和弹性势能 Ep 弹的总和 Ep＝EpG+Ep 弹＝ kx2。 b．小球在运动到平衡位置 O 点下方距离为 时的势能 小球在振幅处的动能为零，依据能量守恒定律有 可得， 。 由能量守恒定律 Ep+Ek＝Epmax+Ekmin，即 kx2+ mv2＝ kA2，也即 kx2+mv2＝kA2 整理得： 。 故 v﹣x 图是椭圆。 故答案为：（1）a． ；b．见解析。 （2）a．见解析。b． ；见解析。 3.有一弹簧振子在水平方向上的 B、C 之间做简谐运动，已知 B、C 间的距离为 20 cm，振子在 2 s 内完成了 10 次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过 1 4周期振子有正向最大加速度。 (1)求振子的振幅和周期； (2)在图中作出该振子的位移—时间图象； (3)写出振子的振动方程。 【名师解析】　(1)振幅 A＝10 cm， T＝ 2 10 s＝0.2 s。 (2)振子在 1 4 周期时具有正的最大加速度，故有负向最大位移，其位移—时间图象如图所示。 (3)设振动方程为 y＝Asin(ωt＋φ) 当 t＝0 时，y＝0，则 sin φ＝0 得 φ＝0 或 φ＝π，当再过较短时间，y 为负值， 所以 φ＝π 所以振动方程为 y＝10sin(10πt＋π)cm。 答案：　(1)10 cm　0.2 s　(2)图见解析　(3)y＝10sin(10πt＋π)cm 4．（20 分）（2019 北京人大附中训练）已知简谐运动的周期公式为 ，期中 m 为简谐运动物体质 量，k 为回复力与位移的比值 （1）小球在竖直面内做匀速圆周运动，则小球在水平地面上形成投影的运动是简谐运动，这是可以证明的 结论。设小球的质量为 m，角速度为 ω，半径为 A，从小球在圆轨道最高点开始计时经时间 t 小球位置如图 所示。a．取过圆心 O 水平向右为 x 轴正方向，则小球在 x 方向上投影运动的位移随时间 t 的变化函数表达 式可表示为 x=Asinωt。请写出小球在 x 轴方向的合外力 Fx 随时间 t 的变化关系 b．我们知道，物体做简谐运动时，回复力大小与位移大小成正比，方向相反，即 F 回=－kx。试求简谐运动 的周期 T=？ k mT π2=（2）以下三问选做一题（注：证明过程中要用到的物理量及符号要做必要说明） a. 生活中我们见过这样的情景，一质量分布均匀的圆柱状木棒在液体中，静止时竖直直立液体中。当用竖 直向下的外力将木棒向下压下一小段距离然后释放，我们发现该木棒将在竖直方向做往复运动。试证明该 运动是简谐运动，并说明其振动周期 T 与哪些因数有关？ b. 将两个劲度系数分别为k1 和 k2 的轻质弹簧套在光滑的水平杆上，弹簧的两端固定，中间接一质量为 m 的 小球，此时两弹簧均处于原长。现将小球沿杆拉开一段距离后松开，小球以 O 为平衡位置往复运动。请你 据此证明，小球所做的运动是简谐运动，并求出其周期的表达式。 c. 简谐运动也具有一些其他特征，如简谐运动质点的运动速度 v 与其偏离平衡位置的位移 x 之间的关系就 都可以表示为 v2 = v02 - ax2，其中 v0 为振动质点通过平衡位置时的瞬时速度，a 为由系统本身和初始条件 所决定的不变的常数。如图，一个劲度系数为 k 的轻弹簧下悬挂一个质量为 m 的小球，将小球下拉一段距 离后松手，不计空气阻力，请你证明，小球此后的运动也满足上述关系，并说明其关系式中的 a 与哪些物 理量有关。已知弹簧的弹性势能可以表达为 kx2/2，其中 k 是弹簧的劲度系数，x 是弹簧的形变量。 O k1 k2 x（3）理论上已经证明：质量均匀分布的球壳与放在球壳内的其他物体间的万有引力为零。 现将地球看成一个质量均匀分布的实心球体，密度为 ρ，半径为 R。有人在赤道平面内，沿 某条直径 AB 挖了一条很窄的隧道（假设隧道不影响地球的质量分布，且隧道是光滑的）， 如图所示。O1 为地球球心，引力常量为 G。 a。若在球心 O1 处有一质量为 m 的物体 P（可看成质点），因受到小扰动而获得沿 O1B 方向 的速度，试通过定量计算，说明物体的运动情况； b。Q 为地球的一颗近地卫星，其轨道半径可近似为地球半径 R，且在赤道平面内运行（图 中未画出）。若 Q 经过 B 点的同时，将物体 P 从隧道内的 B 点由静止释放，试通过计算说明 P 和 Q 是否会在 A 点再次相遇。 【名师解析】（1） a. 由牛顿第二运动定律可知： b． =- ， 所以 （2） a. 液体密度为 ，木棒的密度为 ，木棒的总长度为 ，木棒的横截面积为 S，木棒静止在液体中时，木 棒在液体中的深度为 。 