山东省青岛市2021届高三年级期初调研检测数学试题2020.9 含答案

2020 年高三年级期初调研检测 数学试题 2020.09 本试题卷共 6 页，22 题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 设全集 ，集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知 （其中 为虚数单位），则复数 （ ） A. B. C. D. 3. 已知平面内三点 ， ， ，则向量 在 的方向上的投影为（ ） A. B. C. D. 4. 正方体 的棱长为 2， 是棱 的中点，则平面 截该正方体所得的截面面积为 （ ） A. 5 B. C. D. 5. 地铁某换乘站设有编号为 ， ， ， 的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 ， ， ， ， 疏散乘客时间（ ） 120 140 190 160 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ） A. B. C. D. { }1,2,3,4,5U = { }1,2,3A = { }2,3,4B = ( )UC A B = { }1,4,5 { }2,3 { }5 { }1 ( )21 1i iz − = + i z = 1 2 i− + 1 2 i− − 1 2 i+ 1 2 i− ( )2,1A ( )6,4B ( )1,16C AB BC 16 5 33 5 16 13 33 13 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1DD 1AC E 2 5 4 6 2 6 1m 2m 3m 4m 1m 2m 2m 3m 3m 4m 1m 3m s 1m 2m 3m 4m 6. 已知 为任意角，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 一种药在病人血液中的量保持 以上才有效，而低于 病人就有危险.现给某病人注射了这 种药 ，如果药在血液中以每小时 的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起 经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.（附： ， ，答案采取 四舍五入精确到 0.1 小时） A. 2.3 小时 B. 3.5 小时 C. 5.6 小时 D. 8.8 小时 8. 若 为偶函数，满足 ， ，则 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 1010 D. 2020 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9. 设函数 ，则（ ） A. 的最大值为 2 B. 在区间 上单调递增 C. 是偶函数 D. 的图象关于点 对称 10. 在平面直角坐标系 中，动点 与两个定点 和 连线的斜率之积等于 ，记点 的轨迹为曲线 ，直线 ： 与 交于 ， 四点，则（ ） A. 的方程为 B. 的离心率为 C. 的渐近线与圆 相切 D. 满足 的直线 仅有 1 条 11. 若 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 12. 在国家精准扶贫政策的支持下，某农户贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰， 若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布 和 ，则下列选项正确的 α 1cos2 3 α = 3sin 3 α = 1500mg 500mg 2500mg 20% lg 2 0.301= lg3 0.4771= ( )f x ( ) ( )3 2020f x f x⋅ + = ( )1 1f − = ( )2020f ( ) sin 2 cos 24 4f x x x π π   = + + +       ( )f x ( )f x 0, 2 π     ( )f x ( )f x ,04 π     xOy P ( )1 3,0F − ( )2 3,0F 1 3 P E l ( )2y k x= − E A B E 2 2 1( 3)3 x y x− = ≠ ± E 3 E ( )2 22 1x y− + = 2 3AB = l 0a > 0b > 2a b+ = 1ab ≤ 2a b+ ≤ 2 2 2a b+ ≥ 1 1 2a b + ≥ ( )2,30N µ ( )2280,40N 是（ ） 附：若随机变量 服从正态分布 ，则 . A. 若红玫瑰日销售量范围在 的概率是 0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为 250 B. 红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中 C. 白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中 D. 白玫瑰日销售范围在 的概率为 0.3413 三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有 10 个座位，选出 3 个用于观影，防 疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_______种（用数字回答）. 14. 棱长均为 6 的直三棱柱的外接球的表面积是_______. 15. 已知直线 ： 与抛物线 ： 在第一象限的交点为 ， 过 的焦点 ， ，则抛物线的准线方程为_______； _______. 16. 把数列 中的各项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括 号四个数，第五个括号一个数，…，进行排列，得到如下排列：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17， 19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第 100 个括号内各数之和为 _______. