江苏省南通市通州区2021届高三第一次诊断测试数学试卷（word版含答案）

1 江苏省南通市通州区 2021 届高三第一次诊断测试 数学试卷 2020．9 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．函数 的定义域为 A．[1，3] B．(1，3] C．( ，1) D．[3， ) 2．已知 a，b，c，d R，则下列命题正确的是 A．若 a＞b，n ，则 B．若 a＞b，c＜d，则 a﹣c＞b﹣d C．若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd D．若 a＞b，则 3．集合 M＝ 的非空子集个数是 A．3 B．7 C．15 D．31 4．已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是 A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a 5．函数 在其定义域上的图像大致是 6．函数 的单调减区间为 A．(1， ) B．(0，1) C．( ，1) D．( ， )和(1， ) 7．某种物体放在空气中冷却，如果原来的温度是 ℃，空气的温度是 ℃，那么 t min 后 物体的温度 (单位：℃)满足： ．若将物体放在 15℃的空气中从 62℃分别冷却到 45℃和 30℃所用时间为 ， ，则 的值为（取 ln2＝0.7， 1( ) 3 1 f x x x = − + − −∞ +∞ ∈ N∗∈ n na b> 1 1 a b < 8 N N1y y x yx  = ∈ ∈ +  ， ， 1 31( )2a −= 1 3 log 2b = 1 21( )3c = 1( ) ( )cosf x x xx = − 1( ) ln 2f x x x x = − − +∞ 1 2 − −∞ 1 2 − +∞ 1 θ 0 θ θ 0.2 0 1 0( )e tθ θ θ θ −= + − 1t 2t 2 1t t−2 e=2.718…） A． B． C． D． 8．已知函数 ， m，n [1，2]，m≠n 时，都有 ， 则实数 a 的取值范围是 A．( ，1) B．( ，1] C．( ，2) D．( ，2] 二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分．在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列命题正确的是 A.“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件 B．“M＞N”是“lgM＞lgN”的必要不充分条件 C．命题“ x R，x2＋1＜0”的否定是“ x R，使得 x2＋1＜0” D．设函数 的导数为 ，则“ ＝0”是“ 在 处取得极值”的 充要条件 10．设 a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 11．定义在 R 上的奇函数 满足 ，则 A．函数 的图象关于原点对称 B．函数 的图象关于直线 x＝1 对称 C．函数 是周期函数且对于任意 x R， 成立 D．当 x (0，1]时， ，则函数 在区间[1＋4k，3＋4k](k Z)上单调递 减（其中 e 为自然对数的底数） 12．已知函数 (n 为正整数)，则下列判断正确的是 A．函数 始终为奇函数 B．当 n 为偶数时，函数 的最小值为 4 C．当 n 为奇数时，函数 的极小值为 4 D．当 n＝1 时，函数 的图象关于直线 y＝2x 对称 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上） 7 2 − 2 7 − 7 2 2 7 ( ) ln af x x x = + ∀ ∈ ( 1) ( 1) 0f m f n m n + − + >− −∞ −∞ −∞ −∞ ∀ ∈ ∃ ∈ ( )f x ( )f x′ ( )f x′ ( )f x 0x x= 0a b b a − < 2020 1a b− > 2ab aba b ( )f x (1 ) (1 )f x f x− = + ( )f x ( )f x ( )f x ∈ ( 2) ( )f x f x+ = ∈ ( ) e 1xf x = − ( )f x ∈ 4( ) n nf x x x = + ( )f x ( )f x ( )f x ( )y f x=3 13．已知函数 ，若 ，则实数 a＝ ． 14．若 2s＋3t＝st(s＞0，t＞0)，则 s＋t 的最小值是 ． 15 ． 已 知 偶 函 数 (x ≠ 0) 的 导 函 数 为 ， ， 当 x ＞ 0 时 ， ，则使 成立的 x 的取值范围是 ．（其中 e 为自然对数的底数） 16．校园内因改造施工，工人师傅用三角支架固定墙面（墙面与地面垂直）（如图），现在一 支架斜杆长为 16dm，一端靠在墙上，另一端落在地面上，则该支架斜杆与其在墙面和 地面上射影所围成三角形周长的最大值为 dm；现为调整支架安全性，要求前述 直角三角形周长为 30dm，面积为 30dm2，则此时斜杆长度应设计为 dm．（第一 空 2 分，第二空 3 分） 第 16 题 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 在①A B＝A，②A B≠ ，③B A 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中， 若问题中的实数 a 存在，求 a 的取值范围；若不存在，说明理由． 问题：已知集合 A＝ ，B＝ ，是否存 在实数 a，使得 ？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分 12 分） 已知函数 ，a，b R，关于 x 的不等式 的解集为(2，3)． （1）求 a，b 的值； （2）求函数 的所有零点之积． 19．（本小题满分 12 分） 1 , 0 1( ) 2( 1), 1 xf x x x x  < 21( 1) ( 1)ef x x− > −   ∅ R ⊆  0 R1 x ax xx  − < ∈ +  ， { }2log (1 ) 1 Rx x x− ≤ ∈， 2( )f x x ax b= + + ∈ ( ) 0f x < ( ( )) 2y f f x= −4 设函数 ，x R，k R． （1）若函数 为奇函数，求函数 在区间[﹣3，3]上的最值； （2）若函数 在区间(0，2)内不单调，求实数 k 的取值范围． 20．（本小题满分 12 分） 经验表明，在室温 25°C 下，85°C 开水冷至 35°C 到 40°C（温水）饮用对身体更有益．某 研究人员每隔 1min 测量一次开水温度（如下表），经过 xmin 后的温度为 y°C．现给出以下 2 个函数模型：① (k R，0＜a＜1，x≥0)；② ( k R，0＜a＜1，x≥ 0)，其中 a 为温度衰减比例，计算公式为： (i N)． 开水温度变化 时间 x/min 0 1 2 3 4 5 水温 y/℃ 85 79 75 71 68 65 （1）请选择一个恰当的函数模型描述 x，y 之间的关系，并求出 k； （2）求 a 值(a 保留 0.01)； （3）在 25°C 室温下，85°C 开水至少大约放置多长时间（单位：min，保留整数）才能 冷至到对身体有益温度？（参考数据： ， ） 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 ． （1）求曲线 在点 P(1， )处的切线方程； （2）已知 是函数 的极值点，若 ， ， ， R，求证： （极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）． 22．（本小题满分 12 分） 已知函数 ， ，其中 e 为自然对数的底数，a，b R． （1）讨论函数 在(0， )上的单调性； 3 2 21( ) ( 1) ( 2 3)3f x x k x k k x= + − + − − ∈ ∈ ( )f x ( )f x ( )f x 25ay kx= + ∈ 25xy ka= + ∈ 5 1 1 251 5 25 i i i ya y= − −= −∑ ∈ 16.6 1 40.92 ≈ 21.5 1 60.92 ≈ ( ) ( 2)ln 1f x x x x= − + − ( )y f x= (1)f 0x x= ( )y f x= 1 2( ) ( )f x f x= 1 2x x≠ 1x 2x ∈ 1 2 02x x x+ > 1( ) exf x ax−= + ( ) lng x bx b x= − ∈ ( )f x +∞5 （2）当 a＝0 时， 对 x＞0 恒成立，求实数 b 的取值范围．( ) ( )f x xg x≥678910