2021届高三数学一轮基础复习讲义第九章 9.6双曲线-教师版

1 / 24 数形结合思想（教师版） 1．双曲线定义 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F2|)的点的轨迹叫做双曲 线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0. (1)当 2a|F1F2|时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 푥 2 푎 2－ 푦 2 푏 2＝1(a>0，b>0) 푦 2 푎 2－ 푥 2 푏 2＝1 (a>0，b>0) 图形 双曲线 知识梳理 2 / 24 数形结合思想（教师版） 范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a 或 y≥a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝± 푏 푎x y＝± 푎 푏x 离心率 e＝ 푐 푎，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ 푎 2＋푏 2 性 质 实虚轴 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做 双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 【知识拓展】 巧设双曲线方程 (1)与双曲线 푥 2 푎 2－ 푦 2 푏 2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为 푥 2 푎 2－ 푦 2 푏 2＝t(t≠0)． (2)过已知两个点的双曲线方程可设为 푥 2 푚 ＋ 푦 2 푛 ＝1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线．(　×　) (3)双曲线方程 푥 2 푚2－ 푦 2 푛 2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是 푥 2 푚2－ 푦 2 푛 2＝0，即 푥 푚± 푦 푛＝0.(　√　) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.(　√　) 【例 2】1、若双曲线 푥 2 푎 2－ 푦 2 푏 2＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双 曲线的离心率为(　　) A. 5 B．5 C. 2 D．2 答案　A 解析　由题意得 b＝2a，又 a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2. ∴e2＝ 푐 2 푎 2＝5，∴e＝ 5. 2．等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2＝16x 的准线交于 A，B 两点， |AB|＝4 3，则 C 的实轴长为(　　) A. 2 B．2 2 C．4 D．8 答案　C 解析　设 C： 푥 2 푎 2－ 푦 2 푎 2＝1. ∵抛物线 y2＝16x 的准线为 x＝－4，联立 푥 2 푎 2－ 푦 2 푎 2＝1 和 x＝－4，得 A(－4， 16－푎 2)，B(－ 4 / 24 数形结合思想（教师版） 4，－ 16－푎 2)， ∴|AB|＝2 16－푎 2＝4 3， ∴a＝2，∴2a＝4. ∴C 的实轴长为 4. 3．下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y＝±2x 的是(　　) A．x2－ 푦 2 4 ＝1 B. 푥 2 4 －y2＝1 C. 푦 2 4 －x2＝1 D．y2－ 푥 2 4 ＝1 答案　C 解析　由双曲线性质知 A、B 项双曲线焦点在 x 轴上，不合题意；C、D 项双曲线焦点均在 y 轴上，但 D 项渐近线为 y＝± 1 2x，只有 C 符合，故选 C. 4．设双曲线 x2－ 푦 2 3 ＝1 的左，右焦点分别为 F1，F2.若点 P 在双曲线上，且△F1PF2 为锐角 三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________． 答案　(2 7，8) 解析　由已知 a＝1，b＝ 3，c＝2，则 e＝ 푐 푎＝2， 设 P(x，y)是双曲线上任一点， 由对称性不妨设 P 在右支上， 则 142，解得 x> 7 2 ， 所以 7 2 0)． 由题意知，2b＝12，e＝ 푐 푎＝ 5 4.∴b＝6，c＝10，a＝8. ∴双曲线的标准方程为 푥 2 64－ 푦 2 36＝1 或 푦 2 64－ 푥 2 36＝1. (2)∵双曲线经过点 M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a＝12. 又 2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25. ∴双曲线的标准方程为 푦 2 144－ 푥 2 25＝1. (3)设双曲线方程为 mx2－ny2＝1(mn>0)． 7 / 24 数形结合思想（教师版） ∴Error!解得Error! ∴双曲线的标准方程为 푦 2 25－ 푥 2 75＝1. 命题点 3　利用定义解决焦点三角形问题 【例 5】已知 F1，F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左，右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|， 则 cos ∠F1PF2＝________. 答案　 3 4 解析　∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2| ＝|PF2|＝2a＝2 2， ∴|PF1|＝2|PF2|＝4 2， 则 cos∠F1PF2＝ |푃 퐹 1|2＋|푃 퐹 2|2－|퐹 1퐹 2|2 2|푃 퐹 1|·|푃 퐹 2| ＝  4 2 2＋ 2 2 2－42 2 × 4 2 × 2 2 ＝ 3 4. 【变式练习】 1、本例中若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2 的面积是多少？ 解　不妨设点 P 在双曲线的右支上， 则|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2， 在△F1PF2 中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝ |푃 퐹 1|2＋|푃 퐹 2|2－|퐹 1퐹 2|2 2|푃 퐹 1|·|푃 퐹 2| 8 / 24 数形结合思想（教师版） ＝ 1 2，所以|PF1|·|PF2|＝8， 所以 ＝ 1 2|PF1|·|PF2|sin 60°＝2 3. 