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进 行求解. 问题：在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ，点 ， 是 边 上的两个三等分点， ，____________，求 的长和 外接圆半径. 注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分. 18. 已 知 数 列 的 前 项 和 为 ， ， 且 为 与 的 等 差 中 项 ， 当 时 ， 总 有 . （1）求数列 的通项公式； （2）记 为 在区间 内的个数，记数列 的前 项和为 ，求 . X ( )2,N µ σ ( ) 0.6826P Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( ]30,280µ − ( ]280,320 l ( )1y k x= − C ( )2 2 0y px p= > A l C F 3AF = k = { }2 1n + 3AN BN = 4 3AMNS =△ AC AM= ABC△ A B C a b c 3B π= 8c = M N BC 3BC BM=  AM ABC△ { }na n nS 1 1a = 1a 2a 2S 2n ≥ 1 12 3 0n n nS S S+ −− + = { }na mb 1 na       ( ( )1 *0,4m m N−  ∈ ( ){ }21 m mb− ⋅ m mW 20W 19. 随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部 门的统计数据，以 5 年为一个研究周期，得到机动车每 5 年纯增数据情况为： 年度周期 1995~2000 2000~2005 2005~2010 2010~2015 2015~2020 时间变量 1 2 3 4 5 纯增数量 （单位：万辆） 3 6 9 15 27 其中 ，时间变量 对应的机动车纯增数据为 ，且通过数据分析得到时间变量 与对应的机动 车纯增数量 （单位：万辆）具有线性相关关系. （1）求机动车纯增数量 （单位：万辆）关于时间变量 的回归方程，并预测 2025~2030 年间该市机动车 纯增数量的值； 附：回归直线方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ； . （2）该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了 220 名市民，将他们的意 见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的 列联表： 赞同限行 不赞同限行 合计 没有私家车 90 20 110 有私家车 70 40 110 合计 160 60 220 根据上面的列联表判断，能否有 的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车”有关. 附： ， . 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20. 如图，正方形 和 所在平面互相垂直，且边长都是1， ， ， 分别为线段 ， ， 上的动点，且 ， 平面 ，记 . ix iy 1,2,3,i = ⋅⋅⋅ ix iy x y y x y bx a= + ( )( ) ( ) 1 1 222 1 1 n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x = = = = − ⋅ − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑  a y bx= −  2 2× 99% ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ( )2P K k≥ k ABCD ABEF M N G AC BF AB CM BN= / /AF MNG ( )0 1BG a a= < > 1F 2F 1A 2A 2B 1B 1 1 2 2A B A B 1 1 2 2F B F B 2 3 C M N C OMN△ W 2 2WM WN+ 84π 1x = − 2 2 因为 ，所以 ， 设 ，所以 ；又 ， ， 所以在 中， ， 即 ， 即： ， 所以 或-4（舍去）. 在 中， ， 所以 ， 同样 ， 所以 ， 由正弦定理可得： ， 所以外接圆半径为 . 若选择条件② 因为点 ， 是 边上的三等分点，且 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 . 在 中， ， 所以 ， 同样 ， 所以 ， 由正弦定理可得： ， 3AN BN = 2 3AN BM = BM t= 2 3AN t= 60B = ° 8c = ABN△ 2 2 2 2 cosAN AB BN AB BN B= + − ⋅ 2 2 2(2 3 ) 8 4 2 8 2 cos60t t t= + − × × ° 2 2 8 0t t+ − = 2t = ABM△ 2 2 2 22 cos 8 4 2 8 2cos60 52AM AB BM AB BM B= + − ⋅ = + × °− × = 2 13AM = 2 2 2 2 22 cos 8 6 2 8 6cos60 52AC AB BC AB BC B= + − ⋅ = + × °− × = 2 13AC = 2 13 4 392 sin sin 60 33 2 b ACR B = = = =° 2 39 3R = M N BC 4 3AMNS =△ 12 3ABCS =△ 60B = ° 1 1 312 3 sin 60 82 2 2ABCS AB BC BC= = ⋅ ° = × × ×△ 6BC = 2BM = ABM△ 2 2 2 22 cos 8 4 2 8 2cos60 52AM AB BM AB BM B= + − ⋅ = + × °− × = 2 13AM = 2 2 2 2 22 cos 8 6 2 8 6cos60 52AC AB BC AB BC B= + − ⋅ = + × °− × = 2 13AC = 2 13 4 392 sin sin 60 33 2 b ACR B = = = =° 所以外接圆半径为 . 