木棒静止在液体中时： 木棒从平衡位置向下运动距离为 时，回复力为： tsinAax ω⋅ω−= 2 tsinAmmaF xx ω⋅ω−== 2 tsinAmmaF xx ω⋅ω−== 2 kx 2ω= mk T π=ω 2 k mT π= 2 1ρ 2ρ 0l 1l 11 lgSmg ⋅ρ= x，即回复力与位移成正比，又因为回复力与位移方向相反，所以 ，即木棒的运动是简谐运动。 其中 ，将 k 的值代入简谐运动的周期公式 得到： ，由此可见，木棒振动周期与液体密度 、木棒密度 、木棒 总长度 以及当地重力加速度 g 有关。 b. 当小球向右运动到任意位置 C，离开 O 的位移 为 x，此时小球受到两个弹力 F1、F2，方向沿 x 轴负方向，如图所示。 两个力的合力即为小球的回复力，即 F= -（F1+F2）= -（k1x+k2x）= -（k1+k2）x 其中 k1+k2 为常数，所以 F 与 x 成正比。 回复力 F 沿 x 轴负方向，位移 x 沿 x 轴正方向， F 与 x 方向相反。由此证 明小 球所做的运动是简谐运动。 c. 设小球位于平衡位置时，弹簧伸长量为 x0, 则：mg=kx0 以平衡位置为重力势能的 0 势能面，在任意相对平衡位置位移为 x 的位置，小球速度为 v，由机能守恒： 整理后得 其中常数 ，与弹簧的劲度系数和小球的质量有关。 (3) a ． 物 体 P 获 得 速 度 后 ， 当 偏 移 O1 的 距 离 为 x 的 时 候 ， 受 到 地 球 对 它 的 力 大 小 为 F ， 可 算 得 ， 大小正比于 x，且为吸引力，即 F 的方向指向 O1，故物体 P 将以 O1 为平衡位置做简谐运动， xgSmg)xl(gSF ⋅ρ=−+ρ= 111回 xkF ⋅−=回 gSk 1ρ= g l gS Sl k mT 1 02 1 02 222 ρ ρπ=ρ ρπ=π= 1ρ 2ρ 0l 1 2k k k= + 1 2 2 2m mT k k k π π= = + 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 ( )2 2 2 2mv kx mv k x x mgx+ = + + − 2 2 2 0 kv v xm = − ka m = F = G 4 3 πx3ρm x2 = 4 3 πGρmx x O F1 F2 k1 k2 x xCb．根据以上的计算， ，故 P 的运动周期为 , 近地卫星 Q 绕地球的运行速度为第一宇宙速度 v1，由 得 ，其中 M 为地球质量。 所以 Q 绕地球的运行周期为 可见 ，且 P、Q 从 B 到 A 的运动时间均为半个周期，故 P、Q 恰能同时到达 A 点。 5.（10 分）一个中间有小孔的小球，一端固定弹簧，另一端固定在墙壁上，球和弹簧穿在光滑水平杆上，O 为小球的平衡位置，取 O 点为位移原点，水平向右为位移的正方向建立直线坐标系。将小球拉到偏离 O 点 右侧 4 cm 由静止释放，经过 0.1s 小球第一次经过平衡位置，求： （i）小球位移随时间变化的关系式； （ii）将小球从右侧最大位置释放后经过时间 t，小球第一次经过某一位置 A 点（A 点不是 O 点和最大位移 点），则再需要经过多长时间小球经过其关于平衡位置的对称点 B 点？ 【命题意图】本题考查分析综合能力，意在需要应用机械振动规律解题。 【解题思路】（i）小球从开始释放的位移大小为振幅大小，A=4cm（1 分） 小球从最大位移到第一次经过平衡位置经历时间为四分之一周期，T=0.4s，则 ω= =5π 振动位移随时间变化的表达式为 x=4cos5πt（cm）（1 分） （ii） 如图所示，若 A 点在 O 点右侧，当小球向左经过对称点 B 时，有 Δt=nT+2(0.1s-t)=0.4n+0.2s-2t (n=1，2，3,...)（2 分） 若 A 点在 O 点右侧,当小球向右经过对称点 B 时，有 Δt=nT+2(0.1-t)+2t=0.4n+0.2 s( n=1，2，3,...)（2 分） k = 4 3 πGρm T1 = 2π m k = 2π 3 4πGρ = 3π Gρ m v1 2 R = GMm R2 v1 = GM R π π ππ ρπ ρ = = = = 2 3 2 31 2 R R 4 R 3T 2 R 4v GM GG R3 T2 = T1 T π2若 A 点在 O 点左侧，当小球向右经过对称点 B 时，有 Δt=nT+2(0.2s-t)+2(t-0.1s)=0.4n+0.2s （ n=1，2，3，... ）（2 分） 若 A 点在 O 点左侧，当小球向左经过对称点 B 时 Δt=nT+4(0.2s-t)+2（t-0.1s）=0.4n+0.6s-2t（ n=1，2，3，...）（2 分） 【易错警示】弹簧振子的简谐运动过程具有对称性、周期性、多解性，分析本题时需要考虑 A 点的位置对称性，运动方法对称性。