普陀区 2020 届高三数学质量检测试卷
―、填空题
1. 已知集合 , ,则 ________
【答案】
【解析】
【分析】
利用集合的交运算即可求解.
【详解】由集合 , ,
则 .
故答案为:
【点睛】本题考查了集合的基本运算,解题的关键是理解集合中的元素特征,属于基础题.
2. 在复平面内,点 对应的复数 z,则 ___________
【答案】
【解析】
【分析】
由点的坐标写出复数,再计算。
【详解】由题意 ,∴ 。
故答案为: 。
【点睛】本题考查复数 几何意义,考查复数的模,属于基础题。
3. 满足 的实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
试题分析: ,即 ,∴ .
考点:行列式
4. 已知向量 与 的夹角为 , , ,则 __________.
的
{ | 2 , }A x x k k= = ∈Z { | 2 2}B x x= − ≤ ≤ A B =
{ 2,0,2}−
{ | 2 , }A x x k k= = ∈Z { | 2 2}B x x= − ≤ ≤
A B = { 2,0,2}−
{ 2,0,2}−
( )2,1A − 1z + =
2
2z i= − + 1 2 1 1 2z i i+ = − + + = − + =
2
sin 3 0
cos 1
x
x
= x
,3x k k Z
ππ= + ∈
sin 3 cos 0x x− = 2sin 03x
π − = ,3x k k Z
ππ= + ∈
a b 60° 2a = 3b = 3 2a b− =
【答案】6.
【解析】
分析】
求出 即得解.
【详解】由题意,向量 的夹角为 ,
所以 ,
所以 .
故答案为:6
【点睛】本题主要考查向量模的计算,考查向量的数量积运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 ,则其母线与轴的夹角的大小为 .
【答案】
【解析】
由题意得: 母线与轴的夹角为
考点:圆锥轴截面
【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积,轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积 ,圆柱的表面积
,圆锥的侧面积 ,圆锥的表面积 ,球体的表面积 ,圆
锥轴截面为等腰三角形.
6. 若抛物线 上一点 M 到其焦点的距离等于 2,则 M 到其顶点的距离等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等,进而利用点到直线的距离求得 的值,
代入抛物线方程求得 值,即可得到所求点的坐标,从而求得其到原点的距离.
【详解】解: 抛物线方程为 , 焦点为 ,准线为 ,
抛物线 上一点 到焦点的距离等于 2, 根据抛物线定义可知 到准线的距离等于 2,
即 ,解之得 ,代入抛物线方程求得 ,
【
2(3 2 )a b−
,a b 60 , 2, 3a b= =
2 22 2 2(3 2 ) 9 12 4 9 2 12 2 3cos60 4 3 36a b a a b b− = − ⋅ + = × − × × + × =
3 2 6a b− =r r
2π
3
π
1:( 2 ) 2 22rl h r l hπ π⋅ = ⇒ = ⇒
3
π
2 4y x=
5
x
y
2 4y x= ∴ (1,0)F : 1l x = −
2 4y x= P ∴ P
1 2x + = 1x = 2y = ±
点 坐标为: ,故其到顶点的距离为 ,
故答案 : .
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质.在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决,
属于基础题.
7. 在 的展开式中,只有第三项的二项式系数最大,则含 x 项的系数等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据二项展开式的性质,求得 ,得出展开式的通项为 ,结合通项,即可求解.
【详解】由题意,在 的展开式中,只有第三项的二项式系数最大,
根据二项展开式的性质,可得 ,解得 ,
所以该二项式为 ,则展开式 通项为 ,
令 ,可得 ,所以含 项的系数为 .
故答案为: .
【点睛】本题主要考查了二项展开式中的二项式系数的性质,以及指定项系数的求解,其中解答中熟记展
开式中二项式系数的性质和二项展开式的通项是解答的关键,意在考查推理与运算能力.
8. 已知 ,则目标函数 的最大值为________.
【答案】100
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合求得目标函数的最大值.
【详解】作出由不等式组满足的平面区域,如图
为
的
∴ P (1, 2)± ( )221 2 5+ ± =
5
( )2 nx −
32−
4n = 4
1 4( 2)r r r
rT C x −
+ = −
( )2 nx −
1 32
n + = 4n =
( )42x − 4 4
1 4 4( 2) ( 2)r r r r r r
rT C x C x− −
+ = − = −
4 1r− = 3r = x 3 3
4( 2) 32C− = −
32−
5 4 26
2 +5 13 0
N
N
x y
x y
x
y
+ ≤
− ≤ ∈
∈
20 10z x y= +
将目标函数 化为
由图可知,当直线 过点 时
直线 在 轴上的截距最大,此时 有最大值 100,
故答案为:100.