若选择条件③ 设 ，则 ， 在 中， ， 同样在 中， ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 在 中， ， 所以 ， 同样 ， 所以 ， 由正弦定理可得： ， 所以外接圆半径为 . 18. 解：（1）因为 ， ， ， 所以 ， ， 因为 ， ， ， 依次成等差数列，所以 ，得 ， 所以 ， 所以数列 是以 1 为首项，公比为 的等比数列，所以 . （2）由题意知： ，所以 ， 所以 ，即 ， 所以 ， 2 39 3R = BM t= 3BC t= ABM△ 2 2 2 2 cosAM AB BM AB BM B= + − ⋅ 2 2 2 28 2 8 cos60 8 8t t t t= + − × = + −° ABC△ 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC B= + − ⋅ 2 2 28 9 2 8 3 cos60 64 9 24t t t t= + − × × ° = + − AC AM= 2 2 28 8 64 9 24t t t t+ − = + − 2t = ABM△ 2 2 2 2 cosAM AB BM AB BM B= + − ⋅ 28 4 2 8 2cos60 52= + × °− × = 2 13AM = 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC B= + − ⋅ 2 28 6 2 8 6cos60 52= + − × × =° 2 13AC = 2 13 4 392 sin sin 60 33 2 b ACR B = = = =° 2 39 3R = ( )1 12 2 0n n n nS S S S+ −− − − = 2n ≥ *n N∈ 1 1 2n na a+ = 2n ≥ 1 1a = 2a 1a 2S 22 1 2a= + 2 1 2a = 2 1 1 2a a= { }na 1 2q = 1 1 2n na −= 11 2n na −= 1 10 2 4n m− −< ≤ 1 2( 1)2 2n m− −≤ 1 2( 1)n m≤ + − 2 1mb m= − 当 为偶数时， ， 所以 ， 所以 . 19. 解：（1）由 年度周期 1 2 3 4 5 纯增数量（单位：万辆） 3 6 9 15 27 所以 ， ， . 所以 . 因为 过点 ，所以 ， ，所以 . 2025~2030 年时， ，所以 ， 所以 2025~2030 年间，机动车纯增数量的值约为 34.8 万辆. （2）根据列联表，计算得 的观测值为 ， ， 所以有 的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车有关”. 20. 解：（1）因为 平面 ， 且 平面 ，平面 平面 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， m 2 21 9 25 49 81 121 (2 3) (2 1)mW m m= − + − + − + + − − + − 2 (8 8 8)28 24 40 8( 1) 22m m m W m m × + − = + + + + − = = 20 800W = 3x = 12y = 5 1 1 3 2 6 3 9 4 15 5 27 237i i i x y = = × + × + × + × + × =∑ 1 22 1 n i i i n i i x y nxy b x nx = = − = − ∑ ∑  ( )2 2 2 2 2 2 237 5 3 12 57 5.755 451 2 3 4 5 5 3 − × ×= = =−+ + + + − × y bx a= + ( ),x y  5.7y x a= + 5.1a = −  5.7 5.1y x= − 7x = 5.7 7 5.1 34.8y = × − = ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 2220 (90 40 20 70) 55 9.167110 110 160 60 6k × × − ×= = ≈× × × 55 6.6356 > 99% / /AF MNG AF ⊂ ABEF ABEF  MNG NG= / /AF NG 2CM BN a= = ( )2 1AM a= − 所以 ，所以 ， 所以 ， 又因为平面 平面 ， 且 平面 ，平面 平面 ， 所以 平面 . （2）由（1）知， ， ，当且仅当 时等号成立， 分别以 ， ， 所在的直线为 轴， 轴， 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 因为 ， ， 则 ，取 ，得 ， 设平面 的一个法向量为 ， 因为 ， ， 则 ，取 ，得 ， 所以 ，则二面角 的余弦值为 . 1AM AG a CM BG a −= = / /MG BC MG AB⊥ ABCD ⊥ ABEF MG ⊂ ABCD ABCD  ABEF AB= MG ⊥ ABEF MG NG⊥ 2 2 2 2(1 ) 2 2 1 2MN a a a a= + − = − + ≥ 1 2a = BA BE BC x y z B xyz− ( )1,0,0A ( )0,0,0B 1 1,0,2 2M      1 1, ,02 2N      AMN ( )1 1 1, ,m x y z= 1 1,0,2 2AM  = −    1 10, ,2 2MN  = −    1 1 1 1 02 2 02 2 x zm AM y zm MN  ⋅ = − + =  ⋅ = − =     1 1z = ( )1,1,1m = BMN ( )2 2 2, ,n x y z= 1 1,0,2 2BM  =     1 10, ,2 2MN  = −    2 2 2 2 02 2 02 2 x zn BM y zn MN  ⋅ = + =  ⋅ = − =     2 1z = ( )1,1,1n = − 1cos , 3 m nm n m n ⋅= = ⋅      A MN B− − 1 3 − 21. 