北师大版2020_2021学年新教材高一数学专题强化训练3指数运算与指数函数（含解析）

- 1 - 专题强化训练(三)　指数运算与指数函数 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1．若 a< 1 2，则化简4 （2a－1）2的结果是(　　) A． 2a－1　 B．－ 2a－1 C． 1－2a D．－ 1－2a C　[∵a< 1 2，∴2a－10，且 y≠1}． (2)y＝4x＋2x＋1＝(2x)2＋2x＋1.　令 t＝2x，易知 t>0. 则 y＝t2＋t＋1＝(t＋ 1 2 ) 2 ＋ 3 4. 结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到 y＝(t＋ 1 2 ) 2 ＋ 3 4在 t>0 上为增函数， 所以 y＝(t＋ 1 2 ) 2 ＋ 3 4>(0＋ 1 2 ) 2 ＋ 3 4＝1. ∴ 原函数的值域为{y|y>1}． 10．已知函数 f(x)＝ 2x－1 2x＋1， (1)证明：函数 f(x)是 R 上的增函数； (2)求函数 f(x)的值域； (3)令 g(x)＝ x f（x），判定函数 g(x)的奇偶性，并证明． [解]　(1)设 x1，x2 是 R 内任意两个值，且 x10， y2 － y1 ＝ f(x2) － f(x1) ＝ 2x2－1 2x2＋1－ 2x1－1 2x1＋1＝ 2·2x2－2·2x1 （2x1＋1）（2x2＋1）＝ 2（2x2－2x1） （2x1＋1）（2x2＋1）， 当 x10，2x2＋1>0， ∴y2－y1>0， ∴f(x)是 R 上的增函数． (2)f(x)＝ 2x＋1－2 2x＋1 ＝1－ 2 2x＋1， ∵2x＋1>1， ∴0< 2 2x＋1y3>y2 D．y1>y2>y3 C　[从形式上看，三个幂式的底数和指数各不相同，但根据指数的运算性质可得，y1＝ 40.9＝(22)0.9＝21.8，y2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y3＝( 1 2)－1.5＝(2－1)－1.5＝21.5. 因为指数函数 y＝2x(x∈R)是增函数，所以 21.8>21.5>21.44，即 y1>y3>y2.] 14．若函数 y＝2x＋1，y＝b，y＝－2x－1 的图象两两无公共点，结合图象则 b 的取值范 围为________． [－1，1]　[如图． 当－1≤b≤1 时，此三函数的图象无公共点．] 15．若函数 y＝ a·2x－1－a 2x－1 为奇函数． (1)确定 a 的值； (2)求函数的定义域与值域； (3)讨论函数的单调性．- 5 - [解]　先将函数 y＝ a·2x－1－a 2x－1 化简为 y＝a－ 1 2x－1. (1)由奇函数的定义，可得 f(－x)＋f(x)＝0，即 a－ 1 2－x－1＋a－ 1 2x－1＝0， ∴2a＋ 1－2x 1－2x＝0.∴a＝－ 1 2. (2)∵y＝－ 1 2－ 1 2x－1，∴2x－1≠0. ∴函数 y＝－ 1 2－ 1 2x－1的定义域为{x|x≠0}． ∵x≠0，∴2x－1>－1.又∵2x－1≠0， ∴0>2x－1>－1 或 2x－1>0. ∴－ 1 2－ 1 2x－1> 1 2或－ 1 2－ 1 2x－1 1 2或y < － 1 2}. (3)当 x>0 时，设 0