【点睛】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
9. 设函数 ,若关于 x 的方程 在区间 上有且仅有两个不相等的实根,
则 的最大整数值为__________.
【答案】4
【解析】
【分析】
利用换元法求出 的取值范围,再根据三角函数的图象得到 的不等式,即可得答案;
【详解】令 , , ,
的图象如图所示,
关于 x 的方程 在区间 上有且仅有两个不相等的实根,
在 上有且仅有两个不相等的实根,
,
的最大整数值为 ,
故答案为: .
20 10z x y= + 2 10
zy x= − +
2 10
zy x= − + (5,0)A
2 10
zy x= − + y z
( ) sin( )( 0)6f x x
πω ω= + > ( ) 1f x = [0, ]π
ω
π
6xω + ω
π
6t xω= + [0 π]x∈ , ∴ π π
6 6 6x
π ω ωπ≤ + ≤ +
siny t=
( ) 1f x = [0 π],
∴ sin 1y t= = π[ , ]6 6
π ωπ +
∴ 5 π 9 7 13
2 6 2 3 3
π πωπ ω≤ + < ⇒ ≤ < ∴ω 4 4
【点睛】本题考查利用换元法和图象法解三角方程,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推
理能力、运算求解能力,求解时注意换元后新元的取值范围,属于中档题.
10. 设 , 为函数 图像上两点,其中 .已知直线 AB 的斜率为 2,且
,则 __________.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据条件建立方程组求解即可.
【详解】因为 , 为函数 图像上两点,其中 ,直线 AB 的斜率为 2,且
,
所以
解得
所以
故答案为:4
【点睛】本题主要考查的是直线的斜率和两点间的距离公式,考查了学生的计算能力,属于基础题.
11. 设点 O 为 的外心,且 ,若 ,则 的最大值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用平面向量线性运算整理可得 ,由此得到 ;由 可求得
,设外接圆半径为 ,将所得式子平方后整理可得 ,利用基本不等式构造
不等关系,即可求得所求最大值.
( ),A a r ( ),B b s 2logy x= a b>
| | 5AB = a
b
=
( ),A a r ( ),B b s 2logy x= a b>
| | 5AB =
( ) ( )
2
2
2 2
log
log
2
5
a r
b s
s r
b a
a b r s
=
= − = −
− + − =
2 2
4 1, , log 3, 2 log 33 3a b s r= = = − = −
4a
b
=
ABC 3A
π= ( ), RAO AB ACα β α β= + ∈ α β+
2
3
( )1 OA OB OCα β α β+ − = + 1α β+ < 3A π= cos BOC∠ R ( )2 1 3α β αβ+ = +
【详解】
,即 ,
,
设 外接圆半径为 ,
则 ,
整理可得: ,
解得: 或 (舍),当且仅当 时,等号成立,
的最大值为 .
故答案为: .
【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题,关键是能够利用平面向量线性运算和平方运算将已知
等式化为与外接圆半径有关的形式,进而消去外接圆半径得到变量之间的关系.
12. 若实数 a、b、c 满足 ,则 a、b、c 是调和的,设含有三个元素的集合 是集合
的子集,当集合 中的元素 a、b、c 既是等差的又是调和的时候,称集合 P 为“好集”,则三元子集中
“好集”的概率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知求得集合 P,确定其个数,根据古典概率公式可求得答案.
【详解】因为 ,且 ,所以 ,所以 (舍去)或 ,
所以 ,所以 ,
又 解得 ,且 ,所以三元子集中“好集”P 共 1010 个,所求的概率
( ) ( )AO AB AC OB OA OC OAα β α β= + = − + −
( )1 OA OB OCα β α β∴ + − = + 1 0α β∴ + − < 1α β+ < 1cos 2A = 1cos cos2 2BOC A∴ ∠ = = − ABC R ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 cosR R R R BOC R R Rα β α β αβ α β αβ+ − = + + ∠ = + − ( ) ( )2 232 1 3 1 3 12 4 α βα β αβ α β+ + = + ≤ + × = + + 2 3 α β+ ≤ 2α β+ ≥ 1 3a b= = α β∴ + 2 3 2 3 1 1 2 a b c + = P | 0{ 202 ,M x x= ≤ }x Z∈ P 3 32643198 1 1 2 a b c + = 2a c b+ = ( )( )+2 0a b a b− = a b= 2a b= − 4c b= { }2 , ,4P b b b= − 4 2020,b ≤ 505 505b− ≤ ≤ , 0b Z b∈ ≠
为 ,
故答案为: .
