2020-2021学年高二数学10月月考试题（含答案）

1 2020-2021 学年高二数学 10 月月考试题（含答案） 一、选择题（每小题 5 分，总分 60 分。） 1、下列说法中正确的是(　　) A．任何两个变量之间都有相关关系 B．球的体积与该球的半径具有相关关系 C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性的关系 D．某商品的生产量与该商品的销售价格之间是一种非确定性的关系 2、如果直线 ax+y=1 与直线 3x+y﹣2=0 垂直，则 a 等于（　　） A．3 B． C． D．﹣3 3、方程 表示的圆的圆心和半径分别为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. 4、具有线性相关关系的变量 x、y 的一组数据如下表所示.若 y 与 x 的回归直线方程为 ， 则 m 的值是（ ） x 0 1 2 3 y -1 1 m 8 A．4 B． C．5.5 D．6 5、直线 经过点 A（－2，1），B（－1，m2）（m R）两点，那么直线 的倾斜角取值范围为（ ） A．[0， ] （ ， ） B．[0， ） [ ， ） C．[ ， ） D．[ ， ] 6、如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别是 C1D1，CC1 的中点，则异 面 直 线 AE 与 BF 所成角的余弦值为（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 7、直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8、已知 ， 表示两条不同的直线， 表示一个平面，给出下列四个命题： 2 2 4 0x y x+ − = ( )2,0− 2 ( )2,0 2 ( )2,0− 4 ( )2,0 2 33 −= ∧ xy 2 9 m n α l ∈ l 4 π  2 π π 2 π  3 4 π π 3 4 π π 4 π 3 4 π 5 6 18 5 5 6 5 2 5 5 2 0x y+ + = x y A B P 2 2( 2) 2x y− + = ABP△ [2,6] [4,8] [ 2,3 2] [2 2,3 2]2 ① ；② ；③ ；④ ．其 中正确命题的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C.①④ D. ②④ 9、在平面直角坐标系中，若不等式组{x＋y－1 ≥ 0， x－1 ≤ 0， ax－y＋1 ≥ 0 (a 为常数)所表示的平面区域的面积等于 2， 则 a 的值为(　　) A．－5 B．1 C．3 D．2 10、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）． A. B. C. D. 11、设 ， ， ， 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值（ ） A． B． C． D． 12、（文科）直线y＝－ 3 3 x＋m 与圆 x2＋y2＝1 在第一象限内有两个不同的交点，则 m 的取值范围是 (　　) A．( 3，2) B．( 3，3) C.( 3 3 ， 2 3 3 ) D.(1， 2 3 3 ) 12.（理科）已知动直线 ：ax+by+c-2=0（a>0,c>0）恒过点 P（1，m），且 Q（4，0）到动直线 的 最大距离为 3，则 的最小值为（ ） A． B．9 C．1 D． 二、填空题（每小题 5 分，总分 20 分。） 13、在 z 轴上求一点 M，使点 M 到点 A（1，0，2）与点 B（1，－3，1）的距离相等，M 的坐标为________． 14、圆 x2+y2+4x-2y+a=0 截直线 x+y-3=0 所得弦长为 2，则实数 a=__________． 15、（文科）已知x，y 满足Error!则 y－2 x－4的最小值是________． 15 、（理科）已知x ，y 满足Error! 则 x＋y－6 x－4 的取值范围是 ________． 16. （文科）如图, 一个正四棱锥 P 1-AB1C1D 和一个正三棱锥 P2- B2C2S 的所有棱长都相等,F 为棱 B1C1 的中点,将 P1 和 P2，B1 和 B2， C1 和 C2 分别对应重合为 P,B,C 得到组合体.关于该组合体有如下 { / /m m nn α α ⊥ ⇒⊥ { / /m nm n α α⊥ ⇒⊥ / /{ / // / m m nn α α ⇒ { / / m m nn α α ⊥ ⇒ ⊥ 2 15 6 47 3 23 A B C D ABC△ 9 3 D ABC− 12 3 18 3 24 3 54 3 l l 1 2 2a c + 9 2 9 43 三个结论:①AD⊥SP;②AD⊥SF；③AB//SP；④AB⊥SP.