方法技巧专题06 直线与圆问题（解析版）2021年高考数学必备技巧方法归纳提升（全国通用）

方法技巧专题 6 直线与圆问题 解析版 一、直线与圆知识框架 二、直线与圆的方程问题 【一】直线的方程及其应用 1、直线方程的 5 种形式 （1）点斜式： （2）斜截式： （3）两点式： （4）截距式： （5）一般式： （A，B 不同时为 0） 2、三种距离公式 （1） 两点间的距离： . （2）点到直线的距离： （其中点 ，直线方程： ）. （3）两平行直线间的距离： （其中两平行线方程分别为： ）. )( 11 yy −=− bkxy += ),( 2121 12 1 12 1 yyxxxx xx yy yy ≠≠− −=− − )0,0(1 ≠≠=+ bab y a x 0=++ CByAx ),(),,( 2211 yxByxA 2 12 2 12 )()( yyxxAB −+−= 22 00 BA CByAxd + ++= ),( 00 yxP 0=++ CByAx 22 12 BA CCd + −= 0:,0: 2211 =++=++ CByAxlCByAxl1.例题 【例 1】设 ，则“ 是直线 与直线 平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】当 时，两条直线的方程分别为 ，此时两条直线平行； 若两条直线平行，则 ，所以 或 ，经检验，两者均符合； 综上：“ 是直线 与直线 平行”的充分不必要条件，故选 A. 【答案】A 【例 2】过点（1，2）的直线 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，O 为坐标原点，当 的面积最小时， 直线 的方程为（ ） A. B. C. D. [来源:Z.Com] 【解析】设 的方程为 ，则有 ， 因为 ，所以 ，即 ， 所以 ，当且仅当 ，即 时，取“=”. 即当 时， 的面积最小. 此时 的方程为 ，即 .故选 A. 【答案】A 2.巩固提升综合练习 【练习 1】若两平行直线 与 之间的距离是 ，则 （ ） A.0 B.1 C.-2 D.-1 【解析】因为 平行，所以 ，解得 ，所以直线 的方程 是 ，又 之间的距离是 ，所以 ，解得 m=2 或 m=-8（舍去），所以 ，故选 C. 【答案】C 【练习 2】直线 过点 P（1，4），分别交 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴于点 A，B 两点，O 为坐标原点， 3、两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线 的斜率 存在，则 ;若给出的直线 方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 21,ll 21,kk 1,// 21212121 −=⇔⊥=⇔ kkllkkll R∈λ 3−=λ 1)1(2 =−+ yx λλ 4)1(6 =−+ yx λ 3−=λ 0223,0146 =−+=++ yxyx )1(6)1(2 λλλ −−=−× 3−=λ 1=λ 3−=λ 1)1(2 =−+ yx λλ 4)1(6 =−+ yx λ l OAB∆ l 042 =−+ yx 05-2yx =+ 03 =−+ yx 0832 =−+ yx l )0,0(1 >>=+ bab y a x 121 =+ ba 0,0 >> ba abba 2221 ≥+ ab 221≥ 8≥ab 2 121 == ba 4,2 == ba 4,2 == ba OAB∆ l 142 =+ yx 042 =−+ yx )0(02:1 >=+− mmyxl 062:2 =−+ nyxl 5 =+ nm 21,ll mn ×≠−×−×=× 2)6(1),2(21 3,4 −≠−= mn 2l 032 =−− yx 21,ll 5 5 41 3 = + +m 2−=+ nm l当 最小时， 的方程为 . 【解析】经检验直线 的斜率存在，且斜率为负，设直线 的斜率为 ， 则直线 的方程为 ， 令 y=0 得 ，令 x=0 得 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时， 取得最小值. 此时 的方程为 . 【答案】 【二】圆的方程及其应用 1.例题[ OBOA + l l l )0rr 222 )()( rbyax =−+− )0(222 >=+ rryx r 022 =++++ FEyDxyx 4 4)2()2( 22 22 FEDEyDx −+=+++ 0422 >−+ FED )2,2( ED −− 2 422 FED −+ 0422 =−+ FED )2,2( ED −− 0422 aa 02 =− yx 5 54 14 02 = + −= ad 2=a 3)50()0( 22 =−+−= ar 9)2( 22 =+− yx 9)2( 22 =+− yx ( )4,7C 3 4 1 0x y− + = 8 ( )2 24 ( 7) 5x y− + − = ( )2 24 ( 7) 25x y− + − = ( )2 27 ( 4) 5x y− + − = ( )2 27 ( 4) 25x y− + − = |12 28 1|d 3 9 16 − += = +  3 4 1 0x y− + = ∴ 2 23 4 5r = + = ∴ ( ) ( )2 24 7 25x y− + − = 3 4)3 3( 22 =+± yx 3 1)3 3( 22 =+± yxC. D. 【解析】由题意知圆心在 y 轴上，且被 x 所分的劣弧所对的圆心角为 ， 设圆心为 ，半径为 ，则 ， 解得 ，即 ，则 ， 故圆 C 的方程为 . 【答案】C 【练习 2】以 为圆心，并且与圆 外切的圆的方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，设圆 的半径为 ， 圆 ，即 ，其圆心为 ，半径 ，设 ， 若圆 与圆 外切，则有 ， 则 ， 则所求圆的方程为 ； 故选：B． 【三】直线与圆、圆与圆的位置关系 [来源:Z*xx*k.Com] 3 4)3 3( 22 =±+ yx 3 1)3 3( 22 =±+ yx 3 2π ),0( a r arr == 3cos,13sin ππ 3 32=r 3 3 3 42 == ar ， 3 3±=a 3 4)3 3( 22 =±+ yx ( 1,0)C − 2 2 4 3 0x y x+ − + = 2 2( 1) 2x y+ + = 2 2( 1) 4x y+ + = 2 2( 1) 2x y− + = 2 2( 1) 4x y− + = C R 2 2 4 3 0x y x+ − + = ( )2 22 1x y− + = ( )2,0 1r = ( )2,0M C M 3R r MC+ = = 2R = ( )2 21 4x y+ + = 1、直线与圆的位置关系的判断 直线 （A，B 不全为 0）与圆 的位置关系的判断方法 有： （1）几何法：圆心 到直线 的距离为 ， 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离. （2）代数法：由 消元，得到的一元二次方程的判别式为 ，则 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离. 0: =++ CByAxl )0()()( 222 >=−+− rrbyax ),( ba 0: =++ CByAxl d ⇔< rd ⇔= rd ⇔> rd    =−+− =++ 222 )()( 0 rbyax CByAx ∆ ⇔>∆ 0 ⇔=∆ 0 ⇔ 21 rrd ⇔+= 21 rrd ⇔+