【点睛】本题考查集合的新定义,理解其含义是关键,将问题转化为方程组和不等式的问题,属于中档
题.
二、选择题
13. 若样本平均数为 ,总体平均数为 ,则( )
A. B. C. 是 的估计值 D. 是 的估计值
【答案】D
【解析】
样本平均数为 ,总体平均数为 ,统计学中,利用样本数据估计总体数据, 样本平均数 是总体平均
数 的估计值,故选 D.
14. 记 为数列 的前 项和.“对任意正整数 ,均有 ”是“ 为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用单调性的定义和举特例来判断两个条件的充分性和必要性关系.
【详解】当 时,则 , ,
则“对任意正整数 ,均有 ”是“ 为递增数列”的充分条件;
如数列 为 、 、 、 、 、 ,显然数列 是递增数列,但是 不一定大于零,还有可能小
于或等于零,
所以,“对任意正整数 ,均有 ”不是“ 为递增数列”的必要条件,
因此,“对任意正整数 ,均有 ”是“ 为递增数列”的充分不必要条件,
故选 A.
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断,判断时可结合单调性的定义或特例来进行判断,考查推理
3
4041
1010 3
32643198C
=
3
32643198
x µ
x µ= x µ≈ µ x x µ
x µ ∴ x
µ
nS { }na n n 0na > { }nS
0na > ( )1 0 2,n n nS S a n n N ∗
−− = > ≥ ∈ 1n nS S −∴ >
n 0na > { }nS
{ }na 1− 1 2 3 4 { }nS na
n 0na > { }nS
n 0na > { }nS
能力,属于中等题.
15. 设 为双曲线 ( )的上一点, ,( 为左、右焦点),则
的面积等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用双曲线的定义,得 ,利用余弦定理求出 的值,结合三角形的面积公式
即可求出 的面积.
【详解】双曲线 ,则
不妨设 是双曲线的右支上一点,
则由双曲线的定义,得
则 ,
所以
所以 ,即
所以
所以
故选:C
【点睛】本题考查三角形面积的求法,根据双曲线的定义结合余弦定理将条件进行转化是解决本题的关键,
解题时要认真审题,注意双曲线定义、余弦定理的灵活运用,属于中档题.
16. 下列四个图象,只有一个符合 的图象,则
P
2
2
2 1x ya
− = 0a > 1 2
2
3F PF
π∠ = 1 2F F、 1 2F PF∆
23a 23
3 a 3
3
2 3
3
1 2| | | | 2PF PF a− = 1 2| | | |F PP F⋅
1 2F PF△
2
2
2 1( 0)x y aa
− = > 1b =
P
1 2| | | | 2PF PF a− =
1 2
2
3F PF
π∠ =
2 2 2
1 2 1 2
24 | | | | 2 | | | | cos 3c PF PF PF PF
π= + − ⋅
2 2
1 2 1 2| | | | + | | | |PF PF PF PF= + ⋅
2
1 2 1 2(| | | |) 3| | | |PF PF PF PF= − + ⋅
2 2
1 24 4 3| | | |c a PF PF= + ⋅ 2 2 2
1 23| | | | 4 4 4 4PF PF c a b⋅ = − = =
1 2
4| | | | 3PF PF⋅ =
1 2 1 2
1 2 1 4 3 3| | | | sin2 3 2 3 2 3F PFS PF PF
π= ⋅ = × × =△
( )1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3, , 0y k x b k x b k x b k k k R b b b+= + + + − + ∈ ≠
根据你所判断的图象, 、 、 之间一定满足的关系是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为 ,
所以 x 足够小时, ,
x 足够大时,
可见,折线的两端斜率必定为相反数,此时 ,只有第二个图象符合,故选 A.
三、解答题
17. 在 中, , , 分别为内角 所对的边,已知 ,其中 为 外接圆的
半径, ,其中 为 的面积.