其中正确的序号是 . 16.（理科）如图,在 Rt△ABC 中,AC=1,BC= x(x>0),D 是斜边 AB 的中点,将△BCD 沿直线 CD 翻折,若 在翻折过程中存在某个位置,使得 CB⊥AD,则 x 的取值范围是 . 三、解答题（总分 70 分）（17 题 10 分，其余每题 12 分。） 17、某公司利润 y 与销售总额 x(单位：千万元)之间有如下对应数据： x 10 15 17 20 25 28 32 y 1 1.3 1.8 2 2.6 2.7 3.3 (1) 求回归直线方程(求 时精确到 0.001）； (2) 估计销售总额为 24 千万元时的利润． 参考公式及数据： ＝3447， =346.3. 18、已知直线 过点 P(-1，2)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于 ． （1）求直线 的方程． （2）求圆心在直线 上且经过点 M(2,1)，N(4,-1)的圆的方程． 19、某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头 50 天的日 用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用 水量 频数 1 3 2 4 9 26 5 b ∧ ∑ = 7 1 2 i ix ∑ = 7 1i ii yx l 2 1 l l [ )0 0.1， [ )0.1 0.2， [ )0.2 0.3， [ )0.3 0.4， [ )0.4 0.5， [ )0.5 0.6， [ )0.6 0.7，4 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用 水量 频数 1 5 13 10 16 5 （1）在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图： （2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m3 的概率； （3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同一组中的数据 以这组数据所在区间中点的值作代表．） 20、如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点， 为 的中点，且 为正三角形. （1）求证： 平面 ； （2）若 ，三棱锥 的体积为 1，求点 到平面 的距离. 21、已知点 M(3，1)，直线 ax－y＋4＝0 及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过 M 点的圆的切线方程 (2)若直线 ax－y＋4＝0 与圆相切，求 a 的值； (3)若直线 ax－y＋4＝0 与圆相交于 A，B 两点，且弦 AB 的长为 2 3，求 a 的值． 22、（文科）如图，四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， 且平面 PAC⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点，PA=PC，AB=2BC=2， ∠ABC=60º． （Ⅰ）求证： 平面 ； P ABC− PA AC⊥ PC BC⊥ M PB D AB AMB∆ BC ⊥ PAC 2PA BC= P ABC− B DCM [ )0 0.1， [ )0.1 0.2， [ )0.2 0.3， [ )0.3 0.4， [ )0.4 0.5， [ )0.5 0.6， //PB ACE5 （Ⅱ）求证：平面 平面 PAC． 22、(理科)如图,在三棱锥 P－ABC 中,PA⊥AB，PA=AB=BC=4, ∠ABC=90º,PC= ,D 为线段 AC 的中点,E 是线段 PC 上一动点. (1)当 DE⊥AC 时,求证:PA//平面 DEB. (2)当△ BDE 的面积最小时,求三棱锥 E－BCD 的体积. ⊥PBC 4 36 参考答案 一、选择题 DBBAB,DACCC,DD 二、填空题 13、（0,0,-3） 14、-4 15、（文）0，（理）[1， 13 7 ]. 16、（文）①②③ （理）（0， ] 三、解答题（总分 70 分） 17、【答案】解：(1) ＝ 1 7(10＋15＋17＋20＋25＋28＋32)＝21， ＝ 1 7(1＋1.3＋1.8＋2＋2.6＋2.7＋3.3)＝2.1， ＝ ＝ 346.3－7 × 21 × 2.1 3447－7 × 212 ≈0.104， ＝ － ＝2.1－0.104×21＝－0.084， ∴ ＝0.104x－0.084. (2)把 x＝24(千万元)代入方程得 ＝2.412(千万元)．∴销售总额为 24 千万元时，估计利润为 2.412 千万元． 