2．本例中若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“푃 퐹 1→ ·푃 퐹 2→ ＝0”，则△F1PF2 的面积是多少？ 解　不妨设点 P 在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2， 由于푃 퐹 1→ ·푃 퐹 2→ ＝0，所以푃 퐹 1→ ⊥푃 퐹 2→ ， 所以在△F1PF2 中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝16， 所以|PF1|·|PF2|＝4， 所以 ＝ 1 2|PF1|·|PF2|＝2. 思维升华　(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据 要求可求出双曲线方程； (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方 的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系． (3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式， 然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值，如果已知双曲线的渐近线方 程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为 푥 2 푎 2－ 푦 2 푏 2＝λ(λ≠0)，再由条件 求出 λ 的值即可． 【同步练习】(1)已知 F1，F2 为双曲线 푥 2 5 － 푦 2 4 ＝1 的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点， 点 A 在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为(　　) A. 37＋4 B. 37－4 1 2F PFS 1 2F PFS 9 / 24 数形结合思想（教师版） C. 37－2 5 D. 37＋2 5 (2)设 F1，F2 分别为双曲线 푥 2 푎 2－ 푦 2 푏 2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF1| ＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ 9 4ab，则该双曲线的离心率为(　　) A. 4 3 B. 5 3 C. 9 4 D．3 答案　(1)C　(2)B 解析　(1)由题意知，|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a， 要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值， 当 A，P，F1 三点共线时，取得最小值， 则|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝ 37， ∴|AP|＋|AF2|的最小值为|AP|＋|AF1|－2a＝ 37－2 5. 故选 C. (2)不妨设 P 为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得 r1－r2＝2a， 又 r1＋r2＝3b，故 r1＝ 3푏 ＋2푎 2 ，r2＝ 3푏 －2푎 2 . 又 r1·r2＝ 9 4ab，所以 3푏 ＋2푎 2 · 3푏 －2푎 2 ＝ 9 4ab， 解得 푏 푎＝ 4 3(负值舍去)， 故 e＝ 푐 푎＝ 푎 2＋푏 2 푎 2 ＝  푏 푎 2＋1  4 3 2＋1＝ 5 3， 故选 B. 10 / 24 数形结合思想（教师版） 题型三　双曲线的几何性质 【例 6】(1)已知椭圆 C1： 푥 2 푚2＋y2＝1(m＞1)与双曲线 C2： 푥 2 푛 2－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1， e2 分别为 C1，C2 的离心率，则(　　) A．m＞n 且 e1e2＞1 B．m＞n 且 e1e2＜1 C．m＜n 且 e1e2＞1 D．m＜n 且 e1e2＜1 (2)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1： 푥 2 푎 2－ 푦 2 푏 2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线 C2：x2＝ 2py(p＞0)交于点 O，A，B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为________． 答案　(1)A　(2) 3 2 解析　(1)由题意可得 m2－1＝n2＋1，即 m2＝n2＋2， 又∵m＞0，n＞0，故 m＞n. 又∵e21·e22＝ 푚2－1 푚2 · 푛 2＋1 푛 2 ＝ 푛 2＋1 푛 2＋2· 푛 2＋1 푛 2 ＝ 푛 4＋2푛 2＋1 푛 4＋2푛 2 ＝1＋ 1 푛 4＋2푛 2＞1，∴e1·e2＞1. (2)由题意，不妨设直线 OA 的方程为 y＝ 푏 푎x，直线 OB 的方程为 y＝－ 푏 푎x. 由Error!得 x2＝2p · 푏 푎x， ∴x＝ 2푝 푏 푎 ，y＝ 2푝 푏 2 푎 2 ，∴A(2푝 푏 푎 ， 2푝 푏 2 푎 2 ). 设抛物线 C2 的焦点为 F，则 F(0， 푝 2 )， ∴kAF＝ 2푝 푏 2 푎 2 － 푝 2 2푝 푏 푎 . 11 / 24 数形结合思想（教师版） ∵△OAB 的垂心为 F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1， ∴ 2푝 푏 2 푎 2 － 푝 2 2푝 푏 푎 ·(－ 푏 푎 )＝－1，∴ 푏 2 푎 2＝ 5 4. 设 C1 的离心率为 e，则 e2＝ 푐 2 푎 2＝ 푎 2＋푏 2 푎 2 ＝1＋ 5 4＝ 9 4. ∴e＝ 3 2. 思维升华　双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线 푥 2 푎 2－ 푦 2 푏 2＝1(a>0， b>0)中，离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 k＝± 푏 푎满足关系式 e2＝1＋k2. 【同步练习】1、已知 F1，F2 是双曲线 E： 푥 2 푎 2－ 푦 2 푏 2＝1 的左，右焦点，点 M 在 E 上，MF1 与 x 轴垂直，sin∠MF2F1＝ 1 3，则 E 的离心率为(　　) A. 2 B. 3 2 C. 3 D．