(1)求 ;
(2)若 ,求 的周长.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
【分析】
( 1 ) 由 正 弦 可 得 , 进 而 可 得 , 从 而 得 , 结 合 余 弦 定 理 可 得 , 再 由
即可得解;
(2)由正弦定理得 ,从而可得 ,结合 由正弦定理可得 ,从而得解.
【详解】(1)由正弦定理得 , ,又 ,
,则 .
1k 2k 3k
1 2 3k k k+ = 1 2 3k k k= = 1 2 3k k k+ > 1 2 3k k k+ < ( )1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3, , 0y k x b k x b k x b k k k R b b b+= + + + − + ∈ ≠ 1 2 3k k k+ = ABC a b c , ,A B C cosa A R= R ABC 2 2 2 4 3 3a c b S+ − = S ABC sinC 2 3a b− = − ABC 2 6 4 + 3 2 632 2 + + R 2sin a A = sin2 1A = A B ( )sin sinC A B= + sin 2 sin 3 a A b B = = a b, sinC c cos 2sin aa A A = sin2 1A∴ = 0 2 2A π< < 2 2A π∴ = 4A π=
由 ,由余弦定理可得 ,
,又 , ,
.
(2)由正弦定理得 ,
又 , ,
又
.
【点睛】解三角形的基本策略:
一是利用正弦定理实现“边化角”,二是利用余弦定理实现“角化边;求三角形面积的最大值也是一种常见
类型,主要方法有两类,一是找到边之间的关系,利用基本不等式求最值,二是利用正弦定理,转化为关
于某个角的函数,利用函数思想求最值.
18. 如图,直四棱柱 的底面是菱形, , , ,E、M、N 分别是
BC、 、 的中点.
(1)证明: 平面 ;
(2)求直线 AM 与平面 所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
2 2 2 4 3 1 csin3 2a c b a B+ − = ⋅ ⋅ 2 32 cos sin3ac B ac B=
tan 3B∴ = 0 B π< < = 3B π∴ ( ) 2 6sin sin sin 4 3 4C A B π π + ∴ = + = + = sin 2 sin 3 a A b B = = 2 3a b− = − 2 3 a b =∴ = 2 6sin 4C += 2 2 6 2 6 4 22 2 c + +∴ = ⋅ = 3 2 632 2a b c∴ + + = + + 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 4AA = 2AB = 60BAD∠ = ° 1BB 1A D / /MN 1C DE 1C DE 7 34arcsin 68
【解析】
【分析】
(1)过 作 ,证明 , ,可得 ,由线面平行的判定可得
平面 ;
(2)以 为坐标原点, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴,以 所在直线为 轴建立空间直角
坐标系,求出平面 的一个法向量,由 与法向量所成角的余弦值可得结果.
【详解】(1)如图所示,
过点 作 ,则 ,且 ,
又 ,且 ,
四边形 为平行四边形,则 ,
由 , 为 中点,得 为 中点,而 为 中点,
,且 ,
四边形 为平行四边形,则 ,
,
平面 , 平面 ,
平面 ;
(2)以 为坐标原点, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴建立空间直角
坐标系 ,
N NH AD⊥ / /NM BH / /BH DE / /NM DE / /MN
1C DE
D DA x DE y 1DD z
1A ED AM
N NH AD⊥ 1/ /NH AA 1
1
2NH AA=
1/ /MB AA 1
1
2MB AA=
∴ NMBH / /NM BH
1/ /NH AA N 1A D H AD E BC
/ /BE DH∴ BE DH=
∴ BEDH / /BH DE
/ /NM DE∴
NM ⊂/ 1C DE DE ⊂ 1C DE
/ /MN∴ 1C DE
D DA x DE y 1DD z
D xyz−
则 , , , , ,
, ,
设 为平面 的一个法向量,则
,可得
因为 ,设 与 所成锐角为 ,
则
所以 AM 与平面 所成角的大小的大小为 .
【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定问题,也考查了空间想象能力与思维能力,以及利用空间向量
求解线面角问题,是中档题.
19. 某公司经过测算投资 百万元,投资项目 与产生的经济效益 之间满足:
,投资项目 产生的经济效益 之间满足: .
(1)现公司共有 1 千万资金可供投资,应如何分配资金使得投资收益总额最大?
(2)投资边际效应函数 ,当边际值小于 0 时,不建议投资,则应如何分配投资?
【答案】(1)投资 项目 4 百万,投资 项目 6 百万,(2)投资 项目 350 万元,投资 项目 550 万元.