解：（1）由题知：当 时， ， ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，且 ， 所以，当 时， ， 在 上单调递减； 当 时， ， 在 上单调递增. 所以 ，所以 的零点为 . （2）因为 ， 当 时， ，令 ， 因为 ；所以 在 上单调递增， 所以 ，即 ，所以 不合题意， 当 时，令 ，则 ， 所以 在 上单调递增， 且 ， ， 所以存在 ，使得 ， 即 ， ， 所以，当 时，设 ， 在 上单调递减； 1a = ( ) ( )ln 1 1xf x e x= − + − ( ) 1' 1 xf x e x = − + 1( ) '( ) 1 xg x f x e x = = − + 2 1'( ) 0(1 ) xg x e x = + >+ ( )g x ( )1,− +∞ ( )0 0g = ( )1,0x∈ − ( )' 0f x < ( )f x ( )1,0− ( )0,x∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x ( )0,+∞ ( ) ( )0 0f x f≥ = ( )f x 0x = 1'( ) 1 xf x ae x = − + 1a < ( ) ( )0 cos 1f a a= − − ( ) ( )cos 1h a a a= − − ( ) ( )' 1 sin 1 0h a a= + − ≥ ( )h a ( ),1−∞ ( ) ( )1 0h a h< = ( )0 0f < 1a < 1a ≥ ( ) ( )'m x f x= ( ) 2 1 0(1 )' xam x e x = + >+ ( )m x ( )1,− +∞ ( )0 1 0m a= − ≥ 1 11 1 0am ae a a aa − − = − ≤ − =   ( ]0 1,0x ∈ − ( )0 0m x = 0 0 1 01 xae x − =+ ( )0 0ln 1 lnx x a+ = − − ( )01,x x∈ − ( )' 0f x < ( )f x ( )00, x 当 时，设 ， 在 单调递增； 所以 . 综上，所求 的取值范围为 . 22. 解：（1）设椭圆 的焦距 ，则 ① 由题意知： ，得 ② 由题意知： ，得 ③ 由①②③解得： ， ， ， 所以椭圆 的标准方程为： . （2）定点 为原点 时， 为定值 5. 证明如下： 设 ， ， 当直线 斜率不存在时， ， ，所以 ， 所以 ，所以 ， ， 所以 . 当直线 斜率存在时，设直线 ： ，代入 可得： ， 所以 ， . 设点 到直线 的距离为 ，则 ， ( )0 ,x x∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x ( )0 ,x +∞ ( ) ( )0 0 0( ) ln 1 cos( 1)xf x f x ae x a≥ = − + − − 0 0 1 ln cos( 1)1 x a ax = + + − −+ 0 0 1 1 ln cos( 1) 1 1 ln cos( 1) 01 x a a a ax = + + + − − − ≥ + − − ≥+ a 1a ≥ C 1 2 2F F c= 2 2 2a b c= + 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 42 2A B A BS A A B B a b= ⋅ = × × =  2ab = 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 32 2F B F BS F F B B c b= ⋅ = × × =  3bc = 2a = 1b = 3c = C 2 2 14 x y+ = W O 2 2WM WN+ ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y MN 1 2x x= 1 2y y= 1 1 1 2 12OMNS x y= ⋅ =△ 2 2 2 2 1 1 1 1 1 14 xx y x  = − =   2 2 1 2 2x x= = 2 2 1 2 1 2y y= = 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 5x yO O x yM N = + + + =+ MN MN y kx m= + 2 2 14 x y+ = ( )2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m+ + + − = 1 2 2 8 1 4 kmx x k + = − + 2 1 2 2 4 4 1 4 mx x k −= + O MN d 21 md k = + ， 因此 ， 所以 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 即： . ( )22 2 1 2 1 2 1 21 1 4k x x k x x xMN x= + ⋅ − = + ⋅ + − 2 2 2 2 4 1 1 4 1 4 k k m k + ⋅ + −= + ( )2 2 2 2 2 1 41 12 1 4OMN m k m S MN d k + − = ⋅ = =+△ ( ) ( )22 2 2 41 4 4 1 4 4 0k m k m+ − + + = ( )22 21 4 2 0k m+ − = 2 21 4 2 0k m+ − = 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2x yO ON x yM = + + ++ ( )2 2 2 2 2 21 1 1 2 1 2 31 1 24 4 4 x xx x x x= + − + + − = + + ( )2 1 2 2 2 1 2 32 24OM O x xN x x = + + −+  ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 22 3 64 8 8 3 64 8 82 24 1 4 4 4 21 4 k m m k m m k m mk    − − = + − = + −  +  +  2 2 3 16 42 44 k m  += + −   32 (8 4) 54 = + × − =