2 答案　A 解 析 　 离 心 率 e ＝ |퐹 1퐹 2| |푀퐹 2|－|푀퐹 1|， 由 正 弦 定 理 得 e ＝ |퐹 1퐹 2| |푀퐹 2|－|푀퐹 1|＝ 푠 푖 푛 ∠퐹 1푀퐹 2 푠 푖 푛 ∠푀퐹 1퐹 2－푠 푖 푛 ∠푀퐹 2퐹 1＝ 2 2 3 1－ 1 3 ＝ 2.故选 A. 12 / 24 数形结合思想（教师版） 题型四　直线与双曲线的综合问题 【例 7】已知椭圆 C1 的方程为 푥 2 4 ＋y2＝1，双曲线 C2 的左，右焦点分别是 C1 的左，右顶点， 而 C2 的左，右顶点分别是 C1 的左，右焦点． (1)求双曲线 C2 的方程； (2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B，且푂퐴→ ·푂퐵→ >2(其中 O 为原 点)，求 k 的取值范围． 解　(1)设双曲线 C2 的方程为 푥 2 푎 2－ 푦 2 푏 2＝1(a>0，b>0)， 则 a2＝4－1＝3，c2＝4， 再由 a2＋b2＝c2，得 b2＝1. 故 C2 的方程为 푥 2 3 －y2＝1. (2)将 y＝kx＋ 2代入 푥 2 3 －y2＝1， 得(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0. 由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点，得 Error! ∴k2≠ 1 3且 k22，得 x1x2＋y1y2>2， ∴ 3푘 2＋7 3푘 2－1>2，即 －3푘 2＋9 3푘 2－1 >0， 解得 1 30，解得－m2b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为 e1；双曲 线 푥 2 푎22－ 푦 2 푏22＝1(a2>0，b2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为 e2，则 e1e2 等 于(　　) A. 2 2 B．1 C. 3 D．2 答案　B 解析　由 b21＝a1c1，得 a21－c21＝a1c1，∴e1＝ 푐 1 푎 1＝ 5－1 2 . 由 b22＝a2c2，得 c22－a22＝a2c2，∴e2＝ 푐 2 푎 2＝ 5＋1 2 . ∴e1e2＝ 5－1 2 × 5＋1 2 ＝1. 7．已知 M(x0，y0)是双曲线 C： 푥 2 2 －y2＝1 上的一点，F1，F2 是 C 的两个焦点，若푀퐹 1→ ·푀퐹 2→ 0)的左，右顶点，点 P 是双曲线 C 上异于 A，B 的另外一点，且△ABP 是顶点为 120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程 为________． 答案　x±y＝0 解析　如图所示，过点 P 作 PC⊥x 轴， 因为|AB|＝|BP|＝2a， 所以∠PBC＝60°，BC＝a， yP＝|PC|＝ 3a，点 P(2a， 3a)， 将 P(2a， 3a)代入 푥 2 푎 2－ 푦 2 푏 2＝1，得 a＝b， 所以其渐近线方程为 x±y＝0. 22 / 24 数形结合思想（教师版） 11．已知双曲线 푥 2 푎 2－ 푦 2 푏 2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支 上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率 e 的最大值为________． 答案　 5 3 解析　由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a. 又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝ 8 3a，|PF2|＝ 2 3a. 在△PF1F2 中，由余弦定理， 得 cos∠F1PF2＝ 64 9 푎 2＋ 4 9푎 2－4푐 2 2· 8 3푎 · 2 3푎 ＝ 17 8 － 9 8e2. 要求 e 的最大值，即求 cos∠F1PF2 的最小值， ∴当 cos∠F1PF2＝－1 时，得 e＝ 5 3， 即 e 的最大值为 5 3. 12．已知 F 是双曲线 C：x2－ 푦 2 8 ＝1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A(0,6 6)．当△APF 的周长最小时，该三角形的面积为________． 答案　12 6 解析　设左焦点为 F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2， ∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF 的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF 周长最小即 为|AP|＋|PF1|最小，当 A、P、F 1 在一条直线时最小，过 AF1 的直线方程为 푥 －3＋ 푦 6 6＝1， 与 x2－ 푦 2 8 ＝1 联立，解得 P 点坐标为(－2,2 6)，此时 S△APF＝ － ＝12 6.1AF FS 1F PFS 23 / 24 数形结合思想（教师版） 13．中心在原点，焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1，F2，且|F1F2|＝2 13， 椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为 4，离心率之比为 3∶7. (1)求这两曲线方程； (2)若 P 为这两曲线的一个交点，求 cos∠F1PF2 的值． 解　(1)由已知 c＝ 13，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为 a，b， 双曲线实半轴长，虚半轴长分别为 m，n， 则Error! 解得 a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2. ∴椭圆方程为 푥 2 49＋ 푦 2 36＝1， 双曲线方程为 푥 2 9 － 푦 2 4 ＝1. (2)不妨设 F1，F2 分别为左，右焦点，P 是第一象限的一个交点， 则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6， 24 / 24 数形结合思想（教师版） ∴|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2 13， ∴cos∠F1PF2＝ |푃 퐹 1|2＋|푃 퐹 2|2－|퐹 1퐹 2|2 2|푃 퐹 1|·|푃 퐹 2| ＝ 102＋42－ 2 13 2 2 × 10 × 4 ＝ 4 5.