【解析】
试题分析:(1)根据题意,建立收益函数关系式:投资 项目 x 百万,投资 项目 10-x 百万,则
,根据二次函数最值求法得投资 项目 4 百万,投资 项目 6
百万,收益总额最大.(2)由题意得不等式: ,解得
,因此投资 项目 350 万元,投资 项目 550 万元.
试题解析:解:(1) ,即投资 项目 4 百万,投资 项目 6 百
万,收益总额最大.
(2) ,解得 ,投资 项目 350 万元,同理可得,应
投资 项目 550 万元.
( )2,0,0A ( )1 2,0,4A (1, 3,2,)M ( )1,0,2N (0, 3,0)E ( )1 1,0,4C −
( )1 1,0,4DC = − (0, 3,0)DE =
( , , )n u v w= 1C DE
4 0
0
u w
v
− + =
= (1,0,4)n =
( 1, 3,2)AM = − AM n θ
| | 7 7 34cos | || | 682 2 17
AM n
AM n
θ ⋅= = =
1C DE 7 34arcsin 68
x A y
( ) 21 2 124y f x x x= = − + + B y ( ) 21 4 13y h x x x= = − + +
( ) ( ) ( )1F x f x f x= + −
A B A B
A B
( ) ( ) ( )2710 4 2912y f x h x x= + − = − − + A B
( ) ( ) ( ) ( )11 2 1 2 04F x f x f x x= + − = − + + ≥
7
2x ≤ A B
( ) ( ) ( )2710 4 2912y f x h x x= + − = − − + A B
( ) ( ) ( ) ( )11 2 1 2 04F x f x f x x= + − = − + + ≥ 7
2x ≤ A
B
考点:函数实际应用
20. 设椭圆 ,直线 ,O 为坐标原点.
(1)设点 在 C 上,且 C 的焦距为 2,求 C 的方程;
(2)设 l 的一个方向向量为 ,且 l 与(1)中的椭圆 C 交于 A.B 两点,求证: 为
常数;
(3)设直线 l 与椭圆 C 交于 A.B 两点,是否存在常数 k,使得 的值也为常数?若存在,求
出 k 的表达式及 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) ;(2)证明详见解析;(3)存在, .
【解析】
【分析】
(1)由点在椭圆上代入坐标,再和 组成方程组可得解;
(2)直线与椭圆方程联立,利用韦达定理结合 可得答案;
(3)直线与椭圆方程联立,利用韦达定理结合 并算出它的表达式,观察
结构取特殊情况,可得答案.
【详解】(1)由点 P 在椭圆上,得 , ,
∴ , ,
又 ,
∴ ,
∴ ,解得 , ,
∴椭圆 .
(2)由条件得直线
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > (: , )l y kx t k t= + ∈R
6( ,1)2P
( 3, 2) 2 2| | | |OA OB+
2 2| | | |OA OB+
2 2| | | |OA OB+
2 2
: 13 2
x yC + = bk a
= ±
1c =
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2| | | |OA OB x y x y+ = + + +
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2| | | |OA OB x y x y+ = + + +
2 2
3 1 12a b
+ = 2 2c =
2 2 2 23 2 2b a a b+ = 1c =
2 2 2a b c= +
2 2 2 23 2( 1) 2( 1)b b b b+ + = +
4 22 3 2 0b b− − = 2 2b = 2 3a =
2 2
: 13 2
x yC + =
6: 3l y x t= +
由 ,得 ,
设 ,
∴ , , ,
所以 ,
,得证.
(3)由 ,得
,
∴ , ,
又 , ,
所以
要使 为常数,只需 ,
此时 .
所以,存在 ,使得 .
【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系,椭圆中定值的问题.