18、(1)x+y-1=0;(2) . （ ）设所求的直线方程为： ， ， ∵过点 且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于 ，∴ ，解得 ，故 所求的直线方程为：x+y-1=0. （ ）设圆心坐标 ，则∵圆经过 ， ，∴ ， ∴ ， ，圆半径 ，∴ ． 19、解：（1） 3 x y bˆ ∑ ∑ = = − − 5 1 22 7 1 7 7 i i i ii xx yxyx aˆ y bˆ x yˆ yˆ7 （2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35m3 的频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48， 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35m3 的概率的估计值为 0.48． （3）该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为 ． 该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为 ． 估计使用节水龙头后，一年可节省水 ． 20、（1）证明：在正 中， 是 的中点，所以 ． 因为 是 的中点， 是 的中点，所以 ，故 ． 又 ， ， 平面 ， 所以 平面 ． 因为 平面 ，所以 ． 又 平面 ， 所以 平面 ． （2）设 ,则 三棱锥 的体积为 ，得 x=2 1 1 (0.05 1 0.15 3 0.25 2 0.35 4 0.45 9 0.55 26 0.65 5) 0.4850x = × + × + × + × + × + × + × = 2 1 (0.05 1 0.15 5 0.25 13 0.35 10 0.45 16 0.55 5) 0.3550x = × + × + × + × + × + × = 3(0.48 0.35) 365 47.45(m )− × = AMB∆ D AB MD AB⊥ M PB D AB / /MD PA PA AB⊥ PA AC⊥ AB AC A∩ = ,AB AC ⊂ ABC PA ⊥ ABC BC ⊂ ABC PA BC⊥ , , ,PC BC PA PC P PA PC⊥ ∩ = ⊂ PAC BC ⊥ PAC AB=x PB=2MD= 3x 3 1BC= AC=2 2 x x， P ABC− 3 ABC 1 1V= S PA= 13 8 x⋅ ⋅ =8 设点 到平面 的距离为 ．因为 为正三角形，所以 ． 因为 ，所以 ． 所以 ． 因为 ，由（1）知 ，所以 ． 在 中， ，所以 ． 因为 ， 所以 ，即 ． 所以 ．故点 到平面 的距离为 ． 21、解：(1)圆心 C(1，2)，半径 r＝2， 当直线的斜率不存在时，方程为 x＝3. 由圆心 C(1，2)到直线 x＝3 的距离 d＝3－1＝2＝r 知，此时直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设方程为 y－1＝k(x－3)， 即 kx－y＋1－3k＝0. 由题意知 |k－2＋1－3k| k2＋1 ＝2，解得 k＝ 3 4. ∴圆的切线方程为 y－1＝ 3 4(x－3)，即 3x－4y－5＝0. 故过 M 点的圆的切线方程为 x＝3 或 3x－4y－5＝0. (2)由题意得 |a－2＋4| a2＋1 ＝2，解得 a＝0 或 a＝ 4 3. (3)∵圆心到直线 ax－y＋4＝0 的距离为 |a＋2| a2＋1， ∴( |a＋2| a2＋1) 2 ＋(2 3 2 ) 2 ＝4，解得 a＝－ 3 4. 22、（文科）（Ⅰ）连接 ，交 于点 ，连接 ， ∵底面 是平行四边形，∴ 为 中点， 又 为 中点，∴ ， 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ． （Ⅱ）∵ ， 为 中点，∴ ， B DCM h AMB∆ 2AB MB= = 3,BC BC AC= ⊥ 1AC = 1 1 1 1 1 31 32 2 2 2 2 4BCD ABCS S BC AC∆ ∆= = × × × = × × × = D 3M = / /MD PA MD DC⊥ ABC∆ 1 12CD AB= = 1 1 33 12 2 2MCDS MD CD∆ = × × = × × = M BCD B MCDV V− −= 1 1 3 3BCD MCDS MD S h∆ ∆⋅ = ⋅ 1 3 1 333 4 3 2 h× × = × × 3 2h = B DCM 3 29 又平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， 又 平面 ， ∴ ． 在 中， ， ， ∴ ， ∴ ，∴ ． 又 平面 ， 平面 ， ，∴ 平面 ， 又 平面 ，∴平面 平面 ． 22.（理科）