2 2
6
3
2 3 6
y x t
x y
= +
+ =
2 24 2 6 3 6 0x tx t+ + − =
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
1 2
6
2
tx x+ = −
2
1 2
3 6
4
tx x
−= 1 1
6
3y x t= + 22
6
3y x t= +
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2| | | |OA OB x y x y+ = + + +
( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2
5 2 62 2 53 3x x x x x x t = + − + + + =
2 2 2 2 2 2
y kx t
b x a y a b
= +
+ =
( )2 2 2 2 2 2 2 2 22 0b a k x a ktx a t a b+ + + − =
2
1 2 2 2 2
2a ktx x a k b
+ = − +
2 2 2 2
1 2 2 2 2
a t a bx x a k b
−= +
2
2 2 1
1 2(1 )xy b a
= −
2
2 2 2
2 2(1 )xy b a
= −
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2| | | |OA OB x y x y+ = + + +
( )2
2 2
1 2 1 221 2 2b x x x x ba
= − + − +
( )
2 4 2 2 2 2 2 2
2
22 2 2 22 2 2
4 2 21 2b a k t a t a b ba a k ba k b
− = − − + + +
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 22
2
22 2 2 2
22 2
1 2
a t a k b a b a k bb ba a k b
− + + = − + +
2 2| | | |OA OB+
2
2
2
bk a
=
2 2 2 2| | | |OA OB a b+ = +
bk a
= ± 2 2 2 2| | | |OA OB a b+ = +
21. 已知数列 满足:对任意的 ,若 ,则 ,且
,设集合 ,集合 A 中元素最小值记为
,集合 A 中元素最大值记为 ,如数列: 时, ,
, .
(1)已知数列: ,写出集合 及 ;
(2)求证:不存在 ,
(3)求 的最大值以及 的最小值,并说明理由.
【答案】(1) , ;(2)证明详见解析;(3) 的最大值为 17, 的最小值
为 16,理由详见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据题目,代入求解即可;
(2)利用反证法证明即可,假设 , ,所以 可以推出 故假设不成立,所以不
存在 ;
(3)欲使 的最大值以及 的最小值,先举例说明得到 是可能的,只需证明 的
最小值为 16,再先证明 为不可能的,同理可以推出 ,矛盾,假设不成立,所以
,而由已知条件得到 是可能的,分类讨论求解.
详解】(1) ,
, .
(2)假设 ,
设
则
即 ,因为 ,所以 .
同理,设
【
1 2 10, , ,a a a… , {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}i j ∈ i j≠ i ja a≠
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}ia ∈ { }1 2 1,2,3,4,5,6,| 7,8i i iA a a a i+ += + + =
( )m A ( )n A 7,6,2,8,3,4,9,1,5,10 { }13,14,15,16A =
( ) 13m A = ( ) 16n A =
10,6,1,2,7,8,3,9,5,4 ( )m A ( )n A
( ) 18m A ≥
( )m A ( )n A
( ) 9m A = ( ) 20n A = ( )m A ( )n A
( ) 18m A ≥ 55S = 10 1a = 1 1a =
( ) 18m A ≥
( )m A ( )n A ( ) 17m A = ( )n A
( ) 15n A ≤ 4 10a =
( ) 16n A ≥ ( ) 16n A =
{ }17,9,10,18,20A =
( ) 9m A = ( ) 20n A =
( ) 18m A ≥
( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 9 18 0 55S a a a a a a a a a a= + + + + + + + + + =
10 1055 3 ( ) 3 18S m A a a= ≥ + = × +
10 1a ≤ 1 1,2,3,( 1 ), 0ia i≥ = … 10 1a =
( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 9 18 0 55S a a a a a a a a a a= + + + + + + + + + =
可以推出 ,
中有两个元素为 1,与题设矛盾,
故假设不成立,所以不存在 .
(3) 的最大值为 17, 的最小值为 16.
①例如数列: .
此时 , , .
得到 是可能的.
②现只需证明: 的最小值为 16.
先证明 为不可能的,假设域 .
设 ,
可得 ,
即 ,元素最大值为 10,所以 .
又
,
同理可以推出 ,矛盾,假设不成立,所以 .
而由已知条件得到 是可能的,
所以 的最小值为 16.
【点睛】主要考查反证法的证明、数列与不等式,要用到类比推理和归纳推理的数学思想,属于难题.
1 1a =
1,2, 10( )i ia =
( ) 18m A ≥
( )m A ( )n A
1,6,10,2,7,8,3,9,5,4
{ }17,18,19,20A = ( ) 17m A = ( ) 20n A =
( ) 17m A =
( )n A
( ) 15n A ≤ ( ) 15n A ≤
( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 9 18 0 55S a a a a a a a a a a= + + + + + + + + + =
1 155 3 ( ) 3 15n A a a+ × +≤ ≤
1 10a ≥ 1 10a =
( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 98 10a a a a a a a a a a+ + + + + + + + +
4 455 3 ( ) 3 15n A a a= ≤ + ≤ × +
4 10a = ( ) 16n A ≥
( ) 